200道代数式的恒等变形练习题
代数式恒等变形及答案
代数式恒等变形A 卷1、若3265122-+-+=+--x bx a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。
2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+-x x ，则=+441xx （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案：C 解答：∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：本题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。
3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D解答：∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
4、（全国竞赛题）如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是（ ） A 、6 B 、8 C 、20 D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ，6=b ，12=c ∴20=++c b a提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。
初中数学竞赛辅导代数式的恒等变形
代数式的恒等变形例题1：设532()=-3+2+3+6f x x x x x 设，计算()()1594n-3(1)(5)(9)(4-3)37114-1(3)(7)(11)(4-1)f f f f n n f f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值解：首先我们将()f x 因式分解:()()432()=+2-2++3f x x x x x ，再令()()()()()43222432-2++3=++1++3=++++4+3++3x x x x ax x bx x a b x ab x a b x+=-2+4=1=1,=-33+=0a b ab a b a b ⎧⎪⇒⇒⎨⎪⎩所以 ()()()22()=+2++1-3+3f x x x x x x 所以()()()()()()()()()()()22222332()=x +2++1-3+3=-1+1-1--1+1+1+1+1-+1+1=-1+1+1+1xf x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以()()1594n-3(1)(5)(9)(4-3)37114-1(3)(7)(11)(4-1)f f f f n n f f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=()()1(1)5(5)9(9)4-3(4-3)3(3)7(7)11(11)4-1(4-1)f f f n f n f f f n f n ⋅⋅⋅⋅ ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()33333333333333330+12+14+16+18+110+14-4+14-2+1=2+14+16+18+110+112+14-2+14+1n n n n ⎡⎤⎣⎦=()()3330+11=64+14+1n n定理1：设{}()*+2+1=+(),=+-n n n n n n n a Ax By n N a x y a xya ∈则数列满足递推式 a 证明：LHs=()()()()+1+1+2+2+1+-=++-xy +=+n n n n n n n n x y a xya x y Ax By Ax By Ax By 即()+2+1=+-n n n a x y a xya 这个就称为牛顿等幂公式注：只要知道12,a a ,那么我们就可以知道3456,,,a a a a 其中任何一项当然针对三元和多元的我们也能得到同样这样完美的式子：定理2：设*=+B y +()n n nn a A x C z n N ∈，则()()+3+2+1=++-+++n n n na x y z a x y y z x z a x y z a证:我们从左边证明+3n a =()()+3+3+3+2+2+2+2+2+2++=++++---n n n n n n n n n Ax By Cz x y z Ax By Cz Azx Bxy Cyz()()()()+2+2+2+1+1+1+1+1+1+2---=++-+-+-+n n n n n n n n n n Cxz Bzy Ayx x y z a xy Ax By yz By Cz zx Ax Cz =()()()+1+1+1+1+1+1+2++-+++++++n n n n n n n x y z a xy yz xz Ax By Cz Cxyz Ayzx Bzxy =()()()+2+1++-x ++++By +n n n n n x y z a y yz xz a xyz Ax Cz =()()+2+1++-x +++n n nx y z a y yz xz a xyza 得证例：已知<0x ,且1-=5x x ，求代数式1210640-21210820-2-++-+-++-+x x x x x x x x x x x x的值解：对要求的式子变形得（分子分母除以5x ）：()()()7-75-5-11210640-21210820-27-75-53-3x +-+++-++-+=-++-++-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 想方法由()1x-=5<0x x ，求出 -13-35-57-7+,+,+,+x x x x x x x x 的值即可根据上面分析，可考虑递推计算法，令-=+n n n a x x ，由1-=5,x<0,x x又得2-1111=+=--+4=-3a x x x x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭， ()22-2-12=+=+-2=7a x x x x 由定理1：()()-1-1+2+1+1=+-=-3-n n n n n a x x a x x a a a ⋅所以：()321=-3a -=-37--3=-18a a ⨯， ()432=-3-=-3-18-7=47a a a ⋅()543=-3-=-347--18=-123a a a ⋅ ()654=-3-=-3-123-47=322a a a ⋅ 765=-3-=-3322-(-123)=-843a a a ⋅故()()()7-75-5-11210640-21210820-27-75-53-3x +-+++-++-+=-++-++-+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =751753-+-843+123-3241==-+-843+123-18269a a a a a a 例2：已知222333++z=1,x ++=2,++=3x y y z x y z ，求555++x y z 的值 解：设123=++,=1,=2,=3n n n n a x y z a a a 则我们由定理2得：()()+3+2n+1=++-+++n n n a x y z a xy yz xz a xyza ，只要求++xz xyz xy yz ，的值因为()()22221x++=+++2++xz ++=-2y z x y z xy yz xy yz xz ⇒又由注意到()()333222++-3=+++z ---x y z xyz x y z x y xy yz xz +故 1=6xyz所以 +3+2+111=++26n n n n a a a a 所以 4321111125=++=3+2+=26266a a a a ⋅5432112511=++=+3+2=626626a a a a ∴⨯⨯=6x ∴５５５＋y ＋z例3：设实数 ,b,c ,x ,,a y z 满足222333444555666++=1++=0++=2++=3++=4+b +=5ax by cz ax by cz ax by cz ax by cz ax by cz ax y cz ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ 求 777++ax by cz 的值 解：()()+3+2+1=++,2a =++-+++n n n n n n n n a ax by cz x y z a xy yz xz a xyza 设由定理得： 由于我们不需要求,,,x y z 故可令,()123++,=-++,=A x y z A xy yz xz A xyz = 则 +31+22+13=A ++n n n n a a A a A a ，由条件得 123456=1,=0,=2,=3,=4,=5a a a a a a 代入递推式可得11231232+3+2+112338=+0+2=33813+2+0=4=-2=-2+364+3+2=51=6n n n n A A A A A A A A a a a a A A A A ⎧⎪⋅⎧⎪⎪⋅⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩ 7654818116135=-2+=5-24+3=+=3636326a a a a ∴⨯⨯⨯例题4：实数a,b,c 取何值时，等式++++++++=++x,,ax by cz bx cy az cx ay bz x y z 对所有y z 都成立 解：令()()()(),,=1,1,1,0,0,1,1,-1,0x y z++=1||+||+||=1|++|=||+||+||=1,,,|-|+|-|+|-|=2bc 0,ac 0a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a ⎧⎪⇒⎨⎪⎩≥≥≥所以全部同号即ab 0， |-|||+||,|-|||+||,|-|||+||a b a b b c b c c a c a ≤≤≤()2=|-|+|-|+|-|2||+||+||=24a b b c c a a b c ⇒≤……（）()()()-0,-0,-00,0,0a b b c c a ab bc ca ⇒≥≥≥⇒≤≤≤()===0(,,)(0,0,1),0,1,0,(1,0,0)ab bc ac a b c ⇒±±±之后不难求出满足的数组为例题5、已知非零实数a,b,c 满足 ++=0a b c ，计算()()()()()2777222333444555++++++++++a b c a b ca b c a b c a b c ()()()123+3+2+12+13=++,=0,=-2++,=311=++-+++=+23n n n n n n n n n na abc a a ab bc ac a abca abc a ab bc ac a abca a a a a ⇒令 24223125233223111115=+=,=+=232236a a a a a a a a a a a a a ∴227253422332231115117=+=+=23263212a a a a a a a a a a a a ⋅⋅所以原式：222237223452322374912==156026a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 1、若()222222+-=0+-=00+=by cz ayz cz ax bxz abc ax by cxy ⎧⎪≠⎨⎪⎩，求()333++1:a b c abc 为定值 ()2222++x y y z x zz x y：也是定值2、设532()=-3+2+3+6f x x x x x ,求证：()()()337114-1(3)(7)(4-1)-141594-31(5)(4-3)n f f f n n f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅是正整数，且是的倍数3、若 ++=0a b c ，求证：()()555222333+b +++++a c a b c a b c 的值 4、设实数,,x,y a b 满足方程组：223344+=3+=7+=16+=42ax by ax by ax by ax by ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求66+ax by 的值。
200道代数式的恒等变形练习题
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59.已知实数 x1 、x2 、…、x2002 满足 x 1 1 x 2 1 x 2002 1 = 1 (x1+x2+…+x2002)则，x1+2x2+…+2002x2002 的 值为= 60.已知整数 a、b、c 满足不等式 a +b +c +42≤ab+9b+8c，则 a、b、c 分别等于 61. 已知实数 a, b, c 满足 a 2b 2, 且 ab 3 c 2 1 0 ，则 bc 的值为
4 ，则 x+y= 3
．
a1 a 2 a 3 a 4 k 且 a1+a2+a3+a4+a5≠0．则 k 的值为 a5
2 2
．
2 2
52.已知实数 a、b、x、y 满足 a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a +b )xy+ab(x +y )= 53.已知 x
