三个正数的算术—几何平均不等式
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2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
三个正数的算术-几何平均不等式
即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
三个正数的均值不等式的证明
三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。
在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。
三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。
具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。
假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。
根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。
第一讲一3.三个正数的算术-几何平均不等式课件
证明： 证明：因为
a 3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b)3 − 3a 3b − 3ab 2 + c 3 − 3abc = (a + b) + c − 3a b − 3ab − 3abc
3 3 3 2
(2 )x 3 + y 3
= (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
≤（
3 例1 已知x,y,z ∈ R + ,求证（x + y + z） ≥ 27xyz. 已知x 求证（
证明： 证明：
推论
如果 a, b, c ∈ R + ,则 abc
a + b + c 3 ）. 3
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 课堂小结 类比感悟 适用范围 均值不等式 相关概念 语言表述 推 应 论 用
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗.
类比
对于两个正数a, b
猜想
对于三个正数a, b, c
如果a 如果a, b ∈ R + ,那么 如果a 如果a,b,c ∈ R + ,那么 a+b+c 3 a+b ≥ abc, ≥ ab， 3 2 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b = c时，等号成立. 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b时，等号成立.
2
和为定值, 积最大；积为定值，和最小.
一正;二定；三相等 一正 二定；三相等! 二定
求最值条件
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角 如下图，把一块边长是a
a 3 + b3 + c 3 − 3abc = (a + b)3 − 3a 3b − 3ab 2 + c 3 − 3abc = (a + b) + c − 3a b − 3ab − 3abc
3 3 3 2
(2 )x 3 + y 3
= (x + y)(x 2 − xy + y 2 )
≤（
3 例1 已知x,y,z ∈ R + ,求证（x + y + z） ≥ 27xyz. 已知x 求证（
证明： 证明：
推论
如果 a, b, c ∈ R + ,则 abc
a + b + c 3 ）. 3
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 课堂小结 类比感悟 适用范围 均值不等式 相关概念 语言表述 推 应 论 用
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗.
类比
对于两个正数a, b
猜想
对于三个正数a, b, c
如果a 如果a, b ∈ R + ,那么 如果a 如果a,b,c ∈ R + ,那么 a+b+c 3 a+b ≥ abc, ≥ ab， 3 2 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b = c时，等号成立. 当且仅当a 等号成立. 当且仅当a = b时，等号成立.
2
和为定值, 积最大；积为定值，和最小.
一正;二定；三相等 一正 二定；三相等! 二定
求最值条件
攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗 攀登者的智慧和汗水，构思着一首信念和意志的长诗. 例2 如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角 如下图，把一块边长是a
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
3.三个正数的算术-几何平均不等式
语言表述：n个正数的算术平均不
小于它们的几何平均.
例1、 已 知x, y, z R , 求 证 ： （x y z)3 27xyz.
证明：因为 x y z 3 xyz，所以 3
(x y z)3 xyz, 27
即（x+y+z）3 27xyz
例２: 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解:
x
y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解:
y 2x 2 3 2x 2 3 3 33 2x 2 3 3 33 9 3 3 36
x
2x 2x
2x 2x 2 2
当且仅当2x 2 3 ,即x 2x
3 2
时,
y m in
3 2
3
36 .
练习2：
1.若正数x, y满足xy 2 4,求x 2 y的最小值.
33 4
x y3 4
2.若 a>b>0，则 a+ 1 的最小值是
.
b(a b)
3
a 2b
3.求函数y x4 (2 x 2 )(0 x 2)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2 (1 x) 4 x x (1 x) 22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
构造三 个数相
加等于 定值.
