分析力学基础拉格朗日第一类方程0806共36页文档
第一类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程
第一类拉格朗日方程是指拉格朗日乘数法中的第一类问题，也叫拉格朗日最优化问题。
它表示为：
minimize f(x)
subject to gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, ..., m
hi(x) = 0, j = 1, 2, ..., p
其中，f(x)是目标函数，g(x)是非等式约束条件，h(x)是等式约束条件，x是未知变量。
这类问题的解可以通过拉格朗日乘数法来求解。
这种方法是通过对目标函数和约束条件进行拉格朗日变换来求解的。
具体来说，就是对原始问题添加拉格朗日乘子，将原始问题转化为拉格朗日函数。
然后对拉格朗日函数求导，求出零点，并用导数等于零的条件来求解原始问题的解。
第一类拉格朗日方程的求解需要满足一些充分必要条件，例如约束条件必须是凸的，目标函数必须是可微的，等等。
如果这些条件都满足，那么就可以使用拉
格朗日乘数法来求解这类问题。
求解过程中需要迭代更新乘子，直到满足导数等于零的条件，即可求得原始问题的最优解。
该方程在线性规划,二次规划,半正定规划,广义线性规划等领域都有着重要的应用。
需要注意的是，该方程的求解并不是唯一的，可以使用各种优化算法来寻找最优解，例如拉格朗日导数法，二次规划法，Newton法和共轭梯度法等。
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学基础前言0806-资料
• 分析动力学方法2：拉格朗日第二类方程
– 从独立坐标出发 – 用统一的原理与公式表达独立坐标描述的动力学方程 – 克服了在矢量动力学中建立这种方程依赖技巧的缺点
2019/9/3 5
理论力学CAI 分析力学基础
分析力学基础/前言
• 本章首先介绍分析力学的两个基本原理
– 达朗贝尔(J. le R. d’Alember)原理
• 利用达朗贝尔原理处理动力学的瞬时分析
– 虚位移原理
• 利用虚位移原理处理在静力学问题
• 在此基础上导出拉格朗日第一类方程与拉格朗 日第二类方程
2019/9/3 6
理论力学CAI 分析力学基础
Hale Waihona Puke 理论力学 CAI分析力学基础
理论力学CAI 版权所有, 2000 (c) 上海交通大学工程力学系
分析力学基础
• 前言 • 达朗贝尔原理 • 虚位移原理 • 动力学普遍方程 • 拉格朗日第一类方程 • 拉格朗日第二类方程
2019/9/3 2
理论力学CAI 分析力学基础
理论力学 CAI
• 前言 分析力学基础
日方程为基础的分析力学，称为拉格朗日力学 – 1834年哈密顿(Hamilton)将拉格朗日第二类方程变换成
一种正则形式，将动力学基本原理归纳为变分形式的哈 密顿原理，从而建立了哈密顿力学
2019/9/3 4
理论力学CAI 分析力学基础
分析力学基础/前言
• 分析动力学方法1：拉格朗日第一类方程
– 从位形坐标出发，程式化比矢量力学一般方法更为明显 – 在理想约束力与约束方程间建立起一种直接的关系，避免未知理想
• 达朗贝尔原理
前 言 • 虚位移原理
• 动力学普遍方程 • 拉格朗日第一类方程 • 拉格朗日第二类方程
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程
第一类拉格朗日动力学方程是描述质点在有势能场中的运动的方程。
其数学表达式为：
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right) -
\frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
其中，\(L\)是拉格朗日函数，\(q_i\)是广义坐标，\(\dot{q_i}\)
是广义速度，\(i\)表示广义坐标的索引。
拉格朗日函数\(L\)由
质点动能和势能函数构成，即\(L = T - V\)，其中\(T\)表示动能，\(V\)表示势能。
这个方程由哈密顿原理推导得出，根据哈密顿原理，质点在运动过程中实际的路径是使作用量S取极值的路径。
作用量S
定义为路径积分：
\[S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt\]
通过变分原理，即使作用量在真实路径附近发生微小变化，作用量的变分应该为零：
\[\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q_i}) dt = 0\]
