2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案
【竞赛试题】2019年全国和高中数学联赛试卷及答案

æ 4ö 【竞赛试题】2019 年全高中数学联合竞赛一试(B 卷) 参考答案及评分标准1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第 9 小题 4 分为一个档次,第 10、 11 小题 5 分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,满分 64 分.1. 已知实数集合{1, 2, 3, x } 的最大元素等于该集合的所有元素之和,则 x 的 值为 .答案:-3 .解:条件等价于1, 2, 3, x 中除最大数以外的另三个数之和为 0 .显然 x < 0 , 从而1 + 2 + x = 0 ,得 x = -3 .2. 若平面向量 a = (2m , -1) 与 b = (2m -1, 2m +1) 垂直,其中 m 为实数,则 a 的 模为 . 答案: 10 . 解:令 2m = t ,则 t > 0 .条件等价于 t ⋅ (t -1) + (-1) ⋅ 2t = 0 ,解得 t = 3 .因此 a 的模为 32 + (-1)2 = 10 .3. 设a , b Î (0, p ) ,cos a , cos b 是方程5x 2 -3x -1 = 0 的两根,则sin a sin b 的 值为. 答案:7 .5解:由条件知 cos a + cos b = 3 , cos a cos b = - 1,从而5 5(s i n a sin b )2 = (1- c os 2 a )(1- c os 2 b ) = 1- cos 2 a - cos 2 b + cos 2 a cos 2 b2 2= (1+ cos a cos b )2 - (cos a + cos b )2 = ÷ æ 3ö - = 7 . ç ÷ ç ÷ çè 5 ø çè5ø 25又由a , b Î (0, p ) 知sin a sin b > 0 ,从而sin a sin b = 7.54. 设三棱锥 P - ABC 满足 PA = PB = 3, AB = BC = CA = 2 ,则该三棱锥的 体积的最大值为 .答案: 2 6 .3解:设三棱锥 P - ABC 的高为 h .取M 为棱 AB 的中点,则h £ PM = 32 -12 = 2 2 .当平面 PAB 垂直于平面 ABC 时, h 取到最大值 2 2 .此时三棱锥 P - ABC 的体r n -rnn积取到最大值 1S⋅= 1 ⋅ = 2 6 .3 D ABC3 35. 将 5 个数 2, 0, 1, 9, 2019 按任意次序排成一行,拼成一个 8 位数(首位不为 0),则产生的不同的 8 位数的个数为 . 答案:95 . 解:易知 2, 0, 1, 9, 2019 的所有不以 0 为开头的排列共有 4´ 4! = 96 个.其中, 除了 (2, 0, 1, 9, 2019) 和 (2019, 2, 0, 1, 9) 这两种排列对应同一个数 20192019 ,其余 的数互不相等.因此满足条件的 8 位数的个数为96 -1 = 95 .6. 设整数 n > 4 ,( x + 2 的值为. 答案:51. y -1)n 的展开式中x n -4 与 xy 两项的系数相等,则 nn解:注意到 ( x + 2 y -1)n= år =0C n x (2 y -1)r . 其中 x n -4 项仅出现在求和指标 r = 4 时的展开式 C 4 x n -4 (2 y -1)4中,其 x n -4 项系数为 (-1)4 C 4 = n (n -1)(n - 2)(n -3) .n24而 xy 项仅出现在求和指标 r = n -1 时的展开式 C n -1x ⋅ (2y -1)n -1 中,其 xy 项系数为 n -1 2 n -3 n -3C n C n -1 4⋅ (-1) = (-1) 2n (n -1)(n - 2) .因此有 n (n -1)(n - 2)(n - 3)= (-1)n -3 2n (n -1)(n - 2) .注意到 n > 4 ,化简得24n - 3 = (-1)n -3 48 ,故只能是 n 为奇数且 n - 3 = 48 .解得 n = 51 .7. 在平面直角坐标系中,若以 (r +1, 0) 为圆心、 r 为半径的圆上存在一点 (a , b ) 满足b 2 ³ 4a ,则 r 的最小值为.答案: 4 .解:由条件知 (a - r -1)2 + b 2 = r 2 ,故4a £ b 2 = r 2 - (a - r -1)2 = 2r (a -1) - (a -1)2 . 即 a 2 - 2(r -1)a + 2r +1 £ 0 . 上述关于 a 的一元二次不等式有解,故判别式(2(r -1))2 - 4(2r +1) = 4r (r - 4) ³ 0 ,解得 r ³ 4 .经检验,当 r = 4 时, (a , b ) = (3, 2 3) 满足条件.因此 r 的最小值为 4 .8. 设等差数列{a n } 的各项均为整数,首项 a 1 = 2019 ,且对任意正整数 n ,总 存在正整数 m ,使得 a 1+ a 2 ++ a n = a m .这样的数列{a n } 的个数为.答案:5 .解:设{a n } 的公差为 d .由条件知 a 1 + a 2 = a k ( k 是某个正整数),则2a 1 + d = a 1 + (k -1)d ,a 1即 (k - 2)d = a 1 ,因此必有 k ¹ 2 ,且d =k - 2.这样就有 a = a + (n -1)d = a + n -1a , n 1 1 k - 2 1í而此时对任意正整数 n ,a +a++ a = a n + n (n -1) d = a + (n -1)a + n (n -1) d 1 2 n 1 2 1 12æ n (n -1) ö = a + (n -1)(k - 2) + d ,确实为{a n } 中的一项.ç 1 çè 2 ø 因此,仅需考虑使 k - 2| a 1 成立的正整数 k 的个数.注意到 2019 为两个素数3 与 673 之积,易知 k - 2 可取-1, 1, 3, 673, 2019 这5 个值,对应得到5 个满足条 件的等差数列.二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9.(本题满分 16 分)在椭圆G 中, F 为一个焦点, A , B 为两个顶点.若 FA = 3, FB = 2 ,求 AB 的所有可能值.解:不妨设平面直角坐标系中椭圆 G 的标准方程为 x2y 2+= 1 (a > b > 0) ,并记 c = a 2 b 2a 2 -b 2 .由对称性,可设 F 为 G 的右焦点. 易知 F 到 G 的左顶点的距离为 a +c ,到右顶点的距离为 a - c ,到上、下顶点的距离均为 a .分以下情况讨论:(1) A , B 分别为左、右顶点.此时a + c = 3, a - c = 2 ,故 AB = 2a = 5 (相应地,b 2= (a + c )(a - c ) = 6 ,G 的方程为4 x 2y 2+ = 1 ). …………………4 分25 6(2) A 为左顶点,B 为上顶点或下顶点.此时 a + c = 3, a = 2 ,故 c = 1 ,进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 3 ,所以 AB =a 2 +b 2= 7(相应的 G 的方程为 x + y = 1 ).4 3…………………8 分(3) A 为上顶点或下顶点, B 为右顶点.此时 a = 3, a - c = 2 ,故 c = 1 ,进2 2而 b 2 = a 2 - c 2 = 8 ,所以 AB =a 2 +b 2 = 17(相应的 G 的方程为 x + y= 1 ).9 8…………………12 分综上可知, AB 的所有可能值为5, 7, 17 . …………………16 分10. (本题满分 20 分)设 a , b , c 均大于 1,满足ìïlg a + log b c = 3, ïîlg b + log a c = 4. 求 lg a ⋅ lg c 的最大值.解:设lg a = x , lg b = y , lg c = z ,由 a , b , c >1可知 x , y , z > 0 . 由条件及换底公式知 x + z = 3, y + z= 4 ,即xy + z = 3y = 4x . y x…………………5 分。
