7第七章《三角函数的基本概念》
三角函数基本概念
三角函数基本概念三角函数是数学中一个重要的概念，它们对于描述和解决与角度相关的问题非常有用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的定义和性质都与三角形的边长和角度有关。
首先，正弦函数（sine function）是三角函数中最基本的一个。
在直角三角形中，正弦函数的定义为一个角的对边与斜边的比值，通常记作sin(A)或者sinθ，其中A或θ表示角的大小。
正弦函数的取值范围在-1到1之间，当角度为0度时，正弦函数的值为0，当角度为90度时，正弦函数的值最大，为1。
我们可以利用正弦函数来计算三角形中的缺失边长，或者解决与周期性或波动性相关的问题。
其次，余弦函数（cosine function）也是非常重要的一个三角函数。
在直角三角形中，余弦函数的定义为一个角的邻边与斜边的比值，通常记作cos(A)或者cosθ。
余弦函数的取值范围也在-1到1之间，当角度为0度时，余弦函数的值最大，为1，当角度为90度时，余弦函数的值为0。
与正弦函数类似，余弦函数可以用来计算三角形中的缺失边长，或者解决与周期性或波动性相关的问题。
而且，正弦函数和余弦函数在许多数学和科学领域中都有广泛的应用，比如物理学、天文学等。
另外，正切函数（tangent function）是三角函数中的另一个重要概念。
在直角三角形中，正切函数的定义为一个角的对边与邻边的比值，通常记作tan(A)或者tanθ。
正切函数的取值范围是全体实数，没有上限和下限。
当角度为0度时，正切函数的值为0，当角度为45度时，正切函数的值最小，为1。
正切函数可以用来计算角度的大小，或者解决与斜线问题相关的题目。
此外，正弦函数、余弦函数和正切函数之间还存在一些重要的关系。
例如，正弦函数和余弦函数可以通过三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) =1 进行相互转化。
另外，正弦函数和余弦函数的图像都是周期函数，并且它们的周期都是2π。
正切函数的图像也是周期函数，但它的周期是π。
高考数学中的三角函数基本概念及相关性质
高考数学中的三角函数基本概念及相关性质在高中最后的阶段，作为一名优秀的高中生，我们需要掌握许多的知识点，并且针对高考要求，掌握更为深入和广博的知识，其中高考数学就是最重要的一门课程之一。
而三角函数作为数学中的重要组成部分之一，也是高考数学的难点之一，因此我们应该重点学习，加强自己的基本掌握能力。
一、三角函数的基本概念三角函数是指一组函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等，它们都是关于一个角度的函数。
而这个角度是通过弧度或者角度来衡量的，其中弧度也称为“自然单位制”，是一种衡量长度的单位。
在三角函数中，正弦函数和余弦函数通常是被重点关注的。
正弦函数是指一个角的正弦值，而余弦函数是指一个角的余弦值。
它们都是圆上一个角的三角比之一，可以用来计算角度。
其中正弦函数用sin表示，余弦函数用cos表示。
三角函数中的正切函数和余切函数则是对角的切线斜率的函数，能够反映两个角的相关性质。
同时，当一个角的弧度趋于零时，正切函数的值也趋于零，并且当一个角趋近于90度或者π/2的弧度时，正切函数的值变得非常大。
而余切函数则是正切函数的倒数，它们都是重要的三角函数之一。
二、三角函数的相关性质在掌握了三角函数的基本概念之后，我们就需要学习它们的相关性质，从而更好地应对高考。
下面是三角函数常见的一些相关性质：1.周期性对于三角函数的图像而言，它们具有周期性的特点。
比如说，sin(x)和cos(x)的周期都是2π，而tan(x)的周期则是π。
2.对称性三角函数的图像大多具有对称性。
sin(x)这条曲线在原点左右对称，而cos(x)的图像在y轴上对称。
3.函数值的范围正弦函数和余弦函数的函数值都是-1到1的，而tan(x)的函数值则可以取到任何实数值。
4.特殊角度的三角函数值sin,cos,tan函数在一些特殊的角度时，它们会取到一些特殊值，比如：- sin(0) = 0- cos(0) = 1- sin(90) = 1- cos(90) = 0- tan(0) = 05.和差公式在三角函数的相关性质中，和差公式也是十分重要的一个。
三角函数的基本概念和性质
常见的三角函数图像及其特 点
三角函数的平移变换
横向平移：左加右减 纵向平移：上加下减 平移变换的性质：周期性和对称性不变 平移变换的应用：简化函数表达式，求解函数值等
三角函数的伸缩变换
横向伸缩变换：通过改变x轴上的伸缩系数，改变三角函数的周期和相位
纵向伸缩变换：通过改变y轴上的伸缩系数，改变三角函数的振幅和偏移量
等。
在物理学中的应用
振动和波动：三角函数用于描述振动和波动现象，例如简谐振动和机械波。 交流电：三角函数用于描述交流电的电压和电流，以及相关电路的分析。 电磁波：三角函数用于描述电磁波的传播和辐射，例如电磁波的极化和偏振。 光学：三角函数用于描述光学现象，例如光的干涉和衍射。
