计算留数的两个新公式
留数计算规则
cos z 1 dz 2i Re s[ f ( z ),0] 2i ( ) i 3 z 1 z 2
例4
计算
z n
tanzdz ( n N )
si nz 解 tanz cosz 解 得z k
令 cosz 0 1 即, z k ( k 0,1,2, ) 2
0
当m=1时，式(5)即为式(4). p( z ) p( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) p( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0
p( z0 ) z0是f ( z )的一级极点 , 且 Re s[ f ( z ), z0 ] ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上， Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} (5) ( m 1)! z z0 dz
事实上，由条件 f ( z ) c m ( z z0 ) m c 2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z z0
p( z 0 ) p( z ) lim (Q' ( z 0 ) 0 ) 得 证 ！ z z0 Q ( z ) Q ( z ) Q' ( z 0 ) 0 z z0
5z 2 dz 例1 计 算 : z 2 2 z( z 1)
5z 2 在 z 2的 内 部 有 一 个 一 级 极 点 解 f (z) 2 z( z 1) z 0和 一 个 二 级 极 点 z 1
留数定理与几类积分的计算
留数定理与几类积分的计算留数定理是复变函数理论的重要定理，用于计算一些复变函数的积分。
它涉及到复变函数的奇点（即使函数在这些点处不解析的点）和轮廓积分（沿着条规定路径的积分）。
本文将详细介绍留数定理以及几类积分的计算方法和技巧。
一、留数定理留数定理是由法国数学家Cauchy提出的。
它的核心思想是将复平面上的积分转化为奇点处的留数，简化了积分的计算过程。
下面给出留数定理的一般形式。
设函数f(z)是包含奇点a₁,a₂,...,aₙ在内的单连通域D上的解析函数。
若γ是逆时针方向沿着D内一条闭合曲线，且曲线内部不包含任何奇点的简单曲线，那么沿着γ的积分等于奇点处的留数的和：∮γ f(z)dz = 2πi (Res(f, a₁) + Res(f, a₂) + ... + Res(f,aₙ))其中，Res(f, a)表示函数f(z)在奇点a处的留数。
根据留数定理，我们可以通过计算留数来求解复变函数的积分。
下面将介绍几种常见的积分计算方法。
二、积分的计算方法1.求解一阶极点处的留数一阶极点即函数在其中一点处的奇点，被称为简单极点。
如果函数f(z)在点a处的有限奇点，那么函数f(z)在该点的留数可以通过以下公式计算：Res(f, a) = lim(z→a) [(z-a) f(z)]其中，lim表示极限。
2.求解高阶极点处的留数对于高阶极点，我们需要使用拉乌尔定理（Laurent theorem）进行求解。
拉乌尔定理给出了复变函数的洛朗级数展开式，通过该展开式，我们可以得到高阶极点处的留数。
3.求解无穷远点处的留数对于函数在无穷远点处的留数，我们需要将函数进行泰勒展开。
然后根据展开式的性质，将无穷远点处的留数与有限奇点处的留数进行比较，求得最终的留数。
三、积分计算的技巧在计算复变函数的积分时，有一些常用的技巧可以简化计算过程。
1.选择合适的积分路径在选择积分路径时，应尽量选择代数上简洁的曲线或直线段。
