第五章 不可压缩流体二维边界层概述
空气动力学基础第五章边界层理论及其近似资料
5.1、边界层近似及其特征
（3）边界层厚度的量级估计
根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。 以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界 层厚度为 。 惯性力：
FJ m dV U L2 LU 2 dt t
dV U A L2 dy
粘性力：
F
由惯性力与粘性力同量级得到
F FJ
LU 2
U
L2
L
1 Re
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5.1、边界层近似及其特征
由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。 （4）边界层各种厚度定义 （a）边界层排移厚度 在边界层内，理想流体的质量流量为
mi e ue dy
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
v v v 1 p 2 v 2 v u v fy 2 2 t x y y x y 2 ue2 ue2 ue2 ue ue ue 2 3/ 2 L2 L Re L Re L Re L Re L Re
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
第五章 边界层理论
1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念 边界层方程 边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。
实际问题要复杂得多。
边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。
3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。
边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。
边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用 边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层 过渡区 湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较 边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当 标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。
边界层的基本概念课件
边界层的特征
边界层具有很薄的厚度，其厚 度通常远小于流体中的其他尺 度，如流动的长度和速度。
在边界层内，流体的流动状态 从自由流转变为受壁面限制的 流动，流体的速度和方向发生 急剧变化。
边界层内的流体会产生摩擦阻 力，对流体流动产生重要影响 。
边界层的形成
当流体与固体壁面接触时，由于壁面 的限制作用，流体的速度和方向发生 变化，导致流体的切向应力与法向应 力发生突变，形成边界层。
湍流边界层
在流体流动中，靠近固体表面的 薄层，流速较高，流动方向复杂 ，各层速度梯度较大，流动呈现 湍流状态。
热边界层和流动边界层
热边界层
在传热过程中，靠近固体表面的薄层 ，温度梯度较大，热量传递速率较高 。
流动边界层
在流体流动中，靠近固体表面的薄层 ，流速较高或较低，流动方向或湍或 层，与流体主体存在明显的速度梯度 。
边界层的基本概念课件
目 录
• 边界层定义 • 边界层的重要性 • 边界层的分类 • 边界层方程 • 边界层模拟方法 • 边界层的应用
01
边界层定义
边界层的定义
01
边界层是指流体在运动过程中， 流体的切向应力与法向应力发生 突变的位置，通常出现在流体与 固体壁面接触的地方。
02
在边界层内，流体的流动受到壁 面的限制，流体的速度和方向发 生急剧变化，导致流体的物理性 质发生显著变化。
物理边界层和化学边界层
物理边界层
主要涉及流体的物理特性变化，如温度、压力、速度等。
化学边界层
主要涉及流体的化学特性变化，如浓度、组分、化学反应等 。
04
边界层方程
连续性方程
连续性方程是描述流体运动过程中质 量守恒的方程。
第五章 边界层理论
A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微 分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流 底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到 下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了 速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0
L
0
y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB
流体力学主要内容
第一章连续介质假设：把流体当作是由密集质点构成的、内部无空隙的连续体来考虑。
表面力：作用在流体表面上的力；质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力；单位2/m s牛顿内摩擦定律：dudyτμ=μ动力粘度系数，υ运动粘度系数：μυρ=； 无粘性流体：指无粘性，0μ=的流体；不可压缩流体：指流体的每个质点在运动全过程中，密度不变化的流体。
常温常压下气体状态方程：pRT ρ=第二章静止流体的应力特征1.应力方向沿作用面的内法线方向；2.静压强的大小与作用面方位无关。
