数值分析讲义第一章绪论
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数值分析第1章
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误差来源
• • • • 模型误差 方法误差 观测误差 舍入误差
2014/11/24
© Wuhan University Confidential
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来源一 : 模型误差
• 模型误差:在建立数学模型过程中,不可能将 所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这 就带来了与实际问题的误差。
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数值运算的误差估计
* * 四则运算，设x1, x2为准确值, x1 , x2为近似值，则误差限：
* * * ( x1* x2 ) ( x1 ) ( x2 ), * * * * * ( x1* x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 ), * * * * | x | ( x ) | x | ( x * * 1 2 2 1) ( x1 / x2 ) . * 2 | x2 |
3
• 方法可行性分析包含以下内容： 1.计算速度。 例 如,求解一个20 阶线性方 程组,用消元法需3000 次乘法运 算;而用克莱姆法则要进行20 10 7 . 9 ×次运算,如用每秒1 亿次乘法运 算的计算机要30 万年。 2.存储量。 大型问题有必要考虑。 3.精度。
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x x e 1 x ห้องสมุดไป่ตู้ 2! 3!
若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差
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来源四: 舍入误差
• 计算机长有限 3.14159
• 注意:少量运算的舍入误差一般是微不足道的,但是 在计算 机上完成千白万次运算后 误差的积累很惊人.
数值分析第一张,引言
模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化
数值分析(第一章)修正版描述
2
例:为使 x 20 的近似值 x 的相对误差不超过 问查开方表时至少要取几位有效数字? * 解:设近似值 x 取n位有效数字可满足题设要求。 对于 x
1 103 2
*
20, 有x1 4
* r
1 1 1 n 1 n e 10 10 由定理,有 2 x1 8
1 1 1 n 3 10 10 令 8 解得 2
e* x* x * ，则称 * 为x* 近似x的一个绝对 差限，简称误差限。 误 . 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个 尽可能小的绝对误差限。
*
2.相对误差及相对误差限
0) 的一个近似,称 定义 设 x 是准确值 x( *
*
为 x 近似x的一个绝对误差。在不引起混淆时，简称符 * * 号 er ( x )为 er * * * * 因 e e e x x
(1)有效数字
定义 :设x的近似值 x 有如下标准形式
*
x 10 0.x1x2 xn1 xp 9且x1 0, p n 其中m为整数, xi 0,1,2 ，
*
1 mn e x x 10 如果 2
* *
, * 则称 x 为的具有n位有效数字的近似数. 或称 x* 准确到 10m n 位,其中数字 x1 x2 xn ,分别 * x 被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.
*
n
* i *
x * * f 'i ( x1 , x2 , i 1 y
n
* i *
x )er ( x )
* n
* i
绝对误差限和相对误差限满足传播不等式：
( y ) f 'i ( x , x ,
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析--绪论
8
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
17
§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
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§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
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设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n
数值分析讲义
由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现 象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等 各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数 值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的， 计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、 截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是 通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观 测误差。
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论e In X* =In X * -Inx ：丄e*X*进而有；(In X *):2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。
解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+n _1X nχ I Xn n又；r ((X*) n) C P 7(X *)且 e r (χ*)为 2.7((χ*)n) 0.02 n3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指* * * * *出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0.. *解：X I -1.1021是五位有效数字；X 2 = 0.031是二位有效数字；X 3 =385.6是四位有效数字；X 4 =56.430是五位有效数字；X 5 =7 1.0.是二位有效数字。
4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 .其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。
1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。
e* X* -X而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P解：* 1 4；(x 1) 102* 1 3 ;(x 2) 10 2* 1 1；(x 3) 10* 1 3；(x 4) 102* 1 1；(x 5) 102(1) ；(x ； x ； x *)* * *=；(%) ；(x 2) *x 4)1 A 12 1 j310 10 102 2 2 -1.05 10J 3* * *(2) S(X I X 2X 3)* * * * * * ** * =X1X 2 £(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2):0.215 ⑶；(x 2/x ；)* Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2)全 Γ"2X 41-3 1 30.031 10 56.430 10= ______________________ 256.430X56.430-10 54 3解：球体体积为V R3则何种函数的条件数为1.1021 0.031 11θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6卜-×1^35计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?C P 愕'： C P “(R*) 9(R*)又γ(V*) -11故度量半径R 时允许的相对误差限为 ；r (R*) 1 ： 0.3331 ____6.设 Y 0 =28,按递推公式 Yn =Ynd- ------- ： 783 (n=1,2,…)100计算到Y oo 。
第1章数值分析-绪论
实际运算 Er (a) (x a) / a
r / a
例5 a=3.14是π的近似值。
E(a) 3.14 0.002
Er
(a)
0.002
0.002 3.14
6.36942104
三、有效数字 例如 3.14159265...
取3位,a=3.14,δ≤0.002 取5位,a=3.1416,δ≤0.000008
a 10m 0.a1a2...an
a1是1到9中的一个整数， a2,…,an为0到9中的任
意整数。m为整数，
且
E(a) x a 1 10mn 2
成立,
ห้องสมุดไป่ตู้
则称a近似 x 有n位有效数字。
【注】 近似数的有效数字不但给出了近似值的大小, 而且还指出了它的绝对误差限。
数值分析——绪论
例6 设 x 0.002567, a 0.00256 102 0.256 则 x a 0.00005 1 104
2
因为m=-2,所以n=2， 即a有2位有效数字。
若 a 0.00257 102 0.257
则
x a 0.000003 0.000005 1 105 2
因为m=-2,所以n=3， 即a有3位有效数字。
例7 设x =8.00001，则a=8.0000具有5位有效数字。
例如，用毫米刻度的米尺测量一长度 x ， 读出和该长度接近的刻度 a, a 是 x
的近似值，它的误差限是0.5mm.如读出的长度 是765mm，则
x 765 0.5 764.5 x 765.5
数值分析——绪论
对于一般情形 x a 即
a x a ，有时记为 x=a
例4 绝对误差的局限性例子。