当 x 2
1
x,即x
2 时, 3
三个正数的算术-几何平均不等式
的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )
1.1.3.三个正数的算术__几何平均不等式 课件(人教A选修4-5)
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研ห้องสมุดไป่ตู้题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
[研ห้องสมุดไป่ตู้题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似 H－h r R 三角形的性质可得 H ＝R，∴r＝H(H－h)． πR2 ∴V 圆柱＝πr2h＝ 2 (H－h)2h(0＜h＜H)． H 根据平均不等式可得 4πR2 H－h H－h 4πR2 H 3 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ( ) H 2 2 H 3 4 2 ＝ πR H. 27 H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
本题考查基本不等式、算术—几何平均值
不等式等基础知识，同时考查了等号成立的条件及推理运算 能力．
[证明] 法一：因为 a，b，c 均为正数，由平均值不 等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc) ，
1 － 1 1 1 ＋b＋ c≥3(abc) 3 ， a
2 3
①
1 1 12 所以(a＋b＋ c) ≥9(abc)
[悟一法]
(1)在解求最值应用题时，先必须确定好目标函数，再用
“平均值不等式”求最值．
(2)在确定目标函数时，必须使函数成为一元函数，即只
能含一个变量，否则是无法求最值的．
[通一类] 3．制作一个圆柱形的饮料盒，如果容积一定，怎样设计它 的尺寸，才能使所用的材料最少？
解：设圆柱形饮料盒的体积为 V(定值)，底面半径为 r， 高为 h，表面积为 S. V 则 V＝πr h，∴h＝ 2. πr
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高二数学组集体备课教案
主备人：郑飘伶 执行人：
课
题：三个正数的算术—几何平均不等式
1、 三个正数的算术-几何平均不等式及其推导；
内容及解析
2、 利用基本不等式证明； 3、 利用基本不等式及其变形形式求最大（小）值。 知识与技能目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单 的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
后记与反思
目标及解析
②过程与方法目标：掌握基本不等式的推导方法，会用基本不等式求最值 ③情感、态度与价值观目标：培养类比、推广、求证的思想方法，在学生分析 问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。 教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决 最值问题 1、 概念教学： 思考： 类比基本不等式， 是否存在： 如果 a, b, c R ， 那么 a b c 3abc
3 3 3
教学重、难点 支持条件分析
（当且仅当 a b c 时，等号成立）呢？试证明。 重 要 不 等 式 ： 已 知 a, b, c R ， 那 么 a b c 3abc 。 当 且 仅 当
3 3 3
a b c 时，等号成立。
注意：不等式成立的条件。可以拓宽为 a b c 0 教学设计过程 与设计意图 定理 3：如果 a, b, c R ，那么 等号成立。 变形： a b c 3 3 abc ， abc
abc abc 求最大值，注意配 3
凑和取等号的条件。 也可用导数x 2 最小值。 4 x
变式训练 2
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 小结： 我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________， 三者缺一不可。 另外， 由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 3、交流互动 教材 P10 习题 1.1 第 11、12、13、14 题 4、课堂小结 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应 注意定理的适用条件。 5、作业 基础训练 P18 课后知能检测 教学问题诊断 1、 基本不等式及其推广形式； 2、 基本不等式及其变形的应用，比较灵活
拓展：
2 2 2 a1 a2 an a1 a2 an a1a2 an 1 1 1 n 2 a1 a2 an
n
n
2、例题的教学 教材例 5 利用均值不等式证明不等式
三个的基本不等式的初步运用 由此题， 你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 教材例 6 ： 点评：考查①数学建模；②利用
abc 3 abc 。当且仅当 a b c 时， 3
abc 3
3
推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 ,, an ,它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即：
a1 a 2 a n n ≥ a1 a 2 a n 。 当且仅当 a1 a2 an 时， 等号成立。 n
主备人：郑飘伶 执行人：
课
题：三个正数的算术—几何平均不等式
1、 三个正数的算术-几何平均不等式及其推导；
内容及解析
2、 利用基本不等式证明； 3、 利用基本不等式及其变形形式求最大（小）值。 知识与技能目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单 的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
后记与反思
目标及解析
②过程与方法目标：掌握基本不等式的推导方法，会用基本不等式求最值 ③情感、态度与价值观目标：培养类比、推广、求证的思想方法，在学生分析 问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神。 教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决 最值问题 1、 概念教学： 思考： 类比基本不等式， 是否存在： 如果 a, b, c R ， 那么 a b c 3abc
3 3 3
教学重、难点 支持条件分析
（当且仅当 a b c 时，等号成立）呢？试证明。 重 要 不 等 式 ： 已 知 a, b, c R ， 那 么 a b c 3abc 。 当 且 仅 当
3 3 3
a b c 时，等号成立。
注意：不等式成立的条件。可以拓宽为 a b c 0 教学设计过程 与设计意图 定理 3：如果 a, b, c R ，那么 等号成立。 变形： a b c 3 3 abc ， abc
abc abc 求最大值，注意配 3
凑和取等号的条件。 也可用导数x 2 最小值。 4 x
变式训练 2
已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高
各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值． 小结： 我们应该更牢记 一 ____ 二 _____ 三 ________， 三者缺一不可。 另外， 由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________. 3、交流互动 教材 P10 习题 1.1 第 11、12、13、14 题 4、课堂小结 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值， ，但是在应用时，应 注意定理的适用条件。 5、作业 基础训练 P18 课后知能检测 教学问题诊断 1、 基本不等式及其推广形式； 2、 基本不等式及其变形的应用，比较灵活
拓展：
2 2 2 a1 a2 an a1 a2 an a1a2 an 1 1 1 n 2 a1 a2 an
n
n
2、例题的教学 教材例 5 利用均值不等式证明不等式
三个的基本不等式的初步运用 由此题， 你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 教材例 6 ： 点评：考查①数学建模；②利用
abc 3 abc 。当且仅当 a b c 时， 3
abc 3
3
推广： 对于 n 个正数 a1 , a2 ,, an ,它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即：
a1 a 2 a n n ≥ a1 a 2 a n 。 当且仅当 a1 a2 an 时， 等号成立。 n