对上式应用变分积分法，我们可以得到第一类拉格朗日动力学方程。
这个方程描述了质点在给定势能场中的受力情况，通过求解这个方程，我们可以确定质点的轨迹和速度。
拉格朗日方程的三种推导方法
拉格朗日方程的三种推导方法拉格朗日方程是分析力学中极为重要的定理之一，它描述了质点或系统在给定约束条件下的运动方程。
拉格朗日方程的推导方法有三种，分别是拉格朗日第一类方法、拉格朗日第二类方法和哈密顿原理。
下面将对这三种方法进行详尽的介绍。
首先，我们来介绍拉格朗日第一类方法。
这种方法是通过将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，然后使用这些方程消去广义坐标的导数，得到含有广义坐标和广义速度的方程，然后再代入拉格朗日函数，就可以得到拉格朗日方程。
设系统中有n个质点，它们的质量分别为m1、m2、..、mn，它们的位置矢量为r1、r2、..、rn。
约束条件可以表示为f(r1, r2, ..., rn)= 0。
广义坐标q1、q2、..、qs可以用位置矢量表示为q1 = q1(r1,r2, ..., rn)，q2 = q2(r1, r2, ..., rn)，...，qs = qs(r1, r2, ..., rn)。
广义速度可以定义为q1' = dq1/dt，q2' = dq2/dt，...，qs' =dqs/dt。
根据拉格朗日第一类方法，可以将约束条件转化为广义坐标之间的代数方程，即f(q1(q1, q2, ..., qs), q2(q1, q2, ..., qs), ...,qs(q1, q2, ..., qs)) = 0（1）。
然后对式(1)两边求导，以消去广义速度，得到：∂f/∂q1 * q1' + ∂f/∂q2 * q2' + ... + ∂f/∂qs * qs' = 0（2）接下来，根据拉格朗日函数定义为L = T - U，其中T是系统的动能，U是系统的势能。
动能和势能可以分别表示为T = T(q1, q2, ..., qs,q1', q2', ..., qs')，U = U(q1, q2, ..., qs)。
根据广义坐标和广义速度的定义可以得出q1, q2, ..., qs和q1', q2', ..., qs'是相互独立的。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
力学系统的拉格朗日方程
力学系统的拉格朗日方程力学是物理学的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
而力学系统的拉格朗日方程是力学中的一种重要数学工具，用于描述力学系统的运动。
拉格朗日方程是由法国数学家和物理学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪末提出的，它是一种用于描述力学系统的运动方程的方法。
与牛顿力学中的牛顿第二定律不同，拉格朗日方程是一种更为简洁和优雅的描述力学系统运动的方法。
在了解拉格朗日方程之前，我们先来了解一下力学系统。
力学系统是由物体和作用于物体上的力所组成的。
物体可以是一个质点，也可以是一个刚体或弹性体。
而力则可以是重力、弹力、摩擦力等。
拉格朗日方程的核心思想是通过定义一个称为拉格朗日量的函数来描述力学系统的运动。
拉格朗日量是系统的动能减去势能的差。
动能是物体运动时所具有的能量，而势能则是物体在力场中所具有的能量。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0，其中L是拉格朗日量，q 是广义坐标，t是时间。
这个方程可以用来描述力学系统在任意时刻的运动状态。
通过拉格朗日方程，我们可以得到力学系统的运动方程。
这些方程可以用来计算物体在给定力场中的运动轨迹和速度。
拉格朗日方程的优势在于它可以用一种统一的方式描述各种不同类型的力学系统，从而简化了计算和分析的过程。
拉格朗日方程在物理学的许多领域中都有广泛的应用。
例如，在天体力学中，拉格朗日方程可以用来描述行星和恒星的运动。
在机械工程中，拉格朗日方程可以用来分析机械系统的运动和稳定性。
在量子力学中，拉格朗日方程可以用来描述微观粒子的运动。
总之，拉格朗日方程是力学系统中一种重要的数学工具，它提供了一种简洁和优雅的描述力学系统运动的方法。
通过拉格朗日方程，我们可以更好地理解和分析力学系统的运动规律。
在物理学的研究中，拉格朗日方程有着广泛的应用，为我们揭示了自然界中的许多奥秘。
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程分析力学是物理学中的一个重要分支，它主要研究物体的运动规律和力学系统的宏观性质。