湖南省炎德英才杯2019-2020学年高二下学期基础学科知识竞赛试题 数学 Word版含答案

2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量:120分钟 满分:150分一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。
1.已知命题p :∀x>0,ln(x +1)>0,则命题p 的否定是A.∀x>0,ln(x +1)≤0B.∀x ≤0,ln(x +1)>>0C.∃x 0>0,ln(x 0+1)>0D.∃x 0>0,ln(x 0+1)≤02.已知集合A ={x|-1<x<2},B ={t ∈Z|t =2x +1,x ∈A},则A ∩B =A.{-1,0,1} B{-1,0} C{0,1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ,若a 2a 6=4a 52,则公比q = A.12 B.22 C.2 D.24.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,c =λa +µb ,若a ⊥c ,则下列结论正确的是 Aλ-μ=0 B.λ+μ=0 C.2λ-μ=0 D.2+μ=05.(2x 2+1x)5的展开式中,x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α-4π)sin(34π-α)=33,α∈(3,24ππ),则sin2α= A.231- B.231- C.31- D.31+ 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S 平方厘米,半球的半径为R 厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R 的取值范围为A.(0 ) ) 8.巳知实数a ,b 满足ab>0,则2a a a b a b-++的最大值为A.2B.2C.3-D.3+二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案

2019-2020年高二学业水平考试数学试题含答案一.选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A ={x |x =3n +2,n ∈N },B ={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为()A.5B.4C.3D.22.在x 轴上的截距为2且倾斜角为135°的直线方程为.A .2xyB .2yx C.2yx D .2yx 3.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为A .2πB .3π2C .3πD .4π4.已知角的终边经过点P(-3,4),则下列计算结论中正确的是()A .4tan3B .4sin5C .3cos5D.3sin55.某电视台在娱乐频道节目播放中,每小时播放广告20分钟,那么随机打开电视机观看这个频道看到广告的概率为()A .12 B.13C .14D.166.三个数21log ,)21(,33321c ba 的大小顺序为() A .a cbB .c abC.a bcD.bac7.在等比数列n a 中,)(0*N na n且,16,464a a 则数列n a 的公比q 是()A .1B .2 C.3 D .48.设R ba,且3ba,则ba22的最小值是( ) A. 6B. 24 C. 22 D. 629.已知直线n m l 、、及平面,下列命题中的假命题是() A.若//l m ,//m n ,则//l n . B.若l,//n ,则ln .主视图左视图俯视图C.若//l ,//n ,则//l n .D.若l m ,//m n ,则l n .10.把正弦函数R)(xsinx y 图象上所有的点向左平移6个长度单位,再把所得函数图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍,得到的函数是()A .y=sin 1()26xB.y=sin 1()26xC.y=sin(2)6xD.y=sin (2)3x11.不等式组131y x yx的区域面积是( )A .12B .52C .32D .112.已知圆4)1(22yx 内一点P (2,1),则过P 点最短弦所在的直线方程是() A .01y xB .03y xC .03y xD .2x二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2019—2020学年度高二数学下学期期末考试测试卷(含答案解析)

所以抛物线为
。
设点
,因为
,
所以过点 P 的切线 EF 的方程为
,
。设边缘线 所在的抛
令 ,得
;令 得
所以
的面积为
,
即
,
而
=
由
得,
,
; [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
所以 在
上是增函数,在
上是减函数,
所以 S 在
上有最大值
。
三、解答题
17.(1)
(2)1
18.(1)a=﹣3,b=﹣9,c=2;(2)f(x)最小值=﹣25,f(x)最大值=2.
恒成立,求实数 a 的取值范围.
21.已知函数
(a>0).
(1)讨论函数 f(x)的单调性;
(2)证明:对任意 x∈[1,+∞),有 f (x) 2x a2 .
22.已知函数
.
(1)若函数 在
上是增函数,求正数 的取值范围;
(2)当 时,设函数 的图象与 x 轴的交点为 , ,曲线
分别为 , ,求证: + <0
16.国务院批准从 2009 年起,将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”,为
响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长
方形地块
,边 为 , 为 .地块的一角是草坪(图中阴
影部分),其边缘 线 是以直线 为对称轴,以 为顶点的抛物线的一部
分.现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 , , 分别在
在 , 两点处的切线斜率
[来源
参考答案
一、选择题 1.C 2.C 3.D 6.B 7.D 8.D 9.D 11. 【详解】
4. C 10.A
2019年全国高中数学联赛试卷及答案-10页文档资料

2019年全国高中数学联合竞赛试卷第一试一、选择题本题共有6小题,每题均给出(A )、(B )、(C )、(D )四个结论,其中有且仅有一个是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
