算术-几何平均值不等式
2. 三个正数的算术——几何平均不等式
∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b
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算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
.可见
历史上的证明
的情况，设:
。
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
考研数学常用不等式公式大全
考研数学常用不等式公式大全考研数学中常用的不等式公式可以说是繁多而丰富的，下面将就一些常见的不等式进行总结，方便同学们备考使用。
1. 平均值不等式平均值不等式是一类常用的不等式，包括算术平均值、几何平均值和谐均值。
算术平均值不等式：对任意非负实数 a1, a2, ..., an，有(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)几何平均值不等式：对任意非负实数 a1, a2, ..., an，有(√(a1) + √(a2) + ... + √(an))/n ≥ ∛(a1a2...an)谐均值不等式：对任意正实数 a1, a2, ..., an，有n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) ≤ (a1 + a2 + ... + an)/n2. 查尔斯不等式查尔斯不等式是一类常用的不等式，对任意正实数a1, a2, ..., an和正整数p，有(a1^p + a2^p + ... + an^p)/n ≥ [(a1 + a2 + ... + an)/n]^p3. 维尔斯特拉斯不等式维尔斯特拉斯不等式是一个估计和控制级数收敛性的重要工具，对任意实数a1, a2, ..., an和正整数p，有(a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) ≤ max{|a1|, |a2|, ..., |an|}4. 瑕积不等式瑕积不等式是一类常用的不等式，对任意正实数a1, a2, ..., an和正整数k，有(a1 * a2 * ... * an)^(1/n) ≤ [(a1^k + a2^k + ... +an^k)^(1/k)]^(1/n)5. 柯西不等式柯西不等式是一类常用的不等式，对任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)6. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是用来估计非负函数的积分和的，对于非负可测函数f(x)和非负实数r，有r^p * μ({x∈E : f(x) ≥ r}) ≤ ∫_E f(x)^p dμ7. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是用来估计一组随机变量的概率的，对于具有有限方差的一组随机变量X1, X2, ..., Xn和正实数ε，有P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε^28. 积分中值不等式积分中值不等式有一系列的变体，常见的包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
算术几何平均不等式与其应用
算术几何平均不等式与其应用算术几何平均不等式是数学中的一种重要的不等式关系，它在数学推导和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍算术几何平均不等式的概念、证明以及一些常见的应用。
一、算术平均与几何平均的定义与性质在介绍算术几何平均不等式之前，我们先来了解一下算术平均和几何平均的定义与性质。
1. 算术平均：对于一组数a₁，a₂，...，aₙ，它们的算术平均记为A，即A=(a₁+a₂+...+aₙ)/n。
算术平均是指将一组数的和除以这组数的个数所得到的值。
2. 几何平均：对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，它们的几何平均记为G，即G=(a₁a₂...aₙ)^(1/n)。
几何平均是指将一组数的乘积开n次方所得到的值。
算术平均和几何平均都是常见的求平均值的方法，它们有以下性质：性质1：对于任意一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
性质2：当且仅当a₁=a₂=...=aₙ时，有G=A。
二、算术几何平均不等式的概念与证明算术几何平均不等式是指对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A，即几何平均不大于算术平均。
下面我们将给出算术几何平均不等式的证明。
假设a₁，a₂，...，aₙ是一组正数，我们来证明G≤A。
首先，我们考虑当n=2的情况。
此时，算术平均和几何平均分别为A=(a₁+a₂)/2，G=(a₁a₂)^(1/2)。
我们可以通过平方的方式来证明G≤A。
由(a₁-a₂)²≥0可得a₁²-2a₁a₂+a₂²≥0，进一步变形得到a₁²+a₂²≥2a₁a₂。
再对不等式两边同时开2次方，即得到(a₁²+a₂²)^(1/2)≥(2a₁a₂)^(1/2)。
即G≥(2a₁a₂)^(1/2)，进一步化简得到G≥(a₁+a₂)/2=A。
所以，当n=2时，算术几何平均不等式成立。
接下来，我们假设当n=k时，算术几何平均不等式成立。
即对于一组正数a₁，a₂，...，aₙ，有G≤A。
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成也就是说综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。
根据二项式定理，于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：所以，从而有。
基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明
调和平均数平方平均数算术平均数几何平均数关系证明平均数是统计学中常用的几个概念之一，用来表示一组数据的集中趋势。
常见的平均数有调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数。
这四种平均数之间存在一种特殊的关系，下面将对这些平均数的定义和它们之间的关系进行证明。
首先，我们先介绍一下这四种平均数的定义：1.调和平均数（Harmonic Mean）：调和平均数是指一组数据的倒数的算术平均值的倒数。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的调和平均数H就是H = n / (1/x1 + 1/x2 + ⋯ + 1/xn)。
2.平方平均数（Root Mean Square，简称RMS）：平方平均数是指一组数据各个数值的平方的算术平均值的平方根。
如果有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的平方平均数R就是R = sqrt((x1^2 + x2^2 + ⋯ + xn^2) / n)。
3.算术平均数（Arithmetic Mean）：算术平均数是指一组数据的总和除以数据个数，也称为平均值。
假设有n个实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的算术平均数A就是A = (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n。
