中考数学题号复习：25题新定义题型

合集下载

专题2.4新定义的四种题型与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(解析版)

专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。

中考数学压轴题之新定义经典题型

中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。

的示意图。

(1)(1)当当O 的半径为1时。

时。

①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。

的横坐标的取值范围。

yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”．（1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；；（2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图．（1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．．若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；；（3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为；（2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。

中考数学专题复习

中考数学专题复习附答案1. 定义新运算“a∗b”：对于任意实数a，b，都有a∗b=(a+b)(a−b)−1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6．若x∗k=x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为( )A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2. 定义运算：若a m=b，则log a b=m(a>0)，例如23=8，则log28= 3．运用以上定义，计算：log5125−log381=()A.−1B.2C.1D.443. 定义a※b=a(b+1)，例如2※3=2×(3+1)=2×4=8．则(x−1)※x的结果为________．4. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b √a−b ，如：3⊕2=√3+2√3−2=√5，那么12⊕4=________．5. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为(0, 1)，(0, −1)，P是二次函数y=14x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y=−1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是________．（填序号）6. 定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：(1)若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为________；证明：(2)如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：(3)如图2，在对余四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60∘，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n，如：1※2=12×2−1×2−3×2=−6．(1)求(−2)※√3；(2)若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．8. 阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a, b}的意义为：当a<b时，min{a, b}= a；当a≥b时，min{a, b}=b，如：min{4, −2}=−2，min{5, 5}=5．根据上面的材料回答下列问题：(1)min{−1, 3}=________；(2)当min{2x−32,x+23}=x+23时，求x的取值范围．9. 阅读理解：材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca．问题解决：(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；(2)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0(a，b，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；(3)若A(m, y1)，B(m+1, y2)，C(m+3, y3)三个点均在反比例函数y=4x的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．10. 在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14÷5=2...4，14÷3=4...2，所以14是“差一数”；19÷5=3...4，但19÷3=6...1，所以19不是“差一数”．(1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；(2)求大于300且小于400的所有“差一数”．参考答案与试题解析中考专题复习（新型定义题型）一、选择题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）1.【答案】C2.【答案】A二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）3.【答案】x2−14.【答案】√25.【答案】①④三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）6.【答案】90∘或270∘(2)证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，∴∠BAM+∠BCN=90∘，即∠BAD+∠BCD=90∘，∴四边形ABCD是对余四边形.(3)解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2=BD2，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC=60∘，∴∠ADC=30∘，∵AB=BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60∘，得到△BAF，连接FD，如图3所示：∴△BCD≅△BAF，∠FBD=60∘，∴BF=BD，AF=CD，∠BDC=∠BFA，∴△BFD是等边三角形，∴BF=BD=DF，∵∠ADC=30∘，∴∠ADB+∠BDC=30∘，∴∠BFA+∠ADB=30∘，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF=180∘，∴60∘+30∘+∠AFD+∠ADF=180∘，∴∠AFD+∠ADF=90∘，∴∠FAD=90∘，∴AD2+AF2=DF2，∴AD2+CD2=BD2．7.【答案】解：(1)(−2)※√3=(−2)2×√3−(−2)×√3−3√3=4√3+2√3−3√3=3√3．(2)3※m≥−6，则9m−3m−3m≥−6，解得：m≥−2，将解集表示在数轴上如下：8.【答案】−1(2)由题意得：2x−32≥x+23，3(2x−3)≥2(x+2)，6x−9≥2x+4，x ≥134，∴ x 的取值范围为x ≥134．9.【答案】如12，13，15 (2)证明： x 1,x 2是关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a,b,c 均不为0）的两根，∴ x 1+x 2=−b a ，x 1⋅x 2=c a ，1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−b c ， ∵ x 3是关于x 的方程bx +c =0(b,c 均不为0）的解，∴ x 3=−c b ，∴1x 3=−b c ， ∴ 1x 1+1x 2=1x 3，∴ x 1,x 2,x 3可以构成“和谐三数组”.(3)A (m,y 1)，B (m +1,y 2)， C (m +3,y 3)三个点均在反比例函数y =4x 的图象上， y 1=4m ，y 2=4m+1，y 3=4m+3， ∴ 1y 1=m 4，1y 2=m+14，1y 3=m+34，∵ A (m,y 1)，B (m +1,y 2)， C (m +3,y 3)三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”， ∴ ①1y 1+1y 2=1y 3， ∴ m 4+m+14=m+34， ∴ m =2. ②1y 2+1y 3=1y 1， m+14+m+34=m 4， m =−4.③1y 3+1y 1=1y 2， ∴ m+34+m 4=m+14，m =−2，即满足条件的实数m 的值为2或−4或−2.10.解：(1)49÷5=9...4，但49÷3=16...1，所以49不是“差一数”；74÷5=14...4，74÷3=24...2，所以74是“差一数”．(2)大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，364，369，374，379，384，389，394，399，其中除以3余数为2的有314，329，344，359，374，389．故大于300且小于400的所有“差一数”有314，329，344，359，374，389．。

中考数学复习专项强化练习：新定义型问题(人教版)

中考数学复习专项强化练习：新定义型问题（人教版）一、选择题（本大题共10道小题）1. (2022·天津·一模)定义运算：a@b=a(1-b)。

若a 、b是方程()200x x m -=<的两根,则b@b-a@a 的值为( )。

A. 0B. 1C. 2D. 与m 有关 2. (2021湖南怀化)定义a ⨂b ＝2a+b 1,则方程3⨂x ＝4⨂2的解为( )。

A.x ＝51B.x ＝52C.x ＝52D.x ＝543. (2022·河南·三模)定义一种新运算“a △b”,对于任意实数a,b,a △b=a 2+2ab-b 2-1,如3△4=32+2×3×4-42-1,若x △k=0(k 为实数)是关于x 的方程,则它的根的情况为( )。

A.只有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根4. (2022·咸阳)定义运算“*”,规定x*y=ax 2+by(其中a,b 为常数)，若已知1*2=5，2*1=6,则2*3的值为( )。

A.10B.9C.8D.75. (2021广东深圳模拟)定义新运算:a ※b=a 1(a )a (a b b )b0b -≤⎧⎪⎨->≠⎪⎩且,则函数y=3※x 的图象大致是( )。

A. B. C. D.6. (2022七下·通州)在实数范围内规定新运算“△”,其规则是：a △b= -2a+b 。

已知不等式x △k ≤1的解集在数轴上如图表示,则k 的值是( )。

A. -1B. 0C. 1D. 27. (2022八下·南沙)定义新运算“※”的运算法则为：当a ＞0,b ＞0时,a ※b=2b a +.例如:6※4=14426=⨯+那么2×(4※6)的值是( )。

A. 8B. 48C. 10D. 1428. (2021·怀化中考)定义a ⊕b ＝2a ＋1b,则方程3⊕x ＝4⊕2的解为( )。

冲刺中考数学题型全揭秘创新题型新定义计算+阅读理解

冲刺中考数学题型全揭秘创新题型新定义计算+阅读理解
冲刺2022年中考数学题型全揭秘——创新题型新定义计算+阅读理解
根据其类型,采用不同的思路.一般地:
(1)定义概念、法则型阅读理解题以纯文字、符号或图形的形式定义一种全新的概念、公式或法则等.解答时要在阅读理解的基础上解答问题.解答这类问题时,要善于挖掘定义的内涵和本质,要能够用旧知识对新定义进行合理解释,进而将陌生的定义转化为熟悉的旧知识去理解和解答。

(2)解题示范、新知模仿型阅读理解题以范例的形式给出,并在求解的过程中暗示解决问题的思路技巧,再以思路技巧为载体设置类似的问题.解决这类问题的常用方法是类比、模仿和转化;正误辨析型阅读理解题抓住学生学习中的薄弱环节和思维漏洞,“刻意”地制造迷惑,使得解答过程似是而非.解答时主要是通过对数学公式、法则、方法和数学思想的准确掌握,运用其进行是非辨别.
(3)迁移探究与拓展应用型,即阅读新问题,并运用新知识探究问题或解决问题,解答这类题的关键是认真阅读其内容,理解其实质,把握其方法、规律,然后加以解决.。

