1.3.1二项式定理[4]
1.3.1 二项式定理
• 1．3.1 二项式定理
• 1 ．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围． • 2．理解通项的意义并会灵活应用． • 3．区分项的系数与二项式系数． • 4 ．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式． • 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
(3
x )
解法 2：(化简后再展开)
3
4 1 (3 x ＋ 1) 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
2
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
[ 解析 ]
0 n 0 n －1 1 k k n－k 原式＝ C n · 2· 1 －C1 2 · 1 ＋ „ ＋ ( － 1) · Cn2 n
＋„＋(－1)n· Cn 20＝(2－1)n＝1. n·
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中， 二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
1 求(x ＋x2－2)4 的展开式． 1 2 [解析] (x ＋ 2－2)4 x
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
1.3.1二项式定理(教案)
1． 3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，na 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，na b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有rn C 种，n rr ab -的系数是rn C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ， ∴01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x=++++． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+．例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅ ∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nmx x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x +∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5.6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n rrr r nn T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C = 5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(2040322328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++； （2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+ 7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010x x C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rn C （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
1.3.1二项式定理
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
教学设计4：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理教材分析《二项式定理》是多项式运算的推广．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段还没有显示的机会．将本小节内容安排在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也为学习随机变量及其分布做准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的性质有很大好处．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识．二项式定理的学习过程是应用两个计数原理解决问题的典型过程，其基本思想是“先猜后证”．与以往教科书比较，猜想不是通过对n取1、2、3、4的展开式的形式特征的分析而归纳得出，而是直接应用两个计数原理对(a＋b)2展开式的项的特征进行分析．这个分析过程不仅使学生对二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系获得认识的基础，而且也是为证明猜想提供了基本思路．知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．教学过程引入新课提出问题1：我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1)两个计数原理的内容是什么？(2)排列的定义与排列数公式是什么？(3)组合的定义与组合数公式是什么？活动设计：学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：(板书)(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．(2)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！(n－m)！. (3)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题2：如何利用两个计数原理得到(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：(1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考，允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将(a＋b)2与(a＋b)3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的，并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．提出问题3：(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？(2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗？(3)你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b.每个括号只能取一个字母，任取两个a、两个b，然后相乘．设计意图：帮助学生找到求出展开式系数的基本方法．提出问题4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其他各项系数，并将式子：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝()a4＋()a3b＋()a2b2＋()ab3＋()b4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流．活动成果：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，a4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14种，a3b的系数是C14，恰有2个取b的情况有C24种，a2b2的系数是C24，恰有3个取b的情况有C34种，ab3的系数是C34，有4个都取b的情况有C44种，b4的系数是C44，∴(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34a3b＋C44b4.设计意图：巩固已有的思想方法，建立猜想与证明二项式定理的认知基础与理论依据．提出问题5：根据以上展开式，你能猜想一下(a＋b)n的展开式是什么吗？活动设计：学生独立思考，自由发言，可以小组讨论．活动成果：学生可能猜出正确的展开式，但是不一定按照正确的顺序写出来，也不一定了解其中的规律，我们应该将问题进一步具体化，学生可能更容易发现新知．设计意图：通过学生对(a＋b)n展开式的猜想，提高学生的归纳问题的能力，使学生体会新知，发现新知，理解新知，在获得新知的过程中体会数学的乐趣，从而提高学生学习数学的兴趣．提出问题6：请同学们根据猜想完成下式，并对所给答案给出说明：(a＋b)n＝(_)a n＋(_)a n－1b＋(_)a n－2b2＋…＋(_)a n－r b r＋…＋(_)b n(n∈N*)活动设计：先由学生独立完成，然后组织全班讨论，在讨论过程中要明确每一项的形式及其相应的个数，学生之间可以相互求助、辩论．活动成果：(1)(a＋b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：a n，a n－1b，…，a n－rb r，…，b n.(2)展开式各项的系数：每个都不取b的情况有1种，即C0n种，a n的系数是C0n；恰有1个取b 的情况有C 1n 种，a n －1b 的系数是C 1n ，…，恰有r 个取b 的情况有C r n 种，a n －r b r 的系数是C r n ，…，有n 个都取b 的情况有C n n 种，b n 的系数是C n n ，∴(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N )， 这个公式叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．呈现二项式定理——(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N ) 设计意图：得出二项式定理，体会二项式定理的形成过程，理解二项式定理是由两个计数原理以及组合数公式得到的．由于这是本大节的起始课，按照学习从问题开始、从学生的原有知识结构开始，通过这样的原则与模式进行设计，而且这种意识要贯穿于整个课堂教学的始终，使学生从整体上把握本节要研究的主要问题、主要脉络是什么样的，这样就会使学生清楚本节的学习目标和路线图，是学有目标，研有方向，胸怀全局，先见森林再见树木的学习，其学习效果是不言而喻的．提出问题7：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？活动设计：学生自由发言，教师根据前面总结证明的二项展开式进行引导．活动成果：(1)它有n ＋1项，各项的系数C k n (k ＝0,1，…n )叫二项式系数；(2)各项的次数都等于二项式的次数n .设计意图：加深对二项式定理、二项展开式等概念、公式的理解．提出问题8：二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？活动设计：学生自由发言，可以相互讨论，教师进行引导．活动成果：(板书)(1)字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0，字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ；(2)C k n a n －k b k 叫二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ； (3)字母a ，b 可以是数，式子或其他．设计意图：由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点．运用新知例1.展开(1＋1x)4.解法一：(1＋1x )4＝1＋C 14(1x )＋C 24(1x )2＋C 34(1x )3＋(1x )4＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 解法二：(1＋1x )4＝(1x )4(x ＋1)4＝(1x )4[x 4＋C 14x 3＋C 24x 2＋C 34x ＋1]＝1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋1x 4. 点评：比较复杂的二项式，有时先化简，再展开会更方便．巩固练习1.求(2x －1x)6的展开式． 解：先将原式化简，再展开，得(2x －1x )6＝(2x －1x)6＝1x 3(2x －1)6＝1x 3[(2x )6－C 16(2x )5＋C 26(2x )4－C 36(2x )3＋C 46(2x )2－ C 56(2x )1＋C 66]＝64x 3－192x 2＋240x －160＋60x －12x 2＋1x 3. 2.求(1＋2x )7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数．解：(1＋2x )7的展开式的第4项是T 3＋1＝C 37×17－3×(2x )3＝C 37×23×x 3＝35×8x 3＝280x 3. 所以展开式的第4项的二项式系数是35，系数是280.点评：①要注意展开式的第r ＋1项，对应于二项式系数C r n ；②要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没什么必然的联系． 例2 求(x －1x)9的展开式中x 3的系数． 解：(x －1x)9的展开式的通项是 C r 9x 9－r (－1x)r ＝(－1)r C r 9x 9－2r . 根据题意，得9－2r ＝3，r ＝3.因此，x 3的系数是(－1)3C 39＝－84.巩固练习1．(1＋2x )7的展开式的第几项的二项式系数等于35?解：C 37＝C 47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35. 2．(x －1x)9的展开式中，含有x 6项吗？若有，系数为多少？含有x 5项吗？