等压面：流体中压强相等的空间点构成的面（平面或曲面）称为等压面。
重力作用下流体静压强分布o p p gh ρ=+推论：静压强的大小与液体的体积无关两点的压强差等于两点之间单位面积垂直液柱的重量在平衡状态下，液体内任意一点压强的变化等值地传递到其他各点。
压强的度量：绝对压强：流体实有的全部压强相对压强：绝对压强与当地大气压的差值真空度：指绝对压强不足当地大气压的差值，即相对压强的负值v a abs p p p =-；p z c gρ+=，c 为测压管水头（总势能），其中z 为位置水头；pgρ压强水头； 作用在平面上的静水压力 图算法：p bs =（矩形板）b 为受压面宽度，s 为压强分布图的面积总压力的作用线通过压强分布图的形心 解析法：c p gh A ρ=（任意形状平面板）c h ：受压面形心的淹没深度A ：受压面面积作用在曲面上的静水压力x c x z p gh A p gvρρ==压力体：实压力体，虚压力体，混合压力体第三章描述流体运动的方法：拉格朗日法和欧拉法 拉格朗日法：以个别质点为观察对象，再将每个质点的运动情况汇总起来描述整个流体运动； 欧拉法：以流体运动的空间点作为观察对象，观察不同时刻各空间点上流体质点的运动，再将每个质点的运动情况汇总起来描述整个流体运动。
x x x x x x y z y y y y y x y z z z z zz x y z u u u ua u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂流动的分类恒定流和非恒定流：以时间为标准，若各空间点上的运动参数（速度，压强，密度等）都不随时间变化，这样的流动是恒定流，反之则为非恒定流。
流体静力学流体动力学基础
有明确记载的最早的流体力学原理是在公元前250年， 希腊数学家及力学家阿基米德（Archimedes）发表
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了一篇“论浮体”的论文，提出了浮体定律，这是流体力 学的第一部著作。由于奴隶制、神权和宗教观念的束缚， 直到15世纪文艺复兴时期，尚未形成系统的理论。16世纪 以后，在欧洲由于封建制度的崩溃，资本主义开始萌芽， 生产力有了发展。在城市建设、航海和机械工业发展需要 的推动下，逐步形成近代的自然科学，流体力学也随之得 到发展。意大利的达·芬奇(Vinci，L. da)是文艺复兴时期 出类拔萃的美术家、科学家兼工程师，他倡导用实验方法 了解水流性态，并通过实验描绘和讨论了许多水力现象， 如自由射流、旋涡形成原理等等。1612年伽利略（Galilei） 提出了潜体的沉浮原理；1643年托里拆利(Torricelli，E．) 给出了孔口泄流的公式；1650年帕斯卡(Pascal，B．)提
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液体或气体界面处，不仅研究相互之间的作用力，而且还 需要研究它们之间的传热、传质规律。
工程流体力学是研究流体（液体、气体）处于平衡状 态和流动状态时的运动规律及其在工程技术领域中的应用。
流体力学的基础理论由三部分组成。一是流体处于平 衡状态时，各种作用在流体上的力之间关系的理论，称为 流体静力学；二是流体处于流动状态时，作用在流体上的 力和流动之间关系的理论，称为流体动力学；三是气体处 于高速流动状态时，气体的运动规律的理论，称为气体动 力学。工程流体力学的研究范畴是将流体流动作为宏观机 械运动进行研究，而不是研究流体的微观分子运动，因而
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流体力学作为一门独立的学科，同其他自然科学一样 是人类为了满足自身生活和生产的需要，在认识与改造自 然的斗争中，随着实践经验的不断积累，技术与知识水平 的不断提高才形成和发展起来的，有着漫长的发展历程。 其发展既依赖于科学实验和生产实践，又受到许多社会因 素的影响。我国是世界上三大文明古国之一，有着悠久的 历史和灿烂的文化，由于生产发展的需要，远在两三千年
第五章边界层理论
Y方向
按边界层概念: 边界层以外势流区的速度u∞不变,所以也不存在压力梯度 进一步简化：
H.布拉修斯对上述方程组进行了解析,引入流函数ψ(x,y),将 偏微分方程组化为可以解的常微分方程：
通常规定：u=0.99 u∞的位置为边界层的外边界线
5.2 平面层流边界层微分方程
以不可压稳态层流边界层为例： 1.微分方程建立与简化：
控制方程（二维，不可压，稳态，层流，不考虑质量力）
v x vy 0 x y
连续性方程
N-S方程
2v x 2v x v x v x 1 p vx vy 2 2 X方向 x y x x y
1.328 C f 1.328 0 L Re L
x 4.64 Re x
其中：Re L
不可压层流平板绕流摩擦阻力系数:
0 L
v
其总阻力：S
Cf 2
2 0 LB 其中L为平板长度，B为平
板宽度。
1. 平板紊（湍）流中速度分布与边界层厚度关系:
x y 17 ( ) 0
将流函数带入上面的方程组 并认为层流边界层内沿x轴各截面的速度分布图象相似 vx y F( ) v 又依
x
1 Re
则
x Re
y
y x Re
5.3 不同条件下边界层厚度与摩擦阻力系数
1. 平板层流中速度分布与边界层厚度关系:
x 3 y 1 y 3 ( ) ( ) 0 2 2
第五章 边界层理论
王连登 liandeng@ 13506970553
边界层概念及特点
边界层概念及特点边界层是指在流体内部，例如大气或水流中，与相邻固体表面接触的一层流体。
边界层在自然界和工程中都具有重要的作用，因此对边界层的研究具有重要的意义。
在流体动力学和传热传质学中，边界层的研究已经成为一个重要的领域，对于工程设计和天然环境中的流体现象都有着重要的影响。
1.边界层的概念边界层的概念源于流体力学的研究，在流体内部，与固体表面接触的一层流体受到了固体表面的影响，使得其动力学特性和传热传质性质与流体主体产生了巨大的差异。