。
2 6 1, y 2 ,那么 z 3 y z x
2 2
1 1 1 xy 2 z yz 2 x zx 2 y
2 2 2 2
19.已知 x、y 为正整数，且满足 2x +3y =4x y +1．则 x +y = 20.已知
yzx zx y x yz 3 2 =p．则 p +p +p= x yz yzx zx y
。
x2 y2 z2 x y z 34.已知实数 x，y,z 满足 1 ，则 yz zx x y yz zx x y
35.若实数 a 满足 a3 a2 3a 2
专题01代数式的恒等变形【2022中考数学专题复习高频考点拓展讲练】(原卷版)
专题1 代数式的恒等变形（原卷版）专题诠释：代数式的恒等变形是中考最常见的题型，恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。
通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+针对训练类型一 通过恒等变形求代数式的值典例1 设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，求m 2−n 2mn 的值．典例2 已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．针对练习11．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．2．已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：∵a +b ＝8 ab ＝15∴（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4又∵a ＞b∴a ﹣b ＞0∴a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√5，且x ＜0，求x +1x 的值．类型二 通过恒等变形求代数式的最值典例3 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ．典例4（2021秋•鼓楼区校级期末）阅读下面的材料，并解答后面的问题材料：将分式2x 2+4x−3x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式．解：由分母为x ﹣1，可设2x 2+4x ﹣3＝（x ﹣1）（2x +m ）+n ．因为（x ﹣1）（2x +m ）+n ＝2x 2+mx ﹣2x ﹣m +n ＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以2x 2+4x ﹣3＝2x 2+（m ﹣2）x ﹣m +n ，所以{m −2=4−m +n =−3，解得{m =6n =3，所以2x 2+4x−3x−1=(x−1)(2x+6)+3x−1=2x +6+3x−1． 这样，分式就被拆分成了一个整式2x +6与一个分式3x−1的和的形式， 根据你的理解解决下列问题：（1）请将分式3x 2+4x−1x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式5x 2+9x−3x+2拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m ﹣11+1n−6，求m 2﹣n 2+mn 的最大值．针对练习23．若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．类型三 通过代数式的恒等变形求字母的取值范围典例5已知：2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．针对训练34．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k y k x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。
200道代数式的恒等变形练习题
代数式的恒等变形1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab =6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2+3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17199562x y xy a b ++-+= .11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111()()()3+++++=-a b c b c a c a b， 则a+b+c= .12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ． 13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a- 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++=16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3=abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2=20.已知yx z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足242443,23++--+=++m n m mn m n n m n 则= ．22.已知a+b=8，ab=c 2+16，则a+2b+3c= ．23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004xy +的值是 。
代数式恒等变形及标准答案
代数式恒等变形A 卷1、若3265122-+-+=+--x bx a M x x x ,a 、b 是常数,则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、Ｍ是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++-=1236051b a M b a M M ,解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==831b a M 提示：利用待定系数法解决问题。