中考数学复习考点题型专题讲解25 坐标与新定义问题大题提升训练

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解（重难点培优30题）专题25 坐标与新定义问题大题提升训练坐标与新定义问题大题提升训练（小题））解答题（（共30小题一．解答题1．（2023秋•埇桥区期中）已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点ܣ(݉−1，݊2)为“智慧点”．（1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由．（2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）根据P点坐标，代入(݉−1，݊2)中，求出m和n的值，然后代入2m，6+n 检验等号是否成立即可；（2）直接利用“智慧点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）点P不是“智慧点”，由题意得݉−1=4，݊2=10，∴m＝5，n＝20，∴2m＝2×5＝10，6+n＝6+20＝26，∴2m≠6+n，∴点P（4，10）不是“智慧点”；（2）点M在第四象限，理由∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”，∴݉−1=ܽ，݊2=1−2ܽ，∴m＝a+1，n＝2﹣4a，∵2n＝6+n，∴2（a+1）＝6+2﹣4a，解得a＝1，∴点M（1，﹣1），∴点M在第四象限．2．（2023春•镇巴县期末）已知a，b都是实数，设点P（a，b），若满足3a＝2b+5，则称点P为“新奇点”．（1）判断点A（3，2）是否为“新奇点”，并说明理由；（2）若点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．【分析】（1）直接利用“新奇点”的定义得出a，b的值，进而得出答案；（2）直接利用“新奇点”的定义得出m的值，进而得出答案．【解答】解（1）当A（3，2）时，3×3＝9，2×2+5＝4+5＝9，所以3×3＝2×2+5，所以A（3，2）是“新奇点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“新奇点”，∴3（m﹣1）＝2（3m+2）+5，解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．3．（2023秋•漳州期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）求点A（﹣5，2）的“长距”；（2）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）即可“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；（2）由题意可知，|k+3|＝4或4k﹣3＝±（k+3），解得k＝1或k＝﹣7（不合题意，舍去）或k＝2或k＝0（不合题意，舍去），∴k＝1或k＝2．4．（2023秋•渠县校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay）（其中a为常数），则称点Q是点P的“a级关联点”、例如，点P（1，4）的“3级关联点”为点Q（3×1+4，1+3×4），即点Q（7，13）．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；在平面直角坐标系中，已知点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N，且点N位于x 轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）根据关联点的定义和点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”是点N位于x轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（﹣2，6）的“2级关联点”是点B，故点B的坐标为（2×（﹣2）+6，﹣2+2×6）∴B的坐标（2，10）；（2）∵点M（m，2m﹣1）的“3级关联点”为N（3m+2m﹣1，m+3（2m﹣1）），当N位于x轴上时，m+3（2m﹣1）＝0，解得m=37，∴3m+2m﹣1=87，∴点N的坐标为（଼଻，0）．5．（2023秋•天长市月考）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义若点P 到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．【解答】解（1）由题意，可分两种情况①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．6．（2023秋•蚌山区月考）在平面直角坐标系中，对于点A（x，y），若点B的坐标为（ax+y，x+ay），则称点B是点A的“a级开心点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级开心点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则点P的“3级开心点”的坐标为（2，14）；（2）若点P的“2级开心点”是点Q（4，8），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级开心点”P'位于坐标轴上，求点P'的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（2）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论．（3）根据关联点的定义和点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”P ′位于坐标轴上，即可求出P ′的坐标．【解答】解（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P 的坐标为（﹣1，5），则它的“3级开心点”的坐标为（2，14）．故答案为（2，14）；（2）设点P 的坐标为（x ，y ）的“2级开心点”是点Q （4，8）， ∴൜2ݔ+ݕ=4ݔ+2ݕ=8 解得൜ݔ=0ݕ=4，∴点P 的坐标为（0，4）；（3）∵点P （m ﹣1，2m ）的“﹣3级开心点”为P ′（﹣3（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣3）×2m ），①P ′位于x 轴上， ∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝0，解得 m =−15，∴﹣3（m ﹣1）+2m =165， ∴P ′（ଵ଺ହ，0）．②P ′位于y 轴上， ∴﹣3（m ﹣1）+2m ＝0，解得 m ＝3∴m ﹣1+（﹣3）×2m ＝﹣16， ∴P ′（0，﹣16）．综上所述，点P ′的坐标为（ଵ଺ହ，0）或（0，﹣16）．7．（2023春•芜湖期中）在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ），若点B 的坐标为（x +ay ，ax+y），则称点B是点A的a级亲密点．例如点A（﹣2，6）的ଵଶ级亲密点为B(−2+12×6，12×(−2)+6)，即点B的坐标为（1，5）．（1）已知点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D，则点D的坐标为（14，2）．（2）已知点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点M1位于y轴上，求点M1的坐标．（3）若点E在x轴上，点E不与原点重合，点E的a级亲密点为点F，且EF的长度为OE长度的√3倍，求a的值．【分析】（1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案；（2）根据新定义进行计算可得点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣1×（m﹣1）+2m]，根据y轴上点的坐标特征进行求解即可得出答案；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据平面直角坐标系中距离的计算方法可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax|=√3|x|，计算即可得出答案．【解答】解（1）根据题意可得，点C（﹣1，5）的3级亲密点是点D（﹣1+3×5，﹣1×3+5），即点D的坐标为（14，2）；故答案为（14，2）；（2）根据题意可得，点M（m﹣1，2m）的﹣3级亲密点是点M1[m﹣1+（﹣3）×2m，﹣3×（m﹣1）+2m]，即点M1的坐标为（﹣5m﹣1，﹣m+3），∵M1位于y轴上，∴﹣5m﹣1＝0，∴m=−15，∴M1（0，ଵ଺ହ）；（3）设E（x，0），则点E的a级亲密点为点F（x，ax），根据题意可得，OE＝|x|，EF＝|ax|，则|ax |=√3|x |，即|a |=√3，解得 a =±√3．8．（2023秋•舒城县校级月考）点P 坐标为（x ，2x ﹣4），点P 到x 轴、y 轴的距离分别为d 1，d 2．（1）当点P 在坐标轴上时，求d 1+d 2的值；（2）当d 1+d 2＝3时，求点P 的坐标；（3）点P 不可能在哪个象限内？【分析】（1）分点P 在x 轴和y 轴两种情况讨论即可；（2）将d 1+d 2用含x 的式子表示出来，根据x 的范围化简即可；（3）根据x 和2x ﹣4的范围即可得出答案．