第十六章分式
第十六章分式复习课件
分式的值
不变
AXM (B X M )
A B
=
A÷M ( B÷M )
(其中M为
不为0
的整式)
( -A )
2.分式的符号法则:
A B -A -B A ( B )
= =
A
(-B )
=
-A ( -B )
B
=
=
( -A ) B
=
-A ( B )
C
A
2x 3y 3. 若分式 的分子、分母都变 x 3y 为原来的3倍，则此分式的值( )
分式复习课
分式的概念、性质
分式的乘除、加减 分式方程及其应用
1.分式的定义:
A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
B≠0 B=0 A=0且 B ≠0
2.分式有意义的条件: 分式无意义的条件: 3.分式值为 0 的条件: A B > 0 的条件:
4.分式 分式
A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0
b的取值范围,其解有以下三种情况:
(1)当a≠0时,方程有且只有一个解.
(2)当a=0,b≠0时,方程无解. (3)当a=0,b=0时,方程有无数多个解. 即对一切实数x,方程都成立.
分式方程无解可以从两个角度进行考虑： 一是：分式方程转化为的整式方程， 整式方程本身无解；
二是：分式方程转化为的整式方程，
5个零件，求两人每小时各加工的零件个数.
解：设甲每小时加工x个零件， 则乙每小时加工（x+5)个零件， 由题意得：
180 x 240 = x5
第十六章分式复习
第十六章分式知识点和典型例习题第一讲 分式的运算【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac ∙=,b c b d bda d a c ac ÷=∙= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )n = a mn7.负指数幂: a -p =1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x（3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 1-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：M B MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx 11+. 【例4】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.（三）分式的运算1．确定最简公分母的方法： ①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）112---a a a（4）mn mn m n m n n m ---+-+22；（5） 2121111x x x ++++- （6）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+--（4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯.第二讲 分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程 （1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。
华东师大版初中数学八年级下册课件：第16章 分式4.28
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第16章 分式 16.1 分式及其基本性质
2.分式的基本性质
情境导入
你还记得分数的 基本性质吗？
分数的基本性质：分数的分子和分 母同时乘或者除以相同的数(0除外)， 分数的大小不变。
探究新知
想一想
1.
3 6
1 2
的依据是什么？
2.
2 3
与
4 5
相等吗？
在进行分数的化简与运算时，常常 要进行约分和通分，其主要依据是分数 的基本性质.
xy 2 y
解：x2 4 xy 2 y
x 2 x 2 = x 2 y
x2 y
3
2ab 3ab
2a 2 3b2
;
解：2ab 2a2 3ab 3b2
，
1
1x y
x y
x y = x y x y = x2 y2 .
3因为x2 y2 = x y x y，x2 xy=x x y，
所以
x2
1
y2
与
x2
1
xy
的最简公分母为x
x
y
x
y，
因此， x2
1
y2
=x
1 x
y x
y
x
x3
x xy2
x2
1
xy
1x y xx yx
x x y
例2
当x取什么值时，下列分式有意义？
1 x ;
x1
2 x 2 .
2x 3
要使分式有意义，必须且只需分母的值不等于零.
解
（1）分母 x – 1 ≠ 0，即 x ≠ 1.
x
所以，当 x ≠ 1时，分式 x 1 有意义.
（2）分母 2x + 3 ≠ 0，即 x ≠ 3 .
