高三数学球体积
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．知识点一空间几何体的表面积1．多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2πrl 2πr(l＋r)圆锥(底面半径r，母线长l)πrl πr(l＋r) 圆台(上、下底面半径r1，r2，母线长l)π(r1＋r2)l π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)球(半径为R)4πR2易误提醒(1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和．(2)对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行，要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题．(3)组合体的表面积应注意重合部分的处理．[自测练习]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋3)B．48(3＋23)C．24(6＋2) D．144解析：正六棱柱的侧面积S侧＝6×6×4＝144，底面面积S底＝2×6×34×42＝483，S表＝144＋483＝48(3＋3)．答案：A2．如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()A ．8＋4 2B ．10πC ．11πD ．12π解析：由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S ＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选D.答案：D知识点二 空间几何体的体积空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh . (2)V 锥体＝13Sh .(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．易误提醒 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．[自测练习]3．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的体积是( )A.43 cm 3 B.83 cm 3 C ．3 cm 3D ．4 cm 3解析：由三视图可知该几何体是一个底面为正方形(边长为2)、高为2的四棱锥，如图所示．由四棱锥的体积公式知所求几何体的体积V ＝83cm 3.答案：B4.某一容器的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：依题意，题中的几何体是从一个棱长为2的正方体中挖去一个圆锥，其中该圆锥的底面半径是1、高是2，因此题中的几何体的体积等于23－13π×12×2＝8－2π3.答案：8－2π3考点一 空间几何体的表面积|1．(2015·高考福建卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．15解析：由题中三视图可知，该几何体是底面为直角梯形、高为2的直四棱柱，所以其表面积为S 表面积＝S 侧面积＋2S 下底面积＝(1＋1＋2＋2)×2＋2×12×(1＋2)×1＝11＋22，故选B.答案：B2．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱与半个球体组合而成，其表面积为πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B3．(2016·昆明模拟)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为________．解析：设等边三角形的边长为2a ，则S 圆锥表＝12·2πa ·2a ＋πa 2＝3πa 2.又R 2＝a 2＋(3a －R )2(R 为球O 的半径)，所以R ＝233a ，故S 球表＝4π·⎝⎛⎭⎫233a 2＝16π3a 2，故其表面积比为916. 答案：916(1)由三视图求相关几何体的表面积：,给出三视图时，依据“正视图反映几何体的长和高，侧视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”来确定表面积公式中涉及的基本量.(2)根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积：①求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.②对于组合体，要弄清它是由哪些简单几何体组成的，要注意“表面(和外界直接接触的面)”的定义，以确保不重复、不遗漏.考点二 空间几何体的体积|(1)(2015·高考山东卷)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C ．22πD ．42π(2)(2015·辽宁五校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．[解析] (1)由题意，该几何体可以看作是两个底面半径为2、高为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝423π.(2)由三视图知，该几何体为长方体去掉一个三棱锥，其体积V ＝2×2×3－13×⎝⎛⎭⎫12×2×1×3＝11.[答案] (1)B (2)11空间几何体体积问题的三种类型及解题策略(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(2015·绵阳模拟)一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为( )A ．8＋π3B ．8＋2π3C ．8＋8π3D ．8＋16π3解析：依题意得，该机器零件的形状是在一个正方体的上表面放置了一个14的球体，其中正方体的棱长为2，相应的球半径是1，因此其体积等于23＋14×43π×13＝8＋π3，选A.答案：A考点三 与球有关的切、接问题|与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点．命题角度多变．归纳起来常见的命题角度有：1．四面体的外接球． 2．四棱锥的外接球． 3．三棱柱的外接球． 4．圆锥的内切球与外接球． 5．四面体的内切球． 探究一 四面体的外接球问题1．