【解答】解（1）若点P 在x 轴上，则x ＝0，2x ﹣4＝﹣4， ∴点P 的坐标为（0，﹣4），此时d 1+d 2＝4，若点P 在y 轴上，则2x ﹣4＝0，得x ＝2， ∴点P 的坐标为（2，0），此时d 1+d 2＝2．（2）若x ≤0，则d 1+d 2＝﹣x ﹣2x +4＝3，解得x =13（舍），若0＜x ＜2，则d 1+d 2＝x ﹣2x +4＝3，解得x ＝1， ∴P （1，﹣2），若x ≥2，则d 1+d 2＝x +2x ﹣4＝3，解得x =73， ∴P （଻ଷ，ଶଷ）；（3）∵当x ＜0时，2x ﹣4＜0，∴点P不可能在第二象限．9．（2023春•新余期末）已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，就称点P（m﹣1，௡ାଶଶ）为“爱心点”．（1）判断点A（5，3），B（4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由；（2）若点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．【分析】（1）直接利用“爱心点”的定义得出m，n的值，进而得出答案；（2）直接利用“爱心点”的定义得出a的值进而得出答案．【解答】解（1）当A（5，3）时，m﹣1＝5，௡ାଶଶ=3，解得m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，所以A（5，3）是“爱心点”；当B（4，8）时，m﹣1＝4，௡ାଶଶ=8，解得m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，所以B点不是“爱心点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（a，2a﹣1）是“爱心点”，∴m﹣1＝a，௡ାଶଶ=2a﹣1，∴m＝a+1，n＝4a﹣4，代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4，∴a＝﹣1 2a﹣1＝﹣3，∴M（﹣1，﹣3）故点M在第三象限．10．（2023春•商南县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离中的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（2，3）的“长距”等于3，点B（﹣7，5）的“长距”等于7．（2）若C（﹣1，2k+3），D（6，k﹣2）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（2，3）的“长距”为|3|＝3；点B（﹣7，5）的“长距”为|﹣7|＝7；故答案为3，7．（2）由题意可知，|2k+3|＝6或2k+3＝±（k﹣2），解得k=32或k＝﹣4.5（不合题意，舍去）或k＝﹣5或k=−13（不合题意，舍去），∴k=32或k＝﹣5．11．（2023春•思明区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义点A到x轴、y 轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．（1）点A（﹣5，2）的“长距”为5；（2）点B（﹣2，﹣2m+1）的“长距”为3，求m的值；（3）若C（﹣1，k+3），D（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）根据“长距”的定义解答即可；（3）由等距点的定义求出不同情况下的k值即可．【解答】解（1）点A（﹣5，2）的“长距”为|﹣5|＝5；故答案为5．（2）由题意可知|﹣2m+1|＝3，解得m ＝﹣1或2．（3）由题意可知，|k +3|＝4或4k ﹣3＝±（k +3），解得k ＝1或k ＝﹣7（不合题意，舍去）或k ＝2或k ＝0（不合题意，舍去）， ∴k ＝1或k ＝2．12．（2023•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”例如，点P （1，4）的“3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4），即Q （7，13）．（1）已知点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，求点B 的坐标；（2）已知点P 的5级关联点为（9，﹣3），求点P 坐标；（3）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，求点N 的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P 的坐标为（a ，b ），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”N 位于坐标轴上，即可求出N 的坐标．【解答】解（1）∵点A （2，﹣6）的“ଵଶ级关联点”是点B ，故点B 的坐标为（ଵଶ×2−6，2−12×6） ∴B 的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P 的坐标为（a ，b ）， ∵点P 的5级关联点为（9，﹣3）， ∴ቄ5ܽ+ܾ=9ܽ+5ܾ=−3，解得ቄܽ=2ܾ=−1，∵P （2，﹣1）；（3）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣4级关联点”为M ′（﹣4（m ﹣1）+2m ，m ﹣1+（﹣4）×2m ），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m=−17，∴﹣4（m﹣1）+2m=307，∴N（ଷ଴଻，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（ଷ଴଻，0）．13．（2023春•上杭县期中）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义若点P到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于点Q到x轴、y轴的距离之差的绝对值，则称P，Q两点互为“等差点”．例如，点P（1，2）与点Q（﹣2，3）到x轴、y轴的距离之差的绝对值都等于1，它们互为“等差点”．（1）已知点A的坐标为（3，﹣6），在点B（﹣4，1）．C（﹣3，7）．D（2，﹣5）中，与点A互为等差点的是B与D．（2）若点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，求点N的坐标．【分析】（1）利用“等差点”的定义，找出到x轴、y轴的距离之差（2）利用“等差点”的定义列方程解答即可．【解答】解（1）∵点A（3，﹣6）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点B（﹣4，1）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，点C（﹣3，7）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于4，点D（2，﹣5）到x轴、y轴的距离之差的绝对值等于3，∴与点A互为等差点的是B与D；故答案为B与D；（2）∵点M（﹣2，4）与点N（1，n+1）互为“等差点”，∴n +1﹣1＝|4|﹣|﹣2|或4解得n ＝2或n ＝﹣4，∴点N 的坐标为（1，3）感14．（2023秋•海淀区校级期中b ），P 2（c ，b ），P 3（c 的“完美间距″．例如如图是1．（1）点Q 1（4，1），Q 2（2）已知点O （0，0①若点O ，A ，B 的“完美间②点O ，A ，B 的“完美间距③已知点C （0，4），D （m ，0），P （m ，n ）的“【分析】（1）分别计算出（2）①分别计算出OA 以“最佳间距”为OA 即可求解y 的值；②由①可得，“最佳间距”﹣|﹣2|＝﹣n ﹣1﹣1，）或（1，﹣3）．本号资料全部来源于微信公众号级期中）给出如下定义在平面直角坐标系xOy 中，，d ），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点如图，点P 1（﹣1，2），P 2（1，2），P 3（1，3）（5，1），Q 3（5，5）的“完美间距”是 1 ），A （4，0），B （4，y ）．完美间距”是2，则y 的值为 ±2 ；美间距”的最大值为 4 ；（﹣4，0），点P （m ，n ）为线段CD 上一动点，“完美间距”取最大值时，求此时点P 的坐标．算出Q 1Q 2，Q 2Q 3，Q 1Q 3的长度，比较得出最小值即可，AB 的长度，由于斜边大于直角边，故OB ＞或者AB 的长度，由于“最佳间距”为1，而”为OA 或AB 的长度，当OA ≤AB 时，“最佳间距公众号数学第六，已知点P 1（a ，称为点P 1，P 2，P 3）的“完美间距”；，当O （0，0），E ．值即可； OA ，OB ＞AB ，所OA ＝4，故OB ＝2，佳间距”为OA ＝4，当OA ＞AB 时，“最佳间距③同①，当点O （0，0先求出直线CD 的解析式≥PE 和OE ＜PE 时，求出各的最大值，进一步求解出【解答】解（1）如图，∵Q 1（4，1），Q 2（5，∴Q 1Q 2＝1，Q 2Q 3＝4，在Rt △Q 1Q 2Q 3中，Q 1Q ∵1＜4＜√17， “最佳距离”为1；故答案为 1；（2）①如图∵O （0，0），A （4，0∴OA ＝4，AB ＝|y |，间距”为AB ＜4，比较两个“最大间距”，即可解决），E （m ，0），P （m ，n ）的“最佳间距”为OE 析式，用m 表示出线段OE 和线段PE 的长度，分两类求出各自条件下的“最佳间距”，比较m 的范围，解出P 点坐标．