高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第讲幂函数与二次函数习题(新)-课件

2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第6讲 幂函数与二次函数习题A 组 基础巩固一、选择题1．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为导学号 25400349( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2[答案] B[解析] 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意，故选B ．2．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为导学号 25400350( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13[答案] A[解析] (排除法)若函数为偶函数，则f (－x )＝f (x )，故排除选项B ，D ．选项C 中y ＝x 2为偶函数，但在x ∈(0，＋∞)上单调递增，不满足题意．故选A ．3．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是导学号 25400351( )A ．a ≥8B ．a ≤8C ．a ≥4D ．a ≥－4[答案] A[解析] 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.4．已知f (x )＝x 12 ，若0＜a ＜b ＜1，则下列各式中正确的是导学号 25400352( ) A ．f (a )＜f (b )＜f (1a )＜f (1b)B ．f (1a )＜f (1b)＜f (b )＜f (a )C ．f (a )＜f (b )＜f (1b )＜f (1a)D ．f (1a)＜f (a )＜f (1b)＜f (b )[答案] C[解析] 因为函数f (x )＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数， 又0＜a ＜b ＜1b ＜1a，故选C ．5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于导学号 25400353( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2[答案] B[解析] ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.6．若(2m ＋1)12 ＞(m 2＋m －1)12 ，则实数m 的取值范围是导学号 25400354( ) A ．(－∞，－5－12]B ．[5－12，＋∞) C ．(－1,2) D ．[5－12，2) [答案] D[解析] 因为函数y ＝x 12 的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1＞m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12.解2m ＋1＞m 2＋m －1，得－1＜m ＜2， 综上所述，5－12≤m ＜2. 二、填空题7．幂函数y ＝(m 2－m ＋1)x m 2－2m －3在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为________.导学号 25400355[答案] 0或1[解析] 由幂函数在(0，＋∞)上单调递减可得m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3.又m 2－m ＋1＝1，解得m ＝1或m ＝0.故m 的值为0或1.8．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________.导学号 25400356[答案] －4＜a ＜4[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，36－4 5－a a ＋5 ＜0，解得－4＜a ＜4.9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0，a ](a ＞0)上的最大值是3，最小值是2，则实数a 的取值范围是________.导学号 25400357[答案] [1,2][解析] 由f (x )＝3，解得x ＝0或x ＝2；由f (x )＝2，解得x ＝1.由函数图象可得，a 的取值范围为[1,2]．10．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1、x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________.导学号 25400358[答案] 8[解析] 由题意可得，当x ∈[t －1，t ＋1]时，[f (x )max －f (x )min ]min ≥8，又在二次函数的图象上，区间[t －1，t ＋1]离对称轴越远，f (x )max －f (x )min 越大，所以当[t －1，t ＋1]关于对称轴对称时，f (x )max －f (x )min 取得最小值，即f (t ＋1)－f (t )＝2at ＋a ＋20≥8，f (t －1)－f (t )＝－2at ＋a －20≥8，两式相加，得a ≥8，所以实数a 的最小值为8.三、解答题11．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *).导学号 25400359(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[答案] (1)[0，＋∞)，增函数 (2)[1，32)[解析] (1)∵m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m 2＋m 为偶数，∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1 (m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)∵函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2 x(m 2＋m )－1，即212 ＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1，f (x )＝x 12 .又∵f (2－a )＞f (a －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.导学号 25400360(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． [答案] (1)a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3 (2)(－∞，2]∪[6，＋∞)[解析] (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a ＞0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3 ＝5，f 2 ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a ＜0时，f (x )在[2,3]上为减函数， 故⎩⎪⎨⎪⎧f 3 ＝2，f 2 ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0, 即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.故m 的取值范围为(－∞，2]∪[6，＋∞)．B 组 能力提升1．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是导学号 25400361( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定[答案] A[解析] 函数图象的对称轴为x ＝－1，而(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0，因为x 1＜x 2，故x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)较大，故选A ．2．已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝导学号 25400362( )A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16 D ．16[答案] C[分析] 本题采用数形结合的方法，在同一坐标系中画出函数的图象，由图象求解． [解析] 令f (x )＝g (x )，即x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，即x 2－2ax ＋a 2－4＝0，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2.f (x )与g (x )的图象如图．由图象及H 1(x )的定义知H 1(x )的最小值是f (a ＋2)，H 2(x )的最大值为g (a －2)，∴A －B ＝f (a ＋2)－g (a －2)＝(a ＋2)2－2(a ＋2)2＋a 2＋(a －2)2－2(a －2)2＋a 2－8＝－16.3．(2015·湖南株洲教学质量统一检测一)如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12 ，y ＝(32)x的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________.导学号 25400363[答案] (12，916)[解析] 由2＝log22x 得点A (12，2)，由2＝x 12 得点B (4,2)．因为(32)4＝916，即点C (4，916)，所以点D 的坐标为(12，916)． 4．(2015·湖南衡阳上学期五校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，设g (x )＝f (x )－kx .导学号 25400364(1)当x ∈[－2,2]时，g (x )为单调函数，求实数k 的范围； (2)当x ∈[1,2]时，g (x )＜0恒成立，求实数k 的范围． [答案] (1)k ≥6或k ≤－2 (2)k >92[解析] (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，b ＝a ＋1.又∵f (x )＝ax 2＋bx ＋1≥0(a ＞0)，对任意实数x 成立，则Δ＝b 2－4ac ≤0，即(a ＋1)2－4a ≤0，∴(a －1)2≤0，解得a ＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.由题意g (x )在[－2,2]上是单调函数，则只需k －22≥2或k －22≤－2.解得k ≥6或k ≤－2.(2)g (x )＝x 2＋(2－k )x ＋1＜0对x ∈[1,2]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1 ＜0，g 2 ＜0.解得k ＞92.5．(2015·湖南三校联考)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.导学号 25400365(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围．[答案] (1)f (x )＝x 4(2)[－2,2][解析] (1)∵f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， ∴－m 2＋2m ＋3＞0.即m 2－2m －3＜0，∴－1＜m ＜3，又m ∈Z .∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴f(x)＝x4.(2)g′(x)＝x(x2＋3ax＋9)，显然x＝0不是方程x2＋3ax＋9＝0的根．为使g(x)仅在x＝0处有极值，必须有x2＋3ax＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a2－36≤0，解不等式，得a∈[－2,2]．这时，g(0)＝－b是唯一极值．∴a∈[－2,2]．。