河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数(焦作市第十一中学-郭振东)
算术平均数与几何平均数9
必须满足三条: 一正、二定、三相等
ab 3、均值不等式的两个变形公式 ab ; 2 ab 2 ab ( ) 2
课下作业：
1、已知x 0,当x取什么值时 ,
81 x 2 的值最小 , 最小值是多少 ? x是 x
3、已知a、b R, 且a b 3, 则2a 2b的最小值为
ab 我们称 为a, b的算术平均数，称 ab为a, b的几何平均数 . 2 定理叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
所以上述不等式又叫均值不等式
又如图，AC a, CB b, DC ab
ab 半径是 , 半弦是 ab A 2
D
ab
a
C b B E
一、基础型题组
1.已知两个正数x，y，
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边 4800 的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据 题意，得 3x
某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为 4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每 1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低， 最低总造价是多少元？
3
x
分析：设水池底面一边的长度为xm，则另一边 4800 的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据 题意，得 3x
当a b时(a b) 2 0,当a b时(a b) 2 0, 所以
(a b) 0,
2
即a b 2ab
2 2
（2）定理: 如果a, b是正数， ab 那么 ab （当且仅当 a b时取“”号） 2
[名校联盟]河南省焦作市博爱县第一中学高中数学必修五《基本不等式求函数最值》课件解析
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二、学情分析：
1、学情分析：
学生们通过本章前两章的学习对不等式有了初 步的了解，学会运用不等式。但接触的不等式较 为单一，灵活度不够，学生在练习时运用困难， 而基本不等式对于学生更为灵活，但也为学生掌 握设置了障碍。
2、教学目标：
通过对《基本不等式》
的学习，让学生感悟数知学 识目标
的统一美、和谐美。
探究一：在这张“弦图”中 能找出一些相等关系和不等 关系吗？
正方形ABCD
Ｄ
中,AE⊥BE,BF⊥CF,CG⊥
DG,DH⊥AH,设
AE=a,BE=b,则正方形的 面积为S=＿＿，
Ｇ
Ｆ
Ｃ
Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△C DG,Rt△ADH是全等三角 Ａ 形，它们的面积之和是 S’=＿
从图形中易得，s s’,即
面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？ 通过学生动手操作，探索发现：
ab a b 2
b
a
2、代数证明，得出结论
如果 a＞0,b＞0 , 用 a 和 b 分别代替a,b。可以得到 ( a - b )2 0
也可写成 a b ab 2
（强调基本不等式成立的前提条件“一正”）（演绎推理）
问题4：你能用不等式的性质直接推导吗？
若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号）
形的角度
数的角度
当a=b时
a2
几何画板展示
探究二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折 成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接 构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形 的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的 面积分别为和（ a b），考察两个直角三角形的
全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品教学设计精品模板(一)
渗透了转化、数形结合等数学思想.同时它也是数学建模中很典型的一堂课，是
数学研究过程的一个缩影.
这节课希望达到以下教学目标:
三维目标：
知识与技能：
⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度
公式、
夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这
些公式
解决有关问题；
⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从
例 3:求到 M，N 两点距离相等的点 P(x, y, z) 的坐标 x、y、z 满足的条件．
解: 点 P(x, y, z) 到 M，N 两点距离相等,
则 PM PN
x 02 y 182 z 302 x 242 y 02 z 02
化简,得 4x 3y 5z 54 0
数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情. 二、学习内容的基础以及今后有何用处
在人们生活的空间中存在着大量的图形，夹角和距离在现实生活中随处可见, 同时它们又是立体几何中的重要问题, 由于高二的学生已具备一定的空间想象， 但对把空间的问题转化为数学的问题的能力有所欠缺，而本节课的学习使学生经 历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而有助于培养学生分析问题、解决 问题的能力.
小船在水平 D 点以南方向 30 米的 A 处（其中 D1D ⊥水面）
求（1）6s 后火炬手与小船的距离？
D1
（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?
（不考虑火炬手与小船本身的大小）.