第十六章《分式》单元分析
第十六章《分式》单元分析一、单元教学目标知识技能：1.以描绘实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式.2.类比分数的基本性质，理解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则.3.类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则.4.结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系.5.理解分式方程的解法，讨论能够化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想，结合分析和解决实际问题，提升学生应用数学的意识．数学思考：学生在原有知识和经验的基础上，通过小组合作交流，掌握分式的相关知识，初步形成从特殊到一般的思维方式，在多种形式的数学活动中发展合情推理水平．经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中培养学生分析问题、解决问题的水平水平，改变学生的学习方式．在发现法则的基础上，再使用这些法则解决问题，让学生在实践中对分式的知识有一个完整深刻的理解．问题解决：通过对分式的学习让学生注重生活，学会观察，增强交流，培养学生利用分式的相关知识发现并提出问题的水平，尝试用不同的方法分析问题和解决问题．提升计算水平，体会解方程中的化归思想，提升使用知识和技能解决问题的水平,发展应用数学意识．情感态度：能初步应用本章所学的知识解决简单的实际问题，在思考、分析和解决问题的过程中，理解数学严谨和应用广泛的特点，提升计算水平，体会数学的应用价值．在小组合作交流的探索过程中，勇于发表自己的见解，体验探究数学结论的乐趣．注重经历观察、推理、想象等探索过程，形成数学的应用意识．二、单元重难点指导单元重点：分式的基本性质、解分式方程、分式方程的应用．本章的主要内容是从生活中的生活经验和数学活动入手，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从现实生活中的实际问题开始，引出分式的概念. 类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质，类比幂的相关运算得到负指数意义，同时利用分式来解决我们用整式所不能解决的问题.分式的基本性质是整章的中心与灵魂，是整章的重点，可类比小学所学过的分数的基本性质来理解分式的基本性质，掌握分式方程的解法，体会解方程中的化归思想，解分式方程时需要验根,这也是解分式方程与整式方程最大的区别,同时灵活的应用分式方程来解决现实生活中的实际问题，才是我们学习的根本目的．单元难点：分式的基本性质、解分式方程、分式方程的应用．虽然学生小学学过度数,但在由数向式的变化过程中,学生依然会感觉到一定的难度,所以要多用类比的方法,解分式方程时要注意解题步骤,验根的环节不要丢掉,所以在突破难点时，要增强分式运算的练习,另外以分式为工具,提升学生把实际问题转化为数学问题的水平,表达数学的建模思想,培养学生的创新精神.突破难点时，教师在教学中应做到让学生自主探究，体验结论产生的过程，体会在实践操作中得到数学知识的思想方法，使学生能够充分理解运算的理由，在应用分式解决问题时，就会得心应手，做到灵活应用.要充分发挥学生的主观能动性，调动他们学习的积极性，让全体学生参与进来，做到全体学生都能很好的理解分式的相关知识，从而用分式来解决生活中遇到的实际问题．三、单元知识及与其它相关单元的知识联系本单元的主要内容为分式的基本概念,分式的基本性质、分式方程的解法、分式方程的应用，本单元知识是以分数、一元一次方程、以及幂的相关知识为基础,通过类比的思想,从具体到抽象、从特殊到一般,形成了分式完整的知识体系.虽然分式与整式形成了鲜明的比照，但分式在运算和应用中与整式具有紧密的联系，同时利用分式也能够解决利用整式所不能解决的问题，在应用中正好形成了互补，从而更好地解决生活中遇到的问题．。
人教版数学八年级下册第十六章分式
分式1. 分式的概念（1）如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式。
（2）分式与整式的区别： 分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。
例：()7m n p +为整式，m n c为分式。
2. 分式有意义 分式的分母不能为0，即A B中，0B ≠时，分式有意义。
（因为分母表示除数，除数不能为0）3. 分式的值为0的条件分子为0，且分母不为0，对于A B，即00A B =≠⎫⎬⎭时，0AB=. 4. 分式（数）的基本性质分式（数）的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式（数），分式（数）的值不变。
,A A M A A M B B MB B M⋅÷==⋅÷（M 为≠0的整式）5. 分式通分应注意（1）通分的依据是分式的基本性质。
（2）通分后的各分式的分母相同。
（3）通分后的各分式分别与原来的分式相等。
（4）通分的关键是确定最简公分母。
（5）分式的通分与分数的通分类似。
6. 分式通分的步骤 （1）确定最简公分母①取各分母系数的最小公倍数。
②凡出现的字母（或含字母的式子）为底的幂的因式都要取。
③相同字母（或含字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
④当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。
（2）将各分式化成相同分母的分式。
7. 分式的约分（1）约分的依据：分式的基本性质 （2）约分后不改变分式的值。
（3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式。
8. 分子的变号规则 分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。
用式子表示为：9. 分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
10. 分式的乘方分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即nnna ab b =⎛⎫ ⎪⎝⎭11. 分式的加减（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
华师版八下数学第16章分式知识归纳
华东师大版八年级下册数学第16章 分式§16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。
其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。
3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。
4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。
即，使BA =0的条件是：A=0，B ≠0。
5、有理式整式和分式统称为有理式。
整式分为单项式和多项式。
分类：有理式单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；⎪⎩⎪⎨⎧−→−⎩⎨⎧分式多项项单项式整式多项式：由几个单项式的和组成的代数式。
二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A B = A ·M B ·M= A÷M B÷M ，其中M （M ≠0）为整式。
