整式恒等变形
奥数知识点汇总初一
奥数知识点汇总（初一）第一章 整数一、整数的几种表示方法：选择适当的方法表示一个整数，是解决整数问题的基本方法之一。
它是解决整数问题的前提。
1、整数的多项式表示法：任何一个十进制的正整数N 都可表示为：12121010101010n n n n N a a a a a --=⨯+⨯++⨯+⨯+，这里n a 、1n a -、……2a 、1a 、0a 各取于0——9这十个数字中的任何一个。
如果N 是一个n+1位正整数，则n a ≠0。
为了方便，也可将N 简记作110N n n a a a a =-——————————————。
这种表示法称为整数的多项式表示法。
整数最左边的一位数字n a 叫做整数N 的首位数字，最右边的一位数字0a 叫做整数N 的末位数字。
2、整数的质因数连乘积表示法：（1）算术基本定理——每一个大于1的整数都能分解成质因数的乘积的形式，并且如果把质因数按照由小到大的顺序排在一起（相同因数的积写成幂的形式），那么这种分解方法是唯一的。
这就是说，任何一个整数N （N ＞1），都能唯一地表示成下面的形式：其中1α，2α，……n α为自然数，12,,,n p p p 为质数，并且1p ＜2p ＜……＜n p 。
这种表示法称为整数的质因数连乘积表示法，又称为整数N 的标准分解式。
（2）约数个数定理——一个整数N （N ＞1），如果它的标准分解式为1212n n N p p p ααα=,那么它的约数个数为（1＋1α）（1＋2α）……（1＋n α）。
另外，如果一个正整数N 的约数个数是奇数，那么这个正整数N 是完全平方数。
3、整数的带余式表示法：如果整数a 除以正整数m 所得的商是q ，余数是r ，那么a ＝mq+r ，其中q 、r 都为整数，并且0≤r ≤m －1。
这种表示法称为整数的带余式表示法。
如果整数a 、b 分别除以正整数m 所得得余数都是r ，即a=mp+r ，b ＝mq+r(p 、q 为整数)，那么称a ，b 对于模m 同余，记作a ≡b(mod m)。
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形
初一数学竞赛系列讲座(6)整式的恒等变形一、知识要点1、 整式的恒等变形把一个整式通过运算变换成另一个与它恒等的整式叫做整式的恒等变形2、 整式的四则运算整式的四则运算是指整式的加、减、乘、除，熟练掌握整式的四则运算，善于将一个整式变换成另一个与它恒等的整式，可以解决许多复杂的代数问题，是进一步学习数学的基础。
3、 乘法公式乘法公式是进行整式恒等变形的重要工具，最常用的乘法公式有以下几条： ① (a+b) (a-b)=a 2-b 2② (a±b)2=a 2±2ab+b 2③ (a+b) (a 2-ab+b 2)=a 3+b 3④ (a-b) (a 2+ab+b 2)=a 3-b 3⑤ (a+b+c)2= a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca⑥ (a+b+c) (a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)= a 3+b 3+c 3-3abc⑦ (a±b)3= a 3±3a 2b+3a b 2±b 34、 整式的整除如果一个整式除以另一个整式的余式为零，就说这个整式能被另一个整式整除，也可说除式能整除被除式。
5、 余数定理多项式()x f 除以 (x-a) 所得的余数等于()a f 。
特别地()a f =0时，多项式()x f 能被(x-a) 整除二、例题精讲例1 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析 要得最小非负数，必须通过合理的添符号来产生尽可能多的“0”解 因1+2+3+…+1998=()19999992199811998⨯=+⨯是一个奇数， 又在1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并不改变其代数和的奇偶数，故所得最小非负数不会小于1。
先考虑四个连续的自然数n 、n+1、n+2、n+3之间如何添符号，使其代数和最小。
很明显 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0所以我们将1，2，3，…，1998中每相邻四个分成一组，再按上述方法添符号， 即(-1+2)+(3-4-5+6)+ (7-8-9+10)+…+ (1995-1996-1997+1998)= -1+2=1故所求最小的非负数是1。
整式,分式,因式分解,二次根式解题技巧
1.整式用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．只含有数与字母的积的代数式叫单项式．注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如：b a 2314-这种表示就是错误的，应写成：b a 2313-．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．如：c b a 235-是六次单项式．几个单项式的和叫多项式．其中每个单项式叫做这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫做常数项．多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．单项式和多项式统称整式．用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫代数式的值．注意：(1)求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入(2)求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，利用“整体”代入．2.