现代控制理论 复习要点
现代控制理论复习要点
现代控制理论复习要点第二章控制系统的状态空间描述小结一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；方块图→无零点惯性环节有零点惯性环节二阶振荡环节状态变量图→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式))a b 无零点实现：能控标准型、能观标准型直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点二、状态变量的线性变换1、系统状态空间表达式的非唯一性2、系统的不变性① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；② 传递函数矩阵不变性；③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+= ＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I AC I A BD I A四、组合系统1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵第三章状态方程的解小结一、求状态方程的解1、对象：线性系统① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）2、解的形式如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：000()(,)()(,)()()t t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ?3、求解的关键求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）；① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求；② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
现代控制理论总复习
2 1 2 1 3 1
1 0 0
0 3 2 0 1 0
1 3 0
0 0 1
第二章
一、基本概念 1）线性定常连续系统非齐次状态方程的解分为 零输入的状态转移和零状态的状态转移；系统的输 出响应由零输入响应和零状态响应两部分组成。
3. 可逆性
(t, t0 ) (t0 , t )
1
例 已知系统状态方程,试确定该系统在输入作用分别为单位脉 冲函数、单位阶跃输入及单位斜坡函数时的状态响应。
能观标准Ⅱ型
a0 x1 c0 a1 x2 c1 a2 x3 c2 u an 1 xn cn 1 x1 x 2 1 bn u xn 1 xn
p21 1 p2 p22 0 p23 0
3 p3 Ap3
p31 4 p 1 32 p33 1
1 0 1
2 p31 2 p32 3 p33
2 s 2 11s 6 W ( s) 3 s 8s 2 17 s 10
2）能观标准Ⅱ型
x1 0 x2 0 x3 10 y 6 11 1 0 17 x1 2 x2 x3 0 x1 0 1 x2 0 u 8 x3 1
能控标准Ⅰ型
x1 0 0 10 x1 6 x2 1 0 17 x2 11 u x3 0 1 8 x3 2 x1 y 0 0 1 x2 x3
现代控制理论知识点汇总
现代控制理论知识点汇总Revised at 2 pm on December 25, 2020.第一章 控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式 n 阶DuCx y Bu Ax x+=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
《现代控制理论》复习提纲()
