《图解刚体力学——欧拉运动学方程》
牛顿—欧拉方程(可编辑修改word版)
M Ω b bb 牛顿-欧拉方程欧拉方程(Euler equations)，是欧拉运动定律的定量描述，欧拉运动定律是牛顿运动定律的延伸，在牛顿发表牛顿运动定律超过半个世纪后，于 1750 年，欧拉才成功的用欧拉方程表述了该定律：Ωb = I ‒ 1[M ‒ Ω × ( I Ω )]该方程是建立在角动量定理的基础上的描述刚体的旋转运动时 '刚体所受外力矩 与角加速度 的关系式，大多时候可简写成:Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ix x yy zz y x xx Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/I y y zz xx x z yy Ω' = [M + (I ‒ I )Ω Ω ]/Ixzzzyyx yzz其中，M x ,M y ,M z 分别为刚体坐标系S b 下三个轴的所受的外力矩， I xx ,I yy ,I zz 分别为刚体三个坐标轴的转动惯量(刚体坐标系下S b )。
欧拉方程通常与牛顿的平移运动方程被一起写出，称为牛顿-欧拉方程(Newton-Euler equations)：F (t ) = ma (t )M b = Ωb × ( I b Ωb ) + I b Ωb这里对牛顿的平移运动方程不赘述，只对欧拉方程进行讨论。
1. 单质点角动量定理 质点旋转时，有动量定理：F =d (mv ) dtr × F = r × d (mv )对两边叉乘质点位置矢量r ：dt b b观察：d (r × mv ) = r × d (mv ) + dr × mv因为：dt dt dt故有：dr× mv = v × mv = 0 dtd (r × mv ) = r × d (mv )dt dtr × F =d (r × mv )dt定义角动量L = r × mv ，可以看出r × F 为外力矩M故有单质点的角动量定理：2. 刚体的角动量定理M =dL dt定义刚体的角动量为：L G =∫L idm其中：L G 下标 G 表示该向量为大地坐标系S G 下的，L i 的下标 i 表示该向量为大地坐标S G 下各个质量元的向量。
刚体定点转动的欧拉运动学方程
刚体定点转动的欧拉运动学方程刚体定点转动的欧拉运动学方程，是刚体定点转动这一运动形式中所涉及到的方程集合，是描述刚体在固定点绕固定轴自由转动时所用到的理论工具。
在我们的日常生活中，定点转动的现象比比皆是，例如飞盘在空中旋转，跳绳、奥数、乒乓球等。
而了解刚体定点转动的欧拉运动学方程，则能更好的了解和分析这些现象。
下文将从三个方面来介绍刚体定点转动的欧拉运动学方程，分别是定义、欧拉角度和欧拉方程。
一、定义首先，我们需要了解什么是刚体定点转动。
所谓刚体，即为一个形状、大小、密度均不变的物体，而定点转动则是指刚体在一个点固定，以相对于该点的固定轴为转动轴自由转动的运动形式。
例如，一个棒球在另一个人手中做旋转，旋转点固定在手掌上，这就是刚体定点转动。
二、欧拉角度在刚体定点转动的描述中，欧拉角度是非常重要的概念，是欧拉定理的核心所在。
具体来说，欧拉角度是指刚体相对于定轴在三维空间中的旋转方向，包括绕z轴的旋转角度、绕旋转后的y轴的旋转角度、以及绕旋转后的z轴的旋转角度三个部分。
其中，第一、二个旋转计为万向节（pitch）与横摆转（yaw），第三个旋转为滚转角（roll）。
欧拉角度的计算和描述主要分为三个步骤。