同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．注意：(1)同类项与系数大小没有关系；(2)同类项与它们所含字母的顺序没有关系．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．去括号法则1：括号前是“＋” ，把括号和它前面的“＋”号一起去掉，括号里各项都不变号．去括号法则2：括号前是“－” ，把括号和它前面的“－”号一起去掉，括号里各项都变号．整式的加减法运算的一般步骤：(1)去括号；(2)合并同类项．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．如：n m n m a a a +=⋅(n m ,都是正整数)．幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．如：()mn n m a a =(n m ,都是正整数)．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所有的幂相乘．如：()n n n b a ab =(n 为正整数)．单项式的乘法法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注意：单项式乘以单项式的结果仍然是单项式．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．如：()mc mb ma c b a m ++=++(c b a m ,,,都是单项式)．注意：①单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．②计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项．①平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；②完全平方公式：2222)(b ab a b a ++=+，2222)(b ab a b a +-=-；③立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+④立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-；⑤ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．注意：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式．同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：n m n m a a a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a aa p p ,0(1≠=-为正整数)． 单项式的除法法则：单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里面含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式的运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．注意：这个法则的适用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这么计算的3．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．注意：(1)因式分解专指多项式的恒等变形，即等式左边必须是多项式．例如：23248a ab b a ⨯=；()111+=+a aa a 等，都不是因式分解． (2)因式分解的结果必须是几个整式的积的形式．例如：()c b a c b a ++=++222，不是因式分解．(3)因式分解和整式乘法是互逆变形．(4)因式分解必须在指定的范围内分解到不能再分解为止．如：4425b a -在有理数范围内应分解为：()()222255b a b a -+；而在实数范围内则应分解为：()()()b a b a b a 55522-++．1、提公因式法：如果多项式的各项都含有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．提公因式法的关键在于准确的找到公因式，而公因式并不都是单项式；公因式的系数应取多项式整数系数的最大公约数；字母取多项式各项相同的字母；各字母指数取次数最低的．2、运用公式法：把乘法公式反过来，可以把符合公式特点的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．平方差公式：()()b a b a b a -+=-22．完全平方公式：()2222b a b ab a +=++；()2222b a b ab a -=+-．立方和公式：()()2233b ab a b a b a +-+=+．立方差公式：()()2233b ab a b a b a ++-=-．注意：运用公式分解因式，首先要对所给的多项式的项数，次数，系数和符号进行观察，判断符合哪个公式的条件．公式中的字母可表示数，字母，单项式或多项式．3、分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键是合理的选择分组的方法，分组时要预先考虑到分组后是否能直接提公因式或直接运用公式．4、十字相乘法：()()()q x p x pq x q p x ++=+++2．5、求根法：当二次三项式c bx ax ++2不易或不能写成用公式法或十字相乘法分解因式时，可先用求根公式求出一元二次方程02=++c bx ax 的两个根21,x x ，然后写成：()()212x x x x a c bx ax --=++．运用求根法时，必须注意这个一元二次方程02=++c bx ax 要有两个实数根．