，在给出图形中标出点Q 1，Q 2，Q 3，1），Q 3（5，5），3=√17，），B （4，y ），解决；或者PE 的长度，分两类讨论，当OE 确定“最佳间距”在直角△ABO 中，OB ＞又∵点O ，A ，B 的“最佳间且4＞2， ∴|y |＝2， ∴y ＝±2，故答案为 ±2；②由①可得，OB ＞OA ∴“最佳间距”的值为∵OA ＝4，AB ＝|y |，当AB ≥OA 时，“最佳间距当AB ＜OA 时，“最佳间距∴点O ，A ，B 的“最佳间距故答案为 4；③设直线CD 为y ＝kx +4，﹣4k +4＝0， ∴k ＝1，∴直线CD 的解析式为 ∵E （m ，0），P （m ，n ，∴PE ∥y 轴，∴OE ＝﹣m ，PE ＝n ＝m Ⅰ、当﹣m ≥m +4时，即OA ，OB ＞AB ，最佳间距”是2，，OB ＞AB ，OA 或者是AB 的长，间距”为4，间距”为|y |＜4，佳间距”的最大值为4，，代入点D 得，如图，y ＝x +4，），且P 是线段CD 上的一个动点， +4，即OE ≥PE 时，m ≤﹣2，“最佳间距”为m +4，此时此时m +4≤2，Ⅱ、当﹣m ＜m +4时，即∴点O （0，0），E （m ∴m ＝﹣2， ∴n ＝m +4＝2， ∴P （﹣2，2）．15．（2023春•泗水县期末）对于y ）的横坐标与纵坐标的绝对例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解（1）[A ]＝|所以点A ，点B 的折线距离（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣116．（2023春•思明区校级期中即OE ＜PE 时，﹣2＜m ＜0，“最佳间距“为﹣m ，，0），P （m ，n ）的“最佳间距”取到最大值时，对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，﹣2√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|﹣2√2|＝3√2；线距离分别为7、3√2；的上方，其横坐标均为整数，且[M ]＝2，＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．级期中）在平面直角坐标系中，对于点P （x ，y ），若点，此时﹣m ＜2，，m ＝﹣2，下定义把点P （x ，，即[P ]＝|x |+|y |，．直接写出点M 的坐若点Q 的坐标为（ax +y ，x +ay ），其中a 为常数，则称点Q 是点P 的“a 级关联点”，例如，点P （1，4）的3级关联点”为Q （3×1+4，1+3×4）即Q （7，13），若点B 的“2级关联点”是B （3，3）．（1）求点B 的坐标；（2）已知点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 位于y 轴上，求N 的坐标．【分析】（1）由点B 的“2级关联点”是B '（3，3）得出൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解之求得x 、y 的值即可得；（2）由点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点M ′在y 轴上知﹣m +3＝0，据此求得m 的值，再进一步求解可得．【解答】解 ∵点B 的“2级关联点”是B '（3，3）， ∴൜2ݔ+ݕ=3ݔ+2ݕ=3，解得 ൜ݔ=1ݕ=1，则点B 的坐标为（1，1）；（2）∵点M （m ﹣1，2m ）的“﹣3级关联点”N 的坐标为（﹣m +3，﹣5m ﹣1），且点N 在y 轴上， ∴﹣m +3＝0，解得m ＝3，则﹣5m ﹣1＝﹣16， ∴点N 坐标为（0，﹣16）．17．（2023春•罗山县期末）阅读理解，解答下列问题在平面直角坐标系中，对于点A （x ，y ）若点B 的坐标为（kx +y ，x ﹣ky ），则称点B 为A 的“k 级牵挂点”，如点A （2，5）的“2级牵挂点”为B （2×2+5，2﹣2×5），即B （9，5）．（1）已知点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1，求点P 1的坐标，并写出点P 1到x 轴的距离；（2）已知点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），求Q 点的坐标及所在象限．【分析】（1）根据“k 级牵挂点”的定义判定结论；（2）设Q （x ，y ），根据点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3）可得关于x 、y 的二元一次方程组，解方程组求出x 、y 的值即可．【解答】解（1）∵点P （﹣5，1）的“﹣3级牵挂点”为P 1， ∴﹣5×（﹣3）+1＝16，﹣5﹣（﹣3）×1＝﹣2，即P 1（16，﹣2），点P 1到x 轴的距离为2；（2）∵点Q 的“4级牵挂点”为Q 1（5，﹣3），设Q （x ，y ）．则有൜4ݔ+ݕ=5ݔ−4ݕ=−3，解得൜ݔ=1ݕ=1，∴Q （1，1），点Q 在第一象限．18．（2023秋•东城区校级期中）对有序数对（m ，n ）定义“f 运算” f （m ，n ）＝（ଵଶm +a ，ଵଶn +b ），其中a ，b 为常数，f 运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点A （x ，y ）规定“F 变换”；点A （x ，y ）在F 的变换下的对应点即为坐标是f （x ，y ）的点A '．（1）当a ＝0，b ＝0时，f （﹣2，4）＝（﹣1，2）．（2）若点P （2，﹣2）在F 变换下的对应点是它本身，求ab 的值．【分析】（1）根据新定义运算法则解得；（2）根据新定义运算法则得到关于a 、b 的方程，通过解方程求得它们的值即可．【解答】解（1）依题意得 f （﹣2，4）＝（ଵଶ×（﹣2）+0，ଵଶ×4﹣0）＝（﹣1，2）．故答案是（﹣1，2）；（2）依题意得 f （2所以ଵଶ×2+a ＝2，ଵଶ×（﹣所以a ＝1，b ＝﹣1． ∴ab ＝﹣1．19．（2023春•海门市期末）﹣x 1＝y 2﹣y 1≠0，则称点因为2﹣（﹣1）＝6﹣3（1）若点A 的坐标是（点A 的“对角点”为点（2）若点A 的坐标是（﹣（3）若点A 的坐标是（求m ，n 的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解（1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时，﹣2）＝（ଵଶ×2+a ，ଵଶ×（﹣2）﹣b ）＝（2，﹣2）．（﹣2）+b ＝﹣2，）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B 称点A 与点B 互为“对角点”，例如点A （﹣1，3，≠0，所以点A 与点B 互为“对角点”．4，﹣2），则在点B 1（2，0），B 2（﹣1，﹣7），B 2（﹣1，﹣7），B 3（0，﹣6）；（﹣2，4）的“对角点”B 在坐标轴上，求点B 的坐（3，﹣1）与点B （m ，n ）互为“对角点”，且点懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”；），B 3（0，﹣6）；上时，）．（x 2，y 2），若x 2），点B （2，6），B 3（0，﹣6）中，的坐标；且点B 在第四象限，的取值范围即可．设B （t ，0），由题意得t ﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t ＝﹣6， ∴B （﹣6，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣（﹣2）＝b ﹣4，解得b ＝6， ∴B （0，6）．综上所述 A 的“对角点”点B 的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．（3）由题意得m ﹣3＝n ﹣（﹣1）， ∴m ＝n +4． ∵点B 在第四象限， ∴ቊ݉＞0݊＜0， ∴ቊ݊+4＞0݊＜0，解得﹣4＜n ＜0，此时0＜n +4＜4， ∴0＜m ＜4．由定义可知 m ≠3，n ≠﹣1，∴0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．故答案为 0＜m ＜4且m ≠3，﹣4＜n ＜0且n ≠﹣1．20．（2023•朝阳区校级开学）我们规定在平面直角坐标系xOy 中，任意不重合的两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．例如图1中，点M （﹣2，3）与点N （1，﹣1）之间的“折线距离”为d （M ，N ）＝|﹣2﹣1|+|3﹣（﹣1）|＝3+4＝7．根据上述知识，解决下面问（1）已知点P （3，﹣4，与点P 之间的“折线距离（2）如图2，已知点P 的值；（3）如图2，已知点P 写出t 的取值范围．【分析】（1）分别求出（2）通过d （P ，Q ）＝（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 【解答】解（1）由题意得d （P ，B ）＝|3﹣（﹣1d （P ，C ）＝|3﹣（﹣2d （P ，D ）＝|3﹣0|+|﹣4故答案为 A ，B ，D ．（2）d （P ，Q ）＝|3﹣t 解得t ＝﹣1或t ＝7．（3）d （P ，Q ）＝|3﹣t 化简得d （P ，Q ）＝|3当﹣5≤t ≤3时，|3﹣t下面问题），在点A （5，2），B （﹣1，0），C （﹣2，1距离”为8的点是A ，B ，D ；（3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，2），且d （P （3，﹣4），若点Q 的坐标为（t ，t +1），且d （PA ，B ，C ，D 与点P 之间的“折线距离”求解．