压轴题——新定义
中考新定义问题(第 2 课时 压轴题部分)
中考“新定义”问题（第 2 课时·压轴题部分）※※※ 背景分析“新定义”问题是近年来中考试题中的热点题型，它是基于学生必须掌握的知识及应该具备的能力，通过新定义的方式隐藏问题本源，要求学生在理解新定义的基础上进行拓展，从而灵活运用新知解决问题，主要考查学生现学现用的能力.“新定义”问题的重要意义在于它不仅改变了学生解题的思维方式，而且对教师的课堂教学也起到了良好的导向作用，由于突出了理解定义的内在含义、问题迁移转化等重要环节，所以学生往往遇到“新定义”问题感到畏惧，故教师在教学“新定义”问题的时候要注意教学策略[1].而“新定义”问题的关键则需要学生正确理解其内容、思想和方法，把握其本质，通过类比、猜想、迁移来运用新知识解决实际问题，它全面地考查了学生的阅读理解能力、知识迁移能力和创新能力.※※※ 教学目标分析①、知识与能力目标：使学生能有效地捕捉到“新定义”与“旧知识”的联系，提高学生有效地对知识点迁移的反映能力；培养学生的阅读能力和独立获取新知识、运用新知识、解决新问题的能力.而在解决新问题的过程中又可以产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新思维.②、过程与方法目标：使学生通过阅读、观察、思考、分析、综合从而掌握“新定义”.并通过实例，提高学生解决问题的能力，加深对概念的理解.③、情感、态度与价值观目标：使学生感受到在探索“新定义”问题的过程中，体验解决新问题的方法与乐趣，从而培养学生学好数学的兴趣；学生在观察、思考、探究、归纳的过程中，锻炼意志与品质，使学生的个性得到发展.※※※ 学情分析初中阶段的数学学习要求学生初步学会运用数学思维去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，增强应用数学的意识，促进学生的全面发展.所以我认为应有意识地使学生能够运用已掌握的知识与方法理解“新定义”，做到“化生为熟”，化难为易，化繁为简，现学现用，提高学生的综合能力.※※※ 教学重点、难点教学重点：理解“新定义”，寻找“新定义”与旧知识点的联系.教学难点：“新定义”的迁移和应用能力.※※※ 教法、学法分析教法：精讲精练，启发诱导教学法.学法：以学生为主体，引导学生讨论，交流合作，启发引导学生领会规律，体会学习“新定义”解决问题的乐趣.※※※ 教学过程设计教学内容教学活动设计说明一、学习任务呈现：1、（2018 年深圳市中考卷，20）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图 1，在△CFE 中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点 C 为圆心，以任意长为半径作 AD，再分别以点 A 和点 D 为圆心，大于AD 长为半径作弧，交EF 于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形 ACDB 为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形 ACDB 的面积．(图1)2、（2018 年景德镇市模拟卷，23）如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转α后，与△ADE 构成位似图形，我们称与互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填“是”或“不是”）“旋转位似图形”；如图 2，△ABC 和△ADE 互为“旋转位似图形”，① 若α =26º，∠B=100 º，∠E=29 º，则∠BAE = ；②若AD=6，DE=8，AB=4，则BC = ；（2）知识运用：如图 3，在四边形ABCD 中，∠ADC=90 º，AE⊥BD 于E，∠DAC =∠DBC，求证：△ACD 和△ABE 互为“旋转位似图形”；（3）拓展提高：教师提前把学案发给学生，让学生先学后教，先练后导.（用15 分钟完成第1、第 2小题）限时完成.教师用投影仪投影学生的作答进行分析、讲评，侧重问题的入手分析，提炼解题思路与策限时训练，就是为了激发学生尽快进入上课的精神状态，集中注意力于问题解决当中，同时，也是教师很好地了解学生已有的面对“新定义”知识基础，答题规范等的好举措.让学生先独立完成练习，就是让学生尽快地进入“新定义”问题情境，通过解题回顾应对新知识的反应能力.学生独立完如图 4，△ABC 为等腰直角三角形，点G 为AC 中点，点F 是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且△ABD 与△AGE 互为“旋转位似图形”，若AC=6，AD=2 2 ，求出DE 和BD 的值． DC DE OBɑEA C(图2)AB(图3)DBFEA G C(图4)二、评价、总结反思问题解决过程约用 7 分钟讲评学生的解答过程，引导学生总结与反思上述问题的解决策略.三、能力提升训练3、（2018 年南通市中考卷，28）【定义】如图 5，A，B 为直线 l 同侧的两点，过点 A 作直线 1 的对称点A′，连接A′B交直线l 于点 P，连接 AP，则称点 P 为点 A，B 关于直线 l 的“等角点”．【运用】如图6，在平面直坐标系xOy 中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点 A，B 关于直线 x=4 的等角点；（2）若直线 l 垂直于 x 轴，点 P（m，n）是点 A，B 关于直线l 的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点 P 是点A，B 关于直线 y=ax+b（a≠0）的等角点，且点 P 位于直线 AB 的右下方，当∠APB=60°时，求 b 的取值范围（直接写出结果）．yAl AB oxP A1 B(图5)(图6)yAo xB(备用图)四、提炼“新定义”压轴题部分解决策略（课堂小结）今天学习的“新定义”问题无明确的概念介定，重点是学以致用，能将新旧知识点穿插联系解决新问题.不同的“新定义”要以不变应万变.五、课后作业4、(2017 年·江西·23)我们定义：如图 7，在△ABC中，把 AB绕点 A 顺时针旋转α (0°＜α ＜180°)得到AB′，把 AC 绕通过第3题，教师启发学生总结、反思和提炼“新定义”问题的主要类型、解决问题的策略.问题的能力，提升学生的学习兴趣5、（2017 年海南省中考数学仿真试卷（三）,23）定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图 11 中正方形 ABCD 即为线段 BD 的“对角线正方形”．如图 12，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点 P 从点 C 出发，沿折线 CA﹣AB 以 5cm/s 的速度运动，当点 P 与点 B 不重合时，作线段 PB 的“对角线正方形”，设点 P 的运动时间为 t（s），线段 PB 的“对角线正方形”的面积为 S（cm2）．（1）如图 13，借助虚线的小正方形网格，画出线段 AB 的“对角线正方形”．（2）当线段 PB 的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC 的边上时，求 t 的值．（3）当点 P 沿折线 CA﹣AB 运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式．（4）在整个运动过程中，当线段 PB 的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A 的平分线上时，直接写出 t 的值．CPEDA(图11) B(图12)AB （图13）通过课后独立思考及课前的预习让学生自我评价学习效果，学会反思、发现问题，最终形成运用所学知识去分析问题，解决问题的能力.※※※ 教学评价分析本节课通过对“新定义”问题分析解答，课堂问题由中到难，层层深入.在教学思想上既注重了知识迁移形成过程教学，又突出了学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养.小结应对“新定义”问题的一些感悟：ⅰ、重视阅读理解能力的培养数学阅读是学生自主学习、自主探索问题的途径之一，数学阅读能力是学生可持续发展能力的一个重要标志.新定义问题的解决，阅读能力的大小直接决定对问题的理解程度.因此，数学教学中必须重视数学阅读能力的培养，重点加强学生数学阅读指导，如在平时的检测中有意识地添加阅读型的问题，指导学生如何阅读，在阅读中如何找关键词，使学生掌握科学的数学阅读方法，养成良好的阅读习惯，让学生更好地、更主动地去阅读、理解、掌握数学知识.ⅱ、加强解题策略指导解题是学生掌握和运用数学知识的重要途径和方法，是学生数学综合能力的体现.掌握正确的解题策略，既可以帮助学生快速地找到解题的正确思路，又有利于学生构建知识体系，提高学生的学习效率.因此，教师在教学实践中要引导学生对解题思路、策略进行研究归纳，解决“新定义”问题的解题策略是①、深刻理解“新定义”---明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；②、重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况.③、依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数型结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题.ⅲ、注重思想渗透、培养迁移能力新定义问题，考查知识面广，我们不可能通过一一列举的方法对所有问题做分析与解答，这就要求教师在课堂教学中，交给学生解答数学问题的“金钥匙”---数学思想.如分类整合思想、数型结合思想、函数方程思想、化归转化思想等. 在数学教学过程中渗透数学思想也是落实培养初中生核心素养的主要途径[2].【参考文献】[1]曹义钊. 中考数学中“新定义”问题的类型及教学策略[J] 中学课程辅导（教学研究）2016, (24 ) 103-104[2]徐晓红.“新定义”试题 -- 中考压轴题的新走向[J].中学数学杂志（初中版），2013（8）：55-57.。
31中考数学压轴题之 “新定义题”
