代数式的恒等变换
代数式恒等变形法则归纳
代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。
在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。
代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。
在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。
一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。
代数式与恒等变形
第5讲 爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证 ：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解 方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故 左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+ .13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题： ？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ ……)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+=读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解． 解 设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读 一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解 令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc -由①+②+③，得)2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且xz z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设 式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx解 由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值， 题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解 由已知，得.,22z a y a x a a y -=-= 两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-=即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2 ,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。
2代数式的恒等变形 讲义
有关恒等式的证明一、知识要点恒等式的证明分为一般恒等式的证明和条件恒等式证明，对于一般恒等式的证明，常常通过恒等变形从一边证到另一边，或证两边都等于同一个数或式。
在恒等变形过程中，除了要掌握一些基本方法外，还应注意应用一些变形技巧，如：整体处理、“1”的代换等；对于条件恒等式的证明，如何处理好条件等式是关键，要认真分析条件等式的结构特征，以及它和要证明的恒等式之间的关系。
二、例题精讲例1 求证：a 1+(1-a 1)a 2+(1-a 1)(1-a 2)a 3+…+(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)a n=1-(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n-1)(1-a n )例2 证明恒等式()()()()()()11322321121132322121a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n ++++++=++++++(第二十届全俄数学奥林匹克九年级试题)例3 若abc=1，求证1111=++++++++c ca c b bc b a ab a例4 已知bc=ad ，求证：ab(c 2-d 2)=(a 2-b 2)cd例5 已知x=by+cz ，y=cz+ax ，z=ax+by ，且x+y+z ≠0.证明：1111=+++++c c b b a a例6 数x 、y 、z 满足关系式1=+++++y x z x z y z y x 证明：0222=+++++y x z x z y z y x (第十六届全俄数学奥林匹克十年级试题)例7 已知a+b+c=a 2+b 2+c 2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2例8设c b a c b a ++=++1111，证明(1) a 、b 、c 三数中必有两个数之和为零；(2) 对任何奇数n ，有n n n n n n c b a c b a++=++1111例9 已知ad-bc=1，求证：a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ≠1例10证明：1132113211211+-=++++++++++n n n。
代数式的恒等变形
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用例1 、 已知ab=1，求221111ba +++的值 [解] 把ab=1代入，得221111b a +++ =22b ab aba ab ab +++ =b a a b a b +++=1例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同．同理练习：1111,1=++++++++=c ca cb bc b a ab a abc 证明：若二、配方法例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b aa b +之值。
[解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0∴⎩⎨⎧==-.1,0ab b a解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩⎨⎧-=-=.1,1b a当a=1，b=1时，b aa b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b aa b +=1+1=2 例1 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2 =(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn 的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd ）2+(ad+bc)2.例 2 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0 ∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 ∴ x=y=z,∴原式=1.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ． 证 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0， 所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以 a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)＝0．又因为a ，b ，c ，d 都为正数，所以a+b≠0，c+d≠0，所以 a ＝b ，c=d ． 所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0， 所以a ＝c ．故a=b ＝c=d 成立．例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值 [解] ∵|a|+|b|=|ab|+1∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0 (|a|-1)(|b|-1)=0 |a|=1 |b|=1 ∴a=±1或b=±1. 则当a=1，b=1时，a+b=2 当a=1，b=-1时，a+b=0 当a=-1，b=1时，a+b=0 当a=-1，b=-1时，a+b=-2[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A ·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。
代数式的恒等证明
代数式的恒等变形一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求221111ba+++的值例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值：练习：1111,1=++++++++=c ca c b bc b a ab a abc 证明：若二、配方法——构造完全平方式和的形式。
例1、 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求ba a b+之值。
例2 、设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，写出其其形式。
例3、 设x 、y 、z 为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.练习：,0146422222=+---++x cx bx ax c b a 已知求证：3:2:1::=c b a三、因式分解法例1 已知a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，且a ，b ，c ，d 都是正数，求证：a=b=c=d ．例2 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b 之值练习：证：))(()()()()(22333c b a bc ac ab c b a abc b a c a c b c b a ++++=++++++++四.换元法例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.练习：求证：22)1(1)2(2--+=-+-+-+ab b a ab b a ab b a ）（）（五．比较法a=b(比商法)．这也是证明恒等式的重要思路之一．例1 求证：全不为零．证明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．六、分析法与综合法练习：222222222111,0,0cb a ba c ac b abc c b a -++-++-+≠=++求且已知七、设参法 例1 若求x+y+z 的值.练习：1、 已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．2、求证：8a+9b+5c=0．3、 已知a+b+c=0，求证：2(a 4+b 4+c 4)＝(a 2+b 2+c 2)2．作业：)11()11()11(,01ba c a cbc b a c b a +++++=++求、已知的值。
200道代数式的恒等变形练习题
.