因式分解的一般步骤是：(1)如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；(2)在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的次数：二项式可以尝试运用公式法分解因式；三项式可以尝试运用公式法、十字相乘法或求根法分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试分组分解法分解因式；(3)分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止．4. 分式一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成B A 的形式．如果B 中含有字母，式子BA 就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式．注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别；(2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义；(3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零．把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母 分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)． 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如： BA B A B A B A --=--=--= 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n 10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小． (1)b a b a 41313121-+；(2)22226.0411034.0y x y x -+． 分析：第(1)题中的分子、分母的各项的系数都是分数，应先求出这些分数所有分母的最小公倍数，然后把原式的分子、分母都乘以这个最小公倍数，即可把系数化为整数；第(2)题的系数有分数，也有小数，应把它们统一成分数或小数，再确定这个适当的数，一般情况下优先考虑转化成分数．解：(1)b a b a b a b a b a b a 344612413112312141313121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+； (2)()()()2222222222222222125568560253040100)6.025.0(1003.04.06.0411034.0y x y x y x y x y x y x y x y x -+=-+=⨯-⨯+=-+ 222212568yx y x -+=． 1、分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是： n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛(n 为整数)． 3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cb ac b c a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbc ad d c b a ±=±． 分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的． 例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 解：原式7175********+++++++-+++-+++=x x x x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++=711511311111x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=71513111x x x x ()()()()752312++-++=x x x x ()()()()()()()()7531312752++++++-++=x x x x x x x x ()()()()75316416+++++=x x x x x ． 点评：本题考查在分式运算中的技巧问题，要认真分析题目特点，找出简便的解题方法，此类型的题在解分式方程中也常见到．5.二次根式 式子)0(≥a a 叫做二次根式，二次根式必须满足：①含有二次根号“” ；②被开方数a 必须是非负数．如5，2)(b a -，)3(3≥-a a 都是二次根式若二次根式满足:①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式，如a 5，223y x +，22b a +是最简二次根式，而b a ，()2b a +，248ab ，x 1就不是最简二次根式．化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式．注意：当几个二次根式的被开方数相同时，也可以直接看出它们是同类二次根式．如24和243一定是同类二次根式．合并同类二次根式就是把几个同类二次根式合并成一个二次根式．合并同类二次根式的方法和合并同类项类似，把根号外面的因式相加，根式指数和被开方数都不变．把分母中的根号化去，叫分母有理化．如=+131 )13)(13(13-+-2131313-=--=． 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．如1313-+和；2323-+和；a 和a ；a b a a b a -+和都是互为有理化因式．