在工程学中的应用
机械振动：三角函数用于描述简谐振动，如弹簧振荡器等 交流电：三角函数用于分析交流电的电压、电流和相位等特性 信号处理：在通信、雷达和声呐等领域，三角函数用于信号调制和解调 控制系统：在自动化和机器人技术中，三角函数用于控制系统的分析和设计
三角函数的单调性
正弦函数在区间(0,π/2)内单调递增， 在区间(π/2,π)内单调递减
余弦函数在区间(0,π)内单调递减， 在区间(0,π/2)和(π/2,3π/2)内单调 递增
正切函数在区间(π/2,3π/2)内单调 递增，在区间(0,π/2)和(π/2,π)内 单调递减
余切函数在区间(0,π/2)和 (π/2,π)内单调递减，在区间 (0,π/2)和(π/2,3π/2)内单调递 增
三角函数在积分 运算中的积分性 质的应用，如求 解某些特定函数 的定积分等。
三角函数在积分 运算中的一些特 殊情况，如当被 积函数为三角函 数时，需要注意 的特殊情况。
三角函数的图像和变换
三角函数的基本概念与公式整理
三角函数的基本概念与公式整理三角函数是数学中重要的概念，它们在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
本文将对三角函数的基本概念及其相关的公式进行整理和归纳。
一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，以sin表示，其定义域是所有实数集合，值域为[-1, 1]。
正弦函数的图像是一条连续的正弦曲线。
正弦函数的主要公式如下：1. 正弦函数的周期性：sin(x) = sin(x + 2πn)，其中n为整数。
2. 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)。
3. 正弦函数的和差角公式：- sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)- sin(x ± π/2) = ±cos(x)4. 正弦函数的倍角公式：- sin(2x) = 2sin(x)cos(x)- sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)- sin(4x) = 8sin^4(x) - 8sin^2(x) +1二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数也是三角函数中常见的一种，以cos表示，其定义域是所有实数集合，值域为[-1, 1]。
余弦函数的图像是一条连续的余弦曲线。
余弦函数的主要公式如下：1. 余弦函数的周期性：cos(x) = cos(x + 2πn)，其中n为整数。
2. 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)。
3. 余弦函数的和差角公式：- cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)- cos(x ± π/2) = ∓sin(x)4. 余弦函数的倍角公式：- cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)- cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x)- cos(4x) = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1三、正切函数（Tangent Function）正切函数是另一种常见的三角函数，以tan表示，其定义域为所有实数，但在某些角度上没有定义，值域为整个实数集合。
三角函数的基础知识
三角函数的基础知识1. 三角函数的概念三角函数是描述角度之间关系的一组函数，包括正弦、余弦、正切、余切等。
在数学和物理学中，三角函数是非常重要的基础概念，具有丰富的性质和广泛的应用。
1.1 正弦函数正弦函数是指在单位圆上，与横坐标的夹角对应的纵坐标值。
在直角三角形中，正弦函数可以表示为对边长度与斜边长度之比。
正弦函数的定义域是实数集合，值域是[-1, 1]。
图像为周期性曲线，在每个周期内递增或递减。
1.2 余弦函数余弦函数是指在单位圆上，与纵坐标的夹角对应的横坐标值。
在直角三角形中，余弦函数可以表示为邻边长度与斜边长度之比。
余弦函数的定义域也是实数集合，值域同样是[-1, 1]。
余弦函数图像也是周期性曲线，与正弦函数相位差为π/2。
1.3 正切函数和余切函数正切函数可以表示为正弦和余弦的比值，而余切函数则是余弦和正弦的比值。
它们在数学建模和物理问题中有广泛的应用，能够描述诸如振动、波动等现象。
2. 三角函数的性质2.1 周期性所有三角函数都具有周期性，即在一定范围内呈现重复的特点。
正弦、余弦、正切、余切等三角函数都是周期性函数，周期分别为2π、2π、π和π。
2.2 奇偶性正弦函数是奇函数，满足f(-x) = -f(x)；余弦函数是偶函数，满足f(-x) = f(x)；而正切和余切则不具备奇偶性。