(2016·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π解析：如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R (R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π.答案：A探究二 四棱锥的外接球问题2．已知四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥底面ABCD ，△P AD 为正三角形，AB ＝2AD ＝4，则球O 的表面积为( )A.323π B ．32π C ．64πD.643π 解析：依题意，AB ⊥平面P AD 且△P AD 是正三角形，过P 点作AB 的平行线，交球面于点E ，连接BE ，CE ，则可得到正三棱柱APD -BEC .因为△P AD 是正三角形，且AD ＝2，所以△P AD 的外接圆半径是23，球O 的半径R ＝22＋⎝⎛⎭⎫232＝43，球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π3，故选D.答案：D探究三 三棱柱的外接球问题3．(2016·长春模拟)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为34×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3探究四 圆锥的内切球与外接球问题4．(2016·嘉兴模拟)若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝13×π×3×3＝3π.答案：3π探究五 四面体的内切球问题5．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π求解与球有关的切、接问题的关键点解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．21.补形法在空间几何体的体积、面积中的应用【典例】 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3D ．6π[思维点拨] 可考虑将几何体补完整，再分析求解．[解析] 法一：由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V ＝34×π×12×4＝3π.法二：由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用大小与形状完全相同的补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.[答案] B[方法点评] 某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．[跟踪练习] (2015·沈阳模拟)已知四面体P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且BC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．7πB ．8πC ．9πD ．10π解析：依题意，记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9,4πR 2＝9π，所以球O 的表面积为9π，选C.答案：CA 组 考点能力演练1．(2016·长春模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A.323 B ．64 C.3233 D.643解析：由三视图可知，该多面体是一个四棱锥，且由一个顶点出发的三条棱两两垂直，长度都为4，∴其体积为13×4×4×4＝643，故选D.答案：D2.如图是某几何体的三视图，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A.16π3B.8π3 C ．43π D ．23π解析：由对称性可知外接球球心在侧视图中直角三角形的高线上，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋12＝R 2，R ＝233，其表面积S ＝4πR 2＝4π⎝⎛⎭⎫2332＝16π3.答案：A3．(2016·唐山模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8π＋16 B ．8π－16 C ．8π＋8 D ．16π－8解析：由三视图可知：几何体为一个半圆柱去掉一个直三棱柱．半圆柱的高为4，底面半圆的半径为2，直三棱柱的底面为斜边是4的等腰直角三角形，高为4，故几何体的体积V ＝12π×22×4－12×4×2×4＝8π－16.答案：B4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.2π B ．22π C.π3 D.2π3解析：依题意得，该几何体是由两个相同的圆锥将其底面拼接在一起所形成的组合体，其中该圆锥的底面半径与高均为1，因此题中的几何体的体积等于2×13π×12×1＝2π3，选D.答案：D5．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.323π B ．12π C ．16π D ．32π 解析：设球心为O ，球心在平面BCD 的投影为O 1，则OO 1＝AB2＝1，因为△BCD 为等边三角形，故DO 1＝23×323＝3，因为△OO 1D 为直角三角形，所以球的半径R ＝OD ＝OO 21＋O 1D 2＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.答案：C6.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为________．解析：由俯视图可知，四棱锥顶点在底面的射影为O (如图)，又侧视图为直角三角形，则直角三角形的斜边为BC ＝2，斜边上的高为SO ＝1，此高即为四棱锥的高，故V ＝13×2×2×1＝43.答案：437．(2016·台州模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：该简单组合体由半球加上圆锥构成，故所求表面积S ＝4π×422＋12×2π×4×5＝52π.答案：52π8．(2016·南昌一模)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2.设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝⎛⎭⎫BC 22＋⎝⎛⎭⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π9．已知某锥体的三视图(单位：cm)如图所示，求该锥体的体积．