2、（2０0２年重庆市初中竞赛题)若012192=+-x x ，则=+441xx ( ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、427答案:C 解答:∵0≠x ∴2191=+x x ，411122=+xx ∴168921122244=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x x x x提示：本题的关键是利用211222-⎪⎭⎫⎝⎛+=+x x x x 进行化简。
３、（２0０1年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ )A 、２B 、4C 、6D 、8答案：D解答:∵143=-x x∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示:本题利用添项与拆项进行分解整体代入,本题也可以利用已知逐步降次解决问题。
4、（全国竞赛题)如果52332412---=----+cc b a b a ，则c b a ++的值是（ ) A 、6 B 、8 C 、20 D 、24 答案：C解答：∵52332412---=----+cc b a b a ∴()[]()[]()[]053293632142421121=+--+----+---++---c c b b a a∴()()()033212211222=-----+--c b a∴011=--a ，022=--b ，033=--c ∴2=a ,6=b ,12=c ∴20=++c b a提示:本题利用添项构造完全平方式解决问题。
数学竞赛中的代数式求值经典问题
数学竞赛中的代数式求值经典问题题型一、代数式恒等变形1.假设1,那么111a b c ab a bc b ca c ++++++++的值是( ) A ．1． B ．0． C ．-1． D ．-2．解析：1，那么a ，b ，c 均不为0．选A ．2．假设x 33=1000，且x 22496，那么(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)． 解析：由于x 33=1000，且x 22496，因此要把(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)分组、凑项表示为含x 33及x 22的形式，以便代入求值，为此有(x 33)+(42-2x 2y)-2(23)33+22-2x 2(x 33)-2(x 22)=1000-2(-496)=19923．假设m ＋n －p ＝0，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m p p m n p n m 111111－－－＋－的值等于．解析：3-，4．假设2，x 22=4，那么x 19921992的值是 ( )A ．4B ．19922C ．21992D ．41992解析：由2 ①平方得x 2-22=4 ②又x 22=4 ③所以x ，y 中至少有一个为0，但x 22=4．因此，x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x 19921992=01992+(±2)1992=21992，选C ．5．在等式2中,当1时2,当1时20,那么9b 2．解析：以12代入2得2 ①以120代入2得20 ②①-②,222，所以11．因此9．于是9b 2()+9b 2=(-11)×(9)+9×112=990．6．a ＋b ＝－3，a 2b ＋2＝－30，那么a 2－＋b 2＋11＝50．7．a a 1+2，那么441a a += 2 ； 441a a -= 0 . 8．如果m －m 1＝－3，那么m 3－31m ＝． 解析：36-，提示：32232211111()(1)()[()3] (3)[(3)3]36m m m m m m m m m m-=-++=--+=-⨯-+= 9．三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式,又可表示为0b a, 的形式,那么a 19921993.解析：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是1．于是1．所以，a19921993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．10．如图6，D点在△的直角边上上，且2，3，假设，，那么解析:勾股定理：m222=522n222=322 可得：m2 - n2 =16 11．7，22=49，33=133，44=406，试求1995()+617( )的值.2分析：7，22=49，33=133，44=406．形式很对称，很容易诱使你将7两边平方，再减去22=49，…想利用乘法公式算出，但一试发现此路不通．由于受所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同．事实上，平方后必出现a2x2及b2y2，而22中，a，b都不是平方，这一特点已经说明利用乘法公式去消项的方法很难走通．应及时转向，通过一项一项表示，往一起凑这个最根本的方式去做．解：显然2=492，2=4923=492，3=492y相加得13333=49()()即49()-71337()19 ①同理3=1333，3=1333 4=1333，4=1333y相加得40644=133()(22)即133()-4940619()-758 ②由①、②联立，设，得71919758,解得，即，由7，7得2=7，2=7相加得4922=7()()所以 1.5()=49-7×∴21此时即可求得-9-178.5=4800说明：此题虽然所用知识单元块均在初一学过，但解此题需要考生有较强的应变能力及观察综合能力，并且计算也要很细心，因此此题属于对学生数学素质综合检查的题目．此题改编自下面的问题“8，22=22，33=62，44=178，试求1995()+6之值〞．有兴趣的读者不防解一解看．答案是10011．再想一想，满足题设条件的a及b两数之与等于多少？你能独立地求出之值吗？(答3)题型二、多项式的带余除法1．设m2＋m－1＝0，那么m3＋2m2＋1997＝．解析：原式＝m3＋m2－m＋m2＋m－1＋1998＝m〔m2＋m－1〕＋〔m2＋m－1〕＋1998＝〔m2＋m－1〕〔m＋1〕＋1998由于m2＋m－1＝0，∴原式＝1998．2.如果x2－1=0，那么x3+2x2+3= 4 ．3.假设=+++=-+1855,013232x x x x x 则204．如果223x x +=，那么432781315x x x x ++-+=18。
代数式与恒等变形专题