②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．
典例4
总结：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式， 利用特征数得出函数解析式是解题关键．
感谢聆听
By：蜗牛老师王很圆
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的
数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数子．
阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，
苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是
中考数学总复习
压轴题：新定义题（信息题）
主讲老师：蜗牛老师王很圆
本专题（必考）重点考查：
01 阅读理解能力 02 信息整合能力 03 知识迁移能力
典例1
（2015•永州，第10题）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，
[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条
折弦），BC>AB，M是
的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦
ABC的中点，即CD=AB+BD．
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．
证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
典例3
解析：
【解析】本题考查了圆的证明。 （1）已截取CG=AB ∴只需证明BD=DG 且MD⊥BC，所以需证明MB=MG，故证明△MBA≌△MGC即可 （2）AB=2，利用三角函数可得BE=
一次函数压轴题专题突破13：一次函数与新定义7(含解析)
一次函数压轴题专题突破13：一次函数与新定义7(含解析)一次函数压轴题之新定义1.在平面直角坐标系中，对于点P(x,y)和Q(x,y')，给出如下定义：如果y' = y，则称点Q为点P的“伴随点”。
例如：点(5,6)的“伴随点”为点(5,6)；点(-5,6)的“伴随点”为点(-5,-6)。
1) 点A(2,1)的“伴随点”A'的坐标为(2,1)。
2) 点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图像上，若其“伴随点”B'的纵坐标为2，求函数y=kx+3的解析式。
设B的横坐标为x，则B'的横坐标也为x。
由题意可知，B'的纵坐标为2，即kx+3=2，解得k=-1/2.因此，函数y=-1/2x+3的图像经过点B。
3) 在(2)的条件下，点C在函数y=kx+3的图像上，点D是点C关于原点的对称点，点D的“伴随点”为D'。
若点C在第一象限，且CD=DD'，直接写出此时“伴随点”D'的坐标。
由对称性可知，C和D'的纵坐标相等，即kx+3=-kx+3，解得x=0.因此，D'的坐标为(0,k*0+3)=(0,3)。
2.定义：对于给定的一次函数y=ax+b(a≠0)，把形如y=kx+b的函数称为一次函数y=ax+b(a≠0)的衍生函数。
已知矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,3)，B(1,2)，C(-3,2)，D(-3,3)。
1) 已知函数y=2x+1.①若点P(-1,m)在这个一次函数的衍生函数图像上，则m=-5.②这个一次函数的衍生函数图像与矩形ABCD的边的交点坐标分别为(-2,-3)和(3,7)。
2) 当函数y=kx-3(k>0)的衍生函数的图像与矩形ABCD有2个交点时，k的取值范围是(0,3)。
3.在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r>0)的圆O和点P，给出如下定义：若r≤PO≤2r，则称P为圆O的“近外点”。
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题
2022北京中考数学题型专练：新定义压轴题一、解答题1．在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可xOy O A BC BC A 以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．O B C '',B C '',B C BC O A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A 线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的ABC ()0,A t 0t ≠BC O A t 值；（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以ABC 1,2AB AC ==BC O A OA 及相应的长．BC 2．在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，A ，B 为⊙O 外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB ，得到xOy ⊙O 的弦（分别为点A ，B 的对应点），线段长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．A B '',A B ''AA '（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，12PP 34PP 1234,,,P P P P 连接点A 与点 的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，求的最小值；y =+1d 1d （3）若点A 的坐标为，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为，直接写出的取值范围． 32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2d 2d 3．在△ABC 中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称为△D E ABC DEDE ABC 的中内弧．例如，下图中是△ABC 的一条中内弧． DE（1）如图，在Rt △ABC 中，分别是的中点．画出△ABC 的最长的中内弧AB AC D E ==，AB AC ，，并直接写出此时的长； DEDE（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC 中，分别是的()()()()0,20,04,00A B C t t >，，D E ，AB AC ，中点．①若，求△ABC 的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围； 12t = DE P ②若在△ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围． DEDE4．对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一xOy M N P M Q N 点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作（，）． P Q M N d M N 已知点（，6），（，），（6，）．A 2-B 2-2-C 2-（1）求（点，）；d O ABC （2）记函数（，）的图象为图形，若（，），直接写出的取值范围； y kx =11x -≤≤0k ≠G d G ABC 1=k （3）的圆心为（t ，0），半径为1．若（，），直接写出t 的取值范围．T T d T ABC 1=5．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围． 126． A ，B 是⊙C 上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若∠APB 为直角，则称∠APB 为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在∠APB 边（含顶点）上时，称∠APB 为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，∠AMB 是AB 关于⊙C 的内直角，∠ANB 是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，A （0，﹣5），B （4，3）是⊙O 上两点．①已知P 1（1，0），P 2（0，3），P 3（﹣2，1），在∠AP 1B ，∠AP 2B ，∠AP 3B ，中，是AB 关于⊙O 的内直角的是 ；②若在直线y =2x +b 上存在一点P ，使得∠APB 是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以T （t ，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点M （1，0），N （0，n ），对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使∠DHE 是DE 关于⊙T 的最佳内直角，请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．7．对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M于点N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，点P在线段DE上运动(点P可以与点D，E重合)，连接OP，CP．①线段OP的最小值为_______，最大值为_______；线段CP的取值范直范围是_____；②在点O，点C中，点____________与线段DE满足限距关系；(2)如图2，⊙O的半径为1，直线(b>0)与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关y b=+系，求b的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．