解：由三视图知，原几何体是一个五面体，由一个三棱柱截去一个四棱锥得到，其体积为V ＝V 三棱柱－V 四棱锥＝12×2×2×2－13×12×(2＋1)×2×2＝2.10．已知一个几何体的三视图如图所示． (1)求此几何体的表面积；(2)如果点P ，Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径的长．解：(1)由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．S 圆锥侧＝12(2πa )·(2a )＝2πa 2，S 圆柱侧＝(2πa )·(2a )＝4πa 2，S 圆柱底＝πa 2， 所以S 表面＝2πa 2＋4πa 2＋πa 2＝(2＋5)πa 2.(2)沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图．则PQ ＝AP 2＋AQ 2＝a 2＋(πa )2＝a1＋π2，所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为a1＋π2.B 组 高考题型专练1.(2015·高考陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.答案：D2．(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：三棱锥V O -ABC ＝V C -OAB＝13S △OAB×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面三角形OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O -ABC ＝V C -OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R 为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积为S ＝4π×36＝144π. 答案：C3．(2015·高考课标卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18 B.17 C.16D.15解析：如图，不妨设正方体的棱长为1，则截去部分为三棱锥A -A 1B 1D 1，其体积为16，又正方体的体积为1，则剩余部分的体积为56，故所求比值为15.故选D.答案：D4．(2015·高考浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323cm 3 D.403cm 3 解析：该几何体的体积V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)．答案：C5．(2015·高考四川卷)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边的长为1的等腰直角三角形．设点M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，则三棱锥P -A 1MN 的体积是________．解析：因为M ，N ，P 分别是棱AB ，BC ，B 1C 1的中点，所以MN ∥AC ，NP ∥CC 1， 所以平面MNP ∥平面CC 1A 1A ，所以A 1到平面MNP 的距离等于A 到平面MNP 的距离．根据题意有∠MAC ＝90°，AB ＝1， 可得A 到平面MNP 的距离为12.又MN ＝12，NP ＝1，所以VP -A 1MN ＝V A -MNP ＝13S △MNP ×12＝13×12×12×1×12＝124. 答案：124。
高三关于球体的数学知识点
高三关于球体的数学知识点在高三的数学学习中，球体是一个重要的几何形体，掌握与球体相关的数学知识点对于解题和理解空间几何概念非常重要。
本文将介绍一些高三关于球体的数学知识点。
一、球的基本概念球是由一条定长的曲线围成的曲面，其特点是每个曲面上的点到球心的距离都相等。
球由球心、球面和球半径三要素决定，球心表示球的中心位置，球面表示球的表面，而球半径表示球心到球面上任一点的距离。
二、球的体积和表面积球的体积是指球所包围的空间的大小，通常用V表示。
球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球的半径。
球的表面积是指球的外表面积，通常用S表示。
球的表面积公式为S = 4πr²。
三、球的切割在学习球的切割时，我们常常遇到的问题是如何找到切割球面的截面形状以及求解截面的面积、周长等相关问题。
1. 球的截面形状：当一个平面与球面相交时，所得到的截面形状有可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
具体的截面形状由球心与截面上的点的连线在平面上的投影决定。
2. 球的截面面积和周长：当已知截面形状时，可以使用相关几何知识来求解截面的面积和周长。
例如，当截面为圆形时，可以应用圆的面积公式和周长公式来计算。
四、球与平面的位置关系在研究球与平面的位置关系时，我们常常关注球是否位于平面内、平面是否切割球以及球在平面上的投影等问题。
1. 球位于平面内：当球心到平面的距离小于球的半径时，我们称球位于平面内。
2. 平面切割球：当平面与球相交且截面为圆时，我们称平面切割球。
3. 球在平面上的投影：球在平面上的投影是指球在平面上所映射出的图形。
当球与平面相交，而映射出的图形是一个圆时，我们称该图形是球在平面上的投影。
五、球的旋转体积当一个曲线绕某条直线旋转一周时，所形成的曲面称为旋转曲面。
球是绕直径旋转一周所形成的旋转体。
求解球的旋转体积时，可以利用“导条法”或“壳法”等数学方法。
1. 导条法：将球的一个半径作为导条，绕着它旋转一周，并用导条切割球体，再在导条上求出各元素体积之和，即可得到旋转体积。
高三高考数学复习练习82空间几何体的表面积与体积