拉格朗日力学是分析力学的基础，是分析力学发展过程中的一个重要理论。
它由意大利数学家拉格朗日于18世纪发展而来，利用广义坐标和拉格朗日方程来描述物体的运动学和动力学。
在拉格朗日力学中，系统的运动由极值原理来决定。
这个极值原理是“达朗贝尔原理”，即系统的运动满足使作用量(S)是极值的路径。
作用量是拉格朗日力学中的一个重要概念，它表示物体在运动过程中所受到的所有力的作用。
具体来说，作用量可以表示为：S = ∫ (L - T) dt其中，L是拉格朗日函数，表示系统的动能和势能之差；T是系统的动能，表示物体的运动能量。
积分表示对整个运动过程的积分求和。
根据达朗贝尔原理，系统的运动满足作用量的极值条件，即δS=0。
为了使作用量的变分δS等于零，我们可以通过拉格朗日方程来推导系统的运动方程。
假设系统有n个自由度，我们引入广义坐标q1, q2, ..., qn来描述系统的位置。
每个广义坐标都是关于时间的函数，即q(t)。
拉格朗日函数L也是广义坐标的函数，即L(q, dq/dt, t)。
其中dq/dt表示广义坐标的时间导数。
利用拉格朗日函数，我们可以定义拉格朗日方程：d/dt (∂L/∂(dq/dt)) - ∂L/∂q = 0这个方程就是拉格朗日方程。
其中∂L/∂(dq/dt)表示拉格朗日函数对广义速度的偏导数，∂L/∂q表示拉格朗日函数对广义坐标的偏导数。
该方程描述了系统在广义坐标下的运动规律。
拉格朗日方程的推导过程是基于变分法和哈密顿原理的。
通过对作用量进行变分，我们可以得到极值的条件，即达朗贝尔原理。
然后利用这个极值条件，我们可以推导出拉格朗日方程。
拉格朗日方程在物理学中有着广泛的应用，不仅可以用来描述质点的运动，还可以用来描述刚体的运动、连续介质的运动、以及相对论力学等。
它提供了一种统一的描述物体运动的方法，同时也为我们研究物体的宏观性质提供了一个有力的工具。
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x
r2
y q 2 (x 2 2 x 1 x 1 ) 2 (2 y 2 y 1 y 1 )2 (x 2 0 x 1 )2 (y 2 0 y 1 )
m 1dim a1,m g1
mq qTFa
m1g
P2
m2g
m1 0 0
0 m1 0
0 0
0 m2 00
0 x 1 2x1 m 0 02 xy y 2 1 220 0y1
H3(1,2)
r 1 H 1 ( 1 ,2 ) r 2 H 2 ( 1 ,2 ) r 3 H 3 ( 1 ,2 ) 0
2020/5/12
5
理论力学CAI 分析力学基础
分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系
qT(m q q TFa)0
令 H (λ)m q q TFaRn1
qTH(λ) 0
受约束质点系动力学方程
• 自由质点系
虚功形式的动力学普遍方程
Fka z
F1a
P1
Pk Fna
n
rT k(mkr k Fka)0
k1
质点系 (P1,P2,,Pn) 自由
笛卡儿坐标阵 qr1T r2T rnTT
相互独立
rk F2a O
x
mkrk Fka
2020/5/12 理论力学CAI 分析力学基础
k1,,n
牛顿方程
Pn P2
y
3
分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系
• 非自由质点系
质点系 (P1,P2,,Pn)
笛卡儿坐标阵 qr1T r2T rnTT3n1
Fka z
F1a
P1
Pk Fna
Pn
约束方程 (q,t)0 s1
虚功形式的动力学普遍方程 qT(mq Fa)0
约束方程等时变分
自由度为2 引入拉格朗日乘子阵
1 2 T
x
r2
m1g
P2
m2g
q 2 (x 2 2 x 1 x 1 ) 2 (2 y 2 y 1 y 1 )2 (x 2 0 x 1 )2 (y 2 0 y 1 )
主动力阵
F a F 1 aT F 2 aT T m 1 g 0 m 2 g 0 T
H1(1,2)0 H2(1,2)0
H(λ) 0
H3(1,2)0
mq qTFa0
6
分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系
合理选择 λ
拉格朗日乘子
qT(m q q TFa)0
mq qTFa0
mq qTFa
带拉格朗日乘子的质点系动力学方程
拉格朗日第一类方程
qr1T r2T rnTT F a F 1 aT F 2 aT F n aT T
