平面汇交力系合成与平衡的几何法
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工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
02平面汇交力系
与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
(土建施工)教学设计-平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件
平面汇交力系合成的几何法及平衡的几何条件
一、教学内容
知识目标：了解平面汇交力系概念；
熟悉平面汇交力系合成的几何法及力多边形法那么；
掌握平面汇交力系平衡的几何条件。
能力目标：具备分析平面汇交力系几何法平衡求解未知力能力。
二、教学重难点
重点：平面汇交力系合成的几何法。
难点：平面汇交力系平衡的几何条件。
三、教学方法
采用线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。
四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP部署任务，学生在课前平面力系中汇交力系的特点，以及答复教师在云课堂APP中提出其它相关问题。
课中：教师首先举例讲解平面汇交力系的概念，并以提问的方式请学生答复力的平行四边形法那么求解合力，之后引出平面汇交力系合成的几何法，讲解力的三角形法那么与力的多边形法那么的区别与联系；重点分析平面汇交力系平衡的几何条件，讲解例题分析几何法求解未知力的步骤及缺乏；最后请小组互相说明本节课的重点及需要注意的事项，小组进行互评打分，最后老师点评。
课后：教师通过云课堂APP部署相关知识点的作业，要求学生按时完成，教师对作业进行批改，总结学生学习的缺乏。
五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务部署。
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
平面汇交力系的合成与平衡
单元02 平面力系平面汇交力系的合成与平衡一、平面汇交力系合成的几何法1.两个共点力合成的几何法可以由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理求合力的大小；由正弦定理确定合力方向2.任意个共点力合成的几何法结论：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力等于零。
特点：最后一个力矢的终点与第一个力矢的起点相重合，即封闭边为零。
合力为零意味着力多边形自行封闭。
例：解：三、力在坐标轴上的投影四、合力投影定理1）平面汇交力系的合力F R= F1+ F2+…+ F n = ∑F2）合力在坐标轴的投影等于各分力在同轴上投影的代数和合力投影定理:力系的合力在某轴上的投影,等于力系中各力在同一轴上投影的代数和。
五、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡条件平衡方程:例题1：求如图所示平面共点力系的合力。
其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
解：根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：合力的大小：171.3N合力与轴x的夹角的正切为：8.343所以，合力与轴x的夹角为41°例题2：如图所示是汽车制动机构的一部分。
司机踩到制动蹬上的力F=212 N，方向与水平面成 = 45°角。
当平衡时，DA铅直，BC水平，试求拉杆BC所受的力。
已知EA=24cm，DE=6 cm(点E在铅直线DA上) ，又B ，C ，D都是光滑铰链，机构的自重不计。
例题3：利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一货物重G = 20 kN，滑轮由两端铰接的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B 。
不计铰车的自重，试求杆AB和BC 所受的力。
解析法的符号法则：当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。
“平面汇交力系合成与平衡问题的几何法教学内容”之我见
交力系 （ 、
、
、
）是一个平衡力系 ，各力 的
方 向都 已知 ，力 、
的大 小 。
的大 小也 已知 ，求未 知力 、
力的矢量线段随意地进行平移操作 ， 这容易给初学者造成
一
种错觉 ： 力是 自由矢量 ， 而这就与力线平移定理发生 了
由于是平衡力系 ，因此有 ：
＋ ＋ ＋
０ 上 、
潜 意识 冲 突 。
过力 系汇 交 点 Ｏ 分别 作 （ 位）矢 量 ： 单
ｆ 上 ，则 有 ： １
３ 几何法计算过程复杂 ，计算结果精度低
用几何法确定平面汇交力系的合力 ， 在历史上计算工 具 比较落后的情况下可能是一种便捷 方法 （ 避开 了三角 函
言 ，这 种 方 法很 落后 。
段 不 可 能做 得 很 长 。
度不均一的土壤 ， 高的履刺可 以切入土 中和较坚 实的土 较 层接触 ，这 种土层 的剪 切强度较大 ，因而 改善 了附着性 能。履刺之 间的距离对 附着性能亦有影响。 履带支撑面上 比压 的分布对 附着性能有较 大的影 响。 些试验的结果表 明， 当比压在整个履带支撑区段呈线性 分布 ，而且其 合力在履带支 撑长度 中心后面 １１ ／０处 时，
平 衡 问题 。