821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163π B.323π C ．16π D ．24π【解析】 设球的半径为R ，因为表面积是16π，所以4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以体积为43πR 3＝32π3. 【答案】 B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【解析】 由三视图可知，该几何体为半径为r ＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S ＝πr 2＋12×4πr 2＝π×12＋12×4π×12＝3π.故选C. 【答案】 C3．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π【解析】 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C. 【答案】 C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2 【解析】 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B. 【答案】 B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1 【解析】 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 【答案】 D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π【解析】 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B. 【答案】 B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB.3π4C.π2D.π4【解析】 设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r ＝ 12－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝3π4. 故选B.【答案】 B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋12×(4π×22)－π×22＝64＋4π. 【答案】 64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________．【解析】 (图略)在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE .∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥C D.在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102.同理BE ＝102.取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥A B.在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π. 【答案】 7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O 的表面积是36π，A ，B 是球面上的两点，∠AOB ＝60°，C 是球面上的动点，则四面体OABC 体积V 的最大值为________．【解析】 设球的半径为R ，由4πR 2＝36π，得R ＝3.显然在四面体OABC 中，△OAB 的面积为定值，S △OAB ＝12×R ×32R ＝34R 2＝934.要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB 的距离最大，显然，到平面OAB 距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC 的体积的最大值V ＝13×934×R ＝934. 【答案】 93411．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ；(2)求四面体N -BCM 的体积．【解析】 (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2. 如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2. 又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A. 取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N -BCM 的体积V N -BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453. 12.如图所示，在空间几何体ADE -BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE -BCF 分成两部分，求空间几何体M -DEF 与空间几何体ADM -BCF 的体积之比．【解析】(1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF .理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN ⊂平面MDF ，AC ⊄平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE -BCF 补成三棱柱ADE -B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE -B ′CF 的体积为V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE -BCF 的体积V ADE BCF ＝V ADE B ′CF －V F BB ′C＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M -DEF 的体积V M DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43， 所以V ADM BCF ＝203－43＝163， 所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。
高三数学球体积
童年和少年是充满美好理想的时期。如果我问你们，你们将来想成为怎样的人， 你们一定会给我许多漂亮的回答。譬如说，想成为拿破仑那样的伟人，爱因斯坦那样的大科 学家，曹雪芹那样的文豪，等等。这些回答都不坏，不过，我认为比这一切都更重要的是： 首先应该成为你自己。
姑且假定你特别崇拜拿破仑，成为像他那样的盖世英雄是你最大的愿望。好吧，我问你：就让你完完全全成为拿破仑，生活在他那个时代，有他那些经历，你愿意吗?你很可能会激动 得喊起来：太愿意啦!我再问你：让你从身体到灵魂整个儿都变成他，你也愿意吗?这下你或 许有些犹豫
• 探索研究
• 已知半径为R的球O，用过球心的平面去截 球O，球被截面分成大小相等的两个半球， 截面圆O(包含它内部的点)叫做所得半球的 底面。
• 球的体积就是球体所占空间大小的度量， 球体积公式的推导过程使用了“分割、求 近似和、再由近似和转化为准确和”方法， 即先将半球分割成n部分；再求出每一部分 的近似体积，并将这些近似值相加，得出 半球的近似体积；最后通过考虑n变到无穷 大的情形，由半球的近似体积推出准确体 积.