现代控制理论复习提纲第一章：绪论（1）现代控制理论的根本内容包括：系统辨识、线性系统理论、最优控制、自适应控制、最优滤波（2）现代控制理论与经典控制理论的区别第二章：控制系统的状态空间描述1.状态空间的根本概念；系统、系统变量的组成、外部描述和内部描述、状态变量、状态向量、状态空间、状态方程、状态空间表达式、输出方程2.状态变量图概念、绘制步骤；3.由系统微分方程建立状态空间表达式的建立；第三章：线性控制系统的动态分析1.状态转移矩阵的性质及其计算方法〔1〕状态转移矩阵的根本定义；〔2〕几个特殊的矩阵指数；〔3〕状态转移矩阵的根本性质〔以课本上的5个为主〕；〔4〕状态转移矩阵的计算方法掌握：方法一：定义法方法二：拉普拉斯变换法例题2-2第四章：线性系统的能控性和能观测性（1）状态能控性的概念状态能控、系统能控、系统不完全能控、状态能达（2）线性定常连续系统的状态能控性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（3）状态能观测性的概念状态能观测、系统能观测、系统不能观测（4）线性定常连续系统的状态能观测性判别包括;格拉姆矩阵判据、秩判据、约当标准型判据、PBH判据掌握秩判据、PBH判据的计算（5）能控标准型和能观测标准型只有状态完全能控的系统才能变换成能控标准型，掌握能控标准I型和II型的只有状态完全能观测的系统才能变换成能控标准型，掌握能观测标准I型和II 型的计算方法第五章：控制系统的稳定性分析〔1〕平衡状态〔2〕李雅普诺夫稳定性定义：李雅普诺夫意义下的稳定概念、渐进稳定概念、大范围稳定概念、不稳定性概念（3）线性定常连续系统的稳定性分析例4-6第六章线性系统的综合（1）状态反应与输出反应（2）反应控制对能控性与观测性的影响复习题1. 、和统称为系统变量。
2. 系统的状态空间描述由和组成，又称为系统的动态方程。
3. 状态变量图是由、和构成的图形。
4. 计算1001A-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的矩阵指数Ate__________。
自控控制原理现代控制理论复习要点
2023 WORK SUMMARY
自控控制原理现代控 制理论复习要点
REPORTING
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目录
• 自控控制原理概述 • 现代控制理论基础知识 • 自控控制系统分析方法 • 自控控制系统设计方法 • 现代控制理论的应用实例
自控控制系统的分类
开环控制系统
开环控制系统是指没有反馈环节的系 统，控制器根据设定值直接控制执行 器，受控对象的输出不反馈到控制器。
闭环控制系统
闭环控制系统是指具有反馈环节的系统， 控制器根据设定值和实际值的偏差进行调 节，受控对象的输出通过传感器反馈到控 制器，形成一个闭环的反馈回路。
PART 02
PART 03
自控控制系统分析方法
时域分析法
定义
时域分析法是一种通过在时间域内对控制系统进行直接分析 的方法。
特点
时域分析法能够提供系统在各种输入下的准确响应，包括超 调和调节时间等性能指标。
应用
适用于系统的稳定性和动态性能分析，以及系统设计和优化 。
频域分析法
定义
频域分析法是一种通过将控制系统转换为频率域进行分析的方法。
PID控制器
01
通过调整比例、积分和微分系数，实现对系统的控制性能的优
化。
状态反馈控制器
02
通过将系统的状态反馈到控制器中，实现对系统的全面控制。
观测器
03
通过观测器对系统的状态进行估计，再利用估计的状态对系统
进行控制。
PART 05
现代控制理论的应用实例
航天器姿态控制系统
航天器姿态控制系统是现代控制理论的重要应用领域之一，通过控制航天器的姿态，实现精确的轨道 控制和导航。
现代控制理论课程复习要点
现代控制理论课程复习要点现代控制理论课程复习要点第一章1.已知系统的状态方程和输出方程（以线性方程组的形式给出），如何写出其向量-矩阵方程并画出状态变量图。
2. 已知系统的状态空间模型表达式，如何将其转换为对角线规范型。
（注意复习3*3矩阵的求逆、行列式计算的方法，切记）该类题目具体做法有两种：（1）方法一：求出该系统特征值，特征向量，利用特征向量构成非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
（2）方法二：求出该系统特征值，利用特征值，构成范德蒙德矩阵，并将该矩阵作为非奇异转换矩阵P ，然后利用线性转换公式：11,,A P AP B P B C CP --=== 求出对应对角线规范型。
第二章1. 已知系统状态转移矩阵()t Φ，如何求出该系统状态方程中的系统矩阵A 的值；该题的主要考点在于：()t Φ的一阶导数在t=0时的值为A ，即t 0()|A t ==Φ。
2.已知状态空间模型，如何求输入()u t 为单位阶跃函数时，该状态空间表达式的解；（利用非齐次状态空间模型的解公式求就可以了）3. 已知线性定常系统齐次状态方程，试利用特征值规范型方法求出状态转移矩阵()t Φ。