M
C1
2
D
N
A
今天我们从另一个角度来分析这个问题. 分析:建立数学模型 问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离? 问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？
河南省郑州市中牟县雁鸣湖镇中学北师大版八年级数学上册教案：6.1平均数
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平均数的基本概念、计算方法和在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平均数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-平均数的计算方法：包括简单数据的平均数和加权平均数的计算步骤，这是学生必须掌握的基本技能。
-平均数在实际问题中的应用：通过具体实例，如班级成绩平均分、商品平均价格等，让学生理解平均数在生活中的应用。
-平均数的性质：如数据与平均数差的和为零，以及平均数与数据分布的关系，这是深入理解平均数概念的关键。
4.数学建模：设计实际生活中的问题情境，让学生运用平均数知识建立数学模型，培养解决实际问题的能力，体会数学与生活的紧密联系。
5.数学运算：培养学生准确计算平均数的能力，提高运算速度和准确性，为学习高级统计学打下基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-平均数的定义及其含义：平均数作为数据集中趋势的一个重要指标，是本节课的核心内容。需要向学生明确平均数的定义，即数据总和除以数据个数，并解释其反映数据集中趋势的原理。
3.平均数的应用：通过实例分析，让学生了解平均数在实际生活中的应用，如计算班级学生成绩的平均分等。
4.平均数的性质：探讨平均数的性质，如数据中每个数与平均数的差的和为零，以及如何通过平均数判断数据的离散程度。
5.解决与平均数相关的问题：设计相关练习题，培养学生运用平均数知识解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
举例解释：
在讲解平均数的定义时，可以通过比较班级学生的身高数据，让学生直观感受到平均数能够代表班级大多数学生的身高水平。
2009年焦作市高三第一次质量检测题
2009年焦作市高三第一次质量检测题高三数学(文)命题:武陟一中:张六军沁阳一中:尚思红焦作一中:刘晓静市教研室:焦金安审校:焦作市外国语中学:卫月亲注意:1、本试卷分选择题和非选择题两部分,共10页(其中试题卷4页,答题卷6页),共150分,考试时间120分钟;2、请在答题卷上书写解答,在试题卷上解答的无效.参考公式:如果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A+B)＝P(A)+P(B) S＝4πR2如果事件A、B相互独立,那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率V＝43πR3是P,那么n次独立重复试验中恰好其中R表示球半径发生k次的概率P n(k)＝C k n P k(1－P)n－k(k＝0,1,2……,n)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A =},1|{2Z x x y x ∈-=,},12|{A x x y y B ∈-==,则B A = （ ） A ．}1{ B. }1,1{- C ． )1,1(- D .}3,1,0,1{-2. 若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为π2的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数3. 已知p ：2x-2x+1 <1, q ：x(x-3)<0，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件已知对任意实数给出下列关 4. 已知两条直线m 、n,两个平面α、β,给出下面四个命题: ①m∥n,m⊥α则 n ⊥α ②α∥β,m ⊂α,n ⊂β则 m ∥n ③m∥n,m∥α则 n ∥α ④α∥β,m ∥n,m ⊥α则 n ⊥β 其中正确命是（ ） A.