Ｏ点处。 如果折线多边形 白行封闭， 则该汇交力系就是平 衡力系 。
关键词 ：理论力学；平面汇交力系 ；几何法；矢量分
析 法
１ 平 面 汇 交 力 系合成 与 平衡 问题 的 几何 法 求解 方法
介 绍
设 物 体 受 到 平 而 交 力 系 （ 、 、 、 ） 的
影 响履带行走机构附着性能的因素 ， 除土壤性质、 履 带支撑面 的长度和宽度外 ， 要还有机械重量 、 主 履刺高度
平面汇交力系—平面汇交力系合成与平衡的几何法(建筑力学)
2. 任意个汇交力的合成
对任意个汇交力的合成，可逐次应用力三角形法则，将 这些力依次合成，从而求出合力的大小和方向。
F1
F2
F4 F3
F2
F1
F12 F123
F3
FR
F4
注意：力多边形的矢量法则为各分力（F1、F2、F3、F4） 沿着环绕力多边形边界的同一方向首尾相接，而合力FR则 由最初的起点指向最末的终点，为力多边形缺口的封闭边。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
在工程实际中，经常遇到平面汇交力系的问题。
平面汇交力系
第一节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系合成的几何法
1. 两个汇交力的合成 FR
F1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F2
B F1
A
F2 C FR
ABC称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。
平面汇交力系
FR = ΣF = 0 在平衡情况下，力多边形中最后一个力的终点与第一 个力的起点重合（即力多边形的封闭边的长度为零），此 时的力多边形为自行封闭的力多边形。所以，平面汇交力 系平衡的几何条件为：力多边形自行闭合。
第二章 平面汇交力系
平面汇交力系
学习目标：
1.了解平面汇交力系合成与平衡的几何法；掌握平面汇交 力系合成与平衡的解析法。
2. 正确理解合力投影定理，能正确地将力沿坐标轴分解并 求力在坐标轴上的投影。
3. 熟练运用平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题。
重点：
力在坐标轴上的投影和平面汇交力系平衡方程的应用。
平面汇交力系
任意变换力的次序，可画出形状不同的力多边形，但 合力FR的大小和方向仍然不变。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方 向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各 力的汇交点。
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Fx=F cos Fy=F cos=F sin
Fx和Fy是力F在x，y轴上的投影
力的解析式：
F Fx i Fy j
力的大小与方向为：
F Fx2 Fy2
cos Fx
F
cos Fy
F
式中的α和β分别表示力F与x轴和y轴正向间的夹角。
13
3．合力投影定理
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
形自行封闭。
用几何法求合成与平衡问题时，用图解或应用几何关系数值求解。
图解的精度决定于作图的精确度，要注意选取适当的比例尺并认真作图。 6
例题
平面基本力系
例题1
例：F1 100 N, F2 100 N, F3 150 N, F4 200 N,方向如图所示,求合力。
F3
F2
900 700 600 O
刚体
汇交力系
等价
共点力系
理由：力的可传性原理
2
1、 平面汇交力系合成的几何法
1）两个共点力的合成: 由力的平行四连形法则求合力
FR F1 F2 合力大小由余弦定理：
FR F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
FR
sin sin(180 )
由力的三角形法则求合力
例题5
26
例题
力对点之矩
例题5
M O (Fx ) M O (Fy ) xFy - yFx
Fr(sincos - cossin ) Frsin( - )
MO(F) M O (F ) M O (Fx ) M O (Fy )
从上面的计算可以看到，力F对O点之矩等 于它的两个正交分力Fx和Fy对O点之矩。
解方程得杆AB和BC所受的力:
FBA 0.366G 7.321 kN
x
FBC 1.366G 27.32 kN
20
例题
平面基本力系
例题4
A
60
D
杆AB和BC所受的力:
FBA 0.366G 7.321 kN
B
FBC 1.366G 27.32 kN
约束力FBA为负值，说明该力实际指向与
F R= F 1+ F 2+…………+ F n= F
FR = Fx i + Fy j ，Fi = Fxi i + Fyi j （i=1，2，，n）
Fx i + Fy j = Σ(Fxi i) + Σ (Fyi j ) = ( Σ Fxi ) i + ( Σ Fyi ) j 合力的大小和方向余弦为
18
例题
A
60
D
30
C
平面基本力系
例题4
如图所示，重物G =20 kN，用
B
钢丝绳挂在支架的滑轮B上，钢丝
绳的另一端绕在铰车D上。杆AB与
BC铰接，并以铰链A，C与墙连接。
如两杆与滑轮的自重不计并忽略摩
G
擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB
和BC所受的力。
19
例题
平面基本力系
例题4
FR
Fx2 Fy2
(
Fxi )2
(
Fyi )2
