考研数学选择题巧解方法

（ 0） （ 1） （ 2） （ 3） !， "， # !， #， " "， !， # "， #， ! 【 分析和解答】这道题参考答案利用变上限的积分公式间接求出它们的阶， 其实， 若充分利用 问题研究 ! # $ " 时函数的局部特点， 并注意到， 在 ! # $ " 时， 有 ’()!# & & ， +,- ! ! &! !， ).-!/ & !/ ， ! ! !# !# ! ! ! ! # & 于是 ! # ’()$# *$ & &*$ # !； +,- ! $*$ & $ * $ # !/ ； ).-$/ *$ & $/ * $ # !# ， " # # # ! $ $ $ $ / % $ $ 立刻看出： 正确的排列次序是 $， （ 1） ’ #， "选 【 点评】 % 上述解法之最大好处是有时只要看一看就能得到问题的答案， 对于提高考生的数学 直觉思维能力无疑是有益的， 能利用等价无穷小代换求解的选择题还有 &44/ 年， 第二 （ & ）题 （ 与例 % 相当类似） ， &44% 年， 第二 （ % ）题， &445 年， 第二 （ % ）题等’ 以上略举几例， 介绍所谓的 “ 巧解” ， 必须指出： 它们在回避数学问题繁琐运算的同时， 也回避 了这些问题对相应数学知识的考查， 从这种意义上说， 上述巧解对加强数学基本功是不利的， 但考 研是限时作答考试， 掌握上述快速求法还是必要的， 毕竟， 识别错误 （ 如给出问题的恰当反例等等） 也是一种能力’
（ &）相交于一点 & & & & （ ’ ）重合 & & & & （ (）平行但不重合 & & & & （ )）异面 & 取特殊点 6 （ 0% 7 0# ! 0! ， 1% 7 1# ! 1! ， 3% 7 3# ! 3! ）代入两直线方程， 发现该 【 分析和解答】 点是两直线的一个公共点， 于是排除选项 （ *） 、 （ +） ， 若两直线重合， 则 1# ， 3# 0# ， 从而 0! ， 与题意矛盾， 所以正确答案为 （ ’） , 1! ， 3! 的行列式等于零， 0% ， 1% ， 3% 【 点评】 & 寻找点 6 需要有很好的观察能力， 利用直线方程的参数形式有助于我们发现两直线 有一公共特殊点 6, （ 探索特殊点 6 的过程从略） , 由于点 6 是如此的 “ 好” ， 竟能很快排除两个选项， 从特殊情形看问题的魅力由此可见一斑, 三、 等价转化思想方法的运用 （ 等价无穷小代换法） 等价无穷小代换法在求解有关极限问题中经常使用， 不仅有的选择题可用等价无穷小代换法 求解， 而且有不少填充题甚至计算题 （ 如 #++# 年， 第一 （-） 题， #++! 年， 第三 （#） 题 #++% 年， 第三 （#） 题 （ 利用倒数换元法就能运用等价无穷小代换法） ， #++- 年， 第一 （ # ）题， #++/ 年， 第一 （ # ）题， #++. 年， 第一 （ # ）题， #+++ 年， 第一 （ # ）题等等） ， 值得注意： 等价无穷小代换法的要害在于 “ 等价”二字， 有的同学在解题过程中没有进行代换而得到错误的结论0 0# ! 0! 1# ! 1! 3# ! 3! % % ， 0! ! 0% 1! ! 1% 3! ! 3%
（ ’）连续， 但不可导 （ ( ）可导， 但 #) （ $ ）" $ （ * ）可导， 且 #) （$） % $ （ +）二阶导数存在 【 分析和解答】 若取特殊函数（ # $） % , 题可能正确的答案只能是 （ *）
【 点评】 & 联想到函数（ # $） %（ $ ! $$ ） " $ ! $$ " 在 $ % $$ 点是 - 阶可导的 （ 其中 - 是正整数）
这个重要特例， 巧妙地构造出符合题意条件的函数（ # $） % 为一般的特例 （ # $）在点 $ % $ 往往是二阶导的） ,
$ " $ " 对于排除选项 （ +）极为重要 （因 !