|3﹣t |+|﹣4﹣（t +1）|＝8求解．|+|﹣4﹣（t +1）|＝8，分类讨论t 的取值范围去绝对题意得d （P ，A ）＝|3﹣5|+|﹣4﹣2|＝8，）|+|﹣4﹣0|＝8，）|+|﹣4﹣1|＝10， ﹣1|＝8，|+|﹣4﹣2|＝10， |+|﹣4﹣（t +1）|， ﹣t |+|5+t |，|+|5+t |＝3﹣t +5+t ＝8，满足题意．），D （0，1）中，，Q ）＝10，求t ，Q ）＝8，直接．去绝对值符号求解．当t ＜﹣5时，|3﹣t |+|5+t 当t ＞3时，|3﹣t |+|5+t |∴﹣5≤t ≤3．21．（2023春•丰台区期末）y 2），定义k |x 1﹣x 2|+（1M （1，3），N （﹣2，4）2）．（1）若点B （0，4），求点（2）若点B 在x 轴上，且点（3）若点B （a ，b ），且点【分析】（1）根据“k 阶距（2）设出点B 的坐标，点B 的坐标，注意x轴上的|＝3﹣t ﹣5﹣t ＝﹣2﹣2t ，不满足题意．＝t ﹣3+5+t ＝2+2t ，不满足题意．）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点M （﹣k ）|y 1﹣y 2|为点M 和点N 的“k 阶距离”，其中0）的ଵହ阶距离”为ଵହ|1െሺെ2ሻ|൅ସହ|3െ4|ൌ଻ହ．求点A 和点B 的“ଵସ阶距离”；且点A 和点B 的“ଵଷ阶距离”为4，求点B 的坐标且点A 和点B 的“ଵଶ阶距离”为1，直接写出a +阶距离”的定义计算点A 与点B 之间的“ଵସ阶距离，再根据“ଵଷ阶距离”的定义列出方程，求出字母的轴上的点的纵坐标为0．x 1，y 1），N （x 2，≤k ≤1．例如点．已知点A （﹣1，的坐标；b 的取值范围．距离”．字母的值，从而确定（3）根据“ଵଶ阶距离”的定义列出关于字母a 和b 的式子，当a 和b 在不同的取值范围内将含有a 和b 的式子中的绝对值去掉，从而求得a +b 的取值范围．【解答】解（1）由题知，点A （﹣1，2）和点B （0，4）的“ଵସ阶距离”为ଵସ|−1−0|+（1−14）|2﹣4|=14+64=74．（2）∵点B 在x 轴上，∴设点B 的横坐标为m ，则点B 的坐标为（m ，0）， ∵点A （﹣1，2）和点B （m ，0）的“ଵଷ阶距离”为4， ∴ଵଷ|−1−݉|+(1−ଵଷ)|2−0|=4，ଵଷ|−1−݉|=଼ଷ，|﹣1﹣m |＝8，∴﹣1﹣m ＝8或﹣1﹣m ＝﹣8， ∴m ＝﹣9或7，∴点B 的坐标为（﹣9，0）或（7，0）．（3）∵点A （﹣1，2）和点B （a ，b ）的“ଵଶ阶距离”为1， ∴.ଵଶ|−1−ܽ|+(1−ଵଶ)|2−ܾ|=1，|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝2，①当a ≤﹣1，且b ≤2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +2﹣b ，由此得出a +b ＝﹣1， ②当a ≤﹣1，且b ＞2时，得|﹣1﹣a |+|2﹣b |＝﹣1﹣a +b ﹣2，由此得出b ＝5+a ，则a +b ＝2a +5， ∵b ＞2，即5+a ＞2， ∴a ＞﹣3∵a≤﹣1，∴﹣3＜a≤﹣1∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，③当a＞﹣1，且b＜2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，则a+b＝2b﹣1，∵a＞﹣1，即b﹣1＞﹣1，∴b＞0，∵b＜2，∴0＜b＜2，∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，④当a＞﹣1，且b≥2时，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，综上所得，﹣1≤a+b≤3．22．（2023春•福州期末）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义；a＝2x﹣y，b＝x+y，将点M（a，b）与N（b，a）称为点P的一对“关联点”．例如P（2，3）的一对“关联点”是点（1，5）与（5，1）．（1）点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．（2）点A（x，8）的一对“关联点”重合，求x的值．（3）点B一个“关联点”的坐标是（﹣1，7），求点B的坐标．【分析】（1）根据“关联点”定义求解；（2）根据“关联点”的定义列方程求解；（3）根据“关联点”的定义列方程组求解，注意分类讨论，不要漏解．【解答】解（1）∵2×4﹣3＝5，4+3＝7，∴点Q（4，3）的一对“关联点”是点（5，7）与（7，5）．故答案为（5，7）与（7，5）．（2）由题意得 2x ﹣8＝x +8，解得 x ＝16．（3）设B （x ，y ），∴൜2ݔ−ݕ=−1ݔ+ݕ=7或൜2ݔ−ݕ=7ݔ+ݕ=−1， ∴൜ݔ=2ݕ=5或൜ݔ=2ݕ=−3， ∴B （2，5）或B （2，﹣3）．23．（2023春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a ，b ），规定三种变换如下①f （a ，b ）＝（﹣a ，b ）．如 f （7，3）＝（﹣7，3）； ②g （a ，b ）＝（b ，a ）．如 g （7，3）＝（3，7）； ③h （a ，b ）＝（﹣a ，﹣b ）．如 h （7，3）＝（﹣7，﹣3）；例如 f （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）＝（3，2）规定坐标的部分规则与运算如下①若a ＝b ，且c ＝d ，则（a ，c ）＝（b ，d ），反之若（a ，c ）＝（b ，d ），则a ＝b ，且c ＝d ．②（a ，c ）+（b ，d ）＝（a +b ，c +d ）；（a ，c ）﹣（b ，d ）＝（a ﹣b ，c ﹣d ）．例如 f （g （2，﹣3））+h （g （2，﹣3））＝f （﹣3，2）+h （﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝（6，0）．请回答下列问题（1）化简 f （h （6，﹣3））＝（6，3）（填写坐标）；（2）化简 h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝（﹣3，1）（填写坐标）；（3）若f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））且k 为绝对值不超过5的整数，点P （x ，y ）在第三象限，求满足条件的k 的所有可能取值．【分析】（1）根据新定义进行化简即可．（2）根据新定义进行化简即可．（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可．【解答】解（1）f （h （6，﹣3））＝f （﹣6，3）＝（6，3），故答案为（6，3）；（2）h （f （﹣1，﹣2））﹣g （h （﹣1，﹣2））＝h （1，﹣2）﹣g （1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）＝（﹣3，1），故答案为（﹣3，1）；（3）f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝f （﹣kx ，2x ）﹣h （﹣1﹣y ，﹣2）＝（kx ，2x ）﹣（1+y ，2）＝（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2），h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））＝h （﹣1，ky ﹣1）+f （﹣y ，﹣x ）＝（1，1﹣ky ）+（y ，﹣x ）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ），∵f （g （2x ，﹣kx ））﹣h （f （1+y ，﹣2））＝h （g （ky ﹣1，﹣1））+f （h （y ，x ））， ∴（kx ﹣1﹣y ，2x ﹣2）＝（y +1，1﹣ky ﹣x ）， ∴൜݇ݔ−1−ݕ=ݕ+12ݔ−2=1−݇ݕ−ݔ， ∴൜݇ݔ−2ݕ=23ݔ+݇ݕ=3， ∴൞ݔ=2݇+6݇2+6ݕ=3݇−6݇2+6， ∵点P （x ，y ）在第三象限， ∴ቊ2݇+6＜03݇−6＜0，∴k ＜﹣3，∵k 为绝对值不超过5的整数， ∴k 的所有可能取值为﹣4、﹣5．24．（2023春•嵩县期末）对于平面直角坐标系中的点P （x ，y ）给出如下定义把点P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P （x ，y ）的折线距离，记作[P ]，即[P ]＝|x |+|y |，例如，点P （﹣1，2）的折（1）已知点A （﹣3，4（2）若点M 在x 轴的上方标．【分析】（1）根据题意可以（2）根据题意可知y ＞【解答】解（1）[A ]＝|（2）∵点M 在x 轴的上方∴x ＝±1时，y ＝1或x ∴点M 的坐标为（﹣125．（2023春•濠江区期末）我们称点P 为“梦之点”（1）判断点A （3，2）是否（2）若点M （m ﹣1，3【分析】（1）直接利用“（2）直接利用“梦之点”【解答】解（1）当A 解得a ＝1，b ＝1，的折线距离为[P ]＝|﹣1|+|2|＝3．），B （√2，െ3√2），求点A ，点B 的折线距离．的上方，点M 的横坐标为整数，且满足[M ]＝2，直接写意可以求得折线距离[A ]，[B ]；0，然后根据[M ]＝2，即可求得点M 的坐标． −3|+|4|＝7，[B ]＝|√2|+|−3√2|＝4√2；的上方，其横，纵坐标均为整数，且[M ]＝2，＝0时，y ＝2，，1），（1，1），（0，2）．）已知a ，b 都是实数，设点P （a +2，௕ାଷଶ），且满”．