具体解法：（1）先求出该系统的特征值：s -0I A = ，特征值分别为123λλλ，， ;（2）根据特征值123λλλ，，求对应的特征向量123,,p p p ，并以此构成非奇异转换矩阵[]123=P p p p ；（3）根据特征值规范型的特性可知，特征值规范型系统的状态转移矩阵为12300(t)000tt t e e e λλλΦ=?? （4）最后将该状态转移矩阵转换回普通形式的状态转移矩阵1(t)P (t)P -Φ=Φ .第三章1. 已知线性定常系统的状态方程（该方程中含未定参数），试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定时，这些未定参数应满足的条件。
现代控制理论基础总复习
P 的符号性质
完全一致
V(x) xTP x的符号性质
希尔维斯特判据
21
李雅普诺夫第二法的主要结论：
V ( x ) 对所有 x 都具有连续的一阶偏导数；
V ( x ) 是正定的；
dV ( x) 分别满足下列条件： V ( x) dt
1 若V ( x ) 为半负定，则平衡状态 x e 为李雅普 诺夫意义下稳定。 这一条称为稳定判据。
18
李雅普诺夫第一法的三条主要结论；
如果系统的Jacobi矩阵 A 的所有特征值都具有 则原非线性系统在平衡状态 x 负实部，
e
是渐近
稳定的，而且系统的稳定性与R ( x ) 无关。 如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有正实部， 则原非线性系统平衡状态
x
e
是不稳定的。
如果Jacobi矩阵 A 至少有一个特征值具有零实部，
9
第九章 线性定常系统状态空间综合法
知识要点
状态反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
u K x v
W () s C s I A B K K B
输出反馈闭环系统的概念、传递函数矩阵的结构；
1
u H yv
W ( s ) C s I A B H C H B
0
11
对于完全能控的单输入单输出系统
, ,c Ab
0
不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 系统镇定问题的概念；
系统极点配置问题与镇定问题的联系和区别；
,B ,C A ，采用状态反馈能镇定的 对于系统 0
充分必要条件是： 其不能控子系统渐近稳定。
12
系统
,B ,C A
现代控制理论复习知识点
第二章复习要点
2、状态转移矩阵(续) -α系数的求法：特征值互异；特征值有重复 3、线性定常非齐次方程的解 (自由运动+受迫运动) x’=Ax+Bu x(t)=？ 4、离散时间系统状态方程的解 x(k+1) = G x(k) + H u(k) x(k)=? Gk难求，转化为： Gk=T Λk T-1 Z变换法：x(k)= Z-1[ (ZI-G)-1 ( Zx(0) + Hu(z) ) ]
第二章复习要点
1.线性定常齐次状态方程的解 (自由运动) X’=AX x(t)=Φ(t-t0) x(t0) =eA(t-t0)x(t0), tt0 Φ(t) =eAt：状态转移矩阵 2、状态转移矩阵 性质； 计算： 特殊的状态转移矩阵： A=Λ ？ A=J ？ 利用特殊的状态转移矩阵： eAt=Te ΛtT-1 ; eAt=Te Jt T-1 拉式变换：eAt = L-1 [(SI-A)-1] 凯莱哈密顿定理： eAt = α0I +α1A+… +αnAn-1
第三章复习要点
4、对偶 5、能控、能观性分解 能控性分解：不完全能控，A21=0，Rc=？ 能观性分解：不完全能观，A12=0，Ro=？ 能控能观性分解： 既不完全能控，也不完全能观； A=?，B=?, C=(C1, 0, C2, 0) 两阶段法：先能控分解，后能观分解，此方法不一定保证所有情况都能分解。
标准型及转化 (单输入单输出，系统能控，系统能控) 标准型： 能控标准I型 A (I在右上角)，B=(0, … 0, 1)T，C 能控标准II型 A (I在左下角), B=(1, 0, … 0)T ，C 能观标准I型 A (I在右上角) ，B，C=(1, 0, …, 0) 能观标准II型 A(I在左下角)，B，C= (0, …, 0 1) 直接写出传递函数： 能控I，能观II 转化 能控标准I型(I在右上角) ：Tc1 =? 能控标准II型(I在左下角)：Tc2 =M 能观标准I型(I在右上角) : To1-1 =N 能观标准II型(I在左下角): To2-1 =?