首先是固定坐标系的描述，其次是旋转坐标系的描述，最后是刚体坐标系的描述。
三、欧拉方程在刚体定点转动的欧拉运动学方程中，欧拉方程起着重要的作用，是描述刚体在定点转动过程中所受到的力和力矩，以及角加速度和角速度之间关系的方程。
欧拉方程的标准形式为：Iλ̂ + ω̂×Iω + ω×Iω = m r̂其中，I是刚体转动的转动惯量张量矩阵，ω是角速度，r是刚体的质心位置，λ是角加速度，m是刚体的质量。
上述方程包含了转动动能、带时间的角动量和力矩的和式，在刚体运动的描述中具有非常广泛的应用。
总之，刚体定点转动的欧拉运动学方程是描述定点转动过程的理论基础，并与欧拉角度和欧拉方程相结合形成具体的描述方法。
理论力学：欧拉动力学方程
是随时间t变化的量 是随时间t变化的量
6
理论力学
§10-2 欧拉动力学方程
用随体坐标系描述定点运动刚体对固定点O 的动量矩
设：mi 是定点运动刚体上的一个质点，其对O 点的动量矩：
Loi = ri × mivi = ri × mi (ω × ri )
z ω z'
= miri × (ω × ri ) = mi[(ri ⋅ ri )ω − (ω ⋅ ri )ri ]
LO = [J x'ωx' − J x'y'ω y' − J x'z'ωz' ]i'
+ [−J ω x'y' x' + J ω y' y' − J y'z'ωz' ] j'+[−J x'z'ωx' − J ω y'z' y' + J y'ωz' ]k'
= LOx'i'+LOy' j'+LOz'k'
问题： LOx，' LOy，' LOz' 的物理含义？
2014-4-15 讨论：定点运动刚体动量矩的最简表达式
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理论力学
§10-2 欧拉动力学方程
刚体对O点的动量矩：
⎡ L ox ' ⎤
LO
=
LOx'i'+LOy' j'+LOz'
]
⎢ ⎢
L
oy
⎥ '⎥
§3.1 刚体运动的分析
空间力系的简化 可以简化为空间定点的一个单力F和一个力偶矩M，F称主矢， M称主矩，定点称简化中心。
Note: (1)简化中心可以任意选取（一般取质心）；
(2)主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关。
例如：作用在A点的力F分别向B、C迁移：
B rBC
迁移到B，需添加：M
z
质点组(n个质点)：自由度= 3n
确定刚体在空间的位置，最少需要几个独立变量？
B
A
C
至少需要6个独立变6个独立变量？
刚体位置的描述 （1）三点法：
C xC , yC , zC
从9个非独立坐标 中任取6个独立的
A xA, yA, zA B xB , yB , zB
定点转动的自由度：3个
§3.2 角速度矢量
设刚体绕通过定点O的某轴线转动了Δθ角度
角位移： 在转动轴上截取有向线段 n称为角位移
n的方向：与旋转方向成右手螺旋关系
n
n
角位移是不是矢量？
——矢量的合成满足平行四边形法则 满足对易律：A+B=B+A
A B
有限转动 ：角位移不是矢量，不满足矢量加法对易律
dJ dt
Fe Me
刚体： mdJrC dt
i i
Fie
F
ri
Fi e
M
Note：
6个方程正好确定
①明确方程中各个量的意义。 刚体的6个独立变量
F
:主矢
J ,
M：以质心为中心得到的动量矩和主矩。
②当研究刚体对固定点的转动时，可以将第二方程换为
dJ dt
i
ri
Fi e
欧拉动力学方程一、欧拉动力学方程...