2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的一般方法是：（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。
（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
八年级数学第十六章分式
第十六章 分式16．1．1 从分数到分式知识领航：1．一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式． 2．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零． 3．由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．例题解析：【例】当x 取什么值时，下列分式有意义．（1）54+x x ， （2）422+x x.双基淘宝 1、式子①x 2 ②5y x + ③a -21 ④1-πx 中，是分式的有（ ） A ．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④2．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成______吨．3．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成______小时． 4. 若分式1-x x无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1± 5．当x ＜0时，xx ||的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定6.如果分式x 211-的值为负数,则的x 取值范围是( ) A.21≤x B.21<x C.21≥x D.21>x7.当_____时,分式4312-+x x 无意义；当______时,分式68-x x有意义. 8.当_______时,分式534-+x x 的值为1；当______时,分式51+-x 的值为正；当______时分式142+-x 的值为负. 9．分式yx，当字母x 、y 满足______时，值为1；当字母x ，y 满足______时值为－1． 10．若分式ba ba 235+-有意义，则a 、b 满足的关系是（ ）A ．3a ≠2bB ．b a 51=/C ．a b 32-=/ D ．b a 32-=/.综合运用 11.要使分式221yx x -+的值为零，x 和y 的取值范围是什么？12．x 取什么值时，分式)3)(2(5+--x x x （1）无意义？（2）值为零？ （3）值为1？13．学校用一笔钱买奖品，若以1支钢笔和2本日记本为一份奖品，则可买60份奖品；若以1支钢笔和3本日记本为一份奖品，则可买50份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以买多少支？14．已知分式,by ay +-当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0，求当y ＝－7时分式的值．．拓广创新15．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用x （1≥x ）单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为x+11．现有a （2≥a ）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．16．1．2分式基本性质知识领航：1．分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷= （0≠C ） 2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质． 3．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。
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第十六章分式
16、1分式16、1、1从分数到分式
学习目标：1、了解分式产生的背景和分式的概念以及分式与整式概念的区别与联系。
2、掌握分式有意义的条件，进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感。
3、以描述实际问题中的数量关系为背景，体会分式是刻画现实生活中数量关系的一类代数式。
重点：分式的概念和分式有意义的条件。
难点：分式的特点和分式有意义的条件。
一、预习新知：
1、什么是整式？
2、下列各式中，哪些是整式？哪些不是整式？两者有什么区别?
1x -y 1 x-2y
—a；2x+y ；；；；3a ；5
22 a x
3、阅读“引言”，“引言”中出现的式子是整式吗？
4、
自主探究：完成P
2的“思考”，通过探究发现，
s V10060
与分数
、、
a s20 v20-v
样，都是的形式，分数的分子A与分母B都是
并且B中都含有 _____________ 。
5、归纳：分式的意义：________________________________________________________________ 。
上面
1 x - 2y s V 所看到的100
、
-6^都是。
a x a s20 v20-v
我们小学里学过的分数有意义的条件是。
那么分式有意义的条件是_______________________________ 。
二、课堂展示：
例1、在下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1 ）、5x-7 ；（2）、3X2-1；（3）；（4）、皿P）；（5）、一5 ；（6）、
2a+1 7
-xy y2
2x -1
⑺、2；（8）、壮
例2、P3的“例1
例3、x 为何值时，下列分式有意义?
例4、x 为何值时，下列分式的值为 0 ?
三、随堂练习: P 4的“练习”
四、课堂检测：
2 2
十一 ―
x + y “、
3
/ c 、x 1 x +xy + y “、 a — b / 小
1、 下列各式中，（1）
（2）
--- （3）
（ 4）
（ 5）
（6）
x —y x+1 3x
兀
兀一 3.14
0.整式是 _______________ ，分式是 ______________________ 。
（只填序号）
x x 2 _1 2、 当x= ______ 时，分式 ------ 没有意义。
3、当x= _________ 时，分式 ------- 的值为0 。
x +2
x + 1
4、 当x= ______ 时，分式的值为正，当x= _________________ 时，分式的值非负。
x 2 a 2+1
5、 甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同而行则b 小时甲追上乙， 那么甲的速度是乙的速度的（
）倍.
A a b
仆 b
_b a
^b-a
A .
B .
C .
D
b a b b-a b a
6、 “循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式•如果一次乒乓球比赛有 x 名
选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 _____________ 场
7、使分式
2
x '3
没有意义的x 的取值是（
x 2 _X _6
(1 )、
x X —1
(2)、
x 2 -6x 5
(3)、
a 2 —4
(1 )、
X-1 x 1
(2)、
X 2 一9 x 3
(3)、
a 2 -1 a 1
x —1 x -1
)A. — 3、B. — 2、C. 3 或一2、D. ±
五、小结与反思:。