代数式与恒等变形专题 一代数式与方程（组）3331999100099919991000999--⨯⨯ 解关于x 方程 2221m m m x ---=求6xy+4x-9y-7=0的整数解2222221299 (11005000220050009999005000)+++-+-+-+21310x x -+=求 441x x +个位数字x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0求22222235247x y z x y z++++ 分解因式 129631a a a a ++++求不定方程36x+83y=1的通解 解方程1112....10(1)(2)(9)(10)5x x x x x +++=+++++解方程组21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪++⎪=⎪++⎩33(1)2008(1)1(1)2008(1)1x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩求2()x y +二条件求值与证明a+b+c=0这3个数均不为0求222222222a b c a bc b ac c ab+++++ 已知x y z t y z t z t x t x y x y z ===++++++++求x y y z z t t xz t t x x y y z+++++++++++121,1a b b c +=+=求2c a + 111,1x y y z +=+=求1z x+232548x xy y x xy y +-=--求11x y - a b c d b c d a ===求a b c da b c d-+-+++22b a c b a b c a b b c a a b c +-++==++-++求a b a b +- 已知210a a --=求847a a+111a b a b -=+求2222a b ba +xyz=1,x+y+z=2, 22216x y z ++=求111222xy z yz x xz y+++++1x y zy z z x x y++=+++求222x y z y z x z x y +++++x+y=-1求43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++ 求证222()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a---++=++---------32222323231111111....()()()(...)(...)nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++++++++ =211....(...)nn x x x x x ++++1,,,12xy yz xz xyz a b a a b x y y z x z x y z =-==+=+++++求aa+b=1求证33222()113a b b a b a a b --=--+ 已知2220()()()a b cbc a ac b ab c ++=---求证2222220()()()a b cbc a ac b ab c ++=---a b cx y z==求证33332222()()a b c a b c x y z x y z ++++=++a+b=3,ab=1,c+d=4,cd=2且+a b c dB b c d c d a a b d a b c+++=+++++++求证222277+a b c d B b c d c d a a b d a b c +++=-+++++++ 33334968+a b c d B b c d c d a a b d a b c+++=-+++++++a+b+c+d=0, 33333a b c d +++=求abc+bcd+adc+adb111111 (23413181319)q p =-+-+-+p,q 互质且为正整数求证p 为1979的倍数222222b c c a a b a b c b c c a a ba b c---++---++ （x-36）(x-144)-1991是完全平方数求x221a b +=求证2()111b a b a a b a b --=++++x+y+z=2222x y z ++=求证22(1)(1)x yy x =-- 设p=a b a b -+,q=b c b c -+,r=c ac a-+求证（1+p ）(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)2221,2,3abc a b c a b c =++=++=求111111ab c bc a ac b +++-+-+-2520050x x --=求42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----3333()()()(),,,a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc++------至少一个不小于6x+y+z=0，2220x y z b c c a a b++=---求证222a x b y c z bcx acy abz ++=++11174,1,3x y z y z x +=+=+=求xyz422321410,322a ma a a a ma a ++++==++求1ma+c=b dx x -,a-c=dbx x-,a b ≠求证22221()()c a b d b d -=-+已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为已知32a b c ++=， 14b c a c a ba b cb c c a a b +-+-+-++= 求证这3个数中必有1个为16当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分为多少？。
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代数式的恒等变形1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009=2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ．3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab =6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n=9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17199562x y xy a b ++-+= .11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111()()()3+++++=-a b c b c a c a b ，则a+b+c= .12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a- 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++=15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++=16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3=abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知yx z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ．21.若正数m ，n 满足43,+=m n = ．22.已知a+b=8，ab=c 2+16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。