第一章 质点运动学§1-1 质点运动的矢量描述与直角坐标描述一、参考系和坐标系有一定大小且不变形的物体, 或几个相对位置保持不变的物体, 都可以作为参考系. 一个点不能作参考系！坐标系可以看成是由坐标曲线组成的带有标度的空间网格.各种坐标系的坐标曲线都在它们的交点处互相正交, 都属于正交曲线坐标系.沿质点所在位置的坐标曲线切线方向建立的一组单位矢量称为坐标系的基矢. 直角坐标系Oxyz (坐标曲线321,,c z c y c x ===),基矢为单位矢量k j i ,,, 按惯例我们使用的坐标系 全是右手正交系, 其基矢满足如下关系: k j i =× 0=⋅=⋅=⋅i k k j j i 若坐标系的空间网格相对参考系固定不动, 则该坐标系相对参考系固定不动, 这时我们称该 坐标系与参考系固连.二、自由度我们称确定力学系统位置所需要的独立坐标 数为系统的自由度, 自由度记为s .三、运动学方程和轨道图中我们用直角坐标系Oxyz 代表参考系, 位置矢量(简称位矢)r e r r = )(t r r =称为质点的运动学方程, 它包括了质点运动的全 部信息. 质点运动的轨道即为位置矢量r 的矢端曲线.在直角坐标系Oxyz 中 k z j y i x r ++=运动学方程的分量形式为)(),(),(t z z t y y t x x ===由式中消去时间t , 则得到轨道方程.四、位移和路程位移是质点位置矢量的增量, )()Δ(Δt r t t r r −+=路程是质点沿轨道走过的长度, 为一恒正标 量, 记为s ∆,AB s =∆弧长.注意s r ΔΔ≠s r ΔΔ≠r r ΔΔ≠但当0Δ→t 时,B A ,间弦长与弧长相等, s r ∆→∆ , 或记为s r d d =五、速度瞬时速度矢量简称为速度, 被定义为位置矢量对时间的导数,r t r t r v t ==∆∆=→∆d d lim 0 速度的方向沿轨道 (即r 的矢端曲线) 的切线指向运动的前方, 它的大小为速率v ,s ts t rt r v v t ===∆∆==→∆d d d d lim0 在直角坐标系Oxyz 中, k z j y i x v ++=.六、加速度瞬时加速度矢量简称加速度, 定义为速度对时间的导数,r t r v t v t v a t ====∆∆=→∆220d d d d lim 加速度a 一定指向轨道的凹侧. 若将不同时刻的速度矢量的矢尾集中于一点, 则可得出速度矢量v 的矢端曲线即速端曲线. 加速度a 沿速端曲线切线方向并指向v 的矢端沿速端曲线运动的前方, 加速度的大小a 等于v 的矢端沿速端曲线运动的速率.任意矢量A 对时间的导数A 的方向沿A 的矢端曲线的切线, 其指向与A 的矢端沿矢端曲线的运动方向一致; A 的大小即A 的矢端沿矢端曲线运动的速率.在直角坐标系Oxyz 中, k zj y i x k v j v i v a z y x ++=++=§1-2 质点运动的平面极坐标描述当质点被限制在一个平面上运动时, 其自由度2=s , 我们建立与参考系固连的极坐标系. 质点P 的位置由坐标量r 和θ确定, 要明确极角θ的正方向 (即θ的增加方向)!平面极坐标系是正交曲线坐标系, 其平面坐标网格由一组同心圆(1c r =)及一组放射状半直线(2c =θ)组成.平面极坐标系的基矢为r e 和θe .0=⋅θe e r .r e 的方向为径向, θe 的方向为横向.)(θr r e e = ,)(θθθe e =. 我们把矢量沿质点所在位置的基矢 “就地” 进行正交分解.在极坐标系中, 质点的运动学方程为[])()(t e t r r r θ =标量形式)(),(t t r r θθ==消去时间t , 则得到轨道方程0),(=θr f .根据速度的定义, 把[])()(t e t r r r θ = 对时间求导数, 得到 t e r e t r t r v r r d d d d d d +==下面求单位矢量r e 的时间 导数t e r d d ,t e t t e t t e t e r t r r t r ∆∆=∆−∆+=→∆→∆ 00lim )()(lim d d 当0→∆t 时,0→∆θ. 注意到由r e 及r e ∆组成的矢量三角形为腰长为1的等腰三角形, 所以当0→∆t 时r e ∆与r e 垂直, 且θ∆⋅=∆1r e . 由于0→∆θ且0Δ>θ时r e ∆与θe 方向相同, 所以0→∆t 时θθe e r ⋅∆=∆, 故 θθθθe e tt e t r ⋅=∆∆=→∆0lim d d于是得到极坐标系中的速度表达式,θθe r e rv r += rv r =称为径向速度, θθ r v =称为横向速度. 根据加速度的定义,得)(d d d d θθe r e r tt v a r +==t e r e r e r e r e r r d d θθθθθθθθ ++++=下面改换一个方法求t e d d θ . 