1. 给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n },设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…,b n =a 3n -2+a 3n -1+a 3n ,…,则数列{b n } 【答】( ) (A ) 是等差数列 (B ) 是公比为q 的等比数列 (C ) 是公比为q 3的等比数列 (D ) 既非等差数列也非等比数列2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式(|x |-1)2+(|y |-1)2<2的整点(x ,y )的个数是 【答】( ) (A ) 16 (B ) 17 (C ) 18 (D ) 253. 若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y --(log 53)y-,则 【答】( )(A ) x -y ≥0 (B ) x +y ≥0 (C ) x -y ≤0 (D ) x +y ≤0 4. 给定下列两个关于异面直线的命题:命题Ⅰ:若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线,直线c 是α与β的交线,那么,c 至多与a ,b 中的一条相交;命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
那么 【答】( ) (A ) 命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (B ) 命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (C ) 两个命题都正确 (D ) 两个命题都不正确5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。
那么,在上述3名选手之间比赛的场数是 【答】( ) (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) 36. 已知点A (1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ,C ,那么,△ABC 是(A ) 锐角三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 不确定 【答】( ) 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案.doc

2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号( 11)(12)( 13)(14)( 15)得分评卷员A.B.C.D.2.C.考虑对立事件: a 与 b, c 与 d, e 与 f 为正方体的对面,ab 有种填法, cd 有种填法, ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法,所以符合题意的概率为:.3.定义两种运算:,,则函数为()(A)奇函数( B)偶函数(C)奇函数且为偶函数( D)非奇函数且非偶函数3.A.f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4.圆周上按顺时针方向标有1, 2, 3, 4, 5 五个点,一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点.若起跳点为奇数,则落点与起跳点相邻;若起跳点为偶数,则落点与起跳相隔一个点.该青蛙从 5 这点开始起跳,经xx 次跳动,最终停在的点为( ▲)A. 4 B. 3 C. 2 D.14. D.二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上.5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi,则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得:即z=2-2i.6.在直角坐标系中,若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线,则m 的取值范围为.6.(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点( 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点(5又由 e>1,可得 0<m<5.7.直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示,在第一象限内,圆x2+y2=50 上的整点有( 1, 7)、(5, 5)、( 7,1),则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个,此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线,过12 个点的切线也有12 条,又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0)不过坐标原点,故其中有 6 条过原点的直线不合要求,符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17.如图的三角形数阵中,满足:(1)第1行的数为1;( 2)第 n( n≥ 2)行首尾两数均为n,其余的数都等于它肩上的两个数相加.则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____(用 n 表示) .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解:设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示,则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ,∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ,∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数,即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369.若的两条中线的长度分别为 6, 7,则面积的最大值为 ..如图, D,E,F 是各边的中点,延长BE 至 G ,使得 BE=BG ,延长 BC 至 H ,使得 DC=CH ,连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ,则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ,即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10.已知是定义( -3,3)在上的偶函数,当 0<x<3 时,的图象如图所示,那么不等式的解集是.10..由已知在 (0,3)图像我们可以得到在(-3, 3)上的整体图像,加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题:本大题共5 小题,共 90 分.要求写出解答过程.11.(本小题满分 15 分)已知函数,是的导函数.(Ⅰ)求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期;(Ⅱ)若,求的值 .11.( Ⅰ ) ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时,4 8最小正周期为8 分(Ⅱ )∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312.