2.3 单调性三角函数在其定义域内具有不同的单调性。
例如，正弦、余弦在每个周期内既递增又递减；而正切、余切则分别有其自身的单调性。
2.4 值域各种三角函数的值域均有限制范围，正弦、余弦的值域为[-1, 1]；而正切和余切由于分母不为零也有其自身的取值范围。
3. 三角函数在解析几何中的应用3.1 直角三角形中的应用三角函数最早起源于解决直角三角形中各边长和夹角之间的关系。
通过正弦定理、余弦定理等公式可以计算出未知变量，并且利用三角函数可以求解各种几何问题。
3.2 曲线运动中的应用在曲线运动问题中，例如谐振动、周期运动等方面，三角函数能够精确描述物体随时间变化的位置关系。
三角函数的基本概念知识点总结
三角函数的基本概念知识点总结在数学的广阔天地中，三角函数犹如一颗璀璨的明珠，闪耀着独特的光芒。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理、工程等诸多学科中发挥着重要作用。
下面，让我们一起深入探索三角函数的基本概念。
一、角的概念角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
按旋转方向的不同，角可分为正角、负角和零角。
正角是按照逆时针方向旋转所形成的角，负角则是按照顺时针方向旋转形成的，而零角就是射线没有旋转时的角。
为了更精确地度量角，我们引入了弧度制。
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度来度量角，使得角度的计算和表达更加简洁和统一。
二、三角函数的定义在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x,y)，它与原点的距离为 r（r ＝√（x²＋ y²) ，且 r ＞ 0 ），则角α的正弦、余弦、正切分别定义为：正弦（sinα）＝ y ／ r ；余弦（cosα）＝ x ／ r ；正切（tanα）＝ y ／ x （x ≠ 0 ）。
需要注意的是，当角α的终边在 y 轴上时，正切值不存在。
三、三角函数值在各象限的符号正弦函数在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；余弦函数在第一、四象限为正，在第二、三象限为负；正切函数在第一、三象限为正，在第二、四象限为负。
记忆这些符号规律可以通过“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀来帮助我们快速判断。
四、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1 。
这是一个非常重要的恒等式，它反映了同一个角的正弦和余弦之间的内在联系。
2、商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0 ）。
利用这些关系，我们可以在已知一个三角函数值的情况下，求出其他三角函数的值。
五、诱导公式诱导公式是指将任意角的三角函数值转化为锐角三角函数值的一组公式。
例如：sin( α ）＝sinα ，cos( α ）＝cosα ，sin(π α ）＝sinα ，cos(π α ）＝cosα 等等。
三角函数的基本概念及运用
三角函数的基本概念及运用三角函数是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
本文将介绍三角函数的基本概念以及其在实际问题中的运用。
一、基本概念1. 正弦函数正弦函数（sine function）是三角函数中最基础的一种函数。
在直角三角形中，正弦函数可以定义为对边与斜边的比值。
通常用sin表示，其值域为[-1, 1]。
2. 余弦函数余弦函数（cosine function）也是三角函数中常见的一种函数。
在直角三角形中，余弦函数可以定义为邻边与斜边的比值。
通常用cos表示，其值域也为[-1, 1]。
3. 正切函数正切函数（tangent function）可以定义为正弦函数与余弦函数的比值。
在直角三角形中，正切函数可以表示对边与邻边的比值。
通常用tan表示，其值域为实数集。
二、三角函数的运用1. 几何应用三角函数在几何中有广泛的应用。
例如，我们可以利用正弦函数求解三角形的边长或角度。
在已知一个角和两边的情况下，可以利用正弦定理或余弦定理求解三角形的其他边长或角度。
2. 物理应用三角函数在物理学中也有重要的应用。
例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数描述物体做简谐运动的位置和速度随时间的变化规律。
在光学中，三角函数可以用来描述光的干涉和衍射现象。
3. 工程应用工程中经常需要使用三角函数来解决实际问题。
例如，在建筑工程中，可以利用三角函数来计算建筑物的高度、角度等参数。
在电路设计中，三角函数可以用来描述交流电信号的振幅、频率等特性。
三、总结三角函数作为数学中的重要概念，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