注意：二次根式的除法，往往是先写成分子、分母的形式，然后利用分母有理化来运算．如22133)7(32133)73)(73()73(3733)73(322+=-+=+-+=-=-÷． (1))0()(2≥=a a a ． (2)⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab ．(4))0,0(>≥=b a ba b a 二次根式的加减法法则：(1)先把各个二次根式化成最简二次根式；(2)找出其中的同类二次根式； (3)再把同类二次根式分别合并．二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．即：ab b a =⋅(0,≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况．二次根式的除法法则：两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变，即：b a ba=(0,0>≥b a )．此法则可以推广到多个二次根式的情况． 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．例1、计算：6321263212--+++--．分析：此题一般的做法是先分母有理化，再计算，但由于6321+--分母有理化比较麻烦，我们应注意到6321+--()()1312--=；()()13126321-+-=--+，这样做起来就比较简便． 解：6321263212--+++-- ()()()()1312213122-+---= ()()()()2131********+--++=()()131212++-+= ()132+= 232+=．例2、计算：()()()()751755337533225++++-+++-． 分析：按一般的方法做起来比较麻烦，注意题目的结构特点，逆用分式加、减法的运算法则“aba b b a ±=±11”进行变换，进而运用“互为相反数的和为零”的性质来化简． 解：()233525+-+=- ；()355737+-+=-，∴原式751751531531321+++-+++-+= 321+= 23-=．例3、已知273-=x ，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，求b a b a +-的值．分析：先将x 分母有理化，求出b a ,的值，再求代数式的值．解： 27273+=-=x ， 又372<< ，54<<∴x ．27427,4-=-+==∴b a ． ()()()()()()272727762776274274-+--=+-=-+--=+-∴b a b a 31978-=． 二次根式的化简技巧一、 巧用公式法例1计算b a ba b a ba b a +-+-+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0，()0≠-b a 而同时公式：()b a -2=a 2-2ab +b 2，a 2-2b =()b a +()b a -，可以帮助我们将b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些
整式乘法中的恒等变形技巧有哪些整式乘法中的恒等变形技巧，那可是数学学习中的一把神奇钥匙！咱们一起来瞧瞧都有哪些好用的技巧。
先来说说“提取公因式法”。
这就好比从一堆水果中挑出大家都有的那个共同特点，比如式子“3x ＋6”，这里 3 就是公因式，咱们一提出来，就变成 3(x ＋ 2)啦。
我记得有一次给学生们讲这个，有个小调皮一直搞不明白，我就拿他们爱吃的糖果举例，说假如有 3 颗红色糖果和 6 颗蓝色糖果，咱们可以先把 3 颗这个共同的数量提出来，就相当于把这些糖果分成了 3 份，一份是 1 颗红色和 2 颗蓝色。
这么一说，那小调皮恍然大悟，眼睛都亮了起来。
再讲讲“公式法”，这里面最常用的就是平方差公式和完全平方公式。
平方差公式(a ＋ b)（a b) ＝ a² b²，就像两个人比赛跑步，速度快的和速度慢的一比较，差距就出来了。
完全平方公式(a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋b²呢，就像是给一个小房子搭建框架，长、宽和面积的关系一目了然。
还有“分组分解法”，这招有点像整理书包，把不同类的东西先分分组，再分别处理。
比如说对于式子“ax ＋ ay ＋ bx ＋by”，咱们可以把含 x 的放一组，含 y 的放一组，即 a(x ＋ y) ＋ b(x ＋ y)，然后再提取公因式(x ＋ y)，就变成了（a ＋ b)（x ＋ y)。
“十字相乘法”也是个厉害的角色。
这就像是拼图游戏，要找到合适的数字组合。
比如对于式子“x² ＋ 5x ＋6”，咱们要找到两个数，它们相加等于 5，相乘等于 6，那就是 2 和 3，所以就可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3)。
在实际解题中，这些技巧往往不是单独使用的，而是要灵活组合，就像炒菜要放各种调料一样，搭配好了才能做出美味的“数学大餐”。
我曾经碰到过一道题，式子长得那叫一个复杂“4x² 12xy ＋9y² 25”，一开始好多同学都被吓住了。
初中数学竞赛——整式的恒等变形(二)