是否为“梦之点”，并说明理由．m +2）是“梦之点”，请判断点M 在第几象限，并说“梦之点”的定义得出a ，b 的值，进而得出答案”的定义得出m 的值进而得出答案．（3，2）时，a +2＝3，௕ାଷଶ=2，．直接写出点M 的坐且满足3a ＝2+b ，并说明理由．答案；则3a＝3，2+b＝3，所以3a＝2+b，所以A（3，2），是“梦之点”；（2）点M在第三象限，理由如下∵点M（m﹣1，3m+2）是“梦之点”，∴a+2＝m﹣1，௕ାଷଶ=3݉+2，∴a＝m﹣3，b＝6m+1，∴代入3a＝2+b有3（m﹣3）＝2+（6m+1），解得m＝﹣4，∴m﹣1＝﹣5，3m+2＝﹣10，∴点M在第三象限．26．（2023秋•兴化市校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；；（2）若点A的坐标是（5，﹣3）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（−√3，2√3）与点B（2m，﹣n）互为“对角点”，且m、n互为相反数，求B点的坐标．【分析】（1）、（2）读懂新定（3）根据新定义和直角坐标【解答】解（1）根据新定故答案为 B 2（﹣1，﹣7（2）①当点B 在x 轴上时设B （t ，0），由题意得解得t ＝﹣8， ∴B （8，0）． ②当点B 在y 轴上时，设B （0，b ），由题意得0﹣5＝b ﹣（﹣解得b ＝﹣8， ∴B （0，﹣8）．综上所述 A 的“对角点”（3）由题意得2m +√3=∴2m ＝﹣n ﹣3√3． ∵m 、n 互为相反数， ∴m +n ＝0，懂新定义，根据新定义解题即可；角坐标系中第四象限x 、y 的取值范围确定m 、n 的取据新定义可以得B 2、B 3与A 点互为“对角点”；），B 3（0，﹣6）；上时，t ﹣5＝0﹣（﹣3），（﹣3）， ”点B 的坐标为（8，0）或（0，﹣8）． =−n ﹣2√3，的取值范围即可．解得m +n +m ＝﹣3√3，∴m ＝﹣3√3，n ＝3√3∴2m ＝﹣6√3， ∴B （﹣6√3，﹣3√3）．27．（2023秋•朝阳区校级期末得到射线OY ，如果点示点P 在平面内的位置，那么点M 在平面内的位置记（1）如图3，若点N 在平面内（2）已知点A 在平面内的位①若点B 在平面内的位置记②若点B 在平面内的位置记③若点B 在平面内的位置记【分析】（1）根据新定义直（2）①先根据新定义画图画图，证明△AOB 是等边三△AOB 1是直角三角形，从而【解答】解（1）点N 在平故答案为 6，30；（2）①如图，．期末）如图①，将射线OX 按逆时针方向旋转β角（P 为射线OY 上的一点，且OP ＝m ，那么我们规定用，并记为P （m ，β）．例如，图2中，如果OM ＝5，位置记为M （5，110°），根据图形，解答下列问题平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝ 6 ，∠面内的位置记为A （4，30°），位置记为B （3，210°），则A 、B 两点间的距离为位置记为B （m ，90°），且AB ＝4，则m 的值为位置记为B （3，α），且AB ＝5，则a 的值为定义直接得到答案；画图，证明A ，O ，B 三点共线，从而可得答案；等边三角形，从而可得答案；③先根据新定义画图从而可得答案．在平面内的位置记为N （6，30°），则ON ＝6，0°≤β＜360°），规定用（m ，β）表∠XOM ＝110°，问题XON ＝ 30 °．离为 7 ． 4 ．120°或300° ．；②先根据新定义画图，证明△AOB ，，∠XON ＝30°．∵A（4，30°），B（3，210°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝3，∠BOX＝360°﹣210°＝150°，∴∠AOX+∠BOX＝180°，∴A，O，B三点共线，∴AB＝4+3＝7；故答案为7；②如图，∵A（4，30°），B（m，90°），∴OA＝4，∠AOX＝30°，OB＝m，∠BOX＝90°，∴∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴AB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴OB＝m＝4；故答案为4；③如图，∵A （4，30°），B （3，α），∴OA ＝4，∠AOX ＝30°，OB ＝3＝OB 1，∠BOX ＝α或∠B 1OX ＝360°﹣α， ∵AB ＝5，∴OB 2+OA 2＝25＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°＝∠AOB 1，∴α＝90°+30°＝120°或α＝120°+180°＝300°．故答案为 120°或300°．28．（2023秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，P 不在同一直线上，对于点P 和线段AB 给出如下定义过点P 向线段AB 所在直线作垂线，若垂足Q 在线段AB 上，则称点P 为线段AB 的内垂点，当垂足Q 满足|AQ ﹣BQ |最小时，称点P 为线段AB 的最佳内垂点．已知点S （﹣3，1），T （1，1）．（1）在点P 1（2，4），P 2（﹣4，0），P 3（﹣2，ଵଶ），P 4（1，3）中，线段ST 的内垂点为 P 3，P 4；（2）若点M 是线段ST 的最佳内垂点，则点M 的坐标可以是（﹣1，4），（﹣1，2）（写出两个满足条件的点M 即可）；（3）已知点C （m ﹣2，3），D （m ，3），若线段CD 上的每一个点都是线段ST 的内垂点，直接写出m 的取值范围；（4）已知点E （n +2，0），F （n +4，﹣1），若线段EF 上存在线段ST 的最佳内垂点，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）利用图象法画（2）满足条件的点在线段（3）构建不等式组解决问题（4）构建不等式组解决问题【解答】解（1）如图故答案为 P 3，P 4；（2）如图，点M （﹣1故答案为（﹣1，4）（3）由题意，ቄ݉−2൒݉൑1解得﹣1≤m ≤1．象法画出图形解决问题即可；线段ST 的中垂线上；决问题即可；决问题即可．1中，观察图象可知，线段ST 的内垂点为P 3，，4），M ′（﹣1，2）是线段ST 的最佳内垂点，，（﹣1，2）（答案不唯一）； −3ቄ݉൒−3݉−2൑1，P 4．，故答案为 ﹣1≤m ≤1．（4）如图2中，观察图象可解得﹣5≤n ≤﹣3．29．（2023春•嘉鱼县期末）以BC 为边在x 轴的上方作（1）点A 的坐标为（2）将正方形ABCD OMN 重叠的区域（不①当m ＝3时，区域内整点②若区域W 内恰好有3个整【分析】（1）先求出方形（2）①画出正方形A 'B '②在△OMN 中共有6个整数图象可知，m 满足ቄ݊+4൒െ1݊൅2൑െ1，）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B （1，0，上方作正方形ABCD ，点M （﹣5，0），N （0，5（1，4）；点D 的坐标为（5，4）；向左平移m 个单位，得到正方形A 'B 'C 'D '，记含边界）为W内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为 3 ；个整点，请直接写出m 的取值范围．正方形的边长为BC ＝4，再求点的坐标即可； C 'D '，结合图形求解即可；个整数点，在平移正方形ABCD ，找到恰好有3个整），点C （5，0），）．正方形A 'B 'C 'D '与△ 个整数解的情况即可．【解答】解（1）∵点∴BC ＝4，∵四边形ABCD 是正方形∴A （1，4），D （5，4故答案为（1，4），（5（2）①如图共有3个，故答案为 3；②在△OMN 中共有6个整数2，2），（﹣3，1），∵区域W 内恰好有3个整点∴2＜m ≤3或6≤m ＜730．（2023春•李沧区期末）补法来求它们的面积．下面如图1，2所示，分别过三角间的距离d 叫做水平宽；BD 的长叫做这个三角形的l 4，l 3，l 4之间的距离h叫做B （1，0），点C （5，0），方形，），，4）；，个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3（个整点，．）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面的新过三角形或四边形的顶点A ，C 作水平线的铅；如图1所示，过点B 作水平线的铅垂线交形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B 叫做四边形的铅垂高．），（﹣2，1），（﹣用面积公式或者用割积的新方法垂线l 1，l 2，l 1，l 2之AC 于点D ，称线段，D 作水平线l 3，【结论提炼】容易证明“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为4，所以△ABC面积的大小为20．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是37.5，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是36，用其它的方法进行计算得到面积的大小是36，由此发现用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积合适．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现用“S=12dh”这一方法对求图6中四边形的面积合适．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到当四边形满足某些条件时，可以用“S=12dh”来求面积．那么，可以用“S=12dh”来求面积的四边。