①③B.②④C.①④D.②③5.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前8项和8S 等于（ ） A ．64B ．80C ．110D ．1206. 下列函数图中，正确的是 线21y x x =--上以点(1,1)--为切点的切线方程是（ ）A.2y x =--B.y x =C.21y x =+D.23y x =--xa xax (B ) (C ) (D )8. 过点A （0,3），被圆（x －1)2＋y 2＝4截得的弦长为23的直线方程是（ ）A ．y ＝- 13x+3B ．x ＝0或y ＝- 13x+3C ．x ＝0或y ＝ 13x －3 D ．x ＝09.如图，已知,,3AB a AC b BD DC === ，用,a b表示AD ，则AD =（ ）A ．34a b +B ．1344a b +C ．1144a b +D ．3144a b +10. 如图,A 、B 、C 分别是椭圆x 2a 2 +y2b2 ＝ 1(a ＞b ＞0)的顶点与焦点,若∠ABC＝ 90°,则该椭圆的离心率为（ ）ABCD11．已知正方体的棱长为1，球O 与正方体体的各都相切，则球O 的表面积等于（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知全集}6,,3,2,1{••••••••U =,集合A 、B 都是U 的子集，当}3,2,1{••••B A =⋂时，我们把这样的（A ，B ）称为“理想集合对”，那么这样的“理想集合对”一共有（ ）A ．８对B ．２０对C ．２７对D ．３６对第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置.13． 已知2 (0)()2sin (0)x x f x x x π⎧≤=⎨-<≤⎩，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡)3(πf f . 14．当x ＞2时，使不等式x+ 1x －2≥a 恒成立的实数a 的取值范围是 . 15．15.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞02x+y ＜4 ,则y+2x+2 的取值范围是 .16．若∣y－2x∣＝ x 2,其中－1＜x ＜0,则实数y 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.ABCD17. 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、)sin ,(cos ααC ，若1-=⋅， 求αααtan 12sin sin 22++的值.18．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(游览的景点数可以为0.) (Ⅰ)求ξ＝ 3时的概率; (Ⅱ)求ξ取其它值时的概率.19．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。
第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩和评选活动资料专辑
第四届全国高中青年数学教师优秀课观摩和评选活动资料专辑湖北省：随机事件及其概率（黄石大冶一中肖阳）湖北省：曲线的切线（武汉六中龚大晖）黑龙江省：选修(3)：算法基本逻辑结构——循环结构（哈尔滨师范大学附属中学张治宇）黑龙江省：必修(1)：用二分法求方程的近似解（齐齐哈尔市第一中学校曲东魁）河南省：必修(1)：函数的概念(一)（郑州外国语学校乔会娜）河南省：必修(5)：算术平均数与几何平均数（焦作市第十一中学郭振东）广西：正态分布（梧州高级中学王建莉）广西：假如我是欧拉……——多面体欧拉定理的发现（南宁二中黄江兰）安徽省：必修(4)任意角的三角函数（马鞍山市第二十二中学孙滨）安徽省：必修(5)等比数列前n项和(第一课时)（无为襄安中学谢业建）福建省：必修(1)用二分法求方程的近似解（福建师大附中黄智灵）福建省：必修(2)几何体与三视图（泉州七中吴建海）甘肃省：数学归纳法及其应用举例（兰州一中何乃文）甘肃省：双曲线及其标准方程(一)（白银市实验中学高波）广东省：选修(1-1)导数的几何意义（东莞市东莞中学刘瑞红）广东省：选修(1-2)回归分析的基本思想