代数式恒等变形及答案

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005七年级下册第一章整式的运算(4)恒等式的证明

第一章整式的运算(4)第一部分例题解析代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．例1 已知x+y+z=xyz，证明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．“由繁到简”证因为x+y+z=xyz，所以左边=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右边．例2 若abc=1，求证1111=++++++++ccacbbcbaaba评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。

例3 已知bc=ad，求证：ab(c2-d2)=(a2-b2)cd 利用比例的性质证明：∵bc=ad ∴a/b=c/d,(a+b)/b=(c+d)/d, (a-b)/b=(c-d)/d,c/d=c/d将此三式左、右两边分别相乘得∴ab(c2-d2)=(a2-b2)cd评注：条件恒等式的证明常从已知条件出发推出结论。

第二部分巩固练习1、计算（x2-3x+n）（x2+mx+8）的结果中不含x2和x3项，则m、n的值为（）BA、m=0，n=0B、m=3，n=1C、m=-3，n=8D、m=-3，n=-92、如果一个多项式与（2x-3）的积是4x2-12x+9，那么这个多项式是（）AA、2x-3B、4x2+9C、8x2-27D、2x+33、若 4a2-2ka+9是一个完全平方的展开形式，试求k的值：（）BA、12B、±6C、6D、±124、下列计算正确的有（）A①、（-4m2a）3=-64m6a3②、(2m2x3)2=4m2x6③、a m-n=a m-a n④、6a n+2÷3a n-1=2a ⑤、(-a3)2=-a6A、1个B、2个C、3个D、4个5、若a、b是有理数，且a 2001+b 2001=0，则ＣA、a=b=0B、a-b=0C、a+b=0D、ab=06、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是( )A提示：(a+b+c)2≥0,得ab+bc+ca最小值A、27B、18C、15D、127、已知⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=200420012003200120022001x c x b x a ，则ca bc ab c b a ---++222的值是( )Ｄ A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、如果11111=++=++z y x z y x ，则下列说法正确的是( ) Ａ提示：先用Z 表示x,y ，讨论中可得到(x-1)(y-1)=0A 、x 、y 、z 中至少有一个为1B 、x 、y 、z 都等于1C 、x 、y 、z 都不等于1D 、以上说法都不对 9、已知=+-=-+-+=-+-+=++-+q q q q b a c c b a a c b b a c c b a a c b 23 ,则( )Ｄ提示：q 3+q 2+q=A*B*C+A*B+A=1A 、1B 、1-qC 、1-q 3D 、1-2q 210、已知a+b+c=10，a 2+b 2+c 2=38，a 3+b 3+c 3=160，则abc 的值是( )BA 、24B 、30C 、36D 、42提示：先求ab+bc+ca,再利用a 3+b 3+c 3公式求abc,再(a 2+b 2+c 2)2,及a 2b 2+ b 2c 2+ c 2 a 2=( ab+ bc+ c a)2,最终可求a ４+b ４+c ４11、已知()()()=+≠--=-a c b a a c b a c b ，则且0 412 212、已知a-b=2，b-c= -3，c-d=5，则(a-c) (b-d) ÷ (a-d)= -1/213、已知abc ≠0，a+b+c=0，则211111b 1a +⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a c a c b c 的值为提示：乘进去，再分组-114、计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011911311211 = 11/20 15、已知a 、b 、c 、d 均不为0，当a ≠b 且a d dc c b b a ===时，=-+++++ad c b d c b a 0 第三部分提高练习１、求证：2(a-b) (a-c)+2(b-c) (b-a)+2(c-a) (c-b)= (b-c)2+(c-a)2+(a-b)2２、求证：(a 2+b 2+c 2) (m 2+n 2+k 2) – (am+bn+ck)2=(an-bm)2+(bk-cn)2+(cm-ak)2(拉格朗日恒等式)３、若14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c)2，求证：a ∶b ∶c=1∶2∶3４、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3, 求证：a2001+b2001=c2001+d 2001提示：先用立方差公式得到a+b=c＋d=0,或ab=cd两种情况．第二种情况设ab=cd=m，代入a+b=c+d，分解因式．。