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
910 2.1 线性系统的时域数学模型()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数11m n b s a s --++++++11 式中1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++1011()nn n n N s a s a s a s a --=++++()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述A Buy C du =+⎧⎨=+⎩x x x(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系1()()G s C sI A B D -=-+(2.4)12 2.5.3 状态空间表达式的建立情形一： 线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点()(1)11n n n n y a y a y a y u --++++= (2.5)情形二 线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点 ()(1)()(1)11011n n n n n n n n y a y a y a y b u b u b u b u ----++++=++++ (2.6) 1011111()()n n n nn n n nb s b s b s b Y s U s s a s a s a ----++++=++++(2.7)13 Chp.9 状态空间系统响应、可控性与可观性9.1 线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形式为0()()(), (0)t A t B t =+=x x u x x(2.8) 状态变量的初始值为0x ，控制作用为()t u 。
现代控制理论知识点归纳
现代控制理论知识点归纳现代控制理论是指20世纪后半叶发展起来的控制理论，其主要特点是运用数学、电子和计算机等高科技手段解决实际控制问题，在控制理论研究和应用方面取得了巨大成就。
本文将对现代控制理论的知识点进行归纳，以便更好地理解和掌握该学科。
1. 控制系统的基本概念。
控制系统指通过对被控对象施加控制以达到预期目的的系统，由输入信号、控制器、被控对象和输出信号组成。
其中输入信号指控制器对被控对象的输入，包括指令信号、干扰信号和噪声信号；控制器是控制系统的核心，通常使用反馈控制器、前馈控制器和组合控制器等；被控对象是控制系统中被控制的对象，包括机械系统、电力系统、化学系统等；输出信号是被控对象的响应信号，可分析其稳定性、动态性能和鲁棒性等。
2. 系统建模和分析。
将实际控制系统抽象为数学模型是现代控制理论的基础。
系统建模的方法包括基于物理原理的建模、基于经验的建模和基于统计学的建模等。
针对特定的控制问题可采用不同的建模方法。
系统的分析包括稳定性分析、动态性能分析和鲁棒性分析等。
稳定性是控制系统的基本要求，通过判断系统是否稳定可以避免系统崩溃或振荡。
动态性能是指控制系统对输入信号的响应能力，包括动态误差、响应时间、超调量等性能指标。
鲁棒性是指控制系统对参数变化或外界干扰的鲁棒性，越强的控制系统对各种不确定因素的适应能力越强。
3. 控制器设计。
现代控制理论的目的是设计出满足控制要求的控制器，设计控制器的方法包括传统方法和现代方法。
传统方法是指使用PID控制器、状态反馈控制器、最优控制器等传统方法设计控制器。
现代方法是指使用神经网络、模糊控制、滑动模式控制等现代方法设计控制器。
设计控制器需要综合考虑系统的稳定性、动态性能和鲁棒性等因素。
4. 联合控制系统。
现代控制理论还涉及联合控制系统的研究，即将机械、电气、电子、计算机等多方面因素融合在一起，实现更加复杂的控制任务。
联合控制系统的研究需要考虑各种子系统之间的协同和交互作用，同时要保证系统的稳定性和鲁棒性。
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第二章 控制系统的状态空间描述
小结
一、建模：状态空间描述（现代控制：内部描述）
1、对象：① 线性时不变系统；② 离散时间系统；③ 时变系统；④ 非线性系统。
2、模型形式（状态空间表达式）：
① 一阶微分方程组（一阶差分方程组）；② 向量-矩阵形式；
③ 系统方框图；④ 状态变量图。
3.方法（途径）：
①（已知）系统机理→（求）状态空间表达式；