通过对正弦函数、余弦函数和正切函数等基本概念的理解，我们可以利用它们解决各种实际问题。
掌握三角函数的基本概念及运用，有助于我们更好地理解和应用数学知识。
四、参考文献[参考文献1][参考文献2][参考文献3]注意：本文章中出现的参考文献仅为示例，并非真实存在的参考文献。
以上是对三角函数的基本概念及运用的介绍。
三角函数的基本概念
三角函数的基本概念三角函数是数学中一组重要的函数，它们在几何学、物理学和工程学等领域广泛应用。
本文将介绍三角函数的基本概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数，并探讨它们与三角形的关系。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的正弦值。
记为sinθ。
正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它是一个周期函数，周期为2π。
在三角形中，正弦函数可以描述角度与其对边长度之间的关系。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中另一个重要的函数。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的余弦值。
记为cosθ。
余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
它也是一个周期函数，周期为2π。
在三角形中，余弦函数可以描述角度与其邻边长度之间的关系。
三、正切函数正切函数是三角函数中另一个基本函数。
它的定义如下：在单位圆上，以原点为中心，取一点P(x, y)，其中P与单位圆的交点处的弧长与半径的比值定义为点P的正切值。
记为tanθ。
正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
它是一个周期函数，周期为π。
在三角形中，正切函数可以描述角度与其对边与邻边之间的关系。
四、三角函数的关系正弦函数、余弦函数和正切函数之间存在一些重要的关系：1. 正弦函数与余弦函数之间存在互补关系：sin(π/2 - θ) = cosθ，cos(π/2 - θ) = sinθ。
这意味着它们的函数图像关于y轴对称。
2. 正切函数可以通过正弦函数和余弦函数表示：tanθ = sinθ/cosθ。
3. 三角函数之间还存在其他重要的关系，如勾股定理中的正弦定理和余弦定理等。
五、应用领域三角函数广泛应用于几何学、物理学和工程学等领域。
以下是一些具体应用的例子：1. 几何学中，三角函数可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积等问题。
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【例7-5】 有一圆的半径为240cm，圆上一条弧长为4.8m， 问：该弧所对的圆心角是多少弧度？ 分析： 圆心角怎么计算？ l 480cm l r r 240cm 480 2(rad ) 240 【例7-6】 判断下列三角函数的正与负。 9 sin 405 0, cos(900 16) 0, tan( ) 0, 4 9 分析： 405 900 16 3 360 4 4 1 360 65 9 16 179 44 I 4 4 7 II IV 4
正
余
5、三角函数在各个象限的符号（正与负） y y x tan cos sin x r r x r r cot csc sec y y x y 1）如果 在第一象限，则： cos 0 sin 0 2）如果 在第二象限，则： cos 0 sin 0 3）如果 在第三象限，则： cos 0 sin 0 4）如果 在第四象限，则： cos 0 sin 0
1
cos
tan cot
60
0
1 2 3 2 3 3
60 ( 3 ) 3 2
90 ( 2 )
1
2 2
1 1
1 2
0
3
3 3
0
2
3
1
1
30
2
1
45
3
【例7-4】
(1)已知 3,问： 在第几象限？ =3.14 1.57 II 2 (2)已知 2,问： sin 、 cos 的正负如何？
22 0, cot 3 22 3 4 6 3 III
cot 【例7-7】 已知： 0, 问： 在第几象限？ sin cot 0, 说明： 分析： cot 与 sin 符号各异。 sin
如果： cot 0,
则： sin 0
II 或IV
17 (4) 与 终边相同的最小的正角是什么？ 6 17 17 12 5 2 6 6 6 6 17 17 24 7 4 6 6 6 6
【例7-1】关于角度与弧度的转换问题 (1) 8 480 度 (2) 3 108 度 3 5 (3) 2.4 137.52 度
如果： cot 0,
I 或II
则： sin 0
II III
I 或III
III 或IV
综上， II 或 III 象 限
Stop !
