三个正数的算术-几何平均不等式讲解学习
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2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
三个正数的算术—几何平均不等式 课件
3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．
类型3 利用平均不等式解决实际问题 [典例3] 如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起 做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时， 盒子的体积最大？
4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大
值为( )
A．2
B．27
C．8
D．3
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，
所以abc≤a＋3b＋c3＝633＝8，
当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．
答案：C
5．若0<x<1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是
________，此时x＝________．
＝3－2x，即x＝43时，等号成立，
所以ymax＝217. (2)因为x>1，所以x－1>0， y＝x＋（x－4 1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋（x－4 1）2＋1≥
3
3
12（x－1）·12（x－1）·（x－4 1）2
＋1＝4，当且仅当
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
a＋3b＋c＝－1，3
3
abc＝
3，故(1)不正确．
(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不
正确．
(3)由定理3知(3)正确． (4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
高中数学第一章不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的
立的条件是 a=b=c.
2.不等式的变形及其应用:
(1)a+b+c≥33 ������������������,当三个正数的积为定值时,它们的和有最小值;
(2)abc≤
������+������+������ 3
3
,当三个正数的和为定值时,它们的积有最大值.
做一做1 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( )
≤
2������������������2������+������������������2������+������������������2������ 3
A.a1+a2+a3≥2
B.a1+a2+a3≥6
C.a1+a2+a3≥6 2
D.a1+a2+a3≥2 2
解析：由三个正数的算术-几何平均不等式可得������1
+������2+������3 3
≥
3 ������1������2������3 = 3 8=2(当且仅当 a1=a2=a3=2 时,等号成立),于是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解：(1)因为 0<x<3,所以 3-x>0.
于是
y=x2(3-x)=4·���2���
·���2���·(3-x)≤4·
���2���+���2���+3-������ 3
3
=4,
当且仅当������
2
=
���2���=3-x,即
x=2
时,函数
y
取得最大值
4.
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
(新课程)高中数学 113 三个正数的算术几何平均不等式课件 新人教A选修45
想一想：应用三个正数的算术—几何平均不等式，求最值应 注意什么？ 提示 三个正数的和为定值，积有最大值；积为定值，和有 最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
基础自测 1．已知 x 为正数，下列求最值的过程正确的是 ( )．
A．y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，∴ymin＝6
圆柱体的高h为何值时，圆柱的体积最大？并求出这个 最大的体积．
[思路分析] 作出圆锥、圆柱的轴截面 → 利用相似三角形建立各元素之间的关系 → 列出目标函数——圆柱的体积的表达式 → 用平均不等式求最大值
解 设圆柱体的底面半径为 r，如图，由相似三角形的性质 可得H－H h＝Rr ， ∴r＝HR(H－h)． ∴V 圆柱＝πr2h＝πHR22(H－h)2h(0＜h＜H)．
规律方法 注意平均不等式应用的条件是三个正数在求最值时， 一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立 的未知数的值，则最值不存在．
[思维启迪] 先列出数学模型，再利用平均不等式求解． 解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为 x(x＞0)， 则 a4＝a1(1＋x)3＝a1(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3)， ∴(1＋x)3＝(1＋P1)(1＋P2)(1＋P3) ≤1＋P1＋1＋3P2＋1＋P33＝433. ∴1＋x≤43，即 x≤13， 对比所给数据，只有①③满足条件，故选 B. 答案 B
试一试：设a，b，c为正数，证明a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a ＝b＝c时等号成立)． 提示 a3＋b3＋c3≥3abc ⇔a3＋b3＋c3－3abc≥0 ⇔(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)≥0 ⇔12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0. 由于 a＋b＋c>0 且(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 因而12(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0 成立． 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
(精品)三个正数的算数-几何平均不等式
(2) a b ab (a,b R ) 2
( 3 ) a b 2 ( a b 0 ) x 1 （2 x 0 ）
ba
x
(4)ab (a b )2 a2 b2 (a,b R )
2
2
(5)a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca (a,b,c R )
• 基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正 数，会有怎样的不等式成立呢？
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
3.若a>b>0,则a+
b
1
a
b
的最小值为_________.
【解析】因为a>b>0,所以a-b>0,
所以 aba1babbba1b3，
当且仅当(a-b)=b= b
1 a
b
时等号成立.
答案:3
类型一 利用三个正数的算术-几何平均不等式求最值 【典例】1.求函数y=(1-3x)2·x (0＜ x＜ 1 ) 的最大值.
(1)abc≤ ( a b c )3 . 3
(2)a3+b3+c3≥3abc.
(3)
3 3abcabc
111
3
a2b2c2 .
3
上式a中ab,bc,c均为正数,等号成立的条件均为a=b=c.
