数值分析 第一章 绪论
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数值分析第一张,引言
模型(móxíng)设计
算法设计
上机计算
问题的解
共四十七页
结束(jiéshù)
其中算法设计是数值(shùzí)分析课程的主要内容.
数值分析课程(kèchéng)研究常见的基本数学问题的数值解法.包含了
数值代数(线性方程组的解法、非线性方程的解法、矩阵求逆、 矩阵特征值计算等)、数值逼近、数值微分与数值积分、常微分方程 及偏微分方程的数值解法等.它的基本理论和研究方法建立在数学 理论基础之上，研究对象是数学问题，因此它是数学的分支之 一.
3! 5! 7!
(2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能(zhī nénɡ)在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求.
如计算 sin 0.5，取n=3 sin 0.5 0.5 0.53 0.55 0.57 0.479625
3! 5! 7!
共四十七页
结束
据泰勒余项公式(gōngshì)，它的误差应 为
• 1998年7月30-31日，美国DOE/FNS 共同联合组织召开了 关于“先进科学计算”的全国会议，会议强调科学模拟的重
要性，希望应用科学模拟来攻克复杂的科学与工程难题。
共四十七页
数值分析是计算数学的一个主要部分，方法解决科学研究或 工程技术问题，一般按如下途径进行：
实际 (shíjì)问
题
程序设计
R (1)9 9
9!
0,
4
R ( / 4)9 3.13 10 7
362880
( 1.2)
可见结果(jiē guǒ)是相当精确的.实际上结果(jiē guǒ)的六位数字都是 正确的.
2 算法常表现(biǎoxiàn)为一个连续过程的离 散化
数值分析(第一章)修正版描述
2
例:为使 x 20 的近似值 x 的相对误差不超过 问查开方表时至少要取几位有效数字? * 解:设近似值 x 取n位有效数字可满足题设要求。 对于 x
1 103 2
*
20, 有x1 4
* r
1 1 1 n 1 n e 10 10 由定理,有 2 x1 8
1 1 1 n 3 10 10 令 8 解得 2
e* x* x * ，则称 * 为x* 近似x的一个绝对 差限，简称误差限。 误 . 实际计算中所要求的绝对误差，是指估计一个 尽可能小的绝对误差限。
*
2.相对误差及相对误差限
0) 的一个近似,称 定义 设 x 是准确值 x( *
*
为 x 近似x的一个绝对误差。在不引起混淆时，简称符 * * 号 er ( x )为 er * * * * 因 e e e x x
(1)有效数字
定义 :设x的近似值 x 有如下标准形式
*
x 10 0.x1x2 xn1 xp 9且x1 0, p n 其中m为整数, xi 0,1,2 ，
*
1 mn e x x 10 如果 2
* *
, * 则称 x 为的具有n位有效数字的近似数. 或称 x* 准确到 10m n 位,其中数字 x1 x2 xn ,分别 * x 被称为 的第一,第二,…第n个有效数字.
*
n
* i *
x * * f 'i ( x1 , x2 , i 1 y
n
* i *
x )er ( x )
* n
* i
绝对误差限和相对误差限满足传播不等式：
( y ) f 'i ( x , x ,
数值分析第1章 绪论01
0
1
e x dx S 4 ,
2
则 R4
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42
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1 1 n x 例 2 计算 I n x e dx , n 0 , 1, 2 , ...... e 0
公式一： I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 则初始误差 E0 I 0 I 0 0.5 10
解 ：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 1 1
x2
0
e
x2
x x x8 dx (1 x ) dx 0 4! 12 ! 2 3!
2
e 1dx 1 1 1 1 1 1 1 11 /e 0 3 2! 5 3! 7 4! 9
0.b1b2
其中 b j ( j 2,
bt 2m
, t ) 是 1 或 0 ， b1 1 ；
t
即
称为计算机的字长；
阶码
m 有固定的上、下限，
L m U
随计算机的不同而不同.
L、U 和 t
上述形式的数称为机器数.