可以利用奇点的位置和函数的性质来确定合适的积分路径。
留数的计算方法
留数的计算方法留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中起着关键作用。
在计算留数时，我们需要首先了解什么是留数，然后掌握留数的计算方法。
接下来，我们将详细介绍留数的概念和计算方法。
留数是复变函数在孤立奇点处的一种特殊性质，它可以帮助我们计算复积分。
对于函数f(z)，如果z=a是它的孤立奇点，那么留数Res(f,a)的定义如下：Res(f,a) = 1/(2πi) ∮f(z)dz。
其中积分路径沿着a点的一个小圆周C进行，积分方向是逆时针方向。
这个公式是计算留数的基本公式，但在实际计算中，我们通常会结合留数的性质和定理来简化计算过程。
对于简单极点a，我们有留数的计算公式：Res(f,a) = lim(z→a) [(z-a)f(z)]对于高阶极点，我们可以利用洛必达法则来计算留数。
此外，如果函数f(z)可以分解为g(z)/h(z)，那么我们可以利用h(z)在点a处的零点和极点来计算f(z)在点a 处的留数。
在实际应用中，我们还可以利用留数定理来计算复积分。
留数定理指出，如果f(z)在闭合曲线C内除了有限个孤立奇点外是全纯的，那么沿着曲线C的复积分可以表示为这些孤立奇点处的留数之和。
这为复积分的计算提供了一种简便的方法。
在计算留数时，我们还需要注意一些特殊情况，比如当函数f(z)在点a处有可去奇点时，留数为0；当函数f(z)在点a处有极点但不是孤立奇点时，留数也为0。
因此，在计算留数时，我们需要仔细分析函数在各个点的性质，以便正确计算留数。
综上所述，留数的计算方法是复变函数理论中的重要内容，它在复积分的计算中具有重要作用。
掌握留数的概念和计算方法，对于深入理解复变函数理论和进行相关计算具有重要意义。
希望本文介绍的内容能够帮助读者更好地理解留数的计算方法。
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
新增留存计算公式
新增留存计算公式在计算留存率时，通常会使用留存计算公式。
该公式可以帮助企业评估其产品、服务或平台的用户保留能力。
下面将介绍两种常见的留存计算公式。
1.简单留存计算公式：简单留存计算公式能够帮助企业快速计算出一些特定时间段内的留存率。
这个公式不考虑之前的留存率情况，仅仅关注在一些时间段内的用户保留情况。
公式如下：留存率=(当前时间段内的用户数/上一个时间段内的用户数)*100%例如，假设在上个月共有1000个用户，而在这个月有800个用户仍然使用产品/服务/平台，那么留存率就等于：留存率=(800/1000)*100%=80%这个公式的优点是简单易懂，计算方便。
但是它没有考虑之前的留存率情况，可能无法反映真实的用户保留情况。
2.累积留存计算公式：累积留存计算公式综合了历史留存数据，通过连续计算每个时间段内的用户留存情况，从而得到一个更准确的留存率。
公式如下：留存率=(当前时间段的用户数/初始时间段的用户数)*100%例如，假设在上个月共有1000个用户，这个月有800个用户仍然使用产品/服务/平台，在下个月有600个用户继续使用。
那么留存率就等于：1.上个月的留存率=(800/1000)*100%=80%2.这个月的留存率=(600/1000)*100%=60%这个公式的优点是可以更准确地反映出用户的留存情况，因为它综合了历史数据。
但是它需要更多的计算，可能会增加复杂度和工作量。
在实际应用中，留存计算公式还可以根据具体需求进行调整和扩展，比如可以按照不同时间段计算留存率，或者结合其他指标进行分析。
除了上述简单留存计算公式和累积留存计算公式，还有其他一些与留存相关的公式和指标，例如回流率、重复留存率等。