8．对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段xOy PQ PQR 2PQR S PQ = PQR PQ的“等幂三角形”，点R 称为线段的“等幂点”．PQ （1）已知．(3,0)A ①在点中，是线段的“等幂点”的是_____________；1234(1,3),(2,6),(5,1),(3,6)P P P P --OA ②若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B 的坐标；OAB OA （2）已知点C 的坐标为，点D 在直线上，记图形M 为以点为圆心，2为半径的位于x (2,1)C -3y x =-(1,0)T T 轴上方的部分，若图形M 上存在点E ，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D 的横坐标CD CDE △的取值范围．D x9．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M ，N 为该xOy ABCD ,,,0,A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN 的中点为P ，平移线段MN 得到线段，使点分别1MN =M N '',M N ''落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M ，N ，P 的对应点），线段ABCD M N '',,M N P '''长度的最小值称为线段MN 到正方形的“平移距离”．PP 'ABCD （1）如下图，平移线段MN ，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是ABCD 1122,M N M N _______；若分别为的中点，在点中，连接点P 与点_______的线段的长度等于线段MN 到正12,P P 1122,M N M N 12,P P 方形的“平移距离”； ABCD（2）如图，已知点，若M ，N 都在直线BE 上，记线段MN 到正方形的“平移距离”为，求1,0E ⎫+⎪⎪⎭ABCD 1d 1d 的最小值；（3）若线段MN 的中点P 的坐标为，记线段MN 到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范(2)2，ABCD 2d 2d 围．10．对于平面直角坐标系中的图形M 和点P ，给出如下定义：将图形M 绕点P 顺时针旋转得到图形N ，图xOy 90︒形N 称为图形M 关于点P 的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C 关于点P 的“垂直图形”．（1）点A 关于原点O 的“垂直图形”为点B ．①若点A 的坐标为，则点B 的坐标为_______；(0,2)②若点B 的坐标为，则点A 的坐标为_______．(2,1)（2）．线段关于点G 的“垂直图形”记为，点E 的对应点为，点F 的对应点为(3,3),(2,3),(,0)E F G a --EF E F ''E '．F '①求点的坐标（用含a 的式子表示）；E '②若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．O 2E F ''O EE '11．在平面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，（，可以重合）xOy P Q W W M N M N 使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．PM QN =P Q W （1）如图1，已知点，；(0,3)A ()2,3B ①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是 ，最大值是 ；O AB d d ②在，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ； 13,02P ⎛⎫ ⎪⎝⎭2(1,4)P 3(3,0)P -O AB （2）如图2，已知的半径为1，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是的一对平O D (5,0)(,2)E x D E O 衡点，求的取值范围；x （3）如图3，已知点，以点为圆心，长为半径画弧交的正半轴于点．点（其中）是(3,0)H -O OH x K (,)C a b 0b ≥坐标平面内一个动点，且，是以点为圆心，半径为2的圆，若上的任意两个点都是的一对平5OC =C C HK C 衡点，直接写出的取值范围． b12．在△ABM 中，∠ABM ＝90°，以AB 为一边向△ABM 的异侧作正方形ABCD ，以A 为圆心，AM 为半径作⊙A ，我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”，如果正方形ABCD 恰好落在⊙A 的内部（或圆上），我们称正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABM 的绝对友好正方形”，例如，图1中正方形ABCD 是⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形”．（1）图2中，△ABM 中，BA ＝BM ，∠ABM ＝90°，在图中画出⊙A 的“关于△ABM 的友好正方形ABCD ”．（2）若点A 在反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）上，它的横坐标是2，过点A 作AB ⊥y 轴于B ，若正方形ABCD 为k x⊙A 的“关于△ABO 的绝对友好正方形”，求k 的取值范围．（3）若点A 是直线y ＝﹣x +2上的一个动点，过点A 作AB ⊥y 轴于B ，若正方形ABCD 为⊙A 的“关于△ABO 的绝对友好正方形”，求出点A 的横坐标m 的取值范围．13．在△ABC 中，以AB 边上的中线CD 为直径作圆，如果与边AB 有交点E （不与点D 重合），那么称为△ DEABC 的C ﹣中线弧．例如，如图中是△ABC 的C ﹣中线弧．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 存在C ﹣中线 DE弧，其中点A 与坐标原点O 重合，点B 的坐标为（2t ，0）（t ＞0）．（1）当t ＝2时，①在点C 1（﹣3，2），C 2（0，C 3（2，4），C 4（4，2）中，满足条件的点C 是 ；②若在直线y ＝kx （k ＞0）上存在点P 是△ABC 的C ﹣中线弧所在圆的圆心，其中CD ＝4，求k 的取值范围； DE（2）若△ABC 的C ﹣中线弧所在圆的圆心为定点P （2，2），直接写出t 的取值范围． DE14．在△ABC 中，点P 是∠BAC 的角平分线AD 上的一点，若以点P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与△ABC 的交点不少于4个，点P 称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度点”，线段 PA 的长度称为△ABC 关于∠BAC 的“劲度距离”． （1）如图，在∠BAC 平分线AD 上的四个点、、、中，连接点A 和点 的线段长度是△ABC 关于∠1P 2P 3P4P BAC 的“劲度距离”．（2）在平面直角坐标系中，已知点M （0，t ），N （4，0）．①当t =时，求出△MON 关于∠MON 的“劲度距离”的最大值．51dMON 关于∠MON 的“劲度距离”，请直接写出t 的取值范围．d ≤15．对于平面内的图形G 1和图形G 2，记平面内一点P 到图形G 1上各点的最短距离为d 1，点P 到图形G 2上各点的最短距离为d 2，若d 1＝d 2，就称点P 是图形G 1和图形G 2的一个“等距点”．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（6，0），B （0，（1）在C （4，0），D （2，0），E （1，3）三点中，点A 和点B 的等距点是 ；（2）已知直线 y =2．①若点A 和直线y =2的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ；②若直线y =b 上存在点A 和直线y ＝2的等距点，求实数b 的取值范围；（3）记直线AB 为直线l 1，直线l 2： ，以原点O 为圆心作半径为r 的⊙O ．若⊙O 上有m 个直线l 1和直y =线l 2的等距点，以及n 个直线l 1和y 轴的等距点（m ≠0，n ≠0），当 m ≠n 时，求r 的取值范围．16．对于平面内的点M ，如果点P ，点Q 与点M 所构成的是边长为1的等边三角形，则称点P ，点Q 为点MPQ M 的一对“关联点”，进一步地，在中，若顶点M ，P ，Q 按顺时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“顺MPQ 关联点”；若顶点M ，P ，Q 按逆时针排列，则称点P ，点Q 为点M 的一对“逆关联点”．已知，(1,0)A（1）在中，点A 的一对关联点是____，它们为点A 的一对___关联点（填“顺”或3(0,0),(0,1),(2,0),,2O B C D ⎛ ⎝“逆”）；（2）以原点O 为圆心作半径为1的圆，已知直线．:l y b =+①若点P 在⊙O 上，点Q 在直线l 上，点P ，点Q 为点A 的一对关联点，求b 的值；②若在⊙O 上存在点R ，在直线l 上存在两点和，其中，且点T ，点S 为点R 的一对顺关联()11,T x y ()22,S x y 12x x >点，求b 的取值范围．17．