中考数学专题复习新定义问题

中考数学专题复习新定义问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________；（2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．2．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到⊙O 的弦A B ''（,A B ''分别为点A ，B 的对应点），线段AA '长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦12PP 和34P P ，则这两条弦的位置关系是；在点1234,,,P P P P 中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若点A 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．3．在⊙ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果DE 上的所有点都在⊙ABC 的内部或边上，则称DE 为⊙ABC 的中内弧．例如，下图中DE 是⊙ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt⊙ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出⊙ABC 的最长的中内弧DE ，并直接写出此时DE 的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在⊙ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点． ⊙若12t =，求⊙ABC 的中内弧DE 所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ⊙若在⊙ABC 中存在一条中内弧DE ，使得DE 所在圆的圆心P 在⊙ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．4．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （2-，6），B （2-，2-），C （6，2-）．（1）求d （点O ，ABC ）；（2）记函数y kx =（11x -≤≤，0k ≠）的图象为图形G ，若d （G ，ABC ）1=，直接写出k 的取值范围；（3）T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （T ，ABC ）1=，直接写出t 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，⊙在点1231135,0,,,,02222P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 中，⊙O 的关联点是_______________． ⊙点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（1x ，1y ），点Q 的坐标为（2x ，2y ），且12x x ≠，12y y ≠，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P ，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．⊙若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；⊙点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．①分别判断点M（2，1），N（32，0），T（1，3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣33x+23与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围．参考答案：1．（1）22B C ；（2）3t =±；（3）当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【解析】【分析】（1）以点A 为圆心，分别以112233,,,,,AB AC AB AC AB AC 为半径画圆，进而观察是否与O 有交点即可；（2）由旋转的性质可得AB C ''△是等边三角形，且B C ''是O 的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，则可知,B C ''都在O 上，且1,2AB AB AC AC ''====，然后由题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段22B C 能绕点A 旋转90°得到O 的“关联线段”，1133,B C B C 都不能绕点A 进行旋转得到；故答案为22B C ；（2）由题意可得：当BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”时，则有AB C ''△是等边三角形，且边长也为1，当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设B C''与y轴的交点为D，连接OB'，易得B C y''⊥轴，⊙12B D DC''==，⊙2232OD OB B D''=-=，2232AD AB B D''=-=，⊙3OA=，⊙3t=；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的3OA=，⊙t3=-；（3）由BC是O的以点A为中心的“关联线段”，则可知,B C''都在O上，且1,2AB AB AC AC''====，则有当以B'为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在O上时为最小，最小值为1，此时AC'为O的直径，⊙90AB C''∠=︒，⊙30AC B''∠=︒，⊙cos303BC B C AC'''==⋅︒=；由以上情况可知当点,,A B O'三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示：连接,OC B C'''，过点C'作C P OA'⊥于点P，⊙1,2OC AC OA''===，设OP x=，则有2AP x=-，⊙由勾股定理可得：22222C P AC AP OC OP'''=-=-，即()222221x x--=-，解得：14x=，⊙154C P'=，⊙34B P OB OP ''=-=，在Rt B PC ''中，2262B C B P C P ''''=+=， ⊙62BC =；综上所述：当min 1OA =时，此时3BC =；当max 2OA =时，此时62BC =．【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（1）平行，P 3；（2）32；（3）233922d ≤≤【解析】【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由1d OE OF =-得到1d 的最小值；（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离2d 的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出2d 的取值范围．【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线323y x =+上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD⊙AB ，过点O 作OE⊙AB 于点E ，交弦CD 于点F ，OF⊙CD ，令0y =，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，⊙2sin 603OE ︒==．由垂径定理得：221322OF OC CD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，⊙132d OE OF =-=；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A32,2⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为2235222AO⎛⎫=+=⎪⎝⎭．如图，平移距离2d的最小值即点A到⊙O的最小值：53122-=；平移距离2d的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊙A1A2且A1B2=1时.⊙B2A2A1=60°，则⊙OA2A1=30°,⊙OA2=1,⊙OM=12, A2M=32,⊙MA=3,AA2=22339 322⎛⎫+=⎪⎪⎝⎭,⊙2d的取值范围为：233922d≤≤．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）π；（2）⊙P的纵坐标1py≥或12Py≤；⊙02t<≤.【解析】【分析】（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE为直径的半圆，DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，，⊙当12t=时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角⊙AEP满足90°≤⊙AEP＜135°；⊙根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧DE ，就是△ABC 的最长的中内弧DE ，连接DE ，⊙⊙A=90°，AB=AC=22，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，22114,42sin sin 4522︒∴=====⨯=AC BC DE BC B ， ⊙弧DE 122ππ=⨯=；（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG⊙AC 交FP 于G ，⊙当12t =时，C （2，0），⊙D （0，1），E （1，1），1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F ，设1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，⊙m≥1， ⊙OA=OC ，⊙AOC=90°⊙⊙ACO=45°，⊙DE⊙OC⊙⊙AED=⊙ACO=45°作EG⊙AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求； 12∴m 综上所述，12m或m≥1． ⊙图4，设圆心P 在AC 上，⊙P 在DE 中垂线上，⊙P 为AE 中点，作PM⊙OC 于M ，则PM=323,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ， ⊙DE⊙BC⊙⊙ADE=⊙AOB=90°，222221(2)41∴=+=+=+AE AD DE t t⊙PD=PE ，⊙⊙AED=⊙PDE⊙⊙AED+⊙DAE=⊙PDE+⊙ADP=90°，⊙⊙DAE=⊙ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM1322∴AE ，AE≤3，即2413+t ，解得：2t02>∴<t t【点睛】此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）10k -≤<或01k <≤；（3）4t =-或0422t -≤≤或422t =+．【解析】【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分0k <和0k >两种情况，画出示意图，即可解决问题.（3）画出图形，直接写出t的取值范围．详解：（1）如下图所示：⊙B（2-，2-），C（6，2-）⊙D（0，2-）⊙d（O，ABC）2OD==（2）10k-≤<或01k<≤（3）4t=-或0422t≤≤-或422t=+．点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）⊙P 2、P 3，⊙－322≤x≤－22或22 ≤x≤322；（2）－2≤x≤1或2≤x≤22 . 【解析】【详解】试题分析：（1）⊙由题意得，P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由23,OP OP 的值可知23,P P 为⊙O 的关联点；⊙满足条件的P 只需在以O 为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P 横坐标范围是－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322；（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A ， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A ，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.试题解析：（1）12315,01,22OP P OP ===，点1P 与⊙的最小距离为32，点2P 与⊙的最小距离为1，点3P 与⊙的最小距离为12， ⊙⊙的关联点为2P 和3P ．⊙根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意； ⊙ 设点P 的坐标为P (x ，-x) ，当OP=1时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)1x x -+--= ，解得22x =± ，当OP=3时，由距离公式可得，OP=22(0)(0)3x x -+--= ，229x x +=，解得322x =±， ⊙ 点的横坐标的取值范围为－322 ≤x≤－22 或22 ≤x≤322（2）⊙y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，⊙ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，令得x=0得，y=0，⊙A(1，0) ，B (0，1) ，分析得：如图1，当圆过点A时，此时CA=3，⊙ 点C坐标为，C ( -2，0)如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，⊙CD=1 ，又⊙直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，⊙ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，⊙ RT⊙ACD中，CA=2，⊙ C点坐标为(1-2，0)⊙C点的横坐标的取值范围为；-2≤cx≤1-2，如图3，当圆过点A时，AC=1，C点坐标为(2，0)如图4，当圆过点B 时，连接BC ，此时BC =3，在Rt⊙OCB中，由勾股定理得OC=23122-=，C点坐标为(22，0)．⊙ C点的横坐标的取值范围为2≤cx≤22；⊙综上所述点C的横坐标的取值范围为－322≤cx≤－22或22≤cx≤322．【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.6．（1）⊙2；⊙1y x =- 或1y x =-+；（2）1≤m≤5 或者51m -≤≤-．【解析】【详解】试题分析：（1）⊙易得S=2；⊙得到C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C 分别代入AC 的表达式即可得出结论；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 相切，求出M 的坐标，即可得出结论．试题解析：（1）⊙S=2×1=2；⊙C 的坐标可以为（3，2）或者（3，-2），设AC 的表达式为y=kx+b ，将A 、C分别代入AC 的表达式得到：0{23k b k b =+=+或0{23k b k b=+-=+，解得：1{1k b ==-或1{1k b =-=，则直线AC 的表达式为1y x =- 或1y x =-+；（2）若⊙O 上存在点N ，使MN 的相关矩形为正方形，则直线MN 的斜率k=±1，即过M 点作k=±1的直线，与⊙O 有交点，即存在N ，当k=－1时，极限位置是直线与⊙O 相切，如图1l 与2l ，直线1l 与⊙O 切于点N ，ON=2，⊙ONM=90°，⊙1l 与y 交于1P （0，-2）．1M （1m ，3），⊙13(2)0m --=-，⊙1m =-5，⊙1M （-5，3）；同理可得2M （-1，3）；当k=1时，极限位置是直线3l 与4l （与⊙O 相切），可得3M （1，3）， 4M （5，3）．因此m 的取值范围为1≤m≤5或者51m -≤≤-．考点：一次函数，函数图象，应用数学知识解决问题的能力．7．（1）①见解析；②0＜x ＜2；（2）圆心C 的横坐标的取值范围是2≤x≤8．【解析】【详解】试题分析：（1） ⊙根据反称点的定义画图得出结论；⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤，2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，把x ＝2和x=0代入验证即可得出，P （2，0），P′（2，0）不符合题意P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2（2）求出A ，B 的坐标，得出OA 与OB 的比值，从而求出⊙OAB=30°，设C （x ，0） ⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4，得出 C 点横坐标x≥2．（当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8，得出结论.试题解析：（1）解：⊙M （2，1）不存在，3,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭存在，反称点1,02N ⎛⎫' ⎪⎝⎭(1,3)T 存在，反称点T′（0，0）⊙⊙CP≤2r ＝2 CP 2≤4， P （x ，－x ＋2）， CP 2＝x 2＋（－x ＋2）2＝2x 2－4x ＋4≤4 2x 2－4x≤0， x （x －2）≤0，⊙0≤x≤2，当x ＝2时，P （2，0），P′（2，0）不符合题意当x ＝0时，P （0，2），P′（0，0）不符合题意，⊙0＜x ＜2 （2）解：由题意得：A （6，0），()0,23B ，⊙3OA OB=，⊙⊙OAB ＝30°，设C （x ，0）⊙当C 在OA 上时，作CH⊙AB 于H ，则CH≤CP≤2r ＝2，⊙AC≤4， C 点横坐标x≥2．（当x ＝2时，C 点坐标（2，0），H 点的反称点H′（2，0）在圆的内部）⊙当C 在A 点右侧时，C 到线段AB 的距离为AC 长，AC 最大值为2，⊙C 点横坐标x≤8 综上所述：圆心C 的横坐标的取值范围2≤x≤8．考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；答案第15页，共15页。