这些公式和指标可以帮助企业更全面地评估用户保留情况，并从中获取有价值的洞察。
总结起来，留存计算公式是企业评估用户保留能力的重要工具。
简单留存计算公式可以方便快捷地计算留存率，但可能无法反映真实情况；累积留存计算公式考虑了历史留存数据，更准确反映留存情况，但需要更多计算。
复变函数中的留数定理推广思路分析
复变函数中的留数定理推广思路分析留数定理是复变函数理论中的重要定理之一，它为计算函数的积分提供了一种有效的方法。
在实际应用中，留数定理可以进一步推广和应用，本文将就复变函数中的留数定理推广思路进行分析。
一、留数定理回顾在开始讨论留数定理的推广之前，我们先回顾一下留数定理的基本原理。
留数定理是复分析中的一种重要工具，适用于具有孤立奇点的复函数的积分计算。
对于一个具有孤立奇点的函数，留数定理告诉我们，函数在该奇点处的留数等于该函数在围道内的积分值。
具体来说，如果$f(z)$在$z=a$处有一个一阶极点，那么留数$r$可以通过以下公式计算得出：$$r = \lim_{z \to a}(z-a)f(z)$$其中，$r$即为函数在$z=a$处的留数。
留数定理还可以推广到更复杂的情况，例如多阶极点或者奇点无穷多的情况。
二、留数定理的推广思路在实际问题中，我们经常遇到复变函数的积分计算，而复变函数可能并不具有一阶极点或者只有有限个奇点。
此时，我们需要将留数定理进行推广，以适应更广泛的情况。
1. 多阶极点的留数计算留数定理最初是针对一阶极点的情况进行推导的，但是在实际问题中，我们也会遇到多阶极点的情况。
对于一个$n$阶极点，我们可以使用以下公式推导其留数：$$r = \frac{1}{(n-1)!}\lim_{z \to a}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}((z-a)^nf(z))$$其中，$r$为函数在$z=a$处的留数。
通过这个推广，我们可以计算出多阶极点的留数值。
2. 奇点无穷多的情况除了多阶极点的情况，有些函数可能存在奇点无穷多的情况。
这时，我们需要找到一种合适的围道，以保证围道内奇点的贡献可以抵消掉围道外的贡献。
可以使用洛朗级数展开或者柯西主值积分的方法来处理奇点无穷多的情况。
对于洛朗级数展开方法，我们可以将函数在奇点处展开为负幂次项和正幂次项的和，然后通过计算正幂次项的积分来得到结果。
复变函数的留数定理与柯西公式
复变函数的留数定理与柯西公式复变函数是数学中一个重要的研究对象，它是指定义在复平面上的函数。
复变函数有很多特殊的性质和定理，其中留数定理和柯西公式是非常重要的两个定理。
在本文中，我们将详细介绍留数定理和柯西公式。
一、留数定理留数定理是关于复变函数在孤立奇点处的积分的定理。
设f(z)是函数在z0处的孤立奇点，那么函数f(z)在z0处的留数记作Res(f, z0)。
留数的计算可以通过洛朗展开公式来进行。
留数定理的表述如下：设f(z)是一个在复平面上减少了一条折线的闭曲线上都有定义的函数，除去闭曲线上的一个有限个奇点外，在每一孤立奇点z0处函数f(z)都有留数Res(f, z0)。
设γ是一个以奇点z0为中心的小圆环，那么函数f(z)在γ上的积分等于2πi乘以z0处的留数，即：∮γf(z)dz = 2πi Res(f, z0)留数定理的重要性在于它将复变函数的积分问题转化为留数的计算问题，从而简化了计算的过程。
利用留数定理，可以高效地求解很多积分，特别是当函数存在简单极点（即一阶极点）时。
二、柯西公式柯西公式是复变函数理论中的又一重要定理。