m dim 1 a ,m 2 g , ,m n m k dim k a ,m k g ,m k
(q,t)0 Rs1
Φ
T q
Rns
1 sT
qT(m q q TFa)0
以列阵 rk 为元素
1 n
n 1
11
qTH(λ)0 H (λ)m q q TFa n1
例 n3,s2
r1 r2 r3H H12((11,,22))0
拉格朗日第一类方程
O r1
m1 0 0 0 m1 0
0
0 m2
0 0 0x x y 2 1 12 20xy1 1
22 2(((xxy22 2 xxy111)))2 1m0 01g y P1
0 0 0 m2 y 2 0 2(y2y1)
m2g
上述4个方程中有6个变量 附加加速度约束方程
x
试利用拉格朗日第一类方程建 立该双质点摆的动力学方程
O
x
P1
y
m1g
P2
m2g
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分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解
[解]
惯性基 Oe
O
系统笛卡儿坐标阵
y
q r 1 T r 2 TT x 1 y 1 x 2 y 2T
r1
约束方程 (q,t)(x2x1x )1 2 2 (yy 1 22 l12 y1)2l2 2=0 P1
O
rk F2a
P2 y
Φq δq 0 s1
x
转置 δqTΦqT 0T 1s
令待定的常数阵 1 s Ts1
δqTΦqTλ0
2020/5/12
qT(m q q TFa)0
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分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系
qr1T r2T rnTT
F a F 1 aT F 2 aT F n aT T
2 22 2((((yxyx2 22 2 xyx1 y11 )1 )))1 2m m0 01 2g g
2020/5/12
m 2dim a 2,m g 2
10
理论力学CAI 分析力学基础
分析力学t)(x2x1x )1 2 2 (yy 1 22 l12 y1)2l2 2=0
分析力学基础
拉格朗日第一类方程
• 受约束质点系动力学方程 • 受约束刚体动力学方程
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分析力学基础/拉氏第一类方程
拉格朗日第一类方程
• 受约束质点系动力学方程 • 受约束刚体动力学方程
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分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系
例 以列阵 rk 为元素 n3,s2
r1 r2 r3H H12((11,,22))0
H3(1,2)
r 1 H 1 ( 1 ,2 ) r 2 H 2 ( 1 ,2 ) r 3 H 3 ( 1 ,2 ) 0
合理选择 1, 2
1 令 r 3 为独立变量
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分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解
q r 1 T r 2 TT x 1 y 1 x 2 y 2T
O
(q,t)(x2x1x )1 2 2 (yy 1 22 l12 y1)2l2 2=0
r1
1 2 T F a F 1 aT F 2 aT T m 1 g 0 m 2 g 0 T P1
r2
m1g
P2
m2g
x1x 1y1 y 1x 1 2y 1 20
( x 2 x 1 ) ( x 2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) ( y 2 y 1 ) ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 0
m dim 1 a ,m 2 g , ,m n m k dim k a ,m k g ,m k
(q,t)0 s1
Φ
T q
3ns
λs1
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分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/例
[例]
一双质点摆，摆球P1与P2的质 量分别为m1与m2，摆长分别为l1 与l2