4.几何平均数（Geometric Mean）：几何平均数是指一组数据的各个数值的乘积的n次方根。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn，那么它们的几何平均数G就是G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n)。
接下来，我们将证明调和平均数、平方平均数、算术平均数和几何平均数之间的关系。
假设有n个正实数x1,x2,⋯,xn。
我们先证明一个重要的不等式：几何平均数不大于算术平均数。
根据算术-几何平均值不等式（AM-GM Inequality），可以得到:G = (x1 * x2 * ⋯ * xn)^(1/n) <= (x1 + x2 + ⋯ + xn) / n = A接下来，我们将证明调和平均数与平方平均数之间的关系。
算术-几何平均值不等式
算术-几何平均值不等式信息来源：维基百科在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子在的情况，设: ，那么.可见。
历史上的证明1 / 6历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：命题：对任意的个正实数，当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成也就是说2 / 6综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且有。
根据二项式定理，于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：在的情况下有不等式和成立，于是：3 / 6所以，从而有。
基于琴生不等式的证明注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
常见不等式
1、算术-几何平均值不等式在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：等号成立当且仅当。
2、柯西不等式二维形式(a^2+b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d)扩展：((a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+...+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))≥(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0，不考虑ai:bi，i=1,2,3,…,n)三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√*(a+c)^2+(b+d)^2+等号成立条件：ad=bc注：“√”表示平方根3、托勒密定理、托勒密不等式圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆、托勒密不等式：凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。
4、费马点在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
（3）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
三角形中费马点的找法：当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120°以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点。
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算术-几何平均值不等式
信息来源：维基百科
在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。
设为个正实
数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是。
算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：
等号成立当且仅当。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在的情况，设: ，那么
.可见。
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。
的情况很早就为人所知，但对于一般的，不等式并不容易证明。
1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题：对任意的个正实数，
当时，显然成立。
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，
假设成立，那么成立。
证明：对于个正实数，设，，那么由于成立，。
但是，，因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然数，命题都成立。
这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数，命题都成立。
因此对任意的，可以先找使得，再结合第三条就可以得到命题成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设是中最大的，由于，设，则，并且
有。
根据二项式定理，
于是完成了从到的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在的情况下有不等式和成立，于是：
所以，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数实际上等于，因此算术-几何平均不等式等价于：。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令，于是有，再作代换，运用排序不等式得到：
，
于是得到，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。
设和为正实数，并且，那么：。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。
对于二维的矩阵，一样有类似的不等式：对于系数都是正实数的矩阵
设，，那么有：
也就是说：对个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对个横行取的个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成后，将两边的黎曼和中的趋于无穷大后得到的形式。
参考来源
1.^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
2.^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter .
3.^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京张锦炎江泽涵译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。