(本小题满分15 分)如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成,其中,.它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为,,.(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦;(Ⅱ)在线段上是否存在点,使平面.若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.解: (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 (分)1 b . 32 1 2a2以点 B为原点,分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分)Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分)3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分)2 2 63所求角的正弦值为6.(10分)uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m(11分)uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解( 14分)322m23不存在满足条件的点 P .( 15 分)13.(本小题满分 20 分)已知椭圆的中心在坐标原点, 左顶点, 离心率, 为右焦点, 过焦点的直线交椭圆于、 两点(不同于点).(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当时,求直线PQ 的方程;(Ⅲ)判断能否成为等边三角形,并说明理由.13.解:(Ⅰ)设椭圆方程为 (a>b>0) ,由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为. ------------------------------------------------- 4 分(Ⅱ)解法一 椭圆右焦点.设直线方程为(∈R ).----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 .①-----------6 分43显然,方程①的.设,则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9. ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 .12123m 2 4 23m 2 4∵,∴ .解得.∴直线 PQ 方程为,即或.---------- 12 分解法二:椭圆右焦点.当直线的斜率不存在时,,不合题意.设直线方程为,-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 .①----6 分显然,方程①的.设,则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2.分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 .4k 2 3 4k2 3∵,∴,解得.∴直线的方程为,即或.--------12 分(Ⅲ)不可能是等边三角形.------------------------------------------------13 分如果是等边三角形,必有,∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22,∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ,∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ,------------------------------16 分∵,∴,∴,∴,或(无解).而当时, PQ 3, AP AQ 3 52,不能构成等边三角形.∴不可能是等边三角形.------------------------------------------------------------ 20分14.设抛物线的焦点为F,动点P 在直线上运动,过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .(1)求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .( 2)证明∠ PFA=∠ PFB.14.解:( 1)设切点 A 、 B 坐标分别为,∴切线 AP 的方程为:切线 BP 的方程为:解得 P 点的坐标为:所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ,y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为:x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur( 2)方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1:因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外,则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2:①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为: d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2,即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为,则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时,直线 AF 的方程: y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程: y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 :| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离,因此由 d 1=d 2 ,可得到∠ AFP=∠ PFB .14.(本小 分20 分)x=l 是函数的一个极 点(, 自然 数的底) .( 1)求与的关系式(用表示) ,并求的 区 ;( 2)若在 区 上的最小 0,最大 , 且。
2019年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)