59.已知实数 x1 、x2 、…、x2002 满足 x 1 1 x 2 1 x 2002 1 = 1 (x1+x2+…+x2002)则，x1+2x2+…+2002x2002 的 值为= 60.已知整数 a、b、c 满足不等式 a +b +c +42≤ab+9b+8c，则 a、b、c 分别等于 61. 已知实数 a, b, c 满足 a 2b 2, 且 ab 3 c 2 1 0 ，则 bc 的值为
4 ，则 x+y= 3
．
a1 a 2 a 3 a 4 k 且 a1+a2+a3+a4+a5≠0．则 k 的值为 a5
2 2
．
2 2
52.已知实数 a、b、x、y 满足 a+b=x+y=2 ，ax+by=5 ，则(a +b )xy+ab(x +y )= 53.已知 x
。
2 6 1, y 2 ,那么 z 3 y z x
2 2
1 1 1 xy 2 z yz 2 x zx 2 y
2 2 2 2
19.已知 x、y 为正整数，且满足 2x +3y =4x y +1．则 x +y = 20.已知
yzx zx y x yz 3 2 =p．则 p +p +p= x yz yzx zx y
。
x2 y2 z2 x y z 34.已知实数 x，y,z 满足 1 ，则 yz zx x y yz zx x y
35.若实数 a 满足 a3 a2 3a 2
2代数式恒等变形
代数式的恒等变形代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一．两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等．证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。
下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧．一．设参数法如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y za b b c c a==---，求x+y+z 的值。
例2．已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明：x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．例4．求证：()()()()()()222222a b c b c a c a b abc a b c ab bc ca a b c ++++++++=++++例5．已知222201*********x y z ==，x ＞0，y ＞0，z ＞0，且1111=++zy x。
第11讲 代数式恒等变形
11 代数式的恒等变形模块一 基本代数式变形 知识导航若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+-()()224x y x y xy -=+-()24422222x y x y x y +=+-||x y -=()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ⎡⎤+=+-+=++-⎣⎦若已知x ²－5x +1=0，可得x ＋1x=5，由此可以求出一些典型代数式的值： x ²＋21x =212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭22114x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24242112x =x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭1x x -=刻意练习1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值．2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x+的值．（2016—2017六中八上月考）若0＜x ＜1，13x =x +，则221x =x-________．练习（2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b aa b +++的值为（ ） A ．2B ．83C ．4D ．349例2（1）已知13x x+=，求242________1x x x =++（2）已知2410a a ++=，且4232133a ma a ma a++++＝5，求m ．练习已知2421x x x ++＝14，则4225155_________3x x x -+=．已知2310a a-+=，求361aa+的值．例3（1）已知．1x＋1y＝2，求2322x xy yx xy y-+++（2）已知．232325x xy yx xy y+-=--，求11x y-练习已知()222224114,x y x yx y x y xy+++=+求．已知2222224360236,27057x y z x y z x y z x y z --=⎧++⎨+-=++⎩求． 练习已知222230,(0)2340a b c ab bc acabc a b c a b c ++=⎧++≠⎨++=++⎩求．（1）a c a c a bk a b c+++===，求k 的值．