在平面直角坐标系中，对于任意两点，若（k 为常数且），则xOy ()()1122,,,M x y N x y 1212x x y y k -+-=0k ≠称点M 为点N 的k 倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点(1,1)A ①若点是点A 的k 倍直角点，则k 的值是___________；(2,3)B -②在点中是点A 的2倍直角点的是_______；(2,3),(1,1),(0,2),(0,0)C D E O --③若直线上存在点A 的2倍直角点，求b 的取值范围；2y x b =-+（2）的圆心T 的坐标为，半径为r ，若上存在点O 的2倍直角点，直接写出r 的取值范围． T (1,0)T 18．在平面直角坐标系中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为O x y ()11,P x y ()22,Q x y PQ ．2121PQ d x x y y =-+-（1）已知点．(3,2)A ① ________；OA d =② 已知点，若，求m 的值；(,0)B m 6AB d =（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．(3,3)M ① 点．如果为“和距三角形”，求d 的取值范围；(0,)(0)D d d ≠OMD ② 在平面直角坐标系中，点C 为直线上一点，点K 是坐标系中的一点，且满足，当点C 在直xOy 4y x =--1CK =线上运动时，点K 均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点C 的横坐标的取值范围．OMK △C x 19．如图，直线l 和直线l 外一点P ，过点P 作于点H 任取直线l 上点Q ，点H 关于直线的对称点为点PH l ⊥PQ ，标点为点P 关于直线l 的垂对点．在平面直角坐标系中，H 'H 'xOy（1）已知点，则点中是点P 关于x 轴的垂对点的是_______；(0,2)P (0,0),(2,2),(0,4)O A B （2）已知点，且，直线上存在点M 关于x 轴的垂对点，求m 的取值范围； (0,)M m 0m >443y x =-+（3）已知点，若直线上存在两个点N 关于x 轴的垂对点，直接写出n 的取值范围，(,2)N n y x n =+20．在平面直角坐标系xOy 中，对于图形Q 和∠P ，给出如下定义：若图形Q 上的所有的点都在∠P 的内部或∠P 的边上，则∠P 的最小值称为点P 对图形Q 的可视度．如图1，∠AOB 的度数为点O 对线段AB 的可视度．（1）已知点N （2，0），在点，，中，对线段ON 的可视度为60º的点是______． 1M 2M 3(2,3)M （2）如图2，已知点A （-2，2），B （-2，-2），C （2，-2），D （2，2），E （0，4）．①直接写出点E 对四边形ABCD 的可视度为______°；②已知点F （a ，4），若点F 对四边形ABCD 的可视度为45°，求a 的值．21．在平面直角坐标系中，对于点A 和线段，如果点A ，O ，M ，N 按逆时针方向排列构成菱形，xOy MN AOMN 且，则称线段是点A 的“相关线段”．例如，图1中线段是点A 的“-相关线段”．AOM α∠=MN α-MN 30︒（1）已知点A 的坐标是．(0,2)①在图2中画出点A 的“-相关线段”，并直接写出点M 和点N 的坐标；30︒MN②若点A 的“-相关线段”经过点，求的值； αα（2）若存在使得点P 的“-相关线段”和“-相关线段”都经过点，记，直接写出t 的取值,()αβαβ≠αβ(0,4)PO t =范围．参考答案1．（1）；（2）3）当时，此时；当时，此时． 22B C t =min 1OA =BC =max 2OA =BC =【分析】（1）以点A 为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可； 112233,,,,,AB AC AB AC AB AC O （2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进AB C ''△B C ''O 行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由BC O A ,B C ''O 1,2AB AB AC AC ''====题意可根据图象来进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A 旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A 进行旋转得到； 22B C O 1133,B C B C 故答案为；22B C （2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当BC O A AB C ''△点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：设与y 轴的交点为D ，连接，易得轴，B C ''OB 'B C y ''⊥∴， 12B D DC ''==∴ OD ==AD ==∴OA =∴t =当点A 在y 轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的OA =∴；t =（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当BC O A ,B C ''O 1,2AB AB AC AC ''====以为圆心，1为半径作圆，然后以点A 为圆心，2为半径作圆，即可得到点A 的运动轨迹，如图所示：B '由运动轨迹可得当点A 也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，O AC 'O ∴，90AB C ''∠=︒∴，30AC B ''∠=︒∴；cos30BC B C AC '''==⋅︒=由以上情况可知当点三点共线时，OA 的值为最大，最大值为2，如图所示：,,A B O '连接，过点作于点P ，,OC B C '''C 'C P OA '⊥∴，1,2OC AC OA ''===设，则有，OP x =2AP x =-∴由勾股定理可得：，即， 22222C P AC AP OC OP '''=-=-()222221x x --=-解得：， 14x =∴ C P '=∴， 34B P OB OP ''=-=在中， Rt B PC '' B C ''=∴ BC =综上所述：当时，此时；当时，此时 min 1OA =BC max 2OA =BC =【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键．2．（1）平行，P 3；（23）232d ≤≤【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交弦CD 于点F ，分别求出OE 、OF 的长，由得到的最小值；1d OE OF =-1d （3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为1的弦即可．平移距离的最大值即点A ，B 点的位置，由此得出的取值范围．2d 2d 【详解】解：（1）平行；P 3；（2）如图，线段AB 在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD ，CD ∥AB ，过点O 作OE ⊥AB y =+于点E ，交弦CD 于点F ，OF ⊥CD ，令，直线与x 轴交点为（-2，0），直线与x 轴夹角为60°，∴0y =．2sin 60OE ︒==由垂径定理得： OF ==∴； 1d OE OF =-=（3）线段AB 的位置变换，可以看作是以点A 为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O 内找到与之平行，且长度32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为1的弦即可；点A 到O 的距离为． 52AO ==如图，平移距离的最小值即点A 到⊙O 的最小值：； 2d 53122-=平移距离的最大值线段是下图AB 的情况，即当A 1,A 2关于OA 对称，且A 1B 2⊥A 1A 2且A 1B 2=1时.∠2d B 2A 2A 1=60°，则∠OA 2A 1=30°,∵OA 2=1,∴OM=, A 2, 12∴MA=3,AA 2∴的取值范围为： 2d 232d ≤【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）；（2）①P 的纵坐标或；②π1p y ≥12P y ≤0t <≤【分析】 （1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE=2，最长中内弧即以DE 为直径的半圆，的长即以DE 为 DE直径的圆周长的一半；（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE 的中垂线上，，①当时，要注意圆心P 在DE 上方的中垂12t =线上均符合要求，在DE 下方时必须AC 与半径PE 的夹角∠AEP 满足90°≤∠AEP ＜135°；②根据题意，t 的最大值即圆心P 在AC 上时求得的t 值．【详解】解：（1）如图2，以DE 为直径的半圆弧，就是△ABC 的最长的中内弧，连接DE ，∵∠A=90°，D ，E 分别 DEDE是AB ，AC 的中点，， 114,42sin 22∴=====⨯=AC BC DE BC B ∴弧； DE 122ππ=⨯=（2）如图3，由垂径定理可知，圆心一定在线段DE 的垂直平分线上，连接DE ，作DE 垂直平分线FP ，作EG ⊥AC 交FP 于G ，①当时，C （2，0），∴D （0，1），E （1，1），， 12t =1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭F 设由三角形中内弧定义可知，圆心线段DE 上方射线FP 上均可，∴m≥1， 1,2P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵OA=OC ，∠AOC=90°∴∠ACO=45°，∵DE ∥OC∴∠AED=∠ACO=45°作EG ⊥AC 交直线FP 于G ，FG=EF=12根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G 的下方（含点G ）直线FP 上时也符合要求；12∴m 综上所述，或m≥1． 