机器数的全体记为 F (2, t , L,U ) ， 称为机器数系.
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即 x 的二进制表示为：
x (11101101) 2
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1
e x dx S 4 ,
2
则 R4
1 1 1 1 由留下部分 称为截断误差 4! 9 5! 11 引起 1 1 这里 R4 0 .005 由截去部分 4! 9 1 1 1 S4 1 1 0 .333 0 .1 0 .024 引起 0 .743 3 10 42
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1 1 n x 例 2 计算 I n x e dx , n 0 , 1, 2 , ...... e 0
公式一： I n 1 n I n1
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 则初始误差 E0 I 0 I 0 0.5 10
解 ：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 1 1
x2
0
e
x2
x x x8 dx (1 x ) dx 0 4! 12 ! 2 3!
2
e 1dx 1 1 1 1 1 1 1 11 /e 0 3 2! 5 3! 7 4! 9
0.b1b2
其中 b j ( j 2,
bt 2m
, t ) 是 1 或 0 ， b1 1 ；
t
即
称为计算机的字长；
阶码
m 有固定的上、下限，
L m U
随计算机的不同而不同.
L、U 和 t
上述形式的数称为机器数.
机器数的全体记为 F (2, t , L,U ) ， 称为机器数系.
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即 x 的二进制表示为：
x (11101101) 2
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数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
数值分析绪论
数值分析或数值计算方法主要是研究如 何运用计算机去获得数学问题的数值解 的理论和方法. 对那些在经典数学中,用解析方法在理论 上已作出解的存在,但要求出他的解析解 又十分困难,甚至是不可能的这类数学问 题,数值解法就显得不可缺少,同时有十分 有效.
计算机解决科学计算问题时经历的几个 过程
实际问题——〉数学模型——〉数值计算方 法——〉程序设计——〉上机运行求出解 实际问题——〉数学模型：由实际问题应用 科学知识和数学理论建立数学模型的过程， 是应用数学的任务。
两个数相乘，如果有大因子，积的误差 可能严重扩大 两个数相除，如果除数很小，商的误差 可能会严重扩大
e( x1 * + x2 *) x1 * er ( x1*) x2 * er ( x2 *) er ( x1 * + x2 *) = = + x1 * + x2 * x1 * + x2 * x1 * + x2 *
则 e(π ) = 3.1416 − 3.14159265...
*
1 −5 = 0.0000734...... ≤ × 10 2
称π = 3.1416具有五位有效数字的近似数。
*
若x * 准确到小数点后第n位，
x* = ± a1a2 L am .b1b2 L bn (a1 ≠ 0), 则
| e( x*) |≤ 0.5 ×10 ,
* * 1 2 r * 1 * * 1 2 r * 2 2 * 2 * 2 * 1 * 1 * 2 2 * 2
两个数相乘，积的误差等于第一个数乘 以第二个数的相对误差加上第二个数乘 以第一个数的相对误差。（误差什么情 况下会严重扩大？） 两个数相除，商的误差等于分母乘以分 子的误差减去分子乘以分母的误差，然 后除以分母的平方。（误差什么情况下 会严重扩大？）
数值分析--绪论
8
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
17
§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n
有效数字
定义：设数 a 是数 x 的近似值，如果 定义： 的近似值， （1）a 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， ） 的绝对误差限是它的某一位的半个单位， a （2）从该位到它的第一位非零数字共有 位。 ）从该位到它的第一位非零数字共有n 位有效数字。 则称用 a 近似 x 时有 n 位有效数字。 注：凡是由四舍五入得来的近似值，从最末位到第一位非零数字都是 凡是由四舍五入得来的近似值， 有效数字。 有效数字。
算法 算法——规定了怎样从输入数据计算出数值问 规定了怎样从输入数据计算出数值问 题解的一个有限的基本运算序列 衡量算法优劣的标准： 衡量算法优劣的标准：
1 可靠的理论基础，正确性，收敛性，数值稳定性以 可靠的理论基础，正确性，收敛性， 及可作误差分析。 及可作误差分析。 2.良好的计算复杂性，包括时间复杂性，空间复杂性 良好的计算复杂性，包括时间复杂性， 良好的计算复杂性
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§1.3 向量范数与矩阵范数 1.3.1 向量范数 定义：Rn空间的实值函数 || || ,对任意 x, y ∈ Rn满足下列条件 对任意
(1)非负性 非负性
|| x || ≥ 0; || x || = 0 x = 0 (2)齐次性 || k x || =| k | || x || 对任意 k∈R 齐次性
13
设计算法时遵循的原则
1.减少运算次数. 1.减少运算次数. 减少运算次数
例 计算多项式的值
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n .