2019年全国高中数学联合竞赛一试(B 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和,则x 的值为 .答案:3-.解:条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0.显然0x <,从而120x ++=,得3x =-.2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直,其中m 为实数,则a 的模为 .答案解:令2m t =,则0t >.条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=,解得3t =.因此a=.3. 设,(0,)a b p Î,cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根,则sin sin a b 的值为 .答案:5. 解:由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-,从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè.又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >,从而sin sin 5a b =. 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====,则该三棱锥的体积的最大值为 .答案:3. 解:设三棱锥P ABC -的高为h .取M 为棱AB 的中点,则h PM £==.当平面PAB 垂直于平面ABC 时,h 取到最大值.此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==.5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同的8位数的个数为 .答案:95. 解:易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个.其中,除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019,其余的数互不相等.因此满足条件的8位数的个数为96195-=.6. 设整数4n >,(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等,则n 的值为 .答案:51.解:注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å.其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中,其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=.而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中,其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---. 因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---.注意到4n >,化简得33(1)48n n --=-,故只能是n 为奇数且348n -=.解得51n =.7. 在平面直角坐标系中,若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³,则r 的最小值为 .答案:4.解:由条件知222(1)a r b r --+=,故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---.即22(1)210a r a r --++£.上述关于a 的一元二次不等式有解,故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³,解得4r ³.经检验,当4r =时,(,)(3,a b =满足条件.因此r 的最小值为4.8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数,首项12019a =,且对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得12n m a a a a +++=.这样的数列{}n a 的个数为 .答案:5.解:设{}n a 的公差为d .由条件知12k a a a +=(k 是某个正整数),则 112(1)a d a k d +=+-,即1(2)k d a -=,因此必有2k ¹,且12ad k =-.这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-,而此时对任意正整数n ,12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø, 确实为{}n a 中的一项.因此,仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数.注意到2019为两个素数3与673之积,易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值,对应得到5个满足条件的等差数列.二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(本题满分16分)在椭圆G 中,F 为一个焦点,,A B 为两个顶点.若3,2FA FB ==,求AB 的所有可能值.解:不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,并记c =F 为G 的右焦点.易知F 到G 的左顶点的距离为a c +,到右顶点的距离为a c -,到上、下顶点的距离均为a .分以下情况讨论:(1) ,A B 分别为左、右顶点.此时3,2a c a c +=-=,故25AB a ==(相应地,2()()6b a c a c =+-=,G 的方程为2241256x y +=). …………………4分(2) A 为左顶点,B 为上顶点或下顶点.此时3,2a c a +==,故1c =,进而2223b a c =-=,所以AB ==G 的方程为22143x y +=). …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点,B 为右顶点.此时3,2a a c =-=,故1c =,进而2228b a c =-=,所以AB ==G 的方程为22198x y +=).…………………12分 综上可知,AB的所有可能值为5,. …………………16分10. (本题满分20分)设,,a b c 均大于1,满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值.解:设lg ,lg ,lg a x b y c z ===,由,,1a b c >可知,,0x y z >.由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=,即34xy z y x +==.…………………5分由此,令3,4(0)x t y t t ==>,则241212z x xy t t =-=-.其中由0z >可知(0,1)t Î. …………………10分因此,结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø. 当22t t =-,即23t =(相应的,,a b c 分别为8833100,10,10)时,lg lg a c 取到最大值163. …………………20分11. (本题满分20分)设复数数列{}n z 满足:11z =,且对任意正整数n ,均有2211420n n n n z z z z ++++=.证明:对任意正整数m ,均有123m z z z +++<. 证明:归纳地可知*0()n z n N ¹Î.由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø,解得*11()4N n n z n z +-=Î. …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===,故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î. ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î. ②…………………10分当m 为偶数时,设*2()N m s s =Î.利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå. …………………15分 当m 为奇数时,设21()N m s s =+Î.由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå, 故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå. 综上,结论获证. …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)参考答案及评分标准说明:1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次,不得增加其他中间档次.一、(本题满分40分)设正实数12100,,,a a a 满足101(1,2,,50)i i a a i -³=.记112(1,2,,99)k k kka x k a a a +==+++.证明:29912991x x x £.证明:注意到12100,,,0a a a >.对1,2,,99k =,由平均值不等式知121210kk k k a a a a a a æöç<£çç+++èø, ……………10分 从而有9999299112991111212kk k k k k k k ka k x x x a a a a a a a ++==æö÷ç÷=£ç÷÷ç+++èø . ①………………20分记①的右端为T ,则对任意1,2,,100i =,i a 在T 的分子中的次数为1i -,在T 的分母中的次数为100i -.从而10121005050210121012(101)101101101111ii i i i i i i i i i ia T a a a a -------===æö÷ç÷===ç÷ç÷èø .………………30分又1010(1,2,,50)i i a a i -<£=,故1T £,结合①得29912991x x x T ££. ………………40分二、(本题满分40分)求满足以下条件的所有正整数n :(1) n 至少有4个正约数;(2) 若12k d d d <<< 是n 的所有正约数,则21321,,,k k d d d d d d ---- 构成等比数列.解:由条件可知4k ≥,且3212112kk k k d d d d d d d d -----=--. ………………10分 易知112231,,,k k k n nd d n d d d d --====,代入上式得3222231n n d d d n n d d d --=--, 化简得223223()(1)d d d d -=-. ………………20分由此可知3d 是完全平方数.由于2d p =是n 的最小素因子,3d 是平方数,故只能23d p =. ………………30分从而序列21321,,,k k d d d d d d ---- 为23212,1,,,k k p p p p p p p ------ ,即123,,,,k d d d d 为21,1,,,k p p p - ,而此时相应的n 为1k p -.综上可知,满足条件的n 为所有形如a p 的数,其中p 是素数,整数3a ≥. ………………40分三、(本题满分50分)如图,点,,,,A B C D E在一条直线上顺次排列,满足BC CD ==,点P 在该直线外,满足PB PD =.点,K L 分别在线段,PB PD 上,满足KC 平分BKE ,LC 平分ALD .证明:,,,A K L E 四点共圆.(答题时请将图画在答卷纸上)证明:令1,(0)AB BC CD t ===>,由条件知2DE t =.注意到180BKE ABK PDE DEK < = < - ,可在CB 延长线上取一点A ¢,使得A KE ABK A BK ¢¢ = = . ………………10分此时有A BK A KE ∽¢¢D D ,故A B A K BKA K A E KE¢¢==¢¢. ………………20分 又KC 平分BKE ,故211BK BC t KE CE t t t===++.于是有 22112A B A B A K BK AB A E A K A E KE t t AEæö¢¢¢÷ç=⋅===÷ç÷碢¢èø++. …………30分 由上式两端减1,得BE BEA E AE=¢,从而A A ¢=.因此AKE A KE ABK ¢ = = . 同理可得ALE EDL = .而ABK EDL = ,所以AKE ALE = .因此,,,A K L E 四点共圆. ………………50分四、(本题满分50分)将一个凸2019边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之一,每种颜色的边各673条.证明:可作这个凸2019边形的2016条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017个三角形,并将所作的每条对角线也染AA (为红、黄、蓝三种颜色之一,使得每个三角形的三条边或者颜色全部相同,或者颜色互不相同.证明:我们对5n ≥归纳证明加强的命题:如果将凸n 边形的边染为三种颜色,,a b c ,并且三种颜色的边均至少有一条,那么可作满足要求的三角形剖分. ………………10分当5n =时,若三种颜色的边数为1,1,3,由对称性,只需考虑如下两种情形,分别可作图中所示的三角形剖分.若三种颜色的边数为1,2,2,由对称性,只需考虑如下三种情形,分别可作图中所示的三角形剖分.………………20分假设结论对(5)n n ≥成立,考虑1n +的情形,将凸1n +边形记为121n A A A + . 情形1:有两种颜色的边各只有一条.不妨设,a b 色边各只有一条.由于16n +≥,故存在连续两条边均为c 色,不妨设是111,n n n A A A A ++.作对角线1n A A ,并将1n A A 染为c 色,则三角形11n n A A A +的三边全部同色.此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条,由归纳假设,可对其作符合要求的三角形剖分.………………30分 情形2:某种颜色的边只有一条,其余颜色的边均至少两条.不妨设a 色边只有一条,于是可以选择两条相邻边均不是a 色,不妨设111,n n n A A A A ++均不是a 色,作对角线1n A A ,则1n A A 有唯一的染色方式,使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色.此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条,由归纳假设,可对其作符合要求的三角形剖分. ………………40分情形3:每种颜色的边均至少两条.作对角线1n A A ,则1n A A 有唯一的染色方式,使得三角形11n n A A A +的三边全部同色或互不同色.此时凸n 边形12n A A A 的三种颜色的边均至少有一条,由归纳假设,可对其作符合要求的三角形剖分.综合以上3种情形,可知1n +的情形下结论也成立.由数学归纳法,结论获证. ………………50分。
2019年中国数学奥林匹克完整试题及解析

题 5. 数列 {an } 定义如下: 正整数 a1 > 1, an+1 = an + P (an ), n ≥ 1, 其中, P (x) 表示正整数 x 的最 大素因子. 证明: 数列 {an } 中有完全平方数.