第11讲代数式恒等变形

11 代数式的恒等变形模块一基本代数式变形知识导航若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+-()()224x y x y xy -=+-()24422222x y x y x y +=+-||x y -=()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦若已知x ²－5x +1=0，可得x ＋1x=5，由此可以求出一些典型代数式的值： x ²＋21x =212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭22114x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24242112x =x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭1x x -=刻意练习1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值．2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x+的值．（2016—2017六中八上月考）若0＜x ＜1，13x =x +，则221x =x-________．练习（2016—2017汉阳区八上期末）已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b aa b +++的值为（） A ．2B ．83C ．4D ．349例2（1）已知13x x+=，求242________1x x x =++（2）已知2410a a ++=，且4232133a ma a ma a++++＝5，求m ．练习已知2421x x x ++＝14，则4225155_________3x x x -+=．已知2310a a-+=，求361aa+的值．例3（1）已知．1x＋1y＝2，求2322x xy yx xy y-+++（2）已知．232325x xy yx xy y+-=--，求11x y-练习已知()222224114,x y x yx y x y xy+++=+求．已知2222224360236,27057x y z x y z x y z x y z --=⎧++⎨+-=++⎩求．练习已知222230,(0)2340a b c ab bc acabc a b c a b c ++=⎧++≠⎨++=++⎩求．（1）a c a c a bk a b c+++===，求k 的值．（2）若0xyz ≠，且满足,y z x x z y x y zx y z+-+-+-==则()()()y z x x z y x y z xyz +-+-+-的值为多少？练习a b c b c c a a b ==+++，则22__________3a b ca b c++=+-．（1）已知111311,,a b c a b b c c a ++=+++++则________.a b cb c c a a b++=+++（2）已知x y z +＋yx z+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝_________．练习已知2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，则x y z +＋y x z+＋z x y +＝_________．模块三恒等变形的应用例7（2016—2017二中八上月考）某种产品的原料提价，因而厂家对产品进行提价，现有三种方案：（1）第一次提价p ％，第二次提价q ％；（2）第一次提价 q ％，第二次提价p ％；（3）第一次和第二次提价均为2p q+％，其中p ，q 是不相等的正数，三种方案中哪种提价最多？（提示：因为p ≠q ，则（p -q ）2=p 2-2pq +q 2>0，所以p 2+q 2>2pq ）（1）（2016—2017青山区八上期末）已知p =717m -1，Q =m 2-1017m （m 为任意实数），则P ，Q 的大小关系为（） A .P >Q B .P =Q C .P <Q D .不能确定（2）（2016—2017汉阳区八上期末）计算323220162201620142015220152017-⨯-+⨯-= .例8（学而思2017元旦综测第22题）已知Rt △ABC ，∠C =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I ，IE ⊥AB 于E ，IE =r ，（a ，b ，c ，r 都是常数）（1）请你写出△AIB 的面积，并证明；（ab =r （a +b +c ）；（2）求证：r =2a b c+-；（3）记△ABC 的面积为S ，求证：（12r c +）2≥2S .I rcbaE CBA挑战压轴题（2013—2014武昌区八上期末第24题）在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，且满足：()13a a a k c b b c-+==-+ （1）求证：k =232a c+；（2）求证：c >b ；（3）当k =2时，证明：AB 是的△ABC 最大边.第11讲代数式恒等变形A 基础巩固1.已知a 2-a =7，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（） A .3 B .72C .4D .52.（2016—2017硚口区八上期末）已知：x ≠3，ab =（x -3）0，a +b =3ab ，则a -b 的值为（）A B . C D .3.已知：114a b-=，则2227a ab ba b ab ---+的值为（） A .4 B .5 C .6 D .74.已知)11a b a b +=≠，则()()a b b a b a a b ---的值为 . 5.已知113m n -=，则333m mn nm mn n+---的值为 . 6.若y 0且满足123x y-=，则代数式918918x y x y +---的值为 .7.（2016—2017江汉区八上期末）已知多项式2x 2+3xy -2y 2-x +8y -6可以分解为（x +2y +m ）（2x -y +n ）的形式，那么3211m n +-的值是 .B 综合训练8.已知111109a b b c c a ++=+++，7c b a a b c a b c ++=+++，则a +b +c = . 9.已知a 2+2a -15=0，求22141.2213a a a a a a --++-++的值.10.实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，a 2+b 2+c 2=4，求222222222a b b c c a c a b+++++---的值.11.已知a ，b ，c ，d 满足a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.12.（2016-2017江汉区八上期末）计算32322016220162014201620162017-⨯-+-.。

第二讲：代数式的恒等变形

第二讲：专题复习：代数式的恒等变形【知识梳理】1、恒等式的意义两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等。