乘法计算次数 1+2+…+n
算法一 算法一：
s0 = a0 sk = ak x k , k = 1, 2,L , n P ( x) = s + s + L + s 0 1 n n
第1章 绪论
则存在常数c1 , c2 0, 使得对一切x R n有 c1 x s x t c2 x s .
k k
k k k 定理3 lim x x lim x x 0, 其中 为任意一种向量范数.
定义6：设x Rn ,A Rnn , 给出一种向量范数 x v (v 1, 2或),
解： 由定义得到 0.048746， 0.0020300， 8.0000， 2.7183
有效数字与相对误差限的关系
设近似数x* 10m a1 a2 101 al 10l 1 , 其中a1 0, m N .若x * 有n位有效数字，则相对误差限 1 r* 10 n 1. 2a1 1 若x * 的相对误差限 10 n 1 , 则x * 至少有n位有效数字. 2a1
东北林业大学理学院 10
4.简化计算步骤，减少运算次数
例6.利用ln(1 x) (1)n1
n 1
xn 计算 ln 2, 要求精确到105。 n
解：如果直接计算，这需要10万项求和，才能达到精度要求，
不仅计算量大，而且舍入误差的积累也十分严重，如果 改用级数： 1 x x3 x5 x 2 n 1 ln 2( x ) 1 x 3! 5! (2n 1)! 1 取x ，只需计算前9项，截断误差便小于1010。 3
利用计算机求解实际问题的主要步骤：
东北林业大学理学院
3
1.2 数值计算的误差
基本问题：对数学问题进行数值求解，求得的结果一般
都包含有误差，即数值计算绝大多数情况是近似计算，因 此，误差分析和估计是数值计算过程中的重要内容。
误差的来源：
东北林业大学理学院
4
1数值分析_Ch1绪论(1)讲述
则 x* 至少有n 位有效数字，且精确到10mn.
有效数字的位数 n = 近似数科学记数法的幂指 数－绝对误差限科学记数法的幂指数.
当差为负整数时，表示没有效数字! 把误差限表
示为0.5×10mn, 当指数 m n 是最小的整数时,
有效数字的位数精确地是 n.
例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005，
e x x 其中 x 为精确值，x* 为 x 的近似值。|e|的上界
记为e , 称为绝对误差限 (accuracy),工程上常记为
x = x* ± e .
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
在工程技术的计算中，估计计算结 果的精确度是十分重要的工作，而影响 精确度的是各种各样的误差。误差的来 源是复杂的，但主要有以下四种：
➢ 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 ( Modeling Error )
➢ 通过测量得到模型中参数的值
例:近似计算 1 ex2 dx = 0.747… … 0
解法之01一e大：x2 d家将x 一1e1/起x0e12(作1猜13T？axy212l!or01展215xe4!开x312后!dx3!6x再71积x4!48分1!119
)
dx
取
1
e
x
2
dx
0
S4
,
S4
R4 ( Remainder )
x * f (x*) f (x*)
er (x)
| er (x) |
有效数字的位数 n = 近似数科学记数法的幂指 数－绝对误差限科学记数法的幂指数.
当差为负整数时，表示没有效数字! 把误差限表
示为0.5×10mn, 当指数 m n 是最小的整数时,
有效数字的位数精确地是 n.