在这一层中，流体的速度和压力梯度都会发生明显的变化，同时流体的湍流运动也会受到较强的影响。
边界层的概念在不同领域有着不同的应用，例如在空气动力学中，边界层的研究对于飞机的设计和性能具有重要的影响；而在海洋学和水力学领域，边界层的研究对于水下船舶和海洋平台等工程的设计和运行也具有着重要的意义。
2.边界层的特点边界层的特点主要包括以下几个方面：（1）速度剖面在边界层中，流体的速度会随着距离固体表面的距离而发生变化，即速度剖面。
通常情况下，离固体表面越近，流体的速度越小，而在边界层的外部，速度会逐渐趋近于自由流体的速度。
因此，由于速度的变化，边界层中流体的剪切应力也会增大，导致流体的粘性效应变得非常明显。
（2）湍流运动在边界层中，由于流体的速度剖面和压力梯度的变化，流体会发生湍流运动。
边界层中的湍流流动使得流体的动量和热量传递变得非常高效，因此具有很高的传热传质性能。
同时，湍流流动也会导致边界层中的流体阻力增大，这对于流体的运动和弥散具有重要的影响。
（3）传热传质边界层中，由于流体的湍流流动和速度剖面的变化，流体的传热传质性质也会发生明显的变化。
边界层中的传热传质过程具有着较高的传递效率，因此在工程和自然环境中具有着非常重要的应用。
例如在换热器或者传质设备中，边界层的传热传质特性对于设备的性能和效率都有着重要的影响。
（4）结构特性边界层结构对流体的运动和传热传质过程具有着决定性的影响。
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第五章 不可压缩流体二维边界层概述【例题解析】例5-1 边长为1m 的正方形平板放在速度=1m/s 的水流中，求边界层的最大厚度及摩擦阻力，分别按全板都是层流或者都是紊流两种情况进行计算，水的运动黏度系数∞V ν=10-6m 2/s 。
解：m ，1=b 1=l m ，610Re ==∞νl V l 层流：3211084.5Re 84.5)(−−×==ll l δm 32110372.1Re 372.1−−×==lf C 372.12212==∞f D blC V F ρN （双面） 紊流：02335.0Re 37.0)(51==−ll l δm 351106691.4Re 074.0−−×==lf C 6691.42212==∞f D blC V F ρN （双面） 例5-2 均匀油液流过一块 2.5m 长的薄板，流速为4m/s 。
已知油液的运动粘度为∞v ν=10-5m 2/s ，密度ρ=850kg/m 3。
试确定距平板前缘分别为0.5m 、1.0m 和1.5m 、2.0m 处壁面摩擦切应力w τ，并做比较。
解：取临界雷诺数为=5×10cr Re 5，于是25.1410105Re 55=××==−∞v x cr cr νm 故距平板前缘0.5m 和1.0m 处为层流边界层；1.5m 和2.0m 处为紊流边界层。
对于层流边界层，212365.0−∞∞⎟⎠⎞⎜⎝⎛=νρτx v v w因此10.11105.044850365.021525.0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××=−−=x w τ（N/m 2） 85.7100.144850365.021520.1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××=−−=x w τ（N/m 2）对于紊流边界层5120297.0−∞∞⎟⎠⎞⎜⎝⎛=νρτx v v w因此23.28105.1448500297.051525.1=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××=−−=x w τ（N/m 2） 65.26100.2448500297.051520.2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××=−−=x w τ（N/m 2）比较上述计算所得壁面切应力w τ可得出：（1）在其他条件相同时，紊流边界层的w τ比层流边界层的w τ大；（2）由于58.15.10.2−=−==x w x w ττ N/m 2，25.35.00.1−=−==x w x w ττ N/m 2，说明沿流向紊流边界层的w τ比层流边界层的w τ减小得慢。
例5-3 设平板紊流边界层的速度分布和壁面切应力的表达式为71⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞δy V u 24100233.0∞∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=V V ρδρμτ试用边界层动量积分关系式计算边界层厚度)(x δ和平板单面的阻力系数。
f C 解：平板紊流边界层的动量积分关系式为202∞=V dx d ρτδ δδδ727)1(02=−=∫∞∞dy V u V u 41410233.0727⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∞V d ρμδδ54513812.0x V ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∞ρμδ251002965.0∞∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=V x V ρρμτl V l V dx l 251002107413.0∞∞⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫ρρμτ ()51Re 07413.0l f C = 例5-4 圆柱形烟囱高25m ，直径1m 。
在10℃空气中受到横向50km/h 风速的作用，计算空气对烟囱的推力。