由于θe 为单位矢量, 故θe 的矢端曲线为半径为1的单位圆. 0Δ>θ 时, θe 的矢端沿其矢端曲线运动的速率为θ ⋅1, t e d d θ 的方向沿矢端曲线切线, 其指向如图所示,故可知 r e te θθ−=d d 同样,θθe t e r =d d于是得到极坐标系中加速度的表达式θθθθe r r e r r a r )2()(2++−=2θ r r a r −=和θθθ r r a 2+=分别称为径向加速度和横向加速度.矢量的变化为矢量大小的变化及矢量方向的变化二者产生效果的叠加, 请读者试用这种观点分析式中各项是如何产生的. 还可用运动分解和合成的观点理解式中各项的意义.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 如图所示建立极坐标系，设0=t 时0θθ=， 则运动学方程为+=+=00)cos(2θωθθωt t R r 轨道方程为θcos 2R r =速度和加速度为 θθe r e r v r += θθωωθωωe t R e t R r )cos(2)sin(200+++−= θθθθe r r e r r a r )2()(2++−= θθωωθωωe t R e t R r )sin(4)cos(40202+−+−=本例题也可用图中直角坐标系xyz O 2求解, 由读者自行完成. 请读者另行验证:(1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的;(2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题1是运动学正问题, 即先写出运动学方程,通过求导数运算求出v 和a . 运动学逆问题是已知速度或加速度及初条件求运动学方程, 使用的数学方法是积分或解微分方程, 和正问题比较要复杂一些, 但只要把握解题的方向也是不难解决的.例题2 已知一质点做平面运动， 其速率为常量c ，其位置矢量转动的角速度亦为常量0ω，试求质点的运动学方程及轨道方程. 设0=t 时，0=r , 0=θ.解 由已知条件ωθ= (1) 2222c r r =+θ (2) 把（1）是式化为t d d 0ωθ=，积分并由0=t 时0=θ定积分常数，可得t 0ωθ= (3)把（1）式代入（2）式，分离变量得t r c r d d 2202±=−ω 积分并以0=t 时0=r 定积分常数，得t c r 00sin ωω±= (4) （3）（4）二式即为运动学方程=±=t t c r 000sin ωθωω 消去t 得轨道方程θωsin 0c r ±= 轨道为两个圆，如图所示.柱坐标系可以看成是由Oxy 平面内的极坐标系 (坐标量为ρ和θ) 及z 轴构成的三维空间坐标系. 其空间坐标网格由1c =ρ的圆柱面、 2c =θ的放射状半平面和3c z =的平面3组曲面相交形成的曲线所组成. 质点位置由坐标量z ,,θρ确定. 柱坐标系的基矢为单位矢量θρe e ,和k . 柱坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:k e e =×θρ质点的运动学方程为 []k t z t e t t r r )()()()(+==θρρ速度和加速度的表达式为 k z e e v ++=θρθρρk z e e a +++−=θρθρθρθρρ)2()(2 推导请仿照§1-2自己完成.球坐标系如图所示, 质点P 的位置由坐标量ϕθ,,r 确定. 球坐标系的空间坐标网格由1c r =的球面、 2c =θ的圆锥面和3c =ϕ的放射状半平面3组曲面相交形成的曲线所组成.球坐标系的基矢为r e ，θe ，ϕe .r e 沿位矢r 的方向, θe 和ϕe 的指向与θ和ϕ的正方向一致. 球坐标系为右手正交系, 其基矢满足如下关系:ϕθe e e r =×0=⋅=⋅=⋅r r e e e e e e ϕϕθθ球坐标系中的θ亦称为极角、 ϕ称为方位角. 球坐标系中的基矢不是常矢量, 其中r e 为θ和ϕ的函数. 我们把矢量沿质点所处位置的基矢r e ，θe 和ϕe “就地”进行正交分解.质点的运动学方程为 [])(),()()(t t e t r t r r r ϕθ ==下面我们从速度的定义导出球坐标系中的速度表达 式. 将r ∆沿t 时刻质点所在位置的基矢正交分解, 得到ϕθe s e s e s r r 321∆+∆+∆=∆当0→∆t 时, r s ∆→∆1，2s ∆和3s ∆可用坐标曲线上的弧长来表示, 即θ∆→∆r s 2和ϕθ∆⋅→∆sin 3r s 于是可知 t e r e r e r t r t r v r t t ∆∆⋅+∆+∆=∆∆==→∆→∆ϕθϕθθ sin lim lim d d 00 ϕθθϕθe r e r e rr sin ++= 球坐标系中的加速度公式可按矢量导数定义求导得出, 但比较复杂, 我们将在后面用分析力学的方法导出.