第三章《导数及其应用》章末总结(含答案)

第三章 章末总结
知识点一　导数与曲线的切线
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1) ①
又y 1＝f (x 1) ②
由①②求出x 1，y 1的值．
即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．
例1　已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．知识点二　导数与函数的单调性
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(1)求导数f ′(x )；
(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．
特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2　求下列函数的单调区间：
(1)f (x )＝＋sin x ；
x 2(2)f (x )＝x (x －a )2.
知识点三　导数与函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．
1．应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f (x )的定义域；
(2)解方程f ′(x )＝0的根；
(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．
若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；
若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；
否则，此根不是f (x )的极值点．
2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；
特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．
例3　设<a <1，函数f (x )＝x 3－ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－，233262求常数a ，b .
知识点四　导数与参数的范围
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．
例4　已知函数f (x )＝x 2＋ (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调a x 递增的，求a 的取值范围．
例5　已知f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值12范围．
章末总结 答案重点解读
例1　解　设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x －3，2
0∴切线方程为y ＝(3x －3)x ＋16，2
0又切点(x 0，y 0)在切线上，
∴y 0＝3(x －1)x 0＋16，2
0即x －3x 0＝3(x －1)x 0＋16，3
020解得x 0＝－2，
∴切线方程为9x －y ＋16＝0.
例2　解　(1)函数的定义域是R ，
f ′(x )＝＋cos x ，令＋cos x >0，
1212解得2k π－<x <2k π＋ (k ∈Z )，
2π32π3令＋cos x <0，
12解得2k π＋<x <2k π＋ (k ∈Z )，
2π34π3因此，f (x )的单调增区间是
(k ∈Z )，单调减区间是(2k π－2π3，2k π＋2π3) (k ∈Z )．
(2k π＋2π3，2k π＋4π3)
(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，
由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝，x 2＝a .
a 3①当a >0时，x 1<x 2.
∴函数f (x )的单调递增区间为
，(a ，＋∞)，(－∞，a 3)单调递减区间为.
(a 3，a )②当a <0时，x 1>x 2，
∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，，
(a 3，＋∞)
单调递减区间为.
(a ，a 3)③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．
例3　解　令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，
得x 1＝0，x 2＝a .
当变化时，
从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)
与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.
32又f (－1)－f (a )＝(a ＋1)2(a －2)<0，
12所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－a ＋b ＝－a ，
323
2所以－a ＝－，所以a ＝.
326263例4　解　f ′(x )＝2x －＝.
a x 22x 3－a
x 2要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，
则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，
即≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．
2x 3－a
x 2∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，
∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a ≤(2x 3)min .
∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，
∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.
当a ＝16时，f ′(x )＝
≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围2x 3－16
x 2
是a ≤16.例5　解　∵f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，
1
2∴f ′(x )＝3x 2－x －2.
令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，
∴x ＝1或x ＝－.
2
3当x ∈
时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；(－1，－23)当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；
(－23，1)当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．
所以，当x ＝－时，f (x )取得极大值f ＝；
23(－23)
15727当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝.
72又f (－1)＝，f (2)＝7，
11
2因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7.
要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.
所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。