cosα Fx , cos Fy
FR
FR
14
例题
平面基本力系
例题3
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 =
300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。
F2 y
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
112.3 N
15
例题
平面基本力系
合力的大小：
FR Fx2 Fy2 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为 ：
cos Fx 0.754
FR
cos Fy 0.656
FR
所以，合力与轴x，y的夹角分别为：
40.99
49.01
例题3
F2 y
30
例题
力对点之矩
例题6
r O
h
解： 解法一
计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得
MO (Fn ) Fn h Fnr cos
78.93 N mm
解法二
r
或根据合力矩定理，将
O
力Fn分解为圆周力F 和径向 F
力Fr , 则力Fn对轴心O的矩
MO Fn MO (F) MO (Fr ) MO (F) Fnr cos
11
第2节 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、平面汇交力系合成的解析法
1．力在轴上的投影
定义：在力矢量起点和终点作轴的垂线，在轴上得一线段，给 这线段加上适当的正负号，则称为力在轴上的投影。
Fx =F cosα
F
α
投影是代数量
x 力在某轴的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的 余弦。
12
2．力在直角坐标轴上的投影
A
60
D
解：
取滑轮B为研究对象，忽略滑轮的
B
大小，画受力图。
列写平衡方程
30
G y
C
FBA
FBC
B
F2 60
F 30 1
Fx 0, FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0 Fy 0, FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
G FA
(a)
FO
解得
FB sin F FA FB cos G
F
G
(c)
FB B
A
FB
F
sin
10 kN,
FA G FB cos 11.34 kN
FA
(b) 9
例题
平面基本力系
例题2
FO
G
FB B
A
FA
FB
G
FA
c
F
2. 碾子能越过障碍的力学条
Mo(F)=±Fh=±2AOAB 力矩为零的情况：当h=0即力的作用线通过矩心时 力矩单位 牛顿米（Nm） 千牛顿米（KNm）
24
例题
力对点之矩
计算图示力F对 点O之矩。F与水
平线夹角为，杆
OA长r，与水平线
夹角为。
解：
MO( F ) Fh Frsin( - )
MO (Fx ) -Fx y -Fcos rsin MO (Fy ) Fy x Fsin rcos
图上假定指向相反。即杆AB实际上受压力。
30
G y
C
FAB
FBC
B
F2 60
F 30 1
解析法的符号法则：当由平衡方 程求得某一未知力的值为负时，表示 原先假定的该力指向和实际指向相反。
x
21
三、汇交力系解析法的解题步骤：
1）选研究对象； 2）画受力图； 3）建立坐标系； 4）列平衡方程（2个）； 5）求解未知量。
Fn Fr
31
例题
力对点之矩
例题7
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
q
A
Bx
32
例题
力对点之矩
F
q A
dx x
h l
例题7
解： 在梁上距A端为x的微段 dx上，作用力的大小为q’ dx，
其中q’ 为该处的载荷集度 ，
q
由相似三角形关系可知
60 45
F1
O
30
45
x
F3 F4
16
例题
平面基本力系
例题3
或 合力的大小：
Fx 129.3 N Fy 112.3 N FR
合力的方向：
tan Fy 112.3 0.8685
Fx 129.3
F2 y
Fx2 Fy2 171.3 N
40.97o
FR F1
F2 c
b
F1 a
FR
F3
d
F4
力的多边形法则：用力多边形求合力FR 的几何
d
作图规则。
a
FRFe4
F1 力的多边形法则： c 1) 各分力首尾相接，次序可变；
e
F3 b F2 2) 合力为封闭边。
注意：用几何法求合力时，要用到各分力的大小所对应线段的长短的比 例尺；合力为封闭边时，由所量得的长短来确定合力的大小。
件是 FA=0， 得封闭力三角形abc。
由此可得
a
F G tan 11.5 kN
FB G
Fmin
FB
G
cos
23.09
kN
3. 拉动碾子的最小力为
Hale Waihona Puke FbFmin G sin 10 kN
10
3、汇交力系几何法的解题步骤：
1）选研究对象； 2）画受力图； 3）作力多边形或力三角形； 4）利用几何关系求解未知量。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
第1节 平面汇交力系合成与平衡的几何法 第2节 平面汇交力系合成与平衡的解析法 第3节 平面力对点之矩的概念及计算 第4节 平面力偶
1
第1节 平面汇交力系合成与平衡的几何法
平面汇交力系：如所有的力的作用线在同一平面内 且汇交于一点的力系。
共点力系：如所有的力都作用在同一点， 该力系称 为共点力系。
x，y上的投影分别为：