柯西公式的表述如下：设f(z)是一个在闭曲线C内连续，除去闭曲线C上的一个有限个奇点外，在C内部处处有导数的函数，那么对于闭曲线C内的每一个点z0，都有：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz柯西公式可以理解为复变函数的积分和它在孤立奇点处的取值之间存在密切的关系。
具体地说，柯西公式表明，如果一个函数在某个区域内处处可导，在闭区域内部积分的结果等于在闭区域边界上积分的平均值。
柯西公式的应用非常广泛，它不仅可以用来计算复平面上的积分，还可以用于解析函数和傅里叶变换等。
三、留数定理和柯西公式的关系留数定理实际上是柯西公式的一个特殊情况。
当闭曲线C所围的区域内只有一个孤立奇点z0时，留数定理和柯西公式是等价的。
此时，柯西公式可以写为：f(z0) = 1/(2πi) ∮C f(z)/(z-z0)dz = Res(f, z0)也就是说，柯西公式表明了求取孤立奇点的留数可以通过对围绕该奇点的闭曲线求积分来实现。
留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
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计 算 留数 的 两 个新 公 式
雷雪 芹
（ 西 经 贸学 院 统计 系 ， 西 西 安 陕 陕 ７ ０６ ） １ ０ １
摘 要 ： 论 了函数在 孤 立奇 点 处的 留数 的计 算 问题 ， 出两个 改进 的留数计 算套 式． 讨 给
关 键词 ： 立奇点 ； 点 ； 孤 极 留数 ； 算 套 式 计 中 图 分 类 号 ： ７ ． ｏ ｌ４ ５ 文 献标 识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ６８ ４ （ ０ ２ ０ 一 ０ ３０ ｌ ０ — ３ ｌ ２ ０ ） ｌ０ ６ ３
需 要 满 足多 个条 件． 了使计 算简 化 、 为 公式 更 为通用 ， 面给 出两个 改进 了的留 数计算 公 式． 下 定 理 １ 设 ， 曲 一 尸 曲／ （ ， 为 尸 （ （ Ｑ曲 （）的 ”阶零 点及 Ｑ 曲 的 ｋ （ 阶零 点 ， 则
（ 当 一 ＂ １时 ， 是 ， 曲 的 （ ） ≥ （ 一 ” ）阶 极 点 ， 且
而
ｌ ｉ ｍ业
一
．
㈩
引 理 ２ 设 ， （）一 尸 ／ ｚ ， （） Ｑ 在 解 析 ， Ｐ ｚ） ０ Ｑ ） ０ （ ≠ ０ 则 ２ （）Ｑ（） 尸 及 （ 若 （ｏ ≠ ， （ 一 ， 岛） ， 。 为 ， （）的 一 阶 极 点 ， 且
Ｒ ｓＰ ｚ／ （） ］一 尸 ）ｑ （ ． ｅ［ （）Ｑ ｚ ， （ ／ ）
（） ２
应 用 （ ） 计 算 函数 在极 点处 的 留数是 比较 复杂 的； １式 而应用 （ ） ２ 式计 算 函数 在一 阶极 点处 的留数 ，
＿
［ ，一 器 ］
～
；
㈤
（ ） 当 一 ” １时 ， 为 ， １ ＜ （）的 可击奇 点 ， Ｒ ｓＰ ￣／ （） Βιβλιοθήκη ｅＥ （）Ｑ ｚ ， ］一 ０ ．
］ 因此 即得 （）式 ． ， ３
计 算 （ ） 的特 点 是 ： 约去 分母 Ｑ ３ 式 先 （）中 的 因 式 （ 一 ） 后 ， 求 导 数 再
函 数 的 留数 ．
．
如 果 ｚ 是 ， ｏ （）＝ Ｐ ｚ ／ （） 一 阶 极 点 ， 不 满 足 （ ） 的 条 件 ， 时 可 以 用 下 面 的 计 算 公 式 求 （ ）Ｑ ｚ 的 但 ２式 此 定 理 ２ 设 ， （）一 Ｐ ｚ ／ （） 是 Ｐ ￡ 的 （ 一 １ 阶 零 点 受 （ ｚ （） Ｑ ｚ ， （） 七 ） ）的 ｋ阶 零 点 ， 则 为 ， ｚ （）的 一 阶 极 点 且
Ｒ［ ，＝ ｃ 器 ］ ｅ ｓ ］ 器 一 ．