25.已知ac b =2．试把222c b a ++分解因式，则222c b a ++＝ 。
26.若()(1)6x y x y ++-=，则x y +＝ 。
27.若,b a c a c b c ba +=+=+那么abc a c cb b a ))()((+++= 。
28.已知实数a 、b 、x 、y 满足3,5ax by ay bx +=-=。
则()()2222a b x y ++= ．29.实数x 、y 、z 满足x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z 的最大值是 ．30.实数a,b 满足a 3+b 3+3ab=1,，则a+b= .31.分解因式：xy y y x x -+--42222= ．32.已知x ，y 满足，则x+y 的值为33.已知：a 2b 2-6ab+a 2-2a+10=0 ,a,b 为实数，则)20)(20(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值为 。
34.已知实数x ，y,z 满足1=+++++y x zx z yz y x，则222x y z y z z x x y ++=+++35.若实数a 满足322331132a a a a a a +-+=--，则1a a +的值为36.已知322(2)(1)1520060,2x x x x x ---+--==-则39.已知正实数a 、b 、c 满足方程组222229218225a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩,则a ＋b ＋c= 40.已知()()()214b c a b c a -=--且0a ≠，则b c a+＝ ． 42.已知,a b 为整数，且221111121111113a b a b a b a b a b ⎛⎫ ⎪⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-++⎝⎭满足，则a b +＝ 43.已知22214,a b c ++=a=b+c,则ab-bc+ac 的值为 。
44.设333199719961995z y x ==,0>xyz ,且22233319951996199719951996x y z ++ 31997,则zy x 111++= . 45.实数x 、y 满足x ≥y ≥1和2x 2-x y -5x +y +4=0 . 则x + y = 46.设a ，b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是______。
47.已知a 2b-3c b-2c 3a c 3a 2b 234++++==,则2c-3b a 3c 2b -a ++= ． 48.已知345x y y z z x==+++则222x y z xy yz zx ++++= 49.a 、b 、c 为不等于零的实数，a+b+c ＝0，则a(c 1b 1+)+b(a 1c 1+)+c(b 1a 1+)的值为 .50.已知实数x ，y 满足方程(x 2+2x+3)(3y 2+2y+1)=34，则x+y= ． 51.已知23451345124512351234a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++++==== 12345a a a a k a +++=且a 1+a 2+a 3+a 4+a 5≠0．则k 的值为 ． 52.已知实数a 、b 、x 、y 满足a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a 2+b 2)xy+ab(x 2+y 2)= 。
53.已知261,2+=+=x y y z ,那么3z x+= 。
54.因式分解：4x 2—4x －y 2+4y －3= ． 55.已知：a 、b 满足a 3-3a 2+5a ＝l ，b 3-3b 2+5b ＝5，则a+b ＝ . 56.计算：(3+1)2001-2(3+1)2000-2(3+1)1999+2 001=57.计算：22002=58.正实数x ，y,z 满足xy=54+x+y ，yz=34+y+z ，zx=76+z+ x ，那么x+y+z+xyz= .59.已知实数x 1、x 2、…、x 2002满足1x 1x 1x 200221-++-+- =21(x 1+x 2+…+x 2002)则，x 1+2x 2+…+2002x 2002的值为=60.已知整数a 、b 、c 满足不等式a 2+b 2+c 2+42≤ab+9b+8c ，则a 、b 、c 分别等于 ．61. 已知实数,,a b c 满足2a b =且2104ab +=，则bc a的值为 62.已知实数x ，y ，z 满足x+y ＝5及z 2＝xy+y 一9，则x+2y+3z ＝63.实数,,a b c 满足222617,823,214,a b b c c c +=-+=-+=则a b c ++的值为64.已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是 ．65.实数x,y 满足x 2-2x-4y=5，则x-2y 的取值范围是66.因式分解4x 3 -31x +15 =67.若实数x ，y ，z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 .68.已知32521322232826a b b c c a a b b c c a +-++-+===+++-+-,则232437a b ca b c ++-=-++69.已知实数a 、b 、c 满足a+b+c=0，2221++=a b c ，则444a b c ++的值是＿＿＿.70.如果实数a 、b 满足(a-2)2+b 2=3，则a b的最大值是 ．71.方程061y x 21y 311xy 32x 121122=+-+++的实数解是72.