2、代数式的恒等变形把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形。

恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。

3、基本思路（1）由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；（2）两边同时变形为同一代数式；（3）证明：0=-右边左边，或1=右边左边，此时0≠右边。

4、基本方法在恒等变形的过程中所用的方法有配方法、消元法、拆项法、综合法、分析法、比较法、换元法、待定系数法、设参数法以及利用因式分解等诸多方法。

【例题精讲】【例1】已知1=abc ，求证：1111=++++++++c ac c b bc b a ab a 。

思路点拨：由繁到简，化简左边，使左边等于右边。

【巩固】已知z y x 、、为三个不相等的实数，且xz y y x 1z 11+=+=+，求证：1222=z y x 。

【拓展】若0≠++z y x ，yx z c z x y b z y x a +=+=+=，，，求证：1111=+++++c c b b a a 。

【例2】证明：a a z a y a x aaz z a ay y a ax x 3111222+-+-+-=-+-+-。

思路点拨：本题可采用比差法以及拆分法两种方法进行证明。

【巩固】1、求证⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab ab b b a a ab ab b b a a 1114111222。

2、求证：()()()()()()d c b a a d c b d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++=+++++++++++。

【拓展】求证：()()()()()()11011921110111100209644122222+-+++-++-=-++-+-+-x x x x x x x x x x 【例3】已知ac a c z c b c b y b a b a x +-=+-=+-=，，，求证：()()()()()()z y x z y x ---=+++111111思路点拨：左边和右边，变形为同一个代数式。

代数式与恒等变形专题

代数式与恒等变形专题一代数式与方程（组）3331999100099919991000999--⨯⨯ 解关于x 方程 2221m m m x ---=求6xy+4x-9y-7=0的整数解2222221299 (11005000220050009999005000)+++-+-+-+21310x x -+=求 441x x +个位数字x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0求22222235247x y z x y z++++ 分解因式 129631a a a a ++++求不定方程36x+83y=1的通解解方程1112....10(1)(2)(9)(10)5x x x x x +++=+++++解方程组21232(1)(2)43xy xx y xz xx z y z y z +⎧=⎪++⎪+⎪=⎨++⎪++⎪=⎪++⎩33(1)2008(1)1(1)2008(1)1x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩求2()x y +二条件求值与证明a+b+c=0这3个数均不为0求222222222a b c a bc b ac c ab+++++ 已知x y z t y z t z t x t x y x y z ===++++++++求x y y z z t t xz t t x x y y z+++++++++++121,1a b b c +=+=求2c a + 111,1x y y z +=+=求1z x+232548x xy y x xy y +-=--求11x y - a b c d b c d a ===求a b c da b c d-+-+++22b a c b a b c a b b c a a b c +-++==++-++求a b a b +- 已知210a a --=求847a a+111a b a b -=+求2222a b ba +xyz=1,x+y+z=2, 22216x y z ++=求111222xy z yz x xz y+++++1x y zy z z x x y++=+++求222x y z y z x z x y +++++x+y=-1求43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++ 求证222()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a---++=++---------32222323231111111....()()()(...)(...)nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++++++++ =211....(...)nn x x x x x ++++1,,,12xy yz xz xyz a b a a b x y y z x z x y z =-==+=+++++求aa+b=1求证33222()113a b b a b a a b --=--+ 已知2220()()()a b cbc a ac b ab c ++=---求证2222220()()()a b cbc a ac b ab c ++=---a b cx y z==求证33332222()()a b c a b c x y z x y z ++++=++a+b=3,ab=1,c+d=4,cd=2且+a b c dB b c d c d a a b d a b c+++=+++++++求证222277+a b c d B b c d c d a a b d a b c +++=-+++++++ 33334968+a b c d B b c d c d a a b d a b c+++=-+++++++a+b+c+d=0, 33333a b c d +++=求abc+bcd+adc+adb111111 (23413181319)q p =-+-+-+p,q 互质且为正整数求证p 为1979的倍数222222b c c a a b a b c b c c a a ba b c---++---++ （x-36）(x-144)-1991是完全平方数求x221a b +=求证2()111b a b a a b a b --=++++x+y+z=2222x y z ++=求证22(1)(1)x yy x =-- 设p=a b a b -+,q=b c b c -+,r=c ac a-+求证（1+p ）(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)2221,2,3abc a b c a b c =++=++=求111111ab c bc a ac b +++-+-+-2520050x x --=求42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----3333()()()(),,,a b c b c a c a b a b c abc abc abc abc++------至少一个不小于6x+y+z=0，2220x y z b c c a a b++=---求证222a x b y c z bcx acy abz ++=++11174,1,3x y z y z x +=+=+=求xyz422321410,322a ma a a a ma a ++++==++求1ma+c=b dx x -,a-c=dbx x-,a b ≠求证22221()()c a b d b d -=-+已知对于任意正整数n ，都有312n a a a n +++= ，则23100111111a a a +++=--- ．已知2=+b a ，4)1()1(22-=-+-ab b a ，则ab 的值为已知2111=++z y x ，3111=++x z y ，4111=++y x z ，则zy x 432++的值为已知32a b c ++=， 14b c a c a ba b cb c c a a b +-+-+-++= 求证这3个数中必有1个为16当x 分别取值20071，20061，20051，…，21，1，2，…，2005，2006，2007时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于设33331111S 1232011＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分为多少？。