若有，系数为多少？ 请将你所能想到的所有答案都一一列举出来．解：根据通项(－1)r C r 9x 9－2r ，当9－2r ＝6时，r 无整数解；当9－2r ＝5时，解得r ＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x 6项，含有x 5项，系数为36.设计意图：两个题的设计不仅是为了训练学生根据解题需要能熟练地将一个二项式展开，而且可以培养学生的发散性思维能力，并且可以考查学生对知识、问题理解的深刻性和思维的深刻性、全面性．题型的新颖性、开放性更是不言而喻，学生的兴趣会更浓，思维也会更积极．达标检测1．求(2a ＋3b )6的展开式中的第3项．解：T 2＋1＝C 26(2a )4(3b )2＝2 160a 4b 2；2．求(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数．2．解：T 2＋1＝C 26(3b )4(2a )2＝4 860b 4a 2.所以，(3b ＋2a )6的展开式中的第3项的系数为4 860.3．求(1＋2i)5的展开式．解：因为a ＝1，b ＝2i ，n ＝5，由二项式定理，得(1＋2i)5＝C 05＋C 152i ＋C 25(2i)2＋C 35(2i)3＋C 45(2i)4＋C 55(2i)5＝1＋10i －40－80i ＋80＋32i＝41－38i课堂小结1．知识收获：二项式定理；二项式定理的表达式以及展开式的通项、二项式系数与系数的概念．2．方法收获：正确区别“项的系数”和“二项式系数”．3．思维收获：类比思想、化归—归纳—猜想—证明思想．补充练习基础练习1．已知(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 的系数的7倍，求n 的值．解：依题意C 3n ＝7C 1n ，即n (n －1)(n －2)6＝7n ， 由于n ∈N ，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8.2．已知(ax ＋1)7(a ≠0)的展开式中，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，求a 的值．解：依题意C 57a 2＋C 37a 4＝2C 47a 3.由于a ≠0，整理得5a 2－10a ＋3＝0，解得a ＝1±105.3．计算：(a＋1)5－(a－1)5.解：(a＋1)5－(a－1)5＝[(a)5＋C15(a)4＋C25(a)3＋C35(a)2＋C45a＋1]－[(a)5－C15(a)4＋C25(a)3－C35(a)2＋C45a－1]＝2[C15(a)4＋C35(a)2＋2]＝10a2＋20a＋4.·32＋1＝10n.4．求证：32n＋C1n·32n－2＋C2n·32n－4＋…＋C n－1n·32＋1＝32n＋证明：右边＝10n＝(9＋1)n＝(32＋1)n＝32n＋C1n·32(n－1)＋C2n·32(n－2)＋…＋C n－1nC1n·32n－2＋C2n·32n－4＋…＋C n－1·32＋1＝左边，故原式得证．n设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面二项展开式的推导作铺垫．再以(a＋b)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(a＋b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．备课资料二项式定理的妙用在数学中，有许多美妙的命名和定理．二项式定理就是其中之一．首先，看一看我们的二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式所表示的定理就是二项式定理．T r＋1＝C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项公式，在这里r＋1才是项数，第一个位置的a按降幂排列，次数由n次降到0次，第二个位置的b按升幂排列，次数由0次升到n次，a、b可以是任意实数，也可以是任意式子，能深刻理解二项式定理的结构特征、通项公式，就有许多美妙的用处．其次，谈谈二项式定理的妙用：1)若在二项式定理中，令a ＝1、b ＝1，就能得到C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，即各二项式系数之和等于2n ，也是含n 个元素的集合的所有子集有2n 个，其中非空子集、真子集都有(2n －1)个，非空真子集有(2n －2)个．2)若令a ＝1、b ＝－1，则可得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＋(－1)n C n n ＝(1－1)n ＝0，即C 0n ＋C 2n＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1，也就是在(a ＋b )n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和且等于2n －1.3)在二项式定理中，若令a ＝1、b ＝x ，则得到公式 (1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C r n xr ＋…＋C n n x n ，其有鲜明的形式特征，可快速准确地展开类似的二项式． 4)充分利用二项式的通项公式可以求出我们所要的任意一项．5)在二项式定理中，若令未知数的系数等于1，就可以得到二项展开式中各项系数之和． f (x )＝(px ＋q )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n ，则有a 0＋a 1＋a 2＋……＋a n＝f (1)，a 0－a 1＋a 2－a 3＋……＋(－1)n a n ＝f (－1)，a 0＋a 2＋a 4＋……＝12[f (1)＋f (－1)]，a 1＋a 3＋a 5＋……＝12[f (1)－f (－1)]． 6)用二项式定理可以很好地解决整除问题．例如①求证32n ＋2－8n －9能被64整除．②求证5151－1能被7整除等．7)在二项式系数表中，淋漓尽致地体现了组合数的两个重要性质：①C r n ＝C n －r n ，②C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n . 8)在二项式定理中，使用递推法，即T r ，T r ＋1，T r ＋2系数间的关系可以解决系数最值问题．9)利用二项式定理可以解决近似计算问题．10)理解透彻二项式定理的结构关系，能应用它求解、证明许多式子．例如：1＋2C 1n ＋4C 2n ＋…＋2n －1C n －1n ＋2n C n n＝3n ； 2n －C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋(－1)n －1C n －1n 2＋(－1)n ＝1； C 1n ＋2C 2n ＋4C 3n ＋…＋2n －1C n n ＝？ 在(2－x )n 中若x n 项的系数为a n (n ＝2,3,4，…)则22a 2＋23a 3＋24a 4＋ (2)a n＝？ …总之，巧妙地应用二项式定理可以解决许多有趣实用的问题．希望大家都能喜欢数学，学习数学，应用数学．。
课件6：1.3.1 二项式定理
T2＝－2C19x3＝－18x3.