第5讲 整式的恒等变形（二）典型例题一. 基础训练【例1】 当341x y z -+=，222x y z +-=时，化简：222232108x xy y xz yz z --++-的结果是（ ）(A ) 1 (B ) 0 (C ) 2x - (D ) 2x -【例2】 若222214()(23)a b c a b c ++=++，求::a b c .【例3】 设a 、b 、c 为有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=.求证：对任意正奇数n ，都有0n n n a b c ++=.【例4】 已知x y z a ++=，xy yz zx b ++=，xyz c =，用a 、b 、c 表示22222xy x y yz y z z x ++++2x z +.【例5】 设32x mx nx r +++是x 的一次式的完全立方式，求证：23mr n =.【例6】 求证：222-121(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a a a +++++-=++++++++.【例7】 求证：44422222[()()()][()()()]y z z x x y y z z x x y -+-+-=-+-+-.【例8】 已知：0a b c ++=，求证：555333222532a b c a b c a b c ++++++=⋅.【例9】 设abb c =，求证：2222()2()()a b c a b c a b c a c +++++=+++【例10】 已知实数a b 、满足0ab ≠，且22333233()()8a b a b a b +=++，求b a a b+的值.【例11】 设有多项式43224442(1)(1)A x px qx p m x m =-+++++，求证：如果A 的系数满足244(1)0p q m --+=，那么A 恰好是一个二次三项式的平方.二. 巩固提高【例12】 已知221m n +=，221p q +=，0mp nq +=，求证：221m p +=，221n q +=，0mn pq +=.【例13】 已知a 、b 、c 两两不等，且满足关系式：222222a b mab b c mbc c a mac ++=++=++.（1）求m 的值； （2）求证：222222()a b c a b mab ++=++.【例14】 设a b c abc ++=，求证：222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a b c b c a c a b abc --+--+--=.【例15】 证明：33333333333()()()()x y z xyz yz zx xy xyz x y z y z z x x y ++-++=++-++.【例16】 已知：0ax by +=，220cx dxy cy ++=且0,0x y ≠≠，求证：22a c b c abd +=.三. 数论中的应用【例17】 设x 、y 、z 都是整数，且11整除725x y z +-，求证：11整除3712x y z -+.【例18】 若a 、b 、c 都是自然数，且满足54a b =，54c d =，且19c a -=，求d b -的值.【例19】若x是自然数，设432=++++，则y x x x x2221(A) y一定是完全平方数（B）存在有限个x，使y是完全平方数（C）y一定不是完全平方数（D）存在无限多个x，使y是完全平方数【例20】已知0++++++=的整数a、b、c的值.abc ab cb ca a b ca b c>>>，求适合等式1989【例21】证明：如果当自变量x取任意整数值时，二次三项式2++总取整数值，那么2a、a bax bx c+和c都是整数，并且反过来也成立.【例22】证明：如果一个数可以表示成两个整数的平方和，那么这个数的2倍也可以表示成两个整数的平方和.思维飞跃【例23】 若a 、b 、c 、d 是整数，且22m a b =+，22n c d =+，求证：mn 可以表示成两个整数的平方和.【例24】 已知m 、n 都是自然数，且m n ≠，求证：444m n +一定可以表示为四个自然数的平方.【例25】 已知直角三角形勾、股、弦长分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是整数，a 为质数，求证：2(1)a b ++是完全平方数.【例26】 已知0an bm -≠，0a ≠，20ax bx c ++=，20mx nx p ++=.求证：2()()()cm ap bp cn an bm -=--.【例27】 设()()()()()()a b b c c d d a a b c d bcd cda dab abc ++++=++++++.求证：ac bd =.作业1. 已知222222a b b c c a ab bc ca ++=++，试求()()()a b b c c a ---的值.2. 多项式444222()2()m n m n m mn n +++-++的值为（ ）(A)等于零 (B)大于零 (C)小于零 (D) 无法确定3.求证：248215++++=++++.x x x x x x x(1)(1)(1)(1)14.若正整数a、b、c满足222+=且为质数，那么b、c两数应（）a b c(A)同为奇数 (B)同为偶数 (C)一奇一偶 (D) 同为合数5.求证：222a b a c b c b a c a c b b c c a a b--+--+--=-+-+-.2()()2()()2()()()()()6.若x为自然数，则42-+是质数还是合数？证明你的结论.39x x7.已知22221+=+=，0a b c d+的值.+=，求ab cdac bd8.求证：222++-+-+-+++-= ()()()()()()4a b b c a c a b a b a b c a b c abc。
整式的恒等变形精品讲义
整式的恒等变形1. 乘法公式也叫作简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
⒉ 基本公式就是最常用、最基础的公式，并且可以由此而推导出其他公式。
完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式：()()22a b a b a b +-=-． 立方和（差）公式：()()2233a b a ab b a b ±+=±．⒊ 公式的推广：①多项式平方公式：()22222222222a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