12m②图4，设圆心P 在AC 上，∵P 在DE 中垂线上，∴P 为AE 中点，作PM ⊥OC 于M ，则PM= 32， 3,2⎛⎫∴ ⎪⎝⎭P t ∵DE ∥BC∴∠ADE=∠AOB=90°，∴==AE ∵PD=PE ，∴∠AED=∠PDE∵∠AED+∠DAE=∠PDE+∠ADP=90°，∴∠DAE=∠ADP12∴===AP PD PE AE 由三角形中内弧定义知，PD≤PM ，AE≤3，解得：1322∴AE3t0>∴< t t 【点睛】 此题是一道圆的综合题，考查了圆的性质，弧长计算，直角三角形性质等，给出了“三角形中内弧”新定义，要求学生能够正确理解新概念，并应用新概念解题．4．（1）2；（2）或；（3）或10k -≤<01k <≤4t =-04t -≤≤4t =+【详解】分析：（1）画出图形，根据“闭距离”的概念结合图形进行求解即可.（2）分和两种情况，画出示意图，即可解决问题.0k <0k >（3）画出图形，直接写出t 的取值范围．详解：（1）如下图所示：∵（，），（6，）B 2-2-C 2-∴（0，）D 2-∴（，）d O ABC 2OD ==（2）或10k -≤<01k <≤（3）或或 4t =-04t ≤≤-4t =+点睛：属于新定义问题，考查点到直线的距离，圆的切线的性质，认真分析材料，读懂“闭距离”的概念是解题的关键.5．（1）C ；（2）≤x k ﹣1≤x k 3）或【分析】（1）由题意可知当Q 与A 重合时，点C 在以AP 为直径的圆上，所以可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ；（2）根据题意由两点的距离公式可得，分别画以AP 和BP 为直径的圆交x 轴于4个点：K 1、K 2、K 3、K 4，结合图形2可得4个点的坐标，从而得结论；（3）由题意先根据直线y=x+3，当x=0和y=0计算与x 轴和y 轴的交点坐标，分两种情况：M 在A 的左侧和右12侧，先计算圆E 与直线y=x+3相切时m 的值，从而根据图形可得结论．12【详解】解：（1）如图1，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是C ，故答案为：C ；（2）∵P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．∴AP ＝BP ＝，如图2，分别以PA 、PB 为直径作圆，交x 轴于点K 1、K 2、K 3、K 4，∵OP ＝OG ＝1，OE ∥AB ，∴PE ＝AE∴OE ＝AG ＝1，12∴K 1（0），k 2（，0），k 3﹣1，0），k 4（0），∵点K 为点P 与线段AB 的共圆点，∴≤x k ﹣1≤x k（3）分两种情况：①如图3，当M 在点A 的左侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝x+3相切于点F ，连12接EF ，则EF ⊥FH ，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，y ＝x+3＝0，x ＝﹣6，12∴ON ＝3，OH ＝6，∵tan ∠EHF ＝＝＝， ON EF OH FH 3612设EF ＝a ，则FH ＝2a ，EH ，∴OE ＝，Rt △OEP 中，OP ＝1，EP ＝a ，由勾股定理得：EP 2＝OP 2+OE 2，∴，2221(6)a =+解得：a ，∴QG ＝2OE ＝2（）＝，∴②如图4，当M 在点A 的右侧时，Q 为线段AM 上一动点，以PQ 为直径的圆E 与直线y ＝x+3相切于点F ，连12接EF ，则EF ⊥FH ，同理得QG ＝，∴，综上，m 的取值范围是或．【点睛】本题属于圆和一次函数综合题，考查一次函数的应用，新定义：M 为点P 与线段AB 的共圆点，圆的切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决取值范围问题.6．（1）①∠AP 2B ，∠AP 3B ；②﹣5＜b ≤5；（2）n 的最大值为2；t 的取值范围是t ＜5【分析】（1）判断点P 1，P 2，P 3是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线y =2x +b 与弧AB 相切时为临界情况，证明△OAH ∽△BAD ，可求出此时b =5，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，，，，1(1,0)P (0,5)A -(4,3)B，AB \1P A 1P B 不在以为直径的圆弧上，1P ∴AB 故不是关于的内直角，1APB ∠AB O ，，，2(0,3)P (0,5)A -(4,3)B，，，28P A \=AB =24P B =，22222P A P B AB \+=，290AP B \Ð=°是关于的内直角，2AP B \ÐAB O 同理可得，，22233P B P A AB +=是关于的内直角，3AP B \ÐAB O 故答案为：，；2AP B Ð3AP B Ð（2）是关于的内直角，APB ∠ AB O，且点在的内部，90APB ∴∠=︒P O 满足条件的点形成的图形为如图2中的半圆（点，均不能取到），∴P H A B过点作轴于点，B BD y ⊥D ，，(0,5)A - (4,3)B ，，4BD ∴=8AD =并可求出直线的解析式为，AB 25y x =-当直线过直径时，，∴2y x b =+AB 5b =-连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，OB OH E E //EF AB y F ，，OA OB = AH BH =，EH AB ∴⊥，EH EF ∴⊥是半圆的切线．EF ∴H ，，OAH OAH Ð=Ð 90OHB BDA Ð=Ð=°，OAH BAD \D D ∽，∴4182OH BD AH AD ===， 1122OH AH EH \==，OH EO \=，，EOF AOH Ð=Ð 90FEO AHO Ð=Ð=°，()EOF HOA ASA \D @D ，5OF OA \==，直线的解析式为，//EF AB AB 25y x =-直线的解析式为，此时，∴EF 25y x =+5b =的取值范围是．b ∴55b -< （3）对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，MN H T DHE ∠DE T 点一定在的边上，∴T DHE ∠，，线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2， 4TD = 90DHT ∠=︒MN )M TD 当点在该圆的最高点时，有最大值，∴N n 即的最大值为2．n 分两种情况：①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，H M T HE 90DHT ∠=︒点在以为直径的圆上，∴H DT 如图3，当与相切时，，G MN GH MN ⊥，，1OM = 2ON =MN \，，，GMH OMN Ð=Ð GHM NOM Ð=Ð2ON GH ==，()GHM NOM ASA \D @DMN GM \==，1OG \=，1OT \=当与重合时，，T M 1t =此时的取值范围是，∴t 11t < ②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，， H M T M 1t =4TM =5t =此时的取值范围是，∴t 15t <综合以上可得，的取值范围是．t 15t < 【点睛】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．7．（1，②O ；（2）；（3）0＜r≤3． 2CP ≤≤13b ≥【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，CP 的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与y b =+⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可．（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．【详解】（1）①如图1中，∵D （-1，0），E(0，∴OD=1，OE =∴ OE tan EDO OD∠==∴∠EDO=60°，当OP ⊥DE 时，，此时OP 的值最小， •60OP OD sin =︒=当点P 与E 重合时，OP当CP ⊥DE 时，CP 的值最小，最小值•60CD cos =︒=当点P 与D 或E 重合时，PC 的值最大，最大值为2，. 2CP ≤≤②根据限距关系的定义可知，线段DE 上存在两点M ，N ，满足OM=2ON ，故点O 与线段DE 满足限距关系．故答案为O ．（2）直线与x 轴、y 轴分别交于点F ，G （0，b ），y b =+当0＜b ＜1时，线段FG 在⊙O 内部，与⊙O 无公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为1-b ，最大距离为1+b ，∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴1+b≥2（1-b ），解得， 13b ≥∴b 的取值范围为． 131b ≤＜当1≤b≤2时，线段FG 与⊙O 有公共点，线段FG 与⊙O 满足限距关系，当b ＞2时，线段FG 在⊙O 的外部，与⊙O 没有公共点，此时⊙O 上的点到线段FG 的最小距离为，最大距离为b+1， 121b -∵线段FG 与⊙O 满足限距关系，∴， 11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭而总成立， 11212b b ⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭∴b ＞2时，线段FG 与⊙O 满足限距关系，综上所述，b 的取值范围为． 13b ≥（3）如图3中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r-2，最大值为2r+2，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r-2），解得r≤3，故r 的取值范围为0＜r≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．