§1-5 质点运动的自然坐标描述利用质点运动轨道本身的几何特性 (如切线、法线方向等)来描述质点的运动. 这种方法称为自然坐标法.一、弧长方程在轨道上取一点作原点O , 规定沿轨道的某一方向为弧长的正方向, 质点位置可由原点O 到质点间的一段弧长s 来确定, s 称为弧坐标.)(t s s =上式称为弧长方程. 弧长方程和轨道方程一起与质点的运动学方程等价.弧坐标s 为可正可负的标量, 与恒正的路程是不同的.二、相关的微分几何知识轨道上无限接近的两个点所决定的直线称为切线. 定义切向单位矢量t e 沿切线, 其指向与弧长正方向一致. 沿t e 的方向称为切向.轨道上无限接近的3个点确定的平面, 即无限接近的两条切线所确定的平面, 称为密切面.密切面取向的改变反映了曲线的挠曲情况.轨道曲线上无限接近的3个点所决定的圆称为曲率圆, 曲率圆在密切面内. 曲率圆的圆心称为曲率中心, 曲率圆的半径ρ称为曲率半径, 曲率半径的倒数ρκ1=称为曲率.设弧长s P P d =′, 显然s d d 1ϕρκ==, 曲率κ越大则曲线弯曲程度越大. 当轨道为平面曲线)(x y y =时, 可利用数学分析中的公式 []23222)d d (1d d 1x y x y +==ρκ求曲率κ及曲率半径ρ.过轨道上一点, 与切线垂直的线称为法线. 法线有无限多条,它们组成的平面称为法平面.密切面内的法线称为主法线, 定义主法向单位矢量n e 沿主法线指向曲率中心. 沿n e 的方向称主法向, n e 指向轨道凹侧.垂直于密切面的法线称为副法线. 定义副法向单位矢量b e 沿副法线, 指向n t e e ×的方向.n t b e e e ×=沿b e 的方向为副法向.单位矢量b n t ,,e e e 两两互相垂直, 并成右手螺旋关系.三、速度和加速度表达式把质点的速度和加速度沿质点所在处的单位矢量b n t ,,e e e “就地”正交分解, 进而导出质点的速度和加速度表达式.速度沿切线指向运动的前方, 所以0b n ==v v . 考虑到0>s 时v 与t e 同向, 故 t t t e se v v == 速度的大小sv v v ===t . 由加速度的定义 t e s e s e s t t v a d d )(d d d d t t t +===当ϕ的正向与弧长s 正向一致时, ϕρd d =s ,故ρρϕt v s == . 所以 n n n t d d 1d d e s e e t t e ρϕϕ==⋅=因此 n t e s e s a ρ2+=s v a ==t t 称为切向加速度, 是由于速度t t e v v =的大小改变而产生的. ρρ22n s v a ==称为法向加速度, 是由于速度的方向改变而产生的. 由于n a 恒正, 故a 一定指向轨道凹侧, 与§1-1中结论一致. 0b ≡a 说明对任何空间曲线运动,加速度a 必在密切面内, 这是加速度和密切面定义导致的必然结果.注意原点O 的选定和弧长正方向的规定! 在自然坐标描述中, 需要已知质点运动的轨道, 而对轨道的数学描述又需要一个坐标系, 所以必须掌握自然坐标描述中的物理量与其他坐标系中的物理量之间的联系. 建立这个联系的基本依据是: 速度v 和加速度a 在不同的描述方法中有不同的表达形式, 但它们的大小和方向是惟一确定的.例题1半径为R 的铁圈上套一小环P , 直杆OA 穿过小环P 并绕铁圈上O 点以匀角速度ω转动. 求小环P 的运动方程、 轨道方程、 速度和加速度.解 曾用如图所示建立极坐标系求解.此例题也可用自然坐标法求解: 以1O 为原点，规定弧长正方向如图所示.轨道已知，弧长方程为)(20θω+=t R s速度和加速度为 t e R e s v ω2t == n 2n 2t 4)(e R e s e sa ωρ=+= 比其它方法简单!自然坐标描述并不是自然坐标系中的描述.请读者验证: (1) 不同方法中a v ,表达式不同, 但它们对描述P点运动是等价的; (2) 不同方法中a v ,的大小和方向是惟一确定的.例题3 已知质点的运动学方程为t R x ωcos = t R y ωsin = t h z ωπ2= （h R ,,ω为常量）试分析质点的运动，求切向加速度、法向加速度及轨道的曲率半径。
刚体的运动方程
(欧勒运动学方程)
若：已知 ω 1 , ω 2 , ω 3
& & & 则：计算 ϕ , ψ , θ
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2 上任意 选取，则：取 ox1 沿oN方向 ⇒
& ψ =0& 于是有： ω Nhomakorabea = θ