恒等证明-第九讲代数式的恒等变形教师版

解以10乘方程的两边，原方程可写成
（10 +13）2(10 +13+3)(10 +13—3)=10,
（10 +13）2[(10 +13)2__9]=10
即(10 +13)4__9(10 +13)2__10=0,
[(10 +13)2+1][(10 +13)2__10]=0.
(10 +13)2=-1在实数范围无解,
=
=
= .
∵m、n为整数，∴ 及均为整数.故是9的倍数。
8.令，原方程化为，，化解得，则或（舍去）.由，解得或-4.
9.由，知，且-1≤ ≤1，
当时，最大，当时，最小，所以当时
有最大值，当时，有最小值-2.
10.将已知等式变形为，得由判断 .
11.∵ 不是3的倍数，∴a、b不同余，故设a、b分别为和（m、n为整数），那么
∴k2=
又1≤a+b≤18, 是整数，∴a+b=11,故（1）
用a=1、2、3，…，9代入（1）式，只有a=7、k=8才满足，∴ .
5.设以代入得，即，由于是整数，所以（Ⅰ）和（Ⅱ）
解（Ⅰ）得，解（Ⅱ）得，∴ .
6.要使和有意义，必须 .因此，∴ .
7.原方程化为，再解方程组得解 .
解 ∵
例3 化简
分析由条件，得
这样原式通过恒等变形后便可化简。
解 ∵ ，
∴
化简问题应根据题目本身特点运用分解因式、分式、根式等基本概念和运算法则，作适当的恒等变形简化运算过程。
二、求值问题
例2
分析与思考直接计算难以办到，设想将原式三次方后会出现什么情形？根据乘法公式，它可以看成是关于为一个元的方程。这样本题转化为求方程的根了。

02-代数恒等变形

代数恒等变形一、多项式降幂若x 是已知二次方程20x px q ++=的一个根，则可利用表达式2x px q =--对关于x 的多项式进行降幂化简。

二、绝对值的几何含义与三角不等式1、||x a -表示数轴上x 与a 之间的距离。

2、||||||x a x b a b -+-≥-。

3、对于若干个||k x a -型绝对值情况：将所有绝对值按零点从小到大进行排列，若有偶数个绝对值，则在中间两个绝对值的零点之间取到最小值；若有奇数个绝对值，则在中间一个绝对值的零点处取到最小值。

三、轮换对称式凡是关于,a b 的二元轮换对称有理式都可以通过,a b ab +表示出来。

例题1、已知实数x 是一元二次方程230x x --=的一个根，求43221033x x x x +---的值。

例题2、设θ是三次多项式3()310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=，若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则(0)h =A . -2B. 12-C. 2D. 12例题3、若222525x y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，且x y ≠，则32232x x y y -+= 。

例题4、求()|1|2|2|2|3|f x x x x =-+-+-的最小值。

例题5、求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++-的最小值.例题6、如果一个只有12项的数列{}i x 满足||1,1,2,3,12i x i ==，并且满足12126x x x +++=，试问满足条件的数列一共多少个？例题7、实数122013,,,a a a 满足1220130a a a +++=，且满足122320131|2||2||2|a a a a a a -=-==-，求证：1220130a a a ====。

第二十四讲代数式的恒等变形

代数式的恒等变形例题求解【例1】已知有理数x ，y ，z 满足)(2121z y x z y x ++=-+-+，那么(x —yz)2的值为． (2001年北京市竞赛题)【例2】若32211-=+=-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．1459 C ．29D ．6。