②二项式定理：()3322333a b a a b ab b ±=+±()4432234464a b a a b a b ab b ±=±+±+()554322345510105a b a a b a b a b ab b ±=±+±+±…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式()()322344a b a a b ab b a b +-+-=-()()43223455a b a a b a b ab b a b +-+-+=+()()5432234566a b a a b a b a b ab b a b +-+-+-=-…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数()()2122232222122n n n n n n n a b a a b a b ab b a b -----+-+-+-=-()()2212222122121n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ---+++-+--+=+类似地： ()()123221n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⒋ 公式的变形及其逆运算由()2222a b a ab b +=++得()2222a b a b ab +=+-由()()3322333333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++得()()3333a b a b ab a b +=+-+ 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 n n a b -能被a b -整除， 2121n n a b +++能被a b +整除，22n n a b -能被a b +及a b -整除。
整式、分式思维导图
整式、分式考点四：特值法在整式、分式的应用对任意恒成立：恒等式问题中，常考求多项式系数，常取特值为化简求值：只需找到满足题干条件的任一组未知量特值，代入待求式即可考点三：分式分式定义：一般地，若、（中含有字母且）表示两个整式，那么就叫做分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母分式有意义、无意义：分式有意义的条件：；分式无意义的条件：分式值为零的条件：且分式的基本性质：分式与分数类似，分子分母同乘以不为零的数字或者不为零的多项式，分式的值不变（，为非零实数，多项式）分式的通分与化简：在算数中，求几个分数之和的处理方式一般是利用所有分母的最小公倍数，把分数转化为同分母分数后计算类似地，求几个分式之和也可以利用所有分母的所有因式之积，将所有分式化为同分母分式，之后进行化简计算裂项相消：类似于具有固定特征的分数求和中的裂项相消，对于多个具有固定特征的分式求和也可以使用裂项相消的方法倒数和：出现互为倒数的两数之和的形式时，由于互为倒数的两数乘积为，一部分乘法公式形态将有变化，如：完全平方：（逆向应用：）立方和与立方差：齐次分式：一般地，如果在一个分式结构或者方程中，所含各项的次数是一样的，就称之为一个齐次结构例如：等号两端各项都是二次，又如的分子和分母的次数都是二次其中分式形式的齐次结构称为齐次分式分式的大小比较设均大于若则若则若则若则常见和为的分数需要对其较敏感注意的替换比与比例相关计算公式任意分母均不为零【比的基本性质】比的前项和后项扩大或缩小相同的倍数，比值不变，即比的性质常用来将分数形式的比化为整数形式的比【等比定理】若几个分式相等，则分子相加与分母相加的比值仍与原比值相等【合比定理】等式左右同加【分比定理】等式左右同减【合分比定理】合比定理分比定理结论相除【更比定理】【反比定理】考点二：恒等变形求因式因式分解因式分解是把一个多项式恒等变形化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解例如因式分解可得因式分解常用方法乘法公式逆应用因式定理法设是关于的多项式，有：含有因式能被整除设是关于的多项式，有：含有因式能被整除十字相乘法若一个二次多项式能表示为两个一次多项式相乘的形式：根据对应项系数相等，则一定有待定系数法待定系数法是一种求代数式中未知系数的方法一般步骤为：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程（组），解方程（组）求出待定系数求系数恒等式的对应项系数相等余式定理的应用【应用】除式的数字系数不影响余式，如对多项式，除以和除以所得的余式相同【应用】余式定理的除式一般为一次式，如果题干给出的除式是二次多项式，那么该除式一般可以分解成两个一次式乘积的形式【应用】若题干给出除以二次式的余式为求除以此二项式的一个因式的余式，由于有，那么除以的余式就是除以的余式【应用】若除以一次式的余式为，即有相当于给定求除以包含这个一次式的二次式的余式，设此余式为，故有，代入可得【应用】余式定理的逆应用：当题干给定时，意味着给定除以一次式的余式为常用乘法公式考点一：整式的运算整式分为单项式和多项式单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，如多项式：几个单项式的代数和叫做多项式，如同类项如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项如和就是同类项所有的常数项也都是同类项整式的加减法：把同类项合并成一项叫做合并同类项整式的加减法运算，其实就是合并同类项的过程整式的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加即同底数幂相除，底数不变，指数相减即的正数指数幂为，的非正指数幂无意义。
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些