& & & ω 2 = φ sin θ ω 3 = φ sin θ + ψ
又
rc
∑m r = ∑m
a a a
a a
=0
⇒ 则
∑m r
a
a a
=0
d & 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
⇒
d & ∑ (ra × mara ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
令
& L( o ) = ∑ ra × ma ra
a
M ( o ) = ∑ ra × Fae
ϕ ：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； & ϕ ：进动角速度——沿oz方向
& ψ
ψ ：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
：自转角速度——沿 ox3 方向。
ox θ ： 3 和oz间的夹角——章动角； θ& ：章动角速度——沿oN方向。
1． & 在 x1 x 2平面， 在 θ 由图：
x1 , x 2 , x3 的分量 θ&1 , θ&2 , θ&3 。
dω d ' ω d 'ω = + ω×ω = [ ] dt dt dt
⇒
dv 0 & = w + a + 2ω × v + ω × r + ω × (ω × r ) dt
第三章 刚体力学
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矩阵的每个元素（轴转动惯量、惯量积）叫 做惯量张量的组元，也叫惯量系数
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三、刚体对转动瞬轴的转动惯量
i i
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i i
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作业：3.2 3.5 3.7 3.9
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2
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3
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4
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§3.3 欧拉角
一方程
v
&ev3
&evON
v
&k
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8
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A
F1
B F2
M
M2
M1
O
F1
F2 F
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三力平衡定理
如刚体仅受三力作用而平衡，则 此三力一定共面，并且或者平行 或者交于一点
第七章欧拉方程
I1x ( I 2 I 3 ) y z M x I 2 y ( I 3 I1 )z x M y I ( I I ) M 3 z 1 2 y x z
欧拉动力学方程
I1x I 2 I3 yz M x I3z I1 I 2 xy M z
I 2y I3 I1 zx M y
机械能守恒
1 2 2 2 I1 x I 2 y I 3 z V E 2
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
M
R
P
r
O
2.加速度
dv d a r r dt dt
转动加 速度 向轴加 速度
d a r r 2 r dt d a aA r r 2 r dt
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ M dt
将坐标系固联于刚体，则
J J xi J y j J z k
但
dJ J xi J y j J z k J dt
为什么？
取惯量主轴为坐标轴，有
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力 学方程。