例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005，
e x x 其中 x 为精确值，x* 为 x 的近似值。|e|的上界
记为e , 称为绝对误差限 (accuracy),工程上常记为
x = x* ± e .
例如： 1 ex2 dx 0.743 0.006 0
注:理论上讲,e 是唯一确定的, 可能取正, 也可能取负.
e > 0 不唯一，当然 e 越小越具有参考价值。
§1.2 误差知识与算法知识
1.2.1 误差的来源与分类
在工程技术的计算中，估计计算结 果的精确度是十分重要的工作，而影响 精确度的是各种各样的误差。误差的来 源是复杂的，但主要有以下四种：
➢ 从实际问题中抽象出数学模型
—— 模型误差 ( Modeling Error )
➢ 通过测量得到模型中参数的值
例:近似计算 1 ex2 dx = 0.747… … 0
解法之01一e大：x2 d家将x 一1e1/起x0e12(作1猜13T？axy212l!or01展215xe4!开x312后!dx3!6x再71积x4!48分1!119
)
dx
取
1
e
x
2
dx
0
S4
,
S4
R4 ( Remainder )
x * f (x*) f (x*)
er (x)
| er (x) |
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利用算法
In 1
1 In n
则算法为稳定的。
In 1 nIn1
精确值
I n1
1 In n
0
0.6321
0.63212…
0.6321
1
0.3679
0.36787…
0.3679
2
0.2642
0.26424…
0.2642
3
0.2074
0.20727…
0.2073
4
0.1704
0.17089…
0.1709
17
5. 注意简化计算步骤，减少运算次数。
例如：计算多项式 Pn (x) an xn an1xn1 a0 的值。
若直接计算，共需乘法
1 2
n(n
1)
次，加法
n
次才能得到
Pn (x)
的值；若采用秦九韶算法：
Pn ( x) x( x ( x( xan an1) an2 ) ) a0
Sn an
In
e1
1 xnex dx ，n
0
0,1, 2,,9
。
解：直接积分可得到
I 0
e1
1 e xdx
0
1 e1
0.6321 : I0
In 1 nIn1 精确值
0
0.6321
0.63212…
1
0.3679
0.36787…
2
利用分部积分可得到递推式 ，
3
In 1 nIn1，
4
5
In 1 nIn 1
对阶时 0.0001 0.000000001105 ，计算机表示为0，计算 结果为 0.12345 105 ，结果不可靠。
10000
改变算法：先计算 i =1 ,再与第一项相加得到12346。 i 1
16
4. 绝对值较小的数不宜做分母。 用绝对值很小的数做除数，会使误差增大；还有可能因计
算溢出而停机。
5
0.1480
0.14553…
0.1455
6
0.1120
0.12680…
0.1268
7
0.2180
0.11238…
0.1125
8
-0.7280
0.10093…
0.1000
9
7.5520
0.09161…
0.1000
14
2. 避免两相近数相减。
例如：
x1 x2 时，变换
ln x1- ln x2
ln x1 x2
6
0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120
0.26424… 0.20727… 0.17089… 0.14553… 0.12680…
7
0.2180
0.1123ห้องสมุดไป่ตู้…
8
-0.7280
0.10093…
9
7.5520
0.09161…
13
稳定的算法：
0
In
1 n 1
0，
取 I10 0,
3
误差的来源和基本概念
实际问题 理论数学模型 实际数学模型 数值计算方法 计算机求解
模型误差 由实际问题转化为数学模型时产生的误差。
观测误差 由观测产生的误差。
方法误差 利用数值方法得到的近似解与精确解的误差。
舍入误差 由于计算机在计算过程中只能进行有限位运 算，所以在计算过程中会不断按某种规则进 行舍入，这样会产生舍入误差。
例如： x 0 时，变换 1- cos x sin x sin x 1 cos x