整式加减法中的恒等变形技巧有哪些整式加减法中的恒等变形技巧那可真是不少，掌握了这些技巧，能让咱们在数学的海洋里畅游得更轻松愉快！先来说说合并同类项吧。
这就好比把一堆水果分类，苹果跟苹果放一起，香蕉跟香蕉放一起。
比如 3x ＋ 5x，它们都含有 x 这个“同类”，那咱们就可以把它们合并成 8x。
我记得有一次，我在课堂上给学生们出了一道题：2a ＋ 3a 4a，有个小同学刚开始有点懵，后来我就引导他想想家里的玩具车，红色的玩具车和蓝色的玩具车是不是都是玩具车呀，那 2 辆红色的玩具车加上 3 辆蓝色的玩具车再减去 4 辆红色的玩具车，是不是能算出来一共有多少辆玩具车啦？他一下子就明白了，很快算出结果是 a 。
所以呀，合并同类项就是把含有相同字母和相同字母指数的项合并在一起。
再说说去括号。
这就像是给整式脱掉一层“外套”。
如果括号前面是“＋”号，去掉括号后，括号里的各项都不变号；要是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里的各项都要变号。
我给大家举个例子，比如 5 （3 x)，去括号就变成 5 3 ＋ x ＝ 2 ＋ x 。
有一回，我邻居家的孩子做作业的时候遇到了去括号的问题，怎么都搞不明白。
我就跟他说，你就把括号想象成一扇门，“＋”号的门打开后，里面的东西都原封不动；“”号的门打开后，里面的东西都得换个样子。
他听了之后，恍然大悟，作业很快就完成了。
还有添括号。
这就像是给整式穿上一件“新衣服”。
添括号时，如果括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是“”号，括到括号里的各项都要变号。
比如说，a ＋ b c ＝ a ＋（b c) ，a b ＋c ＝ a （b c) 。
记得有一次在课堂上做练习，有个同学总是在添括号的时候出错，我就给他打了个比方，说这添括号就像是给小动物找家，“＋”号的家很友好，小动物进去不用换样子；“”号的家有点特别，小动物进去得打扮打扮。
这之后，他就很少出错了。
整式加减法中的恒等变形技巧还包括整体代入。
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第8讲整式恒等变形
模块一恒等变形→降幂迭代与换元
基础夯实
题型一降幂迭代法与大除法
【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________．
【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试)
已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．
题型二 整体代入消元法
【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值．
【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值．
题型三 换元法
强化挑战
【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2．
【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()()
()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值．
模块二 恒等变形→因式分解与不定方程
题型一 因式分解
基础夯实
【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________．
(2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________．
【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________．
(2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y
的值．
强化挑战
【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ．
【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．
(2)已知△ABC 三边a 、b 、c ，满足条件a 2c －a 2b ＋ab 2－b 2c ＋c 2b －ac 2＝0，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
题型二 不定方程
【例6】(1)方程xy －2x －2y ＋7＝0的整数解(x ≤y )为___________．
(2)已知a ＞b ＞c ≥0，求适合等式abc ＋ab ＋ac ＋bc ＋a ＋b ＋c ＝2011的整数a ，b ，c 的值．
【练6】(1)长方形的周长为16cm ，它的两边长x ，y 均为整数，且满足x －y －x 2＋2xy －y 2＋2＝0，求它的面积．
(2)矩形的周长28cm ，两边长为x cm 、y cm ，且x 3＋x 2y －xy 2－y 3＝0，求矩形的面积．
【例7】(2000年联赛)实数x ，y 满足x ≥y ≥1和2x 2－xy －5x ＋y ＋4＝0，则x ＋y ＝_______．
【练7】当x 变化时，分式22365112
x x x x ++++的最小值是________．
模块三 恒等变形→配方法
【例8】已知x 2＋2xy ＋2y 2＋4y ＋4＝0，求x ，y ．
【练8】已知x 2－6xy ＋10y 2－4y ＋4＝0，求x ，y ．
【例9】已知x2＋2xy＋2y2＋4x＋8＝0，求x，y．
【练9】已知x2－6xy＋10y2＋2x－8y＋2＝0，求x，y．
【例10】已知实数a、b、c满足a－b＋c＝7，ab＋bc＋b＋c2＋16＝0．则b
a
的值等于____．
【练10】已知a－b＝4，ab＋c2＋4＝0，则a＋b＝________．