及其初步应用（惠州市第一中学刘健）四川省：导数的概念教案（南充高中韩永强）四川省：等差数列前n项和教案（成都七中何然）浙江省：必修(1)方程的根与函数零点（衢州第一中学张未华）浙江省：选修2-2《合情推理》第一课时（天台中学洪琼）上海市：正切函数的图像与性质（敬业中学张丽霞）上海市：无穷等比数列各项的和（复旦大学附属中学李朝晖）陕西省：指数函数（一）（三原南郊中学柏涛）陕西省：角的概念的推广（陕西师范大学附中王全）山西省：直线与平面垂直的判定（太原五中王萍）山西省：直线的倾斜角与斜率（大同二中李瑾）山东省：必修3几何概型（日照实验高级中学尚积成）山东省：必修1用二分法求方程的近似解（一）（临沂市郯城美澳学校杨明）青海省：异面直线及其夹角（门源县第一中学马吉平）青海省：相互独立事件同时发生的概率（一）江苏省：选修2-2《平均变化率》（南京外国语学校严青）江苏省：必修4《向量的加法》（盐城中学侯爱娟）江苏省：必修3《条件语句》（南京师范大学附属中学张跃红）吉林省：必修3《几何概型》（东北师大附属实验学校孙桂萍）吉林省：必修1《幂函数》（东北师范大学附属中学王晓晶）湖南省：必修4《两角差的余弦公式》（湖南师大附中吴菲）湖南省：必修3《几何概型》（长沙市长郡中学王小伟）河北省：《简单的线性规划（二）》（保定市第二中学翟向丽）河北省：《简单的线性规划（一）》（石家庄市第一中学孟庆善）江西省：《空间向量的夹角和距离公式》（南昌大学附属中学高莹）江西省：《数列在分期付款中的应用》（宜春市宜丰中学罗文静）辽宁省：必修1《函数性质的应用》（大连市第24中学张军）辽宁省：选修2-2《合情推理（第一课时）—归纳推理》（沈阳市第120中学天津市：必修1《几类不同增长的函数模型》（河北区57中学姜志惠）天津市：选修2-1《椭圆及其标准方程》（天津南开中学林秋莎）新疆：《函数概念及其表示》（乌鲁木齐八一中学王丽娟）新疆：《平面向量的数量积及运算律》（石河子第一中学曹丽梅）新疆兵团：《线段的定比分点》（新疆兵团二中徐蓉）云南省：《平面向量的坐标运算(一)》（昆明市第三中学黄明秀）云南省：《数学归纳法及其应用举例》（曲靖市第一中学李德安）重庆市：《等差数列》（重庆市第十八中学詹远美）重庆市：《映射》（长寿区川维中学蔡茂）石油系统：《函数的奇偶性》（辽河油田第一高级中学于洪海）宁夏：《正切函数性质与图象》（银川市第二中学西校区邵剑伟）宁夏：《二元一次不等式（组）与平面区域》（银川二中郭新宁）内蒙古：《平面的基本性质（2）》（包头市第一中学张宏海）内蒙古：《等可能事件的概率①》（通辽市霍林郭勒市第一中学）海南省：选修2-2《数系的扩充和复数的概念》（琼海市嘉积中学海桂学校海南省：必修3《随机事件的概率（第一课时）》（海南中学贺航飞）海南农垦：《函数的单调性与导数》（农垦加来高级中学邓柏林）贵州省：用三点共线的向量结论解决平几中的一类求值问题（凯里一中梁贵州省：《三垂线定理及其逆定理（复习课）》（贵州省实验中学李仕魁甘肃省：《双曲线及其标准方程（1）》（白银实验中学高波）甘肃省：《数学归纳法及其应用》（兰州一中何乃文）北京市：必修5《简单线性规划（一）》（北京师范大学第二附属中学王张北京市：必修2《直线与平面垂直的判定》（北京市第五中学熊丹）。
数学：《算术平均数与几何平均数》课件(新人教)
2
2
函数没有最大值.
错误原因: 不满足和为定值.
(2). 已知 0 x 3 ，求函数 y x(3 2x)
的最大值.
2解：Q 0 x Fra bibliotek3 , x 0 , 3 2x 0,
2
y x3 2x 1g2x(3 2x)
2
≤ 1 (2x 3 2x)2 9 ,
2
2
8
(当且仅当 2x 3 2x 即 x 3 时取“=”
文字叙述： 两正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数.
数列叙述：两个正数的等差中项不小于
它们的等比中项.
1.糖果称的准确么？你用什么知识解决了这 个问题？如何解决的？
2. 比较两个重要不等式，它们有哪些相同点 和不同点？
3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什
么启示？
例1 已知 x, y都是正数，求证：
x
解：Q y x 1 ≥ 2 x 1 2,
x
x
函数 y x 1 的值域为 2， .
x
错误原因: 不满足各项为正.
(1). 求函数
y x 1 x
的值域.