题 6. 是否存在正实数 a1 , a2 , · · · , a19 ,使得多项式 P (x) = x20 + a19 x19 + · · · + a1 x + a0 无实数根, 但是任意调换两个系数 ai , aj 形成的新多项式都有实根.
(1)设序列 (ai ) 使 a + b + c + d 取到最大, 令 ci = 根
,下标模 40 理解.
据上一段, ci 满足题目条件, 而且(1) 中目标函数在序列 (ai ) 和 (ci ) 上取值相同, 因此可以只对具有
周期 10 的序列考虑这个最大值. 此时 a = b = c = d.
a20+k = − k (0 ≤ k ≤ 10), a30+k = a40 − k = − − k (0 ≤ k ≤ 5)
时取等.
(解题人:龚 固)
题 2. 已知: △ABC 中, AD 为角平分线, E 为 AD 上一点, EF 、EG 为 △ABD 、△ACD 外接圆 切线, F 、G 分别为切点, CF 交 BG 于 J . 过 J 的 BC 平行线交 DF 、DG 、DE 于 H 、I 、K .
(a29+k + a41 − k ) + (a15 + a35 )
≥ (x − 2k) + (x − 2k) + (x − 18 − 2k) + (x − 20)
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----6 分
显然,方程①的.
设,则
x1
x2
8k 2 3 4k 2
,
x1
x2
4k 2 3
12 4k 2
.
-------8 分
PQ
1 k 2 x1 x2 2 4x1 x2
1 k2
3
8k 2 4k
2
2
4
4k 2 3
12 4k 2
=12
k2 1 2 4k 2 3 2
12
(A)奇函数 ~(C)奇函数且为偶函数
(B)偶函数 (D)非奇函数且非偶函数
3.A. f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) .
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4.圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点,一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳
(Ⅱ)若,求的值.
11.(Ⅰ)∵
2分
∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x )
6分
4
∴当 2x 2k x k k Z 时,
4
2
8
最小正周期为
8分
:
(Ⅱ)∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x
ADHG 是平行四边形.
A
G
故 CF=EH,AD=EH.
故△EGH 的三边 EH、EG、EH 分别是△ABC 的三边的中
F
E
线 AD、BE、CF,即、、.
.
由共边定理知,
2
4
SABC 2SBCE 2 3 SBEH 3 SEGH
B
D
C
H
.
10.已知是定义(-3,3)在上的偶函数,当 0<x<3 时,的图象如图所示,那么不等式的解集
左向右的侧视图的面积分别为,,.
(Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦;
(Ⅱ)在线段上是否存在点,使平面.若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由.
?
解:(1)设BA BC BD a, BB1 b.
由条件
ab
1 2
a
2
1 a2 2 1
2
2
1
a
2(. 3分)
b 2
以点B为原点,分别以BC、BB1、BA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则
题号 一
~
得分
二
三
合计
(11) (12) (13) (14) (15)
|
@
评卷员
A.
B.
C.
D.
2. C.考虑对立事件:a 与 b,c 与 d,e 与 f 为正方体的对面,
ab 有种填法,cd 有种填法,ef 有 2 种填法,而整体填法
共有种填法,所以符合题意的概率为:
.