中考数学复习新定义题型专题训练

中考数学复习新定义题型专题训练典例精析：例1.我们把分子为1的分数叫做理想分数，如,,,111234任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如()=+;=+;=+;=1111111111236341245209 ；根据对上述式子的观察思考：如果理想分数111n a b=+（n 是不小于2的正整数），那么a b += (用含n 的点评：本题可以视为“规律性的题型中的定义”，主要是根据定义（本题是“理想分数”）计算推理发现规律，从实例规律迁移解决问题.2.若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是1112=--，1-的差倒数为()11112=--，现已知11x 3=-，2x 是1x 的差倒数，3x 是2x 的差倒数，4x 是3x 的差倒数，…，依次类推，则 2020x =.例2.我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a bad bc c d=-，比如：232534245=⨯-⨯=-，如果有23x01x->，则x 的取值范围为 . 分析：根据二阶行列式规定的运算法则可知：()2x 3x 10--⨯> ，解得：x 1>；∴故应填：x 1>.点评：本题可以视为“运算建模题型中定义”，主要是根据定义所规定的运算法则进行运算推理来解决问题；这类题可以串联起数学的多个知识点，是中考中出现频率比较高的一种题型.追踪练习：1.对于点(),x y 的一次操作变换()(),,1p x y x y x y =+-，且规定()()(),,n 1n 1p x y P P x y -=（n 为大于1的整数）；如()(),,1p 1231=-，()()()(),,(.),2111p 12P 12P 3124==-=，(),3p 12=((,))(,)(,)122P p 12p 2462==-，则(,)2019p 11-= （）A.(),100902-B.(),101002-C.(),100902D.()101002、2.对于正数x ，如果规定()1f x 1x =+，例如：()11f 4145==+，114f 14514⎛⎫== ⎪⎝⎭+;根据上面的规定计算()()()()111f 2019f 2018f 2f 1f f f 220182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 的值为， ()()()()111f 2020f 2019f 2f 1f f f 220192020⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值二阶行列式运算法则”，计算填空：； ⑵.x 3x 2x 4x 3+---= ；⑶.2x x 26x 2x-=+，则x = .4.若定义()a,b ☆()m,n am bn =+ ，则⎛⋅ ⎝= .5.对于两个不相等的实数a,b，定义一种新的运算如下，)a b a b 0=+> ，如：32= ()654 的值.6.我们定义a b ad bc c d =-，比如：()121623661236-=-⨯-⨯=--=-；若x,y 均为点评：本题可以视为“探索题型中的新定义”，主要是根据定义计算推理论证，这类题一般要在定义的前提下进行匪类讨论，往往和存在性问题交融在一起.追踪练习：1.若平面直角坐标系中，两点关于过原点的一条直线成轴对称，则这两点就是互为镜面点，这条直线叫镜面直线，如(),A 23）和(),B 32是以x y =为镜面直线的镜面点． ⑴.若(),M 41和(),N 14--是一对镜面点，则镜面直线为 .⑵.若以y =为镜面直线，则(),E 20-的镜面点为．2.如图，A,B 是⊙O 上的两个顶点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A,B 重合），我们称APB∠是⊙O 上关于点A,B 的滑动角.3.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内ABCD 的准内点．⑴.如图2,AFD ∠与DEC ∠的角平分线相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点．⑵.分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）⑶.判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．①任意凸四边形一定存在准内点．（）②任意凸四边形一定只有一个准内点．（）③若点P 是四边形ABCD 的准内点，则PA PB PC PD +=+或PA PC PB PD +=+（）.例4. 对于实数a b 、，定义运算某“*”：()()22a ab a b a b ab b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩*.例如42*，因为42>，所以2424428=-⨯=*.若12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根，则*12x x = .分析：∵12x x 、是一元二次方程2x 5x 60-+=的两个根∴()()x 2x 30--= 解得：x 3= 或x 2=①.当12x 3,x 2== 时，1x *2x =23233-⨯=；②.当12x 2,x 3== 时，1x *2x =22333⨯-=-.故应填：3或3-. 点评：本题可以视为“开放题型中的新定义”，本题的结论是开放的，常常要根据条件分类讨论，结合对应的定义法则进行运算推理（实际上是同一名称多种形式），这类题容易漏解.追踪练习：1. 对实数a ☆b ()()-⎧>≠⎪=⎨≤≠⎪⎩b b a a b,a 0a a b,a 0 ；比如2☆3-==3128，计算[2☆()-4]× [()-4☆()-2]= .2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点()111P x ,y 和()222P x ,y 的“非常距离”，给出以下概念：若1212x x y y -≥- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12x x -；.若1212x x y y -<- ，则点1P 和点2P 的“非常距离”距离为12y y -.例如：点()1P 1,2和()2P 3,5。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中考题号复习：25题新定义题型
射影
1. 如图所示，在平面内有一线段AB ，分别过A 点，B 点向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，我们把线段CD 称之为线段AB 在x 轴上的射影，线段CD 的长称之为线段AB 在x 轴上的射影长.
（1）双曲线x y 4=
上有两点A 、B ，A(m ，4)，B(n ，1)，求AB 在x 轴上的射影长；
（2）直线a x y +=
2
1的图像上有两点A 、B ，AB 在x 轴上的射影长为4，求AB 的长；
（3）已知抛物线c bx ax y ++=2和直线bx y -=，其中c b a 、、满足 c b a >>，抛物线过点(1，0)，且与直线相交于A 、B 两点，求线段AB 在x 轴上的射影长CD 的取值范围.
限变点
若⎩⎨⎧<-≥=1
,1,'a b a b b ，则点Q 为点P 的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）.
（1）①点（1,3）的限变点的坐标是；
②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=
x
2的图像上某一个点的有限变点，这个点是；
（2）若点P 在函数y=-x+3（2,2->≤≤-k k x ）的图像上，其限变点Q 的坐标'b 的取值范围是25'≤≤-b ，求k 的取值范围；
(3)若点P 在关于x 的二次函数t t tx x y ++-=2
22的图像上，其限变点Q 的纵坐标'b 的取值范围是，求令其中或n -m s ,m ,b '
'=><≥n n m b s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围.
联姻函数
3. 定义若存在实数对坐标（x ，y ）同时满足一次函数y=px+q 和反比例函数y=x k
，则二次函
数y=
k qx px -+2为一次函数与反比例函数的“联姻”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y=-x+3和反比例函数y=x 2
是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标；
（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m,并且一次函数y=（1+n ）x+2m+2与反比例函数x
y 2015=
存在“联姻”函数2015)10()(2--++=x t m x t m y ,求m 的值；（3）若同时存在两组实数对坐标),(11y x 和),(22y x 使一次函数y=ax+2b 和反比例函数
x c y =为“联
姻”函数，其中a>b>c,a+b+c=0，设L=| x1－x2 |,求L 的取值范围．
和谐点
4. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标都相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，
1），（21-，2
1-）（2-，2-）……都是和谐点．（1）分别判断函数23+-=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数)0(242
≠-+=a x ax y 的图象经过和谐点（2，2），且当m x ≤≤0时，函数
（3）直线3:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x n y G =
:的图象交于N M ,两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为
2
3，且24＜DN DM +，求n 的取值范围．
梦之点
5. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点
)1,1(--，)0,0(，)2,2(，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x =
（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之
点”的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”
157
值范围．
定义域、值域、区间
6. 定义：自变量为x 的某个函数记为)(x f ，当自变量x 取某个实数0x 时的函数值记为)(0x f ，自变量x 的取值范围称为函数的定义域，定义域内的自变量x 对应的所有函数值的集合称为函数的值域．若b a ,是任意两个不相等的实数，我们规定：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，记为[]b a ,．
(1)设反比例函数)0()(＞k x
k x f =的定义域是[]6,3，值域为[]a ,2，求a k ,的值； (2)一次函数)0()(≠+=k b kx x f 的定义域是[]1,3-，值域为[]9,5，求函数的解析式；
(3)是否存在这样的c b ,，使得二次函数c bx x x f ++=2
)(的定义域是[]2,4-，值域为[]10,6，若存在，求出c b ,的值；若不存在，说明理由．
相反点
7. 已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点),(t t P -，则称点P 为函数图象上的“相反点”．例如：直线32-=x y 上存在“相反点”)1,1(-P ．
(1)在双曲线x y 1-
=上是否存在“相反点”？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；
(2)若抛物线19
2)132(2122+---+-=a a x a x y 上有“相反点”，且与直线x y -=相交于点),(11y x A 和),(22y x B ，求2221x x +的最小值；
(3)若函数2)1(4
12-++--+=
k m x k n x y 的图象上存在唯一的一个“相反点”，且当21≤≤-n 时，m 的最小值为k ，求k 的值．
美丽抛物线
8. 已知如图，直线b x y l +=3
1:，经过点)41,0(M ，一组抛物线的顶点),1(11y B ，),2(22y B ，),3(33y B ……),(n n y n B (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次
是：)0,(11x A ，)0,(22x A ，)0,(33x A ……)0,(11++n n x A ，设)10(1＜
＜x d x =． (1)求b 的值；
(2)设过211,,A B A 三点的二次函数的表达式为n m x a y ++=2
)(，求此表达式(用含d 的代数式表示);
(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当)10(＜＜x d 的大小变化时，这组抛物线是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 值．
特征数
9. 定义：任何一个一次函数q px y +=，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组[]q p ,为其特征数．例如：52+=x y 的特征数是[]5,2，同理，[]c b a ,,为二次函数c bx ax y ++=2
的特征数．
(1)若特征数是[]1,2+m 的一次函数为正比例函数，求m 的值；
(2)以y 轴为对称轴的二次函数c bx ax y ++=2
的图象经过),2(m A 、)1,(n B 两点(其中0＞m ，0＜n )，连接AB OB OA ,,,得到OB OA ⊥，10=∆AOB S ，求二次函数c bx ax y ++=2的特征数．
伴随函数
10. 如果把y 是以x 为自变量的函数，记作为)(x f y =，给出如下定义：对自变量取值范围的任意实数t ，当自变量x 满足1+≤≤t x t 时，函数)(x f y =的最大值为t M ，最小值为t m ，t M -t m 是以t 为自变量的函数，记作t t m M t g -=)(，我们把函数t t m M t g -=)(称为函数)(x f y =的“伴随函数”．
(1)函数53+-=x y 的“伴随函数”为)(t g = ；
(2)已知函数)40(42≤≤-=x x x y ，求出函数y 的“伴随函数”的表达式；
(3)当函数b x y +=的图象与)40(42≤≤-=x x x y 的“伴随函数”的图象恰好只有两个公共点，求b 的取值范围．。