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为 Tr＋1＝(－2)
r
9－3r
Cr9x 2
，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
4 6 4 1
＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x xபைடு நூலகம்x x
1
14 14
4
方法二：1＋x ＝x (x＋1) ＝x 4·(x4＋C14x3＋C42x2＋C34x
4 6 4 1
＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x x x x
＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．
－
解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n 1·(－1)1＋…＋(－1)k·
Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
2．求(a＋2b)4 的展开式．
解：(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a·(2b)3＋C44(2b)4
项式系数为________．
答案：40 10
探究点 1
二项式定理的正用与逆用
14
(1)用二项式定理展开1＋x ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】
高中数学选修2-3精品课件：1.3.1 二项式定理
2.二项式系数及通项 (1)(a＋b)n展开式共有 n＋1 项，其中 各项的系数Ckn (k∈{0, 1,2，…，n}) 叫做二项式系数 . (2)(a＋b)n展开式的第 k＋1 项叫做二项展开式的通项，记作 Tk＋1＝ Cknan－kbk .
要点一 二项式定理的正用、逆用 例 1 (1)求(3 x＋ 1x)4 的展开式； 解 方法一 (3 x＋ 1x)4 ＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3·1x＋C24(3 x)2·( 1x)2＋C34(3 x)·( 1x)3＋
－1，n为奇数时.
要点二 二项展开式通项的应用 例 2 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，即 n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·(
x
(1)求含x2的项的系数；
(2)求展开式中所有的有理项.
解
3
x－ 3 3
n
展开式的通项为Tr1
Cnr
nr
x3
(3)r
r
x3
n2r
Crn (3)r x 3 .
x
第6项为常数项，即r＝5，
n－2r 且 3 ＝0，∴n＝10.
n－2r (1)令 3 ＝2，得
r＝21(n－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
第一章——
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
[学习目标] 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
(原创)1.3.1二项式定理
( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2
( a + b ) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
思考:
(a+b)4的展开式是什么?