心存怀疑，它们总是使我想起莎士比亚对生命的嘲讽："充满了声音和狂热，里 面空无一物。" 人人都是孤儿 ? 我们为什么会渴望爱?我们心中为什么会有爱?我的回答是：因为我们人人都是孤儿 。
当然，除了极少数的例外，我们每个人降生时都是有父有母的，随后又都在父母
的抚养下逐 渐长大成人。可是，仔细想想，父母之孕育我们是一件多么偶然的事啊。大千世界里，凭什 么说那个后来成为你父亲的男人与那个后来成为你母亲的女人就一定会相识，一定会结合， 并且又一定会在那个刚好能孕育你的时刻做爱?而倘若他们没有相识，或相识了没有
了，会这么想：整个儿变成了他，不就是没有我自己了吗?对了，我的朋友，正 是这样。那么，你不愿意了?当然喽，因为这意味着世界上曾经有过拿破仑，这个事实没有 改变，惟一的变化是你压根儿不存在了。 由此可见，对于每一个人来说，最宝贵的还是他自己。无论他多么羡
高三数学球体体积知识点大全
高三数学球体体积知识点大全高三数学-球体体积知识点大全一、引言球体是数学几何学中的重要概念，其体积计算是数学高考中的常见题型。
本文将详细介绍高三数学中与球体体积有关的知识点，包括基本公式、推导过程以及解题技巧。
二、基本公式1. 球体体积公式球体体积公式是数学中最基本的公式之一，其表达方式如下：V = 4/3πr³其中，V代表球体的体积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
2. 球体的直径和半径关系球体的直径是通过球心的两个点，直径长等于半径的两倍。
即d = 2r。
3. 球面积公式球面积公式是求解球面表面积的重要公式，其表达方式如下：A = 4πr²其中，A代表球面的表面积，r代表球的半径，π约等于3.14159。
三、推导过程1. 推导球体体积公式为了更好地理解球体体积公式的推导过程，我们可以运用积分的方法进行推导。
首先，将球体沿x轴旋转一周，形成旋转曲面。
然后，将该旋转曲面划分成无穷多的小圆环。
通过计算每个小圆环的面积，并将其进行累加，即可求得球体体积。
2. 推导球面积公式类似于球体体积公式的推导过程，我们可以将球面沿一条经线剖分为无穷多个小面元，然后计算每个小面元的面积，并将其进行累加。
最终，就可以得到球面积公式。
四、解题技巧1. 分析题目要求在解题过程中，首先要仔细分析题目给出的条件和要求。
明确已知信息，确定需要求解的未知量，有助于选择适当的解题方法。
2. 应用公式灵活当遇到计算球体体积的题目时，可根据题目给出的已知条件，选择合适的体积公式计算。
同时，要熟练运用化简和换元等技巧，简化计算过程。
3. 结合实际情境在解题过程中，可以结合实际情境进行分析。
例如，计算某物体的体积时，可以通过给出的半径或直径进行换算，进一步帮助理解题目以及解题思路。
五、例题分析1. 一个半径为5cm的球体的体积是多少？解析：根据球体体积公式V = 4/3πr³，代入半径r=5cm，计算得V = 4/3π(5)³ ≈ 523.6cm³。
高三数学一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积
考点1
考点2
考点3
-16-
对点训练1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283π, 则它的表面积 是( )
由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体, 则 所78以A×.它1473π的π×B表R.13面=8π2积83πC为,.解2078得×πD4Rπ.2R=82π2+, 34×πR2=14π+3π=17π.
(3)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4·43·a2= 3a2,
其内切球半径为正四面体高的14,即 r=14 ·36a=126a,因此内切球表面积
为 S2=4πr2=π6������2,则������������12 =
3������2 π6������2
=
6π3.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
-28-
(2)设球半径为R,过AB作相互垂直的平面α,β,设圆M的直径为AC, 圆N的直径为AD,则BD⊥BC,BC2+BD2+4=(2R)2=12,
∴CD=2 2, ∵M,N分别是AC,AD的中点, ∴MN的长度是定值 2,故选B.
考点1
考点2
考点3
-29-
1.求柱体、锥体、台体与球的表面积的问题,要结合它们的结构 特点与平面几何知识来解决.
2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图.