0
0
2 =360
2 1( rad )=360 360 1(rad )= 2 57.3 57.18
360 2 360 1 2 2 1 360 0.017453(rad )
3、角的概念的推广 角，不仅取值于360以内， 还可以取值于360以外。 y 1) 象限角 第二象限的角 第一象限的角
(2) 1320是第几象限的角？
1320 3 360 240 240 III，1320 III
(3) 90016是第几象限的角？
90016 1 360 54016 90016 2 360 18016 90016 3 360 1080 90016 180 16 179 1 16 179 44 II， 90016 II
(6) 2051 139 1200 (8)80 42 269 600
51 20 51 20 51 20 ( ) 20.85 60 139 20.85 180 1200 13 32.5 72 180 42 80 42 [80 ( ) ] [80 0.7 ] 80.7 60 269 80.7 180 600
57.3
(4) 6 343.8 度
57.3
360 1(rad )= 57.3 180 2 36 60 3 3 180 8 180 8 108 8 60 480 5 5 3 3
(5) 46 23 9013 (7)32.5 72 2 1 360 180 23 46 180 90
r
弧度制。
规定： 我们把 弧长l r 等于半径的弧所对的圆心角
r
O
l r
叫做：弧度 1
记作： 1 rad
这不是什 么单位。 这是表示 角的符号。
角度制与弧度制的换算： 圆周角 平角 直角 角度制 弧度制 360 180
2
90 2
60 3
45 4
30 6
y tan 0 o tan 0 tan 0 tan 0
r
M
y M
r
x
y
x
x o
x
符号图表：
y
sin sin cos tan
o cos
tan
x
6、常见的三角函数值
sin
0 (0)
( 30 ) 6
45 4 )
2 2
(
0
o
x 始边
第三象限的角 第四象限的角 2) 终边相同的角 角 是与角 终边相同。 （或： 0 360 ） 0 2 假设： 则： 2k （ k360）
【例7-1】 (1) 405 是第几象限的角？ 405 1 360 135 90 135 180 135 II， 405 II，
1.57 2 (3)已知的终边通过点P (3, 4), 求： sin cos tan 的值 y 由定义： sin cos tan x y r r x
4 3 3 19 5 5 4 20
sin 0 II cos 0
始边 A 规定： 逆时针旋转，形成正角； 顺时针旋转，形成负角； 不旋转，形成零角。
O
2、关于角的度量方法 曾经学习过角的一种度量方法 角度制. 规定： 一周角 360 (叫做：度) 1 60 (叫做：分) 非十进制数值。 1 60(叫做：秒) 计算上不太方便！ 为此，我们引进一种新的角的度量方法：
第七章 三角函数的基本概念
本章知识点：
1、角的概念； 2、角的度量； 3、角的推广； 4、三角函数的定义式。
一、角的概念 1、什么是角？ B 1）由射线OA、OB构成的几何图形， 叫做：角。 AOB, BOA, O, , , , 记作：
O
A
终边 A
, , , 2）由射线OA绕着顶点O旋转构成的 几何图形，叫做：角。
4、三角函数的坐标定义 在平面直角坐标系中，以原点为始点，作一射线， y 在终边上任取一点， M y r 坐标为：M ( x, y)， OM r x o x x y 弦 xian cos 【规定】 sin r r x y 切 cot tan y x r r 割 sec csc x y