三个正数的算术-几何平均不等式
即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2
3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3
错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2
,
三个正数的均值不等式
长的时，盒子的容积最大．
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
三个正数的算术-几何不等式
1 a2
1 b2
1 c2
6
3
的多重条件。
当且仅当a=b=c= 4 3 时，等号成立．
方法·规律·小结
(1)不等式的证明方法较多，关键是从式 子的结构入手进行分析．
(2)运用三个正数的平均值不等式证明不 等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”， 在解题中，若两次用平均值不等式，则只有 在“相等”条件相同时，才能取到等号．
4x
2x2 2
x
2x2(2 (2 2
x2x)
2)
x42
xx22 2
3
(x22x(22) 2
3
3x2
)
3
32 27
abc
a
b
c
3
3
a、b、c R
练习：
4、a,b, c
R , 求证a2
时,Vmax
2a3 27
6 合的最大容 积是 2a3 .
27
错解分析
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
x
xx
xx
ymin 33 4 (错解:原因是取不到等号)
正解: y 2x2 3 2x2 3 3
即（x+y+z）3 27xyz
例２(1)当0 x 1时,求函数y x2(1 x)的最大值.
解: 0 x 1, 1 x 0,
y x2(1 x) 4 x x (1 x)
22
x 4( 2
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2.基本不等式给出了两个整数的算术平均数与几何平均 数的关系，对于3个正数,是否也有类似的不等式成立呢? 能否给与证明？
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
作业：P10 8、9、12、13
总结 基本不等式使用技巧
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
3.设 x, y, z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式 证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
一:复习回顾
1.基本不等式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)；
2
(3) b a 2 (ab＞0)； (4) a2 b2 a b 2(a，b∈R).
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大___ y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
例２.(1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
x
xx
xx
ymin 33 4
达标检测 12
1.函数 y 3x x2 (x 0) 的最小值是 ( C )
2.函数
y
A.6
4x2
(
x
16 2
B.
1) 2
6 6 C.9
D.12
的最小值是____8________
3.函数 y x4 (2 x2 )(0 x 2) 的最大值是（ D ）
16
32
A.0
B.1
C.
4.已知0<a<1,求证：1
27
4
D. 27
9.
a 1a
1
5.若θ为锐角,则y=sinθcos2θ的最大值为_____3.
归纳延伸 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意 定理的适用条件。
4.已知x 1, y 2,且x y 15,求D (x 1)( y 2)
的最大值.
36
二：知识探究
1.证明：已知a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc,
当且仅当a b c时，等号成立.
和的立方公式：( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
x 立方和公式： 3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
ab
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的
取值要求.
2.四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；3 2
2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 18
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a 2xx
4辨析：下列解法正确吗？
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4
三个正数的算术-几何平均不等式
定理 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc , 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
作业：P10 8、9、12、13
总结 基本不等式使用技巧
推广
对于 n 个正数 a1, a2 , a3,L an，它们的算术
平均值不小于它们的几何平均值，
即 a1 a2 a3 L n
an ≥ n a1a2a3 L
an
(当且仅当 a1 a2 a3 L an 时取等号.)
3.设 x, y, z 都是正数，则有
⑴若 xyz S （定值），
则当 x y z 时， x y z 有最__小___值_3_3__S_.
三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标： 1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式 证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。
一:复习回顾
1.基本不等式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)；
2
(3) b a 2 (ab＞0)； (4) a2 b2 a b 2(a，b∈R).
⑵若 x y z p （定值），
p3
则当 x y z 时， xyz 有最_大___ y x2 (1 3x)在 [0, 1 ]上的最大值. 3
例２.(1)当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值. (2)当0 x 1时,求函数y x(1 x2 )的最大值.
x
xx
xx
ymin 33 4
达标检测 12
1.函数 y 3x x2 (x 0) 的最小值是 ( C )
2.函数
y
A.6
4x2
(
x
16 2
B.
1) 2
6 6 C.9
D.12
的最小值是____8________
3.函数 y x4 (2 x2 )(0 x 2) 的最大值是（ D ）
16
32
A.0
B.1
C.
4.已知0<a<1,求证：1
27
4
D. 27
9.
a 1a
1
5.若θ为锐角,则y=sinθcos2θ的最大值为_____3.
归纳延伸 通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一 些不等式及求函数的最值，，但是在应用时，应注意 定理的适用条件。
4.已知x 1, y 2,且x y 15,求D (x 1)( y 2)
的最大值.
36
二：知识探究
1.证明：已知a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc,
当且仅当a b c时，等号成立.
和的立方公式：( x y)3 x3 3x2 y 3xy2 y3
x 立方和公式： 3 y3 ( x y)( x2 xy y2 )
ab
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的
取值要求.
2.四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则a2abb ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求
1 x
1 y
的最小值；3 2
2
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值. 18
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四
个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容
积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积
是多少?
a a 2xx
4辨析：下列解法正确吗？
求函数y 2x2 3 , (x 0)的最小值.
x
解: y 2x2 3 2x2 1 2 33 2x2 1 2 33 4