8．（1）①：②或；（2或24,P P 362⎛⎫ ⎪⎝⎭，362⎛⎫ ⎪⎝⎭，-1D x <<3D x <<【分析】（1）①根据定义求出三角形面积与OA 2进行比较即可确定线段的“等幂点”；②如图，由是线段OA 的“等OA OAB 幂三角形”，可得．由点A 的坐标为，若记中边上的高为h ，可得， 求出2OAB S OA = ()3,0A OAB OA 392OAB S h == ．由是等腰三角形，点B 在线段OA 的垂直平分线上即可求点B 的坐标为（，6）或（，-6）； 6h =OAB 3232（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，求出N (0，-3), H (3，0)，可证△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN =∠ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH部分运动，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=2，QC=2，又因为△ECD 为锐角三角形，点E 在上运动，点E 到CD 的距离h h =2CD ， 第二种 QR 2h ≤≤3D x <<情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在上运动，求出GU =GH ×cos45°= QG，可求． 2h ≤≤)22x ≤-≤1D x <<【详解】 （1）①=，P 1不是线段OA 的“等幂点”． 1OP A S 1211933222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<=， P 2是线段OA 的“等幂点”． 2OP A S 2211369=22P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==，P 3不是线段OA 的“等幂点”． 3OP A S 3211331222P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯=<=， P 4是线段OA 的“等幂点”． 4OP A S 421136922P OA y OA ⨯⋅=⨯⨯==是线段的“等幂点”的是，OA 24,P P 故答案为：：24,P P②如图，∵是线段OA 的“等幂三角形”，OAB ∴．2OAB S OA = ∵点A 的坐标为，若记中边上的高为h ，()3,0A OAB OA 则有． 13922OAB S OA h h =⨯⨯== 解得．6h =∴点B 在直线或上．6y =6y =-∵是等腰三角形，OAB ∴点B 在线段OA 的垂直平分线上．OA 的垂直平分线为x =,与直线或的交点为B 1（，6），B 2（，-6）， 326y =6y =-3232综上所述，点B 的坐标为（，6）或（，-6）， 3232（2）设半圆与x 轴交于G ，H 两点，过T 作CH 的平行线与半圆交于R ，作CH 的垂线交半圆于Q ，直线y =x -3与y 轴交于N ，设D （x ，x -3），过D 作y 轴平行线，与过C 作x 轴平行线交于F ，当x =0时，y =-3,N (0，-3),当y =0时，x -3=0，x =3，H (3，0)，∴ON =3=OH ，△ONH 为等腰直角三角形，∠OHN =∠ONH =45°，点D 运动分两种情况，第一种情况点D 在射线CH ，去掉线段CH 部分运动，∵TC ⊥NH ，∠OHN =45°，∴△TCH 为等腰直角三角形，在Rt △TCH 中TH =2，TC =CH =TH ×sin45°=2QC=2 又因为△ECD 为锐角三角形，点E 在上运动， QR点E 到CD 的距离h 2h ≤≤(x-2)， ∵线段的“等幂三角形”，CD S △CDE ==CD 2， 12h CD ⋅∴h =2CD (x -2)，)22x <-<解得 52x <点D 在H 右侧，x>3，∴ 3D x <<第二种情况点D 在射线CU 上，去掉线段CU 部分运动，点E 在上运动， QG又因为△ECD 为锐角三角形，GU=GH×cos45°=∴2h ≤≤∵线段的“等幂三角形”，CD S △CDE ==CD 2， 12h CD ⋅∴h =2CD (2-x )，则)22x ≤-≤， 1D x <<D 的横坐标或 D x 1D x <<3D x <<【点睛】本题考查新定义问题，仔细阅读新定义，抓住三角形的高为底的二倍，涉及三角形面积，等腰三角形，等腰直角三角形，线段垂直平分线，一次函数的性质，圆的性质，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，锐角三角形，列双边不等式，解不等式等知识，难度较大，综合较强，熟练掌握多方面知识才是解题关键．9．（1）平行，P 1；（2）3）． 1d 212d -≤【分析】（1）根据图形，比较PP 1，PP 2的长度即可求解；（2）根据已知条件求得∠P 1BE =45，过P 1作P 1Q ⊥BE 于Q ，则△P 1QB 为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数︒值即可求解；（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．【详解】（1）解：由图可得MN ∥M 1N 1，MN ∥M 2N 2，∴M 1N 1∥M 2N 2，而PP 1<PP 2，故线段MN 到正方形ABCD 的“平移距离”为PP 1；故答案为：平行，P 1；（2）∵B (0)，C ，0)，四边形ABCD 为正方形，。
二次函数压轴题之新定义问题(一)(讲义及答案)
二次函数压轴题之新定义问题（一）（讲义） 知识点睛新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。
此类问题的一般思路：①结合图形，理解新定义关键词；②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”；③结合背景信息，借助新定义求解．精讲精练1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式．（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ；（2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．3.如图1，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．（1）如图2，已知∠MON =90°，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，且∠APB =135°，求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连接AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；（3）如图3，C 是函数30y x x=>（）的图象上一点，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且BC =2AC ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标．图1图2图34.在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数32y x =+的图象上的所有“中国结”的坐标；（2）若函数0k y k k x=≠（，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数2222(32)(241)y k k x k k x k k =-++-++-（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？【参考答案】1.（1）2188y x =-+（2）为定值2；（3）“好点”个数为11，当△PDE 的周长最小时，“好点”坐标为：(-4，6)2.（1）必过点(-1，0)（2）存在；234333y x x =++或233y x =-+3.（1）证明略（2）∠APB =180°2α-；△AOB 的面积为2sin α（3）3232()22，或33()22-，4.（1）(0，2)（2）k =1时，“中国结”的坐标为(1，1)，(-1，-1)；k =-1时，“中国结”的坐标为(-1，1)，(1，-1)；（3）一共包含6个“中国结”：(-2，0)，(-3，0)，(-1，0)，(-1，1)，(0，0)，(1，0)。
人教版2023中考专题复习 解答题压轴题新定义题型
专题17 解答题压轴题新定义题型（原卷版）模块一 2022中考真题集训类型一 函数中的新定义问题1．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （n ≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（13，13）是函数y ＝x 图象的“12阶方点”；点（2，1）是函数y =2x 图象的“2阶方点”． （1）在①（﹣2，−12）；②（﹣1，﹣1）；③（1，1）三点中，是反比例函数y =1x 图象的“1阶方点”的有 （填序号）；（2）若y 关于x 的一次函数y ＝ax ﹣3a +1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a 的值；（3）若y 关于x 的二次函数y ＝﹣（x ﹣n ）2﹣2n +1图象的“n 阶方点”一定存在，请直接写出n 的取值范围．2．（2022•湘西州）定义：由两条与x 轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C 1：y ＝x 2+2x ﹣3与抛物线C 2：y ＝ax 2+2ax +c 组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C 1和抛物线C 2与x 轴有着相同的交点A （﹣3，0）、B （点B 在点A 右侧），与y 轴的交点分别为G 、H （0，﹣1）．（1）求抛物线C 2的解析式和点G 的坐标．