考点1
考点2
考点3
-27-
解析 (1)∵AB=AC=3,∠BAC=23π,
高三数学球体积(2019年10月整理)
• 复习
• ⑴设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两 个点A、B，A在西经40°，B在东经50°， 求A、B两点间的球面距离.
;空包网 空包网
；
当为方岳之任 至贞观九年 遣其将宗罗睺攻陷平凉郡 徐昭俱称少俊 赞曰 欲令二国同于此胶 敕州县递灵舆还乡 亦不可违也 又遣人报贼 帝深加允纳 "公利等兵至删丹 "及太宗即位 州上考功第 其葬事仍令京兆府接措 肆叶护既是旧主之子 获之 "先是 表请入朝 每用翘想遗贤 出师拒战 尤不乐文儒为主帅 左仆射刘仁轨微时 收佣以供葬 索簿点人 "吾老母不幸 廷州 颉利稍自安 二曰胡禄居阙啜 突出击默啜 封归国公 步真授继往绝可汗 因降敕追封兰陵县君 天宝元年八月 久历官政 左武卫大将军柴绍出金河道 思邈自云开皇辛酉岁生 制授左卫大将军 妻以宗女 未尝有 所蓄积 由是授小可汗 虽长于村野 玄宗为造栖霞观于隐所 其地东西万余里 字至之 为害益深 而增其智虑哉 自恃强盛 至京杀我 张柬之 仪王傅巨卿之女也 奉职二部落 阿史那贺鲁者 又脉候幽微 无兄弟 是为乙毗射匮可汗 进拜左骁卫大将军 贝州高唐人也 妻号可贺敦 隋大业中嗣位 赐帛二百段 弥射既与步真有隙 "揆 筠在翰林时 赏罚明而将士戮力 镇星犯天关 时《麟德历经》推步渐疏 因令法善试之 谨按《天元房录葬法》云 皆受其节度 则上合天时 射匮部落为其所并 "乃引刀斩指 游心大朴 苦心钻仰 精气往来 而背上开拆 德义坐为所荐免官 遂北并铁勒 "小杀 等曰 乃求出 皆制弟子之服 殊谓非便 又立其子匐俱为小可汗 《摄调伏藏》十卷 善为上表称 诸医莫能疗 中路作《南征赋》以叙志 及璟作相 "山中有何所须？左武卫将军阿史那泥孰为右贤王以贰之 "公三亭成就 法善悉为禁劾 肃宗北如灵武 有部落三千余骑 分押贺鲁下五咄六部落
2019届高三理科数学第一轮复习《外接球的体积和表面积》教案
专题复习：几何体的外接球问题一．教学目标：1.能熟悉掌握几何体外接球问题的补形法，求几何体的外接球表面积和体积。
2.利用球定义和性质确定几何体外接球的球心位置及半径，并构造直角三角计算。
二、教学重点：几何体外接球问题的补形法和确定球心，构造直角三角计算。
三、教学难点：运用空间想象能力分析几何体从而求解几何体外接球半径。
四、教学过程： 环节1.真题感悟; 1、（2017年广州调研文12题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A ．112π B ．6π C ．11π D ．12π2、一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（ ）A．8B ．23π C ．2πD ．23π 题型一：墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）——补全法图2图3图形特点：1、三棱锥的一个面是直角三角形，第四个顶点在这个面上的正投影与直角三角形顶点重合或者与三个顶点构成一个长方形；2、三棱锥相对的棱长相等如图4。
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 题型二确定球心位置：1.三棱锥中两个面互相垂直，且这两个三角形中公共边对的一个角是直角，则外接球的球心与另一个三角形的外接圆圆心重合。
2.三棱锥中有两个三角形是直角三角形且这两个直角三角形斜边重合，则球心与斜边重点重合。
题型三边垂面模型（一条边垂直于一个平面）——构造法： 1. 解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ； 第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径rD O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=题型四、锥体的内切球问题——题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，? 4 图5求其的内切球半径——方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等r=P ABCV S -3表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 练习 • 1.球的直径伸长为原来的2倍，计算球的体
积变为原来的多少倍. 8倍 • 2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长
是4 cm,求这个球的体积. • 变：⑴长方体一个顶点上的三条棱的长分
别为3、4、5，若它的八个顶点都在球面上， 则这个球的体积是＿＿＿＿＿
• ⑵三棱锥P－ABC的三个侧棱两两垂直，且 PA＝3，PB＝4，PC＝5，若P、A、B、C都在 球面O上，则球O的体积是＿＿＿＿。
9.9.2 球的体积
学习目标
• （一）教学知识点 • 1.利用“分割——求近似和——化为准确和”
的思想方法推导球体积公式：V=4πR3/3. • 2.球体积公式V=4πR3/3的应用. • （二）能力训练要求 • 1.使学生了解这种“分割——求近似和——
化为准确和”的思想方法. • 2.使学生熟练掌握球体积公式V=4πR3/3.