（2）若0xyz ≠，且满足,y z x x z y x y zx y z+-+-+-==则()()()y z x x z y x y z xyz +-+-+-的值为多少？ 练习a b c b c c a a b ==+++，则22__________3a b ca b c++=+-．（1）已知111311,,a b c a b b c c a ++=+++++则________.a b cb c c a a b++=+++（2）已知x y z +＋yx z+＋z x y +＝1，求2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝_________．练习已知2x y z +＋2y z x +＋2z x y +＝0，则x y z +＋y x z+＋z x y +＝_________．模块三 恒等变形的应用例7（2016—2017二中八上月考）某种产品的原料提价，因而厂家对产品进行提价，现有三种方案： （1）第一次提价p ％，第二次提价q ％； （2）第一次提价 q ％，第二次提价p ％ ；（3）第一次和第二次提价均为2p q+％，其中p ，q 是不相等的正数，三种方案中哪种提价最多？ （提示：因为p ≠q ，则（p -q ）2=p 2-2pq +q 2>0，所以p 2+q 2>2pq ）（1）（2016—2017青山区八上期末）已知p =717m -1，Q =m 2-1017m （m 为任意实数），则P ，Q 的大小关系为（ ） A .P >Q B .P =Q C .P <Q D .不能确定 （2）（2016—2017汉阳区八上期末） 计算323220162201620142015220152017-⨯-+⨯-= .例8（学而思2017元旦综测第22题）已知Rt △ABC ，∠C =90°，BC =a ，AC =b ，AB =c ，∠BAC 与∠ABC 的平分线交于点I ，IE ⊥AB 于E ，IE =r ，（a ，b ，c ，r 都是常数） （1）请你写出△AIB 的面积 ，并证明；（ab =r （a +b +c ）； （2）求证：r =2a b c+-； （3）记△ABC 的面积为S ，求证：（12r c +）2≥2S .I rcbaE CBA挑战压轴题（2013—2014武昌区八上期末第24题） 在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，AB =c ，且满足：()13a a a k c b b c-+==-+ （1）求证：k =232a c+；（2）求证：c >b ；（3）当k =2时，证明：AB 是的△ABC 最大边.第11讲 代数式恒等变形A 基础巩固1.已知a 2-a =7，则代数式2221412211a a a a a a --⋅÷+-+-的值是（ ） A .3 B .72C .4D .52.（2016—2017硚口区八上期末）已知：x ≠3，ab =（x -3）0，a +b =3ab ，则a -b 的值为（ ）A B . C D .3.已知：114a b-=，则2227a ab ba b ab ---+的值为（ ） A .4 B .5 C .6 D .74.已知)11a b a b +=≠，则()()a b b a b a a b ---的值为 . 5.已知113m n -=，则333m mn nm mn n+---的值为 . 6.若y 0且满足123x y-=，则代数式918918x y x y +---的值为 .7.（2016—2017江汉区八上期末）已知多项式2x 2+3xy -2y 2-x +8y -6可以分解为（x +2y +m ）（2x -y +n ）的形式，那么3211m n +-的值是 .B 综合训练8.已知111109a b b c c a ++=+++，7c b a a b c a b c ++=+++，则a +b +c = . 9.已知a 2+2a -15=0，求22141.2213a a a a a a --++-++的值.10.实数a ，b ，c 满足a +b +c =3，a 2+b 2+c 2=4，求222222222a b b c c a c a b+++++---的值.11.已知a ，b ，c ，d 满足a b c d b c d a ===，求a b c da b c d-+-+-+的值.12.（2016-2017江汉区八上期末）计算32322016220162014201620162017-⨯-+-.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
代数式的恒等变换方法与技巧
例：设p
x =有实根的充要条件，并求出所有实根。
由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。
这样可避免增根和遣根的出现。
解：
原方程等价于222(0,0
x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩
2
22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩
222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件
24(4)44048(2)33
p p p p --≤≤⇔≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。
这时，原方程有惟一实根x =。
一、分类变换