解：10℃空气248.1=ρkg/m 3，m 51078.1−×=μ2/s ，50=∞V km/h 9.13=m/s5510746.91078.10.19.13248.1Re ×=×××==−∞μρd V 查阻力系数图得，2.1=D C烟囱所受推力89.36161259.13248.12.1212122=×××××==∞A V C F D D ρN Example E5-1 Oil with a free stream velocity of 3.0m/s flows over a thin plate 1.25 m wide and 2m long. Determine the boundary layer thickness and the shear stress at mid-length and calculate the total, double-sided resistance of the plate. (860=ρkg/m 3,m 510−=ν2/s)Solution Calculate the Reynolds number at :1m x =./103x/Re 5s x −==x U νTherefore.105.48Re 21/2x ×=Note that Re is low enough to allow the laminar boundary layer to survive over the whole plate.1/2x s 0/x)Re (U 0.332τμ= 251048.51386010332.0×××××=−24.7N/m =The skin friction force is given by, double sided,,C b l ρU F f s ×××=2212 Where is plate length and b is plate width,l ,25.1238602122f C F ××××××= Where2/1Re 33.1−=l f C.)106/(33.12/15×=Therefore,[]210)60(/33.125.118860××××=F33.224N.=Example E5-2 Electrical transmission towers are stationed at 500 m intervals and a conducting cable 2 cm in diameter is strung between them. If an 80 km/h wind is blowing transversely across the wires, calculate the total force each tower carrying 20 such cables is subjected to. Assume there is no interference between the wires and take air density as 1.2 kg/m 3 and viscosity 1.7×10Pa·s.5− Also establish whether the wires are likely to be subjected to self-induced vibrations and if so what would be the frequency.Solution: Drag on one wire,.2120A U C D D ρ=In order to establish the value of , it is necessary to calculate the value of Re first. D C.1014.3107.1360002.01000802.1Re 45×=×××××==−μρd U O Now, from Fig.E5-2,for the above value of Re the drag coefficient is.2.1=D C The projected area of a single wire between towers,.m 1050002.02=×=A Hence, drag on wire,N.35561036001000802.12.1212=×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×××=D Therefore, the force on each tower due to 20 cables is1kN.1.71355620=×=FSince 250<Re<, ‘singing’ may occur.510 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=Re 7.191198.00d U f ⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−××=31067.907.19102.03600100080198.0 19.9Hz 2=.Fig.E5-2【习题答案】5-1 m310876.1−×=δ5-2 21Re 48.5−=x x δ；21Re 46.1−=l f C5-3 21Re 788.4−=x x δ；21Re 312.1−=l f C5-4 61Re 25855.0−=x x δ5-5 m 98.0=v q 3/s5-6 m/s09.87=∞V 5-7 15.0=δm ；758.1=D F N5-8 N9.119=D F 5-9 0203.01=δm ；403.02=δm5-10m ；W 165.0≤x 17.68897=P 5-11N·m 0434.0=M 5-12m 86.21=d 5-13kW 89.97=P 5-14 kW37.14=P 5-15 m ；；5.2max =x 00194.0=f C 01315.0=D F N 5-1612.0=D C。