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本科生毕业论文论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程学生姓名：罗加宽学号： 2008021152专业名称：物理学论文提交日期： 2012年05月17日申请学位级别：理学学士论文评审等级：指导教师姓名：陈洛恩职称：教授工作单位：玉溪师范学院学位授予单位：玉溪师范学院玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月图解刚体力学—欧拉运动学方程罗加宽（玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100）指导教师：陈洛恩、杨春艳摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。
关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程1.引言理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。
理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。
从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。
至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。
本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。
“图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。
其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。
国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。
如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。
如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。
通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。
理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学习者在学习过程中感觉不但学起来困难吃力，而且学习的效率很低，以致容易产生怕学、厌学的心理。
基于上述分析，本文试图通过以图解的形式讲解描述刚体运动的三个欧拉角的获得及用其描述的刚体定点转动运动学方程的建立过程，来呈现欧拉运动学方程的图解形式。
本文第二部分为对刚体的定点转动的表述；第三部分为以图解的形式呈现欧拉角；第四部分为欧拉运动学方程；第五部分为图解过程的缩影。
2.刚体的定点转动表述刚体可以视为质点组，但却有着区别于一般质点组的特殊性：其内的所有质点的相对位置不论在何种情况下都保持不动，即任意两个质点之间的距离始终保持不变。
通常在三维空间中，若一个质点组包含有N个质点，那么就需要3N个坐标变量才能确定整个质点组的位形。
然而，因刚体具有上述特殊性，所以无论构成刚体质点组的质点数为多少，可以独立变化的坐标变量只有6个，即与其内包含有的质点数的多少无关。
换句话说，也就是若我们把描述物体运动时独立变化的坐标变量的数目称为自由度，那么一般情况（没有任何约束）下刚体运动的自由度为6。
若受到某些约束，自由度就将更少。
当刚体运动时，若刚体内只有一点始终固定不动，整个刚体围绕该点转动，则称为刚体的定点转动。
譬如，陀螺（图1-a），安装在万向支架上的陀螺仪转子（图1-b），和锥形行星齿轮（图1-c）等。
图1 定点转动的刚体由于一点始终固定不动（即我们说刚体受到约束），所以6个可独立变化的坐标中有3个是给定不变了，因而此时刚体可以独立变化的坐标变量只剩下3个，亦即刚体定点转动的自由度为3。
图1—b 中，陀螺仪中转子可以绕自身对称轴z O '转动，z O '轴又可随同内环一起绕ON 轴转动，而ON 轴又可随同外环一起绕固定轴Oz 转动。
这样三个彼此独立的绕相交轴的转动使转子可以绕O 点转动到任何空间位置，而三轴交点O 始终固定不动。
图1-a 和图1-c 中的陀螺、锥形行星齿轮的运动都可以做同样的理解。
由此可知，定点转动的刚体在某瞬时的运动，可视为是绕通过定点的某一转动轴的转动[7]；但与定轴转动不同，这一转动轴是瞬时转动轴，简称瞬轴，它在空间的取向是随着时间的改变而改变的[8]。
3.欧拉角由以上可知，为了确定定点转动刚体在某一时刻的位置，可选定点作为坐标原点，用两个独立变化的坐标变量来确定转动轴在空间的取向，再用另一个独立变化的坐标变量来确定整个刚体绕该轴线所转过的角度。
通常这三个独立变化的坐标变量取为欧拉角较为方便，下面将阐明如何来定义选取三个独立变化的欧拉角。