(a+b)4 =(a+b)2 (a+b)2 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
=C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
再来类比 能否推出(a+b)n的展开式？
(a+b)2 = a2 + 2 ab + b2 ＝C20 a2 + C21 ab + C22 b2
(a+b)3= a3 + 3 a2b+3 ab2 + b3 = C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Cknan-kbk + + Cnnbn
注:(1) 上式右边为二项展开式, 各项次数都等于二项式的次数
(2) 展开式的项数为 n+1 项；
二项式定理： n ∈ N *
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + Cn2an-2b2 + + Cknan-kbk + + Cnnbn
注:(3)字母a按降幂排列,次数由n递减 到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n
二项式定理： n ∈ N *
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C
1 99 、 100
9 C 9
100 0 100
r 100 r 100
（ 1）
r
C 9 C 9
99 1 100
9M 1
所以余数是1，
余数与整除问题 例1、1）求证：42n+1+3n+2能被13整除；
解：42n+1+3n+2=4· 16n+9· 3n =4· (13+3)n+9· 3n
10 二ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式系数最大的项为第11项,即 C 20
所以它们的比是
12 8 12 C20 23 5 7 13 2 3 10 C20 11
20 ( 3 x 2 y ) 变： 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20 r r r 1 21 r r 1 C20 3 2 C20 3 2 37 42 r8 r
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
3( r 1) 2( 20 r ) 2( 21 r ) 3r
5
5
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数 最大的项，则有
求展开式中系数最大(小)的项
例6. 3 在(2 x 3)20的展开式中, 求其项的最大系数
与最大二项式系数的比
解: 设 r 1项是系数最大的项,则
r 20 r r r 1 20 r 1 r 1 3 11.6 r 12.6 C20 2 3 C20 2 r 20 r r r 1 20 r 1 r 1 3 C20 2 3 C20 2 12 8 12 系数最大的项是第 1 3项 即C20 2 3
( n 2)( n N , n 2)
近似计算问题
例3、计算0.9973 的近似值（精确到0.001）
0.9973= (1-0.003)3 =1−3· 0.003+3· 0.0032−0.0033 ≈1−3· 0.003 =0.991
练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）； 2.9986=(3-0.002)6 =36−6·35· 0.002+15· 34· 0.0022−20· 33· 0.0023+…
=4· 13· M+4· 3n+9· 3n
=4· 13· M+13· 3n
所以42n+1+3n+2能被13整 除. 练习：求证： 5555+1能被8整除；
因为5555+1=(56−1)55+1=56· M−1+1=56· M, 所以5555+1能被8整除.
不等式证明问题 例2、求证： 3 2
n n1
Tr 1 C a b
r n r n
r
.
课前练习
1.若n为奇数，（a+b﹚n 的展开式中二项系数是大的 项（ C ） n 1 n A、第 项 B、第 项
2 n 1 n 1 C、第 、 1项 2 2 2
n n D、第 1 、 项 2 2
2.（a+b）n 的展开式中，第5项的二项式系数最大，n＝ 3. (2 x
1 99 100
99 1 100 100 100 99 100
r 100 r 100
C 7 C
0 99 100
（ 7 C 7 C ） 1
余数是1， 所以是星期六
探究：
若将 8100 除以9，则得到的余数是多少？
8
100
（9 1）
100
C 9
0 100 100
2
1)
7， 8， 9
n
1 ； 展开式的各项系数和为______
4. ( x 7 y) 展开式的二项式系数之和为128、那么展 开式的项数是 8 ；
n
课前练：
2) ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2 5( x 1)
解:原式
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
由此确定r的取值
自主练习
﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
4 4 10 6 4 6
6 6 10 4
。
6 4
T5 C x ( y) 210 x y T7 C x ( y) 210 x y
问题探究 :
(1)今天是星期五，那么7天后
知识回顾
0 n 1 n1 2 n 2 2 n n a Cn a b Cn a b Cn b﹙ n N 1.(a+b) n= Cn ﹚, r n+1 展开式共有 项，其中 C n （r=0,1,2,……,n） 叫做 二项式系数 ；
2.通项表示展开式中的第 是
r+1
项，通项公式
的这一天是星期几呢? （星期五）
（星期六） (2)如果是15天后的这一天呢？
(3)如果是24天后的这一天呢？ （星期一） (4)如果是 8100 天后的这一天呢？
问题探究:
(3)今天是星期五，那么 的这一天是星期几？
8
100
天后
8
100
（7 1）
C 7
0 100 100
100
C 7 C 7
C ( x 1) C ( x 1) C ( x 1)
0 5 5
1 5 4
2 5
3
C ( x 1) C ( x 1)C C 5 5 [( x 1) 1] 1 x 1
3 5 2
4 5
5 5
5 5
逆向应用公式和变形应用公式是高中数学的难点,也是重点,只 有熟练掌握公式的正用,才能掌握逆向应用和变式应用
≈36−6· 35· 0.002+15· 34· 0.0022=729−2.916+0.00486
≈ 726.089