例如：
x 1 时，变换
x1 dt x 1 t2
1 arctan 1 x x2
15
3. 防止大数吃掉小数。 例如：在八位十进制机上计算
10000
12345+ i , i 0.0001, i 1, 2, ,10000. i 1
4
1. 误差
误差的基本概念
设 x 为精确值， x*为 x 的一个近似。 绝对误差（或误差）：即误差本身的大小，记作 e = x - x*。
绝对误差限（或误差限）： |e| = |x - x* | ≤ ɛ，称 ɛ 为绝对误差限，记为 x = x* ± ɛ 。
相对误差：即绝对误差与真值之比，记作 er
x x* x
10
一般地，多元函数情形 A f (x1,, xn ) 设 x1,, xn 的近似值为 x1*,, xn* ，则 A 的近似值为
A* f (x1*,, xn* ),
误差限：
( A*)
n k 1
f xk
*
(xk* );
相对误差限：
* r
r
( A*)
( A*) A*
n k 1
f xk
*
二元函数情形 z f (x, y)
| z z* || f (x, y) f (x*, y*) || f x (x*, y* )(x x* ) f y (x*, y* )( y y* ) | | fx (x*, y*) | (x*) | f y ( x*, y* ) | ( y* )
故 (z*) | fx (x*, y* ) | (x* ) | f y (x*, y*) | ( y* )
数值分析
参考资料：
1.《数值分析》(第5版) 李庆扬、王能超、易大义编 清华大学出版社 2.《数值分析》(第3版) D. Kincaid, W. Cheney, 王国荣等译 机械工业出版社 3.《数值分析》(第2版) Timothy Sauer, 裴玉茹、马赓宇译 机械工业出版社
1
实际问题
第一章 绪论
若 x* 具有n 位有效数字，则其相对误差限为 r
1 10(n1) 21
；
若 x* 的相对误差限 r
1
10 ( n 1)
2(1 1)
，则 x* 至少具有n 位
有效数字。
8
例：要使 20 的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效 数字？
9
4. 函数的误差估计
一元函数情形 y f (x) | y y* || f (x) f (x* ) || f ' (x*)(x x* ) || f '(x*) | (x*) 故 ( y* ) | f ' (x* ) | (x* )
数学模型 (数学问题)
数值解法
计算机求解
解析解的性态
数值分析：主要研究用计算机求解数学问题的数值方法和理论。
2
数值代数：
非线性方程求解、线性方程组求解、特征值/向量问题 数 值 数值逼近：
分 多项式插值、曲线拟合与函数逼近、数值积分和数值微分 析
微分方程数值解：
常微分方程数值解、偏微分方程数值解
注：四舍五入的近似数，从其最后一位数字开始到前面第一位 非零数字为止的所有数字，均是有效数字。
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3. 有效数字与误差限的关系
有效数的浮点表示：具有 n 位有效数字的近似数 x*可以写成标
准形式： x* 0.12 n 10m (1 0) 其绝对误差限： 1 10mn
2
定理：（有效数字和相对误差的关系）
。
由于精确值是不知道的，所以通常取 er 相对误差。
x x* x*
作为 x* 的
相对误差限：记作 r
|
x*
|
。
5
6
1
2. 有效数字 有效数字：若近似值 x* 的误差限是其某一位的半个单位，该位 到 x* 的左边第一个非零数字共有 n 位，则称 x* 具有 n 位有效 数字。
例：取 π=3.141592653…的近似值为3.14, 3.141, 3.142, 3.14159, 3.141592 分别有几位有效数字？
Sk
xSk 1
ak
Pn
(
x)
S0
(k n 1, n 2,,1,0)
则只需n 次乘法， n 次加法即可得到 Pn (x) 的值。
18
3
(xk* ). A*
11
例：已测得某场地长 l 的值为 l* 110m ，宽 d 的值为 d* 80m ，已知 l l * 0.2m, d d * 0.1m ，试求 面积 s ld 的绝对误差限与相对误差限.
2
，
。
数值计算的若干原则
1. 使用稳定的计算公式。
例如：在四位十进制机上计算