例 %" （ !$$$ 年， 第二 （#） 题） 设（ # $） ， . （ $） 是恒大于零的可导函数， 且 #) （ $） . （ $）! （ # $） .) （ $） / $， 则当 0 / $ / 1 时， 有 （& & ） （ &） （ # $） . （ 1） 2 （ # 1） . （ $） & & & （ ’） （ # $） . （ 0） 2 （ # 0） . （ $） （ (） （ # $） . （ $） 2 （ # 1） . （ 1） （ )） （ # $） . （ $） 2 （ # 0） . （ 0） & 这道题直接求解比较难， 通过联想构造特例 （ # $） % * !$ ， . （ $） % * $ 可满足题 【 分析和解答】 设全部要求， 于是易验证只有 （ ’）正确， 【点评】 & 这里已经忽略了前期的尝试与探索的过程而直接把结论展现给读者， 其实寻找符合 题意的特例函数是一个发散性的思维过程， 有时候得到一个 “ 好”的特例需要尝试很多次, 所以不 可认为特例排除法是极其简单的方法， 它的困难蕴涵在探索的过程中, 可用类似方法求解 #++, 年， 第二 （ ! ）题 （ 只要取 （ # $） % $! 即可） , 下面举一个例子说明特殊值排除法的运用, 1# ， 3# 0# ， $ ! 0% 4 ! 1% 5 ! 3% 例 -" （ #++. 年， 第二 （-） 题） 设矩阵 0! ， 则直线 % % 与 1! ， 3! 是满秩的， 0 # ! 0 ! 1 # ! 1 ! 3# ! 3! 0% ， 1% ， 3% 直线 $ ! 0# 4 ! 1# 5 ! 3# % % 0! ! 0% 1! ! 1% 3! ! 3%
5 【 点评】 ! 函数（ + #） -（ # ’ #$ ） $ # ’ #$ $ 在 # - #$ 点是 5 阶可导函数 （ 其中 5 是正整数） ， 这
个结论多次在考研试题的求解中用到 （ 如 "//! 年， 第二（ # ）题， "//1 年， 第二 （ ! ）题等） 2 利用函数 在局域上的近似函数法思想还可迅速求解 "/13 年， 第二 （ " ）题 （ 在 # - ) 的附近的极小邻域， （ + #）
! ； "//$ 年， 第一 （ # ）题 （ 在 # - $ 附近的极小邻域， （ + #）, #! ）等等" , ’（ # ’ )））
二、 从特殊认识一般 （ 特例排除法） 特例排除法包含特殊值排除法和特殊函数排除法两种常见情况， 但特殊的简单函数排除法更 经常使用"
!$$# E $# E "# ! 收稿日期：
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参考文献 ［ & ］教育部考试中心’ &467 年 & #$$% 年硕士研究生入考试数学一试题’
-----------------------------------------（ 上接第 #4 页） % 则 & # （ % " &） # # （ % " &） # （ ( !） # " ).-! ) ).-# ! " ).-/ ! ) ).-% ! " … （ $ * + ! + * %） ’ # # /% % % & & 在 ! # $ 处， 傅里叶级数收敛于 ， 在 ! # , % 处， 傅里叶级数收敛于 % " ’ # # ! " # %，) % * ! * $ ， 例 /" 设 （ ( ! ） # %， 将试 （ ( !）展开成为 # % 为周期的傅里叶系数’ % ! # $， !， % $ * ! 0 %’ 解% （ ( !）的对称中心 （$， ， 由上结论知 %） -$ # # %， % -. # $ （ . # &， #， /， …） ， 0 # . %! # % # /. # ［（ ( !）) 1］ ).*! # （ ! ) %） ).-.!*! # ) （ . # & ， #， /， …） ， 0 $ 0 . % $
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参考文献
［&］ 同济大学数学教研室主编’ 高等数学 （ 上册） ［ 8］ ’ 北京： 高等教育出版社， #$$# ’ #$! ’
-----------------------------------------（ 上接第 5& 页） 通过对历年考研数学一试卷的研究分析， 可以清楚地看出高等数学的学习， 准确， 系统， 完整地 掌握基础知识是关键， 在掌握基础知识的同时， 应注重综合分析问题， 以及解决实际问题能力的培 养’ 惟有立足基本， 培养能力， 才能取得良好的学习效果’