3.定义两种运算:,,则函数为( )
!
14.设抛物线的焦点为 F,动点 P 在直线上运动,过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB,且与 抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.
(1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.
14.解:(1)设切点 A、B 坐标分别为,
∴切线 AP 的方程为:
切线 BP 的方程为:
∴ my1 y2 6my1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ,------------------------------16 分
∵,∴,∴, ∴,或(无解).
而当时, PQ 3, AP AQ 3 5 ,不能构成等边三角形. 2
∴不可能是等边三角形.------------------------------------------------------------20 分
∴ cos x 3sin x tan x 1 3
11 分
∴
1 sin2 x cos2 x sin x cos
x
2sin2 x cos2 x cos2 x sin x cos x
11 2 tan2 x 1 9 11
1 tan x 2 6
15 分
3
12.(本小题满分 15 分) 如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成,其中,.它的正视图、俯视图、从
1 4
)(
x0
2
x1
)
x02
x1
( x02
1)2 4
x02
1 4
x0
|
|
x0
2
x1 )(x02
x02
∴ 5 x 2 ( y 1) 2 其表示双曲线上一点(x,y)到定点(0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x2y3| 5
又由 e>1,可得 0<m<5.
7.直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2=50 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,
A(0,0, 2),C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0, 2,0),C1( 2, 2,0), A1(0, 2, 2)(5分)
ACD的重心G
2 , 3
2, 3
2 3
.
a
BG=
2 , 3
2, 3
2 3
为平面ACD的法向量.(7分)
CA1 (
2, 2,
2),则cos a, CA1
k2 4k 2
1 3
.
∵,∴,解得. ∴直线的方程为,即或. --------12 分
)
(Ⅲ)不可能是等边三角形. ------------------------------------------------13 分 如果是等边三角形,必有,
∴ x1 22 y12 x2 22 y22 ,∴ x1 x2 4x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ,
.
~
5.2-2i.由题意知 b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得:
即 z=2-2i.
6.在直角坐标系中,若方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 表示的曲线是双曲线,则 m 的取值范
围为
.
6.(0,5).方程 m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2 可以变形为 m=,即得,
到另一点.若起跳点为奇数,则落点与起跳点相邻;若起跳点为偶数,则落点与起跳相隔一个点.该
青蛙从 5 这点开始起跳,经 xx 次跳动,最终停在的点为 ( ▲ )
A.4
B.3
C.2
D.1
4.D. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分.把答案填在题中横线上.
5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi,则复数 z=
-----------------------------------------2 分 -------------------------------------------------4 分
椭圆右焦点.
设直线方程为(∈R).
----------------------------------5 分
解得 P 点的坐标为:
所以△APB 的重心 G 的坐标为 ,
)
yG
y0
y1 3
yP
x02
x12 x0 x1 3
( x0
x1)2 3
x0 x1
4xP2 3
yp
,
所以,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
x (3y 4x2 ) 2 0,即y 1 (4x2 x 2). 3
那么这样的直线有
条.
7. 72.如图所示,在第一象限内,圆 x2+y2=50 上的
整点有(1,7)、(5,5)、(7,1),则在各个象限内圆
;
上的整点的个数共有 12 个,此 12 个点任意两点相连可
得 C=66 条直线,过 12 个点的切线也有 12 条,又直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0)不过坐标原点, 故其中有 6 条过原点的直线不合要求,符合条件的直线共有 66+12-6=72 条.
是
.
10..由已知在(0,3)图像我们可以得到在(-3,3)上的整体图像,加上正弦函数的图像性
质由数形结合思想可得到其解集是.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 90 分.要求写出解答过程. 11.(本小题满分 15 分) 已知函数,是的导函数.
!
(Ⅰ)求函数 F x f x f ' x f 2 x 的最大值和最小正周期;
1)2 4
| FP |
同理有 cos BFP
FP FB
x0
2
x1
x1
(
x0
x1
1 4
)(
x12
1) 4
x0
x1
1 4
,
| FP || FB |
| FP |
x12
( x12
1)2 4
| FP |
∴∠AFP=∠PFB.
、
方法 2:①当 x1x0 0时,由于x1 x0 ,不妨设x0 0,则y0 0, 所以 P 点坐标为,则 P 点到
13.(本小题满分 20 分)
已知椭圆的中心在坐标原点,左顶点,离心率,为右焦点,过焦点的直线交椭圆于、两点(不
同于点).