若实数x ，y 满足(x+1x 2+)(y+1y 2+)=1则x+y=73.满足a ＋b ＋c=0，abc=8的三个实数a ，b ，c 中，最大的一个实数至少等于74.已知,5,7823,132-=-+-=+--=-+c b c b c a c a b a b a 则c b a c b a 375436-+++= 75.已知a 2+bc=14，b 2-2bc=-6．则3a 2+4b 2-5bc= 76.如果2421x x x ++=14，那么4225353x x x-+= 77.如果实数x 、y 满足2x 2-6xy+9y 2-4x+4=0,那么x y =78.若13x x +=, 则33441713x x x x ++++= 79.若a,b,c 是实数,且a+b+c=23,a 2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)2009=80.若a,b,c 是实数,且a=2b+2,ab+32c 2+14=0,那么bc a 的值是 . 81.如果a 2-3a+1=0,那么361a a +的值是 ． 82.已知a ≥b ＞0且3a ＋2b －6=ac ＋4b －8=0，则c 的取值范围是 ．83.已知22112()0,0,0a b a b a b a b +≠≠++=+,那么a b的值是 ．． 84.已知abc ≠0,且a b c a b c a b c c b a+--+-++==,则()()()a b b c c a abc +++= ． 85.已知a 是实数，且使a 3＋3a 2＋3a ＋2＝0，那么（a ＋1）1996＋（a ＋1）1997＋（a ＋1）1998的值是 ．87.若a,b,c 为实数,且111,,345ab bc ca a b b c c a ===+++,那么abc ab bc ca=++ ． 88.已知1433a a +=，则531a a+的值等于 89.设a 2－b 2＝1＋2, b 2－c 2＝1－2，则a 4＋b 4＋c 4－a 2b 2－b 2c 2－c 2a 2的值等于 。
90.已知a 5－a 4b －a 4+a －b-1=0．且2a －3b=1，则a 3+b 3的值等于91.已知均为实数，且 ,92.x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6都是正数，且2345613456124561235612346123451234561,2,3,4,6,9,======x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 则x 1x 2x 3x 4x 5x 6=93.已知a ，b ，c ．d 为正整数，且4717(1),-+-==b d b d a c a c ，则ca 的值是94.若x 3+y 3=1000，且x 2y-xy 2=-496，则(x 3-y 3)+(4xy 2-2x 2y)-2(xy 2-y 3)= ．95.若a ，b ，c ，d 为整数，(a 2+b 2)(c 2+d 2)=1993，则a 2+b 2+c 2+d 2= ．96.若实数,x y ,满足22312120x y y +-+=，则x y =97.已知22,240x y y y -=+-=，则xy y -=99.若实数对(x ，y)满足(x-3)2+(y-3)2=6，则y x的最大值是 ． 100.分解因式：(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3＝ ． 101.若x-y ＝l ，x 3-y 3＝4，则x 13-y 13＝ ．102.已知：x y-xy y z-2yz x z-3zx x y 2xy y z 3yz x z 4zx +++==++++++，且231-x y z=，则x y z ++= 103.若(x-1)(y+1)＝3，xy(x-y)＝4，则x 7-y 7＝104.已知实数x 2=， 的值为 105.已知a 、b 、x 、y 为实数，且y+|x -2|-1=1-a 2，|x-4|=3y-3-b 2．则a+b+x+y=106.设x ，y 为正实数，且xy = 1． z = 1x 4 + 14y 4 最小值是 ．107.已知α是方程x 2＋x －14＝0的根，则354321ααααα-+--的值等于 . 108.若 a 4 + b 4 =a 2–2a 2b 2 +b 2+6，则a 2 + b 2 = .109.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为_______ 110.已知a ，b ，c 为整数，且a ＋b=2006，c －a=2005．若a<b ，则a ＋b ＋c 的最大值为 ． 111.已知实数a ，b ，c ，满足a+b+c=0，2226++=a b c ，则a 的最大值为 .112.已知240,4,mn p m n ++=-=则m+n 的值是 .113.=m-n 的值为114.若实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=9，那么代数式（a-b ）2+（b-c ）2+（c-a ）2的最大值为 •． 115.已知a ＜3，b ＞3，且1a b k ， ab=3,则k 的最小整数值是 ．116.若30350x y z x y z ，，且x 、y 、z 均为非负数，则542M x y z 的最大值为 .117.已知a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝4，那么a 4＋b 4＋c 4的值等于 ．118.已知实数a 、b 、c 满足a -b+c=7 , ab +bc +b+c 2+16 = 0.则ba 的值等于119.若实数a 满足a 3 + a 2 – 3a + 2 = 3a – 1a 2 – 1a 3 ，则 a + 1a = ．120.若a 4 + b 4 = a 2 - 2 a 2 b 2 + b 2 + 6 ,则a 2 + b 2 = .121.已知实数x 、y 满足22244690x xy y x -+-+=的平方根为___________. 122.已知1=-b a ，122-=-b a ，则=-20082008b a _________．123.已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足1114,9,16,,,4916bcdef acdef abdef abcef abcdf abcde a b c d e f ======，则（a ＋c ＋e ）－（b ＋d ＋f ）的值为124.设x 、y 为实数，代数式4284522++-+x xy y x 的最小值为 125. 已知,,x y z 为整数，且0,,x y zxy yz xz a b c ++===其中,,a b c 为不等于1的正数。