当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。
分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。
例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立：
（a
=；
（b
1=；
（c
2=。
解：
(0)m m =≥ 记方程左边为f(x)，
则()f x =
1
|1|1|1
1
2
x
x
≥
==
≤≤
由此可知，
当m=时，原方程的解集为
1
[,1]
2
；
当m∈时，解集为∅；
当)
m∈+∞
m
=，解得2
1
(2)
4
x m
=+。
即当)
m∈+∞时，原方程的解集为2
1
{(2)}
4
m+。
例2：在复数范围内解方程组222
555
3,
3,
3.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪++=
⎩
解：考虑数列*
,
n n n
n
a x y z n
=++∈N。
不难证明此数列满足递推式321
()()
n n n n
a x y z a xy yz zx a xyza
+++
=++-+++，其中
125
3,3
a a a
===。
利用基本恒等式，得2
12
1
()3
2
xy yz zx a a
++=-=，
3123
11
[()]
33
xyz a a a xy yz zx a
=--++=，
∴{}
n
a的递推式化为*
3213
1
33,
3
n n n n
a a a a a n
+++
=-+⋅∈N
由此得
432313543323
11
3349,331027
33
a a a a a a a a a a a a
=-+⋅=---+⋅=-
由
5
3
a=，得
3
10273
a-=，∴
3
3
a=。
∴
3
1
1
3
xyz a
==。
综上所述知，原方程组等价于
3,
3,
1.
x y z
xy yz zx
xyz
++=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪=
⎩
由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33
3310
t t t
-+-=的三根，
此三次方程即3
123
(1)0,1
t t t t
-=∴===，
这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。
注：此题还可以利用三次单位根
1
2
ω=-+的性质来解。
二、利用对称性
对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，x2y+y2z+z2x是轮换
式，但不是对称式。
由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x
1最大（或最小）。
例3：设x ，y ，z>0，求证
(x+y+z)5-(x 5+y 5+z 5)≥10(x+y)(y+z)(z+x)(xy+yz+zx)
等号成立当且仅当x=y=z 。
证：令5555(,,)()()f x y z x y z x y z =++-++。
易知(,,f x y z ）是对称式。
∵当x+y=0时，f(x ，y ，z)=0，∴()|(,,)x y f x y z +。
从而()|,()|y z f z x f ++，
∴()()()|x y y z z x f +++。
注意到f 是关于x ，y ，z 的五次齐次式，故可设
222(,,)()()()[()]()f x y z x y y z z x A x y z B xy yz zx =++++++++, 令：0,1,1x y z ===，
得：2A+B=15。
令1x y z ===，得A+B=10。
因此，A=B=5。
∴222(,,)5()()()()f x y z x y y z z x x y z xy yz zx =++++++++ 注意到,,0x y z >，且222x y z xy yz zx ++≥++，
得(,,)10()()()()f x y z x y y z z x xy yz zx ≥+++++
等号成立的条件为x y z ==。
例4：设a ，b ，c 是三角形的边长，
证明222()()()0a b a b b c b c c a c a -+-+-≥
并说明等号何时成立。
证明：令欲证不等左边为(,,)f a b c ，则易证(,,)f a b c 为轮换式（非对称）。
故可设,a b c ≥。
注意到0b c a +->，则可先考虑将f 中分离出一个含b+c-a 的非负式子。
事实上222()()[()]()f a b a b b c b c c b b a c a =-+-+-+-
2222()()()()(2)()()c b a b c a ab b c ab c a c b a b a b b c b c =-+---+--+-+- 再令222*()()(2)()()f ab b c ab c a c b a b a b b c b c =--+--+-+- 令a c =，有222*()()()0f bc b c c b c b b c b c =--+-+-=
令a b =，有2222*()()(2)()0f b b c b c b c b b c b c =--+--+-=。