取两套右手正交坐标系，其坐标原点均选在固定点O ，一组是定坐标系ξηζ-O ，固定在空间不动；而另一组是动坐标系xyz O -，固连于刚体本身,随着刚体一起转动(图2）。
则刚体的空间位置可以由动坐标系相对于定坐标系的位置来确定[9]，如图3所示。
设某瞬时，刚体处于图3所示的位置。
动坐标平面Oxy 与定坐标平面ξηO 的交线，用ON 表示，称为节线。
节线ON 与定轴ξO 的夹角ϕ称为进动角，动轴Oz 与定轴ζO 的夹角θ称为章动角，节线ON 与动轴Ox 的夹角ψ称为自转角，这三个角合称为欧拉角（欧勒角）。
规定从轴ξ、N 、z 正端看来，由轴ξ、ζ、N 按逆钟向量得的角度为正，反之为负[10]。
从图2中可以看出：节线ON 既在平面ξηO 上也在平面Oxy 上，所以它既垂直于轴ξ也垂直于轴z ，是两轴所构成的平面ξzO 的法线。
因此，节线ON 与定轴ξO 的夹角ϕ这一进动角可以用来确定平面ξzO 的位置。
当进动角ϕ和动轴Oz 与定轴ξO 的夹图2.坐标系图3.欧拉角图4. 初始位置图5.进动角图6.章动角角θ这一章动角共同确定之后，轴z 连同平面Oxy 的位置便确定。
而动轴Ox 和Oy 在平面Oxy 的位置则可用节线ON 与动轴Ox 的夹角ψ这一自转角来确定。
这样，通过欧拉角（ϕ、θ、ψ）就能唯一确定动坐标系xyz O -相对于定坐标系ξηζ-O 的位置，又因为动坐标系xyz O -和刚体固连，所以也就确定了刚体的位置。
进动角ϕ、章动角θ和自转角ψ是彼此独立的，当刚体运动时，ϕ、θ、ψ一般都随着时间t 改变而改变，是时间t 的单值连续函数，可写为)(1t f =ϕ，)(2t f =θ，)(3t f =ψ （1-1） 这一组方程就是刚体定点运动的运动学方程[11]。
假定在初瞬时动坐标系xyz O -与定坐标系ξηζ-O 重合（图4），则可通过如下三次转动而达到图3的任意位置。
3．1进动角令动坐标系xyz O -（刚体与之一起）绕着ζ轴沿逆时针方向（下同）转过一个图8. 角速度方向的确定图9. 角速度的分解（一）角度ϕ。
于是x 轴同ξ轴分开，到达另一个位置（即ON 位置）；y 轴同η轴分开，到达另一个位置；但因是绕与z 轴重合的ζ轴转动，所以z 轴同ζ轴仍旧重合在一起，如图5所示。
3．2章动角在上面进动角ϕ的基础上，令动坐标系xyz O -绕着Ox （即ON )转过一个角度θ。
于是z 轴同ζ轴分开，到达另一个位置；y 轴再转动到另一个位置，如图6所示。
这时z 轴与ζ轴的夹角是θ，动坐标系xyz O -与定坐标系ξηζ-O 的夹角亦是θ。
3．3自转角在图6的基础上，再令动坐标系xyz O -绕着自身z 轴转过一个角度ψ。
于是Ox 同ON （原来位置）分开，Oy 再转动到另一位置。
这时，刚体便转动到我们所需要的位置，如图3中的位置。
若要得到刚体可能具有的其他各种位形，只需要在下列区间内改变ϕ、θ、ψ的数值：π20≤≤ϕ，π≤≤θ0，π20≤≤ψ 欧拉角的这种取法并不是唯一的，在陀螺仪实用理论中，可根据具体结构和装置情况，选取不同的欧拉角度系统，这里的取法是古典的或称古典欧拉角[11]。
4.欧拉运动学方程因为角速度是一个矢量，所以它符合一般的矢量的运算法则，如合成和分解等。
现在来求刚体作定点转动的角速度。
为便于更好地理解接下来所要作的分析推理，首先在图3中依次标出刚体在进动ϕ角度后动轴x 和y 所到达的位置为x O '（亦即ON 的位置）和y O '，在章动θ角度后动轴y 所到达的位置为y O ''，如图8所示；并分别设定沿动坐标系x 、y 、z 轴的单位矢量为i 、j 、k，沿定坐标系ξ、η、ζ轴的单位矢量为1e 、2e、3e ；而沿轴ON 、y O '和y O ''的单位矢量则分别为1i 、1j 和2j 。
图中刚体的角速度ω分解为各个欧拉角速度的矢量和表为k i e••••••++=++=ψθϕψθϕω13 （1-2） 若把ω向动坐标系xyz O -各轴分解，则可表为k j i z y x z y xωωωωωωω++=++= （1-3） 而由几何关系可知：①•ϕ可沿x 、y 、z 三个轴分解，但在这里，由于ζO 与Ox 和Oy 之间的夹角不容易确定，所以我们先将其分解到z 轴和y O ''轴上（因为Oz 、ζO 、y O ''同在一平面，且Oz 与y O ''垂直），如图9。
则有23sin cos j k eθϕθϕϕ•••+=然后再把y O ''轴上的分量分解到Ox 和Oy 上，即j i jψθϕψθϕθϕcos sin sin sin sin 2•••-=最终得： k j i e θϕψθϕψθϕϕcos cos sin sin sin 3••••+-=②由于ON 与Oz 垂直，因此•θ只能沿x 轴和y 轴分解，而在z 轴上没有分量，即j i iψθψθθsin cos 1•••-=③而•ψ沿着z 轴，故在x 轴和y 轴上没有分量。