(2004午武汉市选拔赛试题)【例3】怎样的整数a 、b 、c 满足不等式：c b ab c b a 233222++<+++． (匈牙利数学奥林匹克试题)【例4】求方程m 2－2mn+14n 2=217的自然数解． (上海市竞赛题)【例5】求实数 x 、y 的值，使得(y －1)2+(x+y －3)2+(2x+y －6)2达到最小值．、【例6】为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求AC ＝AH=CF=CG ，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由．学历训练1．若03)(2222=+++-++c b a c b a ，则=-++abc c b a 3333 ． (2003年江西省中考题)2．设2122+=-b a ，2122-=-c b ，则222222444a c c b b a c b a ---++的值等于． (第1l 届“希望杯”邀请赛试题) 3．分解因式：32422+++-b a b a = ．4，已知实数 x 、y 、z 满足5=+y x ，92-+=y xy z ，那么z y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题)5．若实数x 、y 满足052422=+--+y x y x ，则xy y x 23-+的值是（）A ．1B ．223+ C ．223+ D ．2326．已知20001999+=x a ，20011999+=x b ，20021999+=x c ，则多项式ac bc ab c b a ---++222的值为( )A ．0B ．1C ． 2D ．3 (2002年全国初中数学竞赛题)7．整数x 、y 满足不等式y x y x 22122+≤++，则x+y 的值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (第14届“希望杯”邀请赛试题) 8．化简312213242--+为( )A ．5－43B ． 43－lC ．5D ． 1 (2003年天津市竞赛题)9．已知正整数 a 、b 、c 满足不等式c b ab c b a 8942222++<+++，求a 、b 、c 的值．(江苏省竞赛题)10．已知x 、y 、z 为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x ，求222z y x ++的最小值．(第12届“希望杯”邀请赛试题)11．实数x 、y 、z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x yx ，则z y x +2的值为．12．若521332412---=----+c c b a b a ，则a+b+c 的值为．13．x 、y 为实数，且y xy y x 24222+≤++，则x 、y 的值为x= ，y= ．14．已知941012422+++-=y y xy x M ，那么当x= ，y= 时，M 的值最小，M 的最小值为．15．已知4=-b a ，042=++c ab ，则a+b ＝( )A ．4B ．0C ．2D ．－2。

数学方法01_恒等变形法

第一篇恒等变形法
恒等变形法：在代数式的变形过程中，往往要求形变值不变，而变化后新得到的形式，恰是有利于结论的推导的。

此法包括因式分解法、配方法、降幂法等
例1 解方程：22(1997)(1996)1x x -+-=
例2 在满足23,0,0x y x y +≤≥≥的条件下，求2x y +能达到的最大值
例3 如果20a b +=，求
12a a b b
-+-的值
例4 证明：没有一个自然数n ，能使6543235154123n n n n n n +--+++的值是某个自然数的平方
例5 证明：任一偶数是表达式2221112456x xy y x y +++++的值，其中变量x 和y 取任一整数值
例6 已知1,1a b ab +==-，求77a b +的值
例7 求方程32103x x x ---
=的实数解
例8 设122006,,x x x 都是+1或-1，证明12320062320060x x x x ++++≠
回家作业
（1）若分数()104()33
-⨯ +中，括号（）内是一个三位自然数，为了使该分数成为一个可约分数，（）内最小、最大的三位数是_________
（2）使22231
x x A x x --=-+为整数的一切整数x 为________________
（3）证明：n 为任何整数，形如2912n n ++的数，不能被121整除。

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第 1 页共 6 页代数式恒等变形 A卷 1、若3265122xbxaMxxx，a、b是常数，则（） A、M是一个二次多项式 B、M是一个一次多项式 C、6baM D、10Mba 答案：C

解答：由已知等式得：6522656512222xxbMxbaMMxxxx

∴bMxbaMMxx226522

∴1236051baMbaMM，解得：831baM 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192xx，则441xx（） A、411 B、16121 C、1689 D、427 答案：C 解答：∵0x

∴2191xx，411122xx

∴168921122244xxxx

提示：本题的关键是利用211222xxxx进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143xx，则552128234xxxx的值是（） A、2 B、4 C、6 D、8 答案：D 解答：∵143xx ∴8523252434255212833234xxxxxxxxxxxx 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。第 2 页共 6 页