（2）点M 是x 轴下方抛物线C 1上的点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，交抛物线C 2于点D ，求线段MN 与线段DM 的长度的比值．（3）如图②，点E 是点H 关于抛物线对称轴的对称点，连接EG ，在x 轴上是否存在点F ，使得△EFG 是以EG 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=ab和k2=ba两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜√3，请直接写出a的取值范围．4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．①当MN＝6a时，求点P的坐标；②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．5．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a．例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0，2|＝；②min|−√14，﹣4|＝．（2）如图，已知反比例函数y1=kx和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|kx，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．6．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc ≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．类型二几何图形中的新定义问题7．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC 和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积，则S△ABC=12BC•AD，S△A'B'C′=12B′C′•A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝；（2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，则S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，则S△CDE＝．8．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M （a ，b ），N ．对于点P 给出如下定义：将点P 向右（a ≥0）或向左（a ＜0）平移|a |个单位长度，再向上（b ≥0）或向下（b ＜0）平移|b |个单位长度，得到点P ′，点P ′关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．（1）如图，点M （1，1），点N 在线段OM 的延长线上．若点P （﹣2，0），点Q 为点P 的“对应点”． ①在图中画出点Q ；②连接PQ ，交线段ON 于点T ，求证：NT =12OM ；（2）⊙O 的半径为1，M 是⊙O 上一点，点N 在线段OM 上，且ON ＝t （12＜t ＜1），若P 为⊙O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接PQ ．当点M 在⊙O 上运动时，直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）．模块二 2023中考押题预测9．（2023•义乌市校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x ＝m ，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关于直线x ＝m 的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x ＝m 的“镜面函数”．例如：图①是函数y ＝x +1的图象，则它关于直线x ＝0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为y ={x +1(x ≥0)−x +1(x ＜0)，也可以写成y ＝|x |+1．（1）在图③中画出函数y ＝﹣2x +1关于直线x ＝1的“镜面函数”的图象．（2）函数y ＝x 2﹣2x +2关于直线x ＝﹣1的“镜面函数”与直线y ＝﹣x +m 有三个公共点，求m 的值．（3）已知A （﹣1，0），B （3，0），C （3，﹣2），D （﹣1，﹣2），函数y ＝x 2﹣2nx +2（n ＞0）关于直线x ＝0的“镜面函数”图象与矩形ABCD 的边恰好有4个交点，求n 的取值范围．10．（2023•秦皇岛一模）定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1，（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y=a2x2+ b2x+c2a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函致互为“旋转函数”．例如：求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝3，c1＝1．根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0求出a2、b2、c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请思考并解决下面问题：（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2023的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．11．（2022•滨海县校级三模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”，例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“好点”．（1）在函数①y＝﹣x+5，②y=6x，③y＝x2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是（填序号）．（2）设函数y=4x(x＜0)与y＝kx﹣1的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数y＝2x2+4x的图象在直线y＝m下方的部分沿直线y＝m翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象．当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值．12．（2022•婺城区模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y 轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y＝x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所示，且它的“新生函数“的解析式为y={x+1(x≥0)−x+1(x＜0)，也可以写成y＝|x|+1．（1）在图③中画出函数y＝﹣2x+l的“新生函数“的图象．（2）函数y＝x2﹣2x+2的“新生函数“与直线y＝﹣x+m有三个公共点，求m的值．（3）已知A（﹣1，0），B（3，0），C（3，﹣2），D（﹣1，﹣2），函数y＝x2﹣2nx+2（n＞0）的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．13．（2022•宁南县模拟）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若一条直线与二次函数图象抛物线有且仅有一个公共点，且抛物线位于这条直线同侧，则称该直线与此抛物线相切，公共点为切点．现有一次函数y＝﹣4x﹣1与二次函数y＝x2+mx图象相切于第二象限的点A．（1）求二次函数的解析式及切点A的坐标；（2）当0＜x＜3时，求二次函数函数值的取值范围；（3）记二次函数图象与x轴正半轴交于点B，问在抛物线上是否存在点C（异于A）使∠OBC＝∠OBA，若有则求出C坐标，若无则说明理由．14．（2022•天宁区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（t，0）与（t+6，0）．对于坐标平面内的一动点P，给出如下定义：若∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．（1）当t＝1时，①若点P为线段AB在第一象限的“等角点”，且在直线x＝4上，则点P的坐标为；②若点P为线段AB的“等角点”，并且在y轴上，则点P的坐标为；（2）已知直线y＝﹣0.5x+4上总存在线段AB的“等角点”，则t的范围是．15．（2022•零陵区模拟）九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的“旋转函数”．小组同学是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．请参照小组同学的方法解决下面问题：（1）函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”是；（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，求（m+n）2022的值；（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．16．（2022•甘井子区校级模拟）定义：将函数C1的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C2的图象，我们称函数C2是函数C1关于点P的相关函数．例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．