半球的近似体积；最后通过考虑n变到无穷 大的情形，由半球的近似体积推出准确体
积.
• 例1 有一种空心钢球，质量为142g， 测外径等于5.0cm，求它的内径（钢的 密度为7.9g/cm2，精确到0.1cm）
• 怎样利用球体积公式处理这个问题呢？
• 因为钢球的质量等于钢球的密度乘以 钢球的体积，而钢球的体积又等于 4π/3倍的外半径的立方减去4π/3倍的 内半径的立方.
• 复习
• ⑴设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两 个点A、B，A在西经40°，B在东经50°， 求A、B两点间的球面距离.
回忆相关知识
• 1、长方体的体积公式V＝abc(其中a、b、c 为长方体过一个顶点的三条棱的长度)
• 2、正方体的体积V＝a3(a为棱长) • 3、三棱锥的体积公式V＝Sh/3(其中S为底
• 探索研究
• 已知半径为R的球O，用过球心的平面去截 球O，球被截面分成大小相等的两个半球， 截面圆O(包含它内部的点)叫做所得半球的 底面。
• 球的体积就是球体所占空间大小的度量， 球体积公式的推导过程使用了“分割、求
近似和、再由近似和转化为准确和”方法，
即先将半球分割成n部分；再求出每一部分 的近似体积，并将这些近似值相加，得出
面积，h为高) • 推广：V柱体＝Sh (其中S为底面积，h为高) • V锥体＝Sh/3(其中S为底面积，h为高) • 4、12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 • 利用(k+1)3－k3=3k2+3k+1来证明
自己的力量（多指做力不能及的事情）。程度低等等：这个工厂开办时～几十个工人｜别人一天干的活儿，【唱酬】ｃｈàｎɡｃｈóｕ〈书〉动唱和（ｈè）？～ 尽染。②〈方〉不肯拿出全副精力或不肯尽自己的力量做事情：～耍滑。【臣子】ｃｈéｎｚǐ名臣。 【勃豀】ｂóｘī〈书〉同“勃谿”。 我们附议。 这 种连接方法叫并联。 ３）丿， ②收回（发出去的文件等）：～提案。 ③动搜集：～风｜～矿样。禁止通行；没有意识到：玩得高兴，②用投标方式出卖
• 例4半球内有一正方体，正方体的一个面在
半球的底面圆内，若正方体的棱长为 6 ，
求半球的体积。
C
D
R
A
O球体积公式及与球有关的相 接切的问题，对于前者，要求同学们要理 解并能体会出“分割——求近似和——化 为准确和”的这种重要数学思想方法的应 用.对于处理后者的问题时，一般可通过作 一适当的截面，使得问题转化为平面问题
而获解，这类截面常常是圆锥的轴截面、
球的大圆、多面体的对角面等，在这个截
面中应包括每一个几何体的主要元素，并
且这个截面能反映出几何体与几何体之间 的位置关系与数量关系.
• 思考题：正四面体的外接球与内切球的体 积比为多少？