4、（全国竞赛题）如果52332412ccbaba，则cba的值是（） A、6 B、8 C、20 D、24 答案：C

解答：∵52332412ccbaba

∴053293632142421121ccbbaa ∴033212211222cba ∴011a，022b，033c ∴2a，6b，12c ∴20cba 提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。

5、（第16届“希望杯”初二年级竞赛题）已知a是整数，x、y是方程012ayaxxyx

的整数解，则__________yx或 . 答案：1 解答：原方程可以变形为：1yxayxx

即1axyx ∵a、x、y都是整数

∴11axyx或11axyx 故1yx 提示：本题利用方程的解的特殊解决问题。

6、（2001年全国初中竞赛“创新杯”广西赛区题）已知2323x，2323y，那么____________22xyy

答案：970 解答：由题意得：1xy，10yx

故原式970322233xyxyyxyxxyyx 提示：类似已知x、y的值求关于x、y代数式的问题，通常将x、y的问题转化为yx，yx，xy来解决。第 3 页共 6 页

7、（2001年河北省初中竞赛试题）已知21xx，那么191322xxxxxx的值为 . 答案：111155 解答：∵21xx

∴911311191322xxxxxxxxxx111155

提示：本题利用方程变形，然后整体代入解答。 8、（2000年“五羊杯”竞赛题）已知43322accbba，求bacba98765的值。

解：令kaccbba43322，则 kba2，kcb32，kac43 解得：ka511，kb521，kc53

∴1015051011098765kkbacba

提示：本题关键是引入参数，将多个字母的问题转化为同参数有关，进而化简。 B卷

9、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）x、y、m均为正整数，且满足myxyx522973，那么__________m. 答案：20

解答：由已知myxyx522973

由①得：yx72931③ 将③代入②得：myy572932，即yym5314358 ∴0583my，即3

58m

又由①得：xy32971 代入②得：mxx329752，即mxx71571452

① ② 第 4 页共 6 页

∴07145mx，即7

145m

∴752071453583119m ∵m是整数 ∴20m 提示：本题利用m是参数，解关于x、y的方程，然后利用0x，0y建立关系m的不等式组求解。 10、设n为正整数，求证：2112121531311nn

证明：12121531311nn







1211215131311121nn

211211121n 提示：本题利用了1211212112121nnnn拆项化简求证。

11、已知aax1，试求代数式224242xxxxxx的值。

解：∵011aaaax ∴01a 把aax1两边同时平方得：21aax

∴aax12 ∴2144222aaxx

∴22221214aaaaxx

∴aaaaxx11422 原式2221111aaaaaaaaaaa 提示：本题利用211222xxxx化简求值。第 5 页共 6 页

12、（2001年全国初中联赛题）设ttttx11，tttty11，t取何值时，代数式22204120yxyx的值为2001.

解：由题设知：1xy

又∵12121112tttttttttx 12121112ttttttttty

∴24tyx ∴12420202041202222txyyxyxyx 由题意得：200120412022yxyx，即124202t 解得：21t，32t（舍去）故当2t时，代数式22204120yxyx的值为2001. 提示：类似已知x、y的值求关于x、y代数式的问题，通常将x、y的问题转化为yx，yx，xy来解决。

C卷

13、（2004年第九届华罗庚金杯赛）关于x、y的方程组921051088965543ynmxyxmnyxyx有解，求22nm

的值。解：把从上到下四个方程依次记做（1）、（2）、（3）、（4）

（1）×2+（3）得：068xmn；（2）-（4）得：02106ynm 如果把0x，0y代入方程组，则（1）（2）不可能成立，故x、y均不为0.则只能有

02106068nmmn

，解得139m，136n

故13916911722nm 14、某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设别投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费用为第 6 页共 6 页



500141x元。

（1）如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y（元）表示为使用天数x（天）的关系式；解：设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：

xxy50041500241500141500041500000

874998500000xxy （2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废。问该设备投入使用多少天应当报废？

解：874998500000xxy879998749985000002xx 当且仅当8500000xx时，即2000x天时取等号故这台这设备投入使用2000天应当报废。注：在解本题时，可能要用到以下两个数学知识点（如果需要可以直接引用一下结论：

①对于任意正整数n，下列等式一定成立：214321nnn；

②对于确定的正整数a、b以及在正实数范围内取值的x，一定有babxaxbxxa22成立；可以看出，ba2是一个常数，也就是说bxxay有最小值ba2，而且当bxxa时，y取得最小值。