由 于 ）＝ （ ～ ＋ （ 一 ）＋
（＊ ＊ ）
一一 ［ 一 ｒ
由 （＊ ＊ ）式 ， 得
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［ ．＝ 二 二 ： ： ／一） ｛（ 正 的 ｝ 器 … 兰垫三二２［： （ １＋含 一 ）幂 项 一 ］ｌ ｉ ａ ｒ ！＝＿： ： 七 面 两 厂一 垫： ： 丽 ！ ）
Ｒ ｓＰ ｚ／ ｚ ， ｅ［ （）Ｑ（） ］一 ｋｘ （ｏ／ （ｏ． Ｉ ｚ） ｚ）
证明
由 （ ）式 得 １
（） ４
因 是 Ｐｚ 的（ （ ） 女一 １ 阶 零 点 及 Ｑ（） ｋ 零 点 ， ｚ 是 ， ） 的 阶 故 ｏ （）一 Ｐ ｚ／ （ ） 一 阶 极 点 ． （）Ｑ ｚ 的
函数 的 留数 在积 分计 算 、 角 原理 、 氏变 换 等问题 中起着 重 要 的作用 ． 于 函数 在极 点 处 的留 幅 拉 关 数 Ｒ ｓｆ ｚ） 通常 采用 下面 的两个计 算公 式［ ： ｅ（ ，ｏ ， Ｉ ￣ 引理 １ 若 ‰ 是 ， （）的 ｋ阶极 点 ， 则
Ｒｓｆ ， ］一 ｅ［ （ Ｚ ＇ ）ｏ
证 明 因 为 尸 （）的 阶零 点 ， 为 Ｑ ２ 且 （）的 ｋ阶零点 ， 以 Ｐ 所 （）一 （ ￡
） （） 其 中 尸 （ 及 Ｑ （）在 ｇ 解 析 ， 只 （ ） ０ Ｑ （ ， Ｑ 】曲 ｏ 且 ≠ ， ）≠ ０ 则 ，
Ｐ（ ／ ∞ 一 （ 曲 Ｑ（ 一 ） Ｒ（ ． 曲
）只 （ ） Ｑ（）一 （ “ ， ２ ２
其 中 Ｒ（）一 只 （）Ｑ （） 岛 解 析 ， Ｒ ）≠ ｏ ／ 在 且 （ ．
设 Ｒ（ ）一 ｏ ｏ＋ ｑ（ ２一 ）十 … ＋ … ｌ 一 ）一 ＋ － （
则
Ｐ（ ） Ｑ（ ）一 岛（ ｚ／ ｚ — ｚ ） ｏ
＋ … ＋ 皿～ Ｉ２一 岛） ＋ （
（Ｘ） －
蛤（ ＊）式 两 边 同 乘 以 （ ～ ｇ）， ｏ 得
（ 一 ）Ｐ（ ） （ ｚ ／ Ｘ ）一 面（ — ｚ） ｏ ＋ 曲 一 ｚ） ＋ … ＋ — Ｌｚ— ｚ）一 ｏ“ （ ｏ ＋ 两 边 求 ｋ一 １阶 导 数 ， 得
６ ４
纺
织
高
校
基
础
科
学
学
报
第１ ５卷
二 三 二
一（ 七
一
１ ！ 一 ＋ ｛ 有 （ ）ｍ 含 一 ）正 幂 的 项 ） ．
，
令 一 ， 两端 求极 限 ， 端 的极限 是 （ 右 一 １ … ・根 据 （ ） ， ＊）式 ， 除 （ 一 １ ！ ） 就是 Ｒ ｓ ） ） ｅ［ ／
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第 １ ５卷第 １期
２０ ０ ２年 ３月
纺
织
高
校
基
础
科
学
学
报
Ｖｏ ．１ Ｎｏ １ ５， ．１ Ｍ ａ ｃ ２０ ２ ｒ ｈ， ０
Ｂ ＳＣ Ｓ ＩＮ Ｅ ０ Ｒ Ａ ＦＴ Ｘ ＩＥ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｅ Ａ Ｉ Ｃ Ｅ Ｃ Ｓ Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｅ ＴＬ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ ＩＳ
。
收稿 日期 ： Ｏ １ １ － １ ２ ０ —２２
作 者 简 介 ； 雪 芹 （９ １） 女 ， 西 省 户 县 人 ， 西 经 贸学 院 讲 师 ， 要从 事 基 础 数 学 及 应 用 数 学 方 面 的 研 究 雷 １６一， 陕 陕 主
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