解：当 x 0时，y x 1 ≥ 2 x 1 2,
x
x
(当且仅当 x 1 即 x 1时取“=”号);
x
当
x
0时，y
x
1 x
算术平均数与几何平均数
焦作市第十一中学 郭振东
1斤
1斤
第1次
第2次
1.糖果称的准确么？你用什么知识解决了这 个问题？如何解决的？
2. 比较两个重要不等式，它们有哪些相同点 和不同点？
3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什
么启示？
2011年度河南省信息技术教育优秀成果奖一等奖名单
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一种改进的 Arnold 变换 基于嵌入式方式 Linux 触摸屏驱 动程序开发 ITER 水平诊断窗口的地震响应谱 分析 An Ant Colony Optimization-based Load Balancing Routing Algorithm for Wireless Multimedia Sensor Net 网络环境下高校图书馆特色资源 利用培训探讨 基于子块残差的快速帧间模式选 择算法 正则矩阵及平滑参数与 GPS 水准 面拟合精度关系分析 基于网络多媒体技术的成人教育 英语教学模式创新研究 如何提高计算机辅助教学在高校 课堂教学应用中的效果和质量 增强型神经网络在基坑综合变形 预测中的应用 基于高校 OA 系统的电子文件原 始性保护机制探析
论文 论文 论文 论文 论文 论文 论文 论文 论文 论文 论文
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37
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39 40 41
42
43 44
Lattice Routing algorithm of unequal clusters based on ARMA model 公众导向的电子政务信息资源共 享建设研究 多媒体教学资源建设模式研究 中国新闻传播史现代化手段教学 漫议 注重人文内涵的高校英语专业教 育质量提升研究 网络教育的视觉文化传播分析与 改善 翻译记忆系统在机器翻译教学中 的应用 基于数字媒体化的高校艺术教育 《医学物理》 精品课程自主学习环 境的构建 基于校园网的共建共享型高校教 学资源库设计 基于项目的网络团队学习过程模 型 信息技术与大学英语教学整合课
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《算术平均数与几何平均数》
焦作市第十一中学 郭振东
【教学目标】
（1） 知识目标
使学生能准确表达两个重要不等式；理解它们成立的条件和意义；能正确运用算术平均数与几何平均数定理求最值.
（2） 能力目标
通过对实例的分析和提炼培养学生的观察、分析和抽象、概括能力；通过师生间的合作交流提高学生的数学表达和逻辑思维能力.
（3） 情感目标
让学生经历知识的发生、发展、应用的全过程，鼓励学生在学习中勤于思考，积极探索；通过去伪存真的学习过程培养学生批判质疑的理性思维和锲而不舍追求真理的精神.
【教学重点】两个正数的算术平均数与几何平均数定理及应用定理求最值.
【教学难点】在求最值时如何正确运用定理.
【教学过程】
Ⅰ.引言：
某人中秋节到超市买两斤糖果，不巧超市的电子秤坏了，但超市还有一个不等臂但刻度准确的坏天平，于是售货员先把糖果放在天平的左侧称出“一斤”，再拿出一些糖果放在天平的右侧称出“一斤”，然后把两次称出的糖果合在一起给了他，并且解释:“一边多一边少，加在一起就正好.”这种称法准确么？如果不准确，那么是称多了还是称少了？
【分析】设天平左右两侧力臂长分别为1l 、2l ，两次称得的糖果实际重量为x 、y 则：12xl l =，12l yl =，
∴2112
l l x y l l +=+ 这个数比2大还是小呢？有没有好的解决方法？请同学们阅读课本第9，10页算术平均数与几何平均数一节的正文及例1，看看能否在课本中找到答案。
同时思考以下问题：
问题1.糖果给多了还是少了？你用什么知识解决了这个问题？如何解决的？
问题 2.除定理外还有一个重要不等式，内容是什么？它与定理有哪些相同点和不同点？
问题3.认真分析例1及其证明过程，你能得到什么启示？
Ⅱ. 阅读课文，找寻答案
学生阅读课本后回答问题1和问题2，引出本节知识
一．两重要不等式
如果,a b R ∈那么222a b ab +≥
（当且仅当a b =时取“=”号）.
定理 如果,a b
是正数，那么2
a b +（当且仅当a b =时取“=”号）.
想一想：“当且仅当”的含义是什么？ 介绍2
a b +叫做a 、b
a 、
b 的几何平均数. 数列解释：两个正数的等差中项不小于它们的正项等比中项.
Ⅲ.例题精析,去伪存真
二．定理应用
例1． 已知,x y 都是正数，求证：
（1）如果积xy 是定值P ，那么当x y =时，和x y +
有最小值
（2）如果和x y +是定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214
S . 回答问题3，得出：。