模块四恒等变形→乘法公式
知识点睛
【常见乘法公式】
1、二元二次：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________．
(2)(a－b)2＝__________．
2、三元二次：
(3)(a＋b＋c)2＝_________．
(4)a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝_______．
3、二元三次：
(5)(a＋b)3＝______________．
(6)a3＋b3＝______________．
4、三元三次：
(7)(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝abc＋ab＋bc＋ca＋a＋b＋c＋1
(8)(a＋b)(b＋c)(c＋a)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋2abc
(9)(a＋b＋c)(ab＋bc＋ca)＝a2b＋b2c＋c2a＋ab2＋bc2＋ca2＋3abc
(10)a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)
5、三元四次：
(11)(a＋b＋c)(a＋b－c)(b＋c－a)(c＋a－b)＝－a4－b4－c4＋2a2b2＋2b2c2＋2c2a2
6、二元n次：
(12)a n－b n＝(a－b)(a n－1＋a n－2b＋a n－3b2＋…＋ab n－2＋b n－1)
(13)a n＋b n＝(a＋b)(a n－1－a n－2b＋a n－3b2＋…－ab n－2＋b n－1)(n为奇数)
7、n元二次：
(14)(a1＋a2＋…＋a n)2＝a12＋a22＋…＋a n2＋2a1a2＋2a1a3＋…＋2a1a n＋2a2a3＋2a2a4＋…＋2a n－1a n．
(15)a12＋…＋a n2＋a1a2＋…＋a1a n＋a2a3＋…＋a2a n＋…＋a n－1a n＝1
[(a1＋a2)2＋…＋(a n－1＋a n)2]
强化挑战
【例11】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝3，ax＋by＝4，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．
【练11】(第6届希望杯初一)已知ax＋by＝7，ax2＋by2＝49，ax3＋by3＝133，ax4＋by4＝406，试求1995(x
＋y)＋6xy－17
2
(a＋b)的值．
【例12】若a＋b＋c＝0，a3＋b3＋c3＝0，求证：a2011＋b2011＋c2011＝0．
【练12】若a＋b－c＝3，a2＋b2＋c2＝3，那么a2012＋b2012＋c2012＝___________．
【例13】(2009年北京市初二数学竞赛)设a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1．
(1)求ab＋bc＋ca的值；
(2)求a4＋b4＋c4的值．
【练13】若a＋b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝2，a3＋b3＋c3＝8
3
，
(1)求abc的值；
(2)求a4＋b4＋c4的值．
巅峰突破
【例14】若x＋y＝a＋b，且x2＋y2＝a2＋b2，求证:x2014＋y2014＝a2014＋b2014．【练14】已知a＋b＝c＋d，a3＋b3＝c3＋d3，求证:a2013＋b2013＝c2013＋d2013．【拓14】已知a＋b＝c＋d，a5＋b5＝c5＋d5，求证：a2013＋b2013＝c2013＋d2013．
第8讲课后作业
【习l】已知x2＋x－1＝0，求x8－7x4＋11的值．
【习2】已知a＋b＋c＝1，b2＋c2－4ac＋6c＋1＝0，求abc的值．
【习3】若m＝20062＋20062×20072＋20072，则m( )
A．是完全平方数，还是奇数B．是完全平方数，还是偶数
C．不是完全平方数，但是奇数D．不是完全平方数，但是偶数
【习4】正整数a、b、c是等腰三角形三边的长，并且a＋bc＋b＋ca＝24，则这样的三角形有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个
【习5】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4＋b4＋c4－2a2b2－2b2c2－2c22a2的值( ) A．恒正B．恒负C．可正可负D．非负
【习6】如果a＋2b＋3c＝12，且a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，求a＋b2＋c3的值．
【习7】已知实数a、b、x、y满足a＋b＝x＋y＝2，ax＋by＝5，求(a2＋b2)xy＋ab(x2＋y2)的值．
【习8】已知x是实数并且x3＋2x2＋2x＋1＝0．求x2008＋x2011＋x2014的值．
【习9】(1999年北京市初二数学竞赛)若3x3－x＝1，求9x4＋12x3－3x2－7x＋2010的值．
的值．
【习11】(十八届希望杯初二二试)已知a1，a2，a3，…，a2007，是彼此互不相等的负数，且
M＝(a1＋a2＋…＋a2006)(a2＋a3＋…＋a2007)，N＝(a1＋a2＋…＋a2007)(a2＋a3＋…＋a2006)，试比较M、N的大小．
【习12】(2013年联赛)已知实数x，y，z满足x＋y＝4，|z＋1|＝xy＋2y－9，则x＋2y＋3z＝_______．
【习13】(2013年竞赛)已知正整数a、b、c满足a＋b2－2c－2＝0，3a2－8b＋c＝0，则abc的最大值为____________．
【习14】(2001年联赛)求实数x，y的值，使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋(2x＋y－6)2达到最小值．。