②（已知）输入输出描述（经典控制：外部描述）−−−−
−→实现问题（求）状态空间表达式（现代控制：内部描述）
a 、（已知）方块图→（求）状态空间表达式；
方块图−−−−−→无零点惯性环节
有零点惯性环节
二阶振荡环节
状态变量图−−−−−−−−−→将积分器的输出作为状态变量状态空间描述 b 、（已知）传递函数阵/高阶微分方程（脉冲传递函数阵/高阶差分方程）→（求）状态空间表达式
))a b ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
无零点实现：能控标准型、能观标准型
直接分解法：能控标准型、能观标准型最小实现有零点实现串联分解法(串联实现)
并联分解法（并联实现或约旦标准型实现）：无重极点;有重极点 二、状态变量的线性变换
1、系统状态空间表达式的非唯一性
2、系统的不变性
① 特征值不变性/特征多项式系数（特征方程）不变性；
② 传递函数矩阵不变性；
③ 系统的能控性与能观性不变性。
3、状态空间表达式→约旦标准型
三、状态空间表达式（现代控制：内部描述）→传递函数阵（经典控制：外部描述）
1. 已知()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t ⎧⎨⎩=+=＋，求传递函数1()()()adj s s G s s s --+-=-+=-C I A B D I A C I A B D I A
四、组合系统
1．（已知）若干子系统的并联、串联、输出反馈联结→（求）状态空间描述或传递函数阵
第三章 状态方程的解
小结
一、求状态方程的解
1、对象：线性系统
① 连续时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次） ② 离散时间系统：定常（齐次、非齐次）、时变（齐次、非齐次）
2、解的形式
如线性时变连续时间系统非齐次（对象）状态方程的解为：
000()(,)()(,)()()t
t x t t t x t t B u d ττττ=Φ+Φ⎰ 3、求解的关键
求解状态方程的关键是求出状态转移矩阵0(,)t t Φ（重点和难点）； ① 掌握状态转移矩阵的1）定义；2)基本性质；3)如何求； ② 注意状态转移矩阵与矩阵指数的区别与相同点；
③ 线性定常（时不变）连续时间系统状态转移矩阵（矩阵指数）的求法。
一般求法A ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩直接计算法：根据定义
线性变换法：变换系统矩阵为约旦标准型拉氏反变换法：根据性质6
待定系数法：根据凯莱-哈密尔顿定理
特例求法 A A A A σωωσ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎝⎭⎩
为对角线标准型矩阵
为能通过线性变换得以对角线标准化的矩阵为约旦标准型矩阵=
二、线性连续系统状态空间表达式的离散化
1、对象：线性时不变系统、线性时变系统；
2、方法：一般离散化法、近似离散化法。
第四章线性系统的能控性与能观性
小结
一、能控性与能观性定义
1、对象：线性系统
①连续时间系统：定常、时变
②离散时间系统：定常、时变
2、能控性与能观性的对偶关系
3、能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
4、状态空间表达式变换为能控/观标准型
二、能控性与能观性的判断方法
1、能控性与能观性判据
①线性定常连续/离散系统（重点）
第一种形式、第二种形式
②线性时变连续系统
一般法、实用法
三、状态空间表达式按能控性与能观性分解（重点）
①分解的思路
②分解中非奇异矩阵的构造（难点）
四、系统的实现问题
1、实现
①实现问题；
②如何构造实现（详见第二章小结）。
2、最小实现
①最小实现问题；
②判断最小实现的准则；
③如何构造最小实现（详见第二章小结）。
第五章李亚普诺夫稳定性分析
小结
一、李雅普诺夫意义下的稳定性定义
1、稳定性
2、一致稳定性
3、渐进稳定性
4、一致渐进稳定性
5、大范围（全局）渐进稳定性
6、不稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定性判断方法
1、李雅普诺夫第一方法
2、李雅普诺夫第二方法（重点）
第六章状态反馈和状态观测器
小结
一、状态反馈
1、状态反馈任意配置极点的充要条件
2、状态反馈阵的计算（重点）
①算法1：利用规范化方法配置极点；
②算法2：直接法。
二、状态观测器
1、状态观测器可构造的充要条件
2、状态观测器的构造
①同维观测器（重点）
②降维观测器
3、带观测器的状态反馈闭环系统的分离性。