（1）当m＝0时，①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为．②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝．（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的值．17．（2022•庐阳区校级三模）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为关联函数．例如：一次函数y＝x﹣1，它的关联函数为y={−x+1(x＜0)x−1(x≥0)．已知二次函数y＝﹣x2+4x−12．（1）当第二象限点B（m，32）在这个函数的关联函数的图象上时，求m的值；（2）当﹣3≤x≤﹣1时求函数y＝﹣x2+4x−12的关联函数的最大值和最小值．18．（2022•江都区二模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．（1）若点P （3，p ）是一次函数y ＝mx +6的图象上的“梅岭点”，则m ＝ ； 若点P （m ，m ）是函数y =3x−2的图象上的“梅岭点”，则m ＝ ；（2）若点P （p ，﹣2）是二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式； （3）若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b 是常数，a ＞0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“梅岭点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣1＜x 1＜1，|x 1﹣x 2|＝2，如果k ＝﹣b 2+2b +2，请直接写出k 的取值范围．19．（2022•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 沿着某条直线l 对称可以得到⊙O 的弦A ′B ′（A ′，B ′分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的对称的“反射线段”，直线l 称为“反射轴”．（1）如图1，线段CD 、EF 、GH 中是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”有 ；（2）已知A 点的坐标为（0，2），B 点坐标为（1，1）．①如图2，若线段AB 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴l 与y 轴的交点M 的坐标是 ．②若将“反射线段”AB 沿直线y ＝x 的方向向上平移一段距离S ，其反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标y M 的取值范围为12≤y M ≤136，求S 的取值范围．（3）已知点M 、N 是在以（2，0）为圆心，半径为√13的圆上的两个动点，且满足MN =√2，若MN 是⊙O 的以直线l 为对称轴的“反射线段”，当M 点在圆上运动一周时，反射轴l 与y 轴的交点的纵坐标的取值范围是 ．20．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB 是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．21．（2022•寻乌县二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，∠B＝∠C，则四边形ABCD为“等邻角四边形”．（1）定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形得是．①平行四边形②矩形③菱形④等腰梯形（2）深入探究：①已知四边形ABCD为“等邻角四边形”，且∠A＝120°，∠B＝100°，则∠D＝°．②如图②，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABDE为等邻角四边形．（3）拓展应用：如图③，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠C，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，PM+PN的值是否会发生变化？请说明理由．22．（2022•东胜区二模）【概念理解】定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形如图①．我们学习过的四边形中是垂美四边形的是；（写出一种即可）【性质探究】利用图①，垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系是；【性质应用】（1）如图②，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，D，E分别是AB，BC的中点，连接AE，CD，若AE⊥CD，则AB的长为；（2）如图③，等腰Rt△BCE和等腰Rt△ADE中，∠BEC＝∠AED＝90°，AC与BD交于O点，BD与CE交于点F，AC与DE交于点G．若BE＝6，AE＝8，AB＝12，求CD的长；【拓展应用】如图④，在▱ABCD中，点E、F、G分别是AD、AB、CD的中点，EF⊥CF，AD＝6，AB ＝8，求BG的长．23．（2022•修水县一模）定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”．例如：在四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．概念理解．（1）如图1，已知四边形ABCD是“对补四边形”．①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D的度数为；②若∠B＝90°，且AB＝3，AD＝2，则CD2﹣CB2＝．拓展延伸．（2）如图2，已知四边形ABCD是“对补四边形”．当AB＝CB，且∠EBF=12∠ABC时，试猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并证明．24．（2022•盐城一模）对于平面内的两点K、L，作出如下定义：若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点Q是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90°，则称点Q是点L关于点K的锐角旋转点．如图1，点Q是点L关于点K的锐角旋转点．（1）已知点A（4，0），在点Q1（0，4），Q2（2，2√3），Q3（﹣2，2√3），Q4（2√2，﹣2√2）中，是点A关于点O的锐角旋转点的是．（2）已知点B（5，0），点C在直线y＝2x+b上，若点C是点B关于点O的锐角旋转点，求实数b的取值范围．（3）点D是x轴上的动点，D（t，0），E（t﹣3，0），点F（m，n）是以D为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足n≥0．若直线y＝2x+6上存在点F关于点E的锐角旋转点，请直接写出t的取值范围．25．（2022•寿阳县模拟）所谓“新定义”试题指给出一个从未接触过的新规定，源于中学数学内容但又是学生没有遇到过的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序等．在解决它们的过程中又可产生了许多新方法、新观念，增强了学生创新意识．主要包括以下类型：①概念的“新定义”；②运算的“新定义”；③新规则的“新定义”；④实验操作的“新定义”；⑤几何图形的新定义．如果我们新定义一种四边形：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．（1）如图1，在半对角四边形ABCD中，∠B=12∠D，∠C=12∠A，请你利用所学知识求出∠B与∠C的度数之和；（2）如图2，锐角△ABC内接于⊙O，若边AB上存在一点D，使得BD＝BO．∠OBA的平分线交OA 于点E，连接DE并延长交AC于点F，若∠AFE＝2∠EAF．请你判断四边形DBCF是不是半对角四边形？并说明理由．26．（2022•泗洪三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．（1）选择：下列四边形中，一定是圆美四边形的是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，经过点A，B的⊙O交AC边于点D，交BC 于点E，连接DE，若四边形ABED为圆美四边形，求DE的长；（3）如图2，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，交BC于点E，点P在AD上，延长BP交⊙O于点F，已知PB2＝PE•P A．问四边形ABFC是圆美四边形吗？为什么？27．（2022•淮阴区校级一模）定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边．【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边．①△ADG与△BCG的形状是三角形．②若AD＝4，则BD＝．【问题探究】（2）如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F，AD＝4，AB＝k．①当k＝2时，请说明四边形ABEC是和谐四边形；②是否存在值k，使得四边形ABCD是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．【应用拓展】（3）如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC分别是和谐边，AB＝4，AD＝k，请直接写出k的值．28．（2022•亭湖区校级模拟）问题：A4纸给我们矩形的印象，这个矩形是特殊矩形吗？思考：通过度量、上网查阅资料，小丽同学发现A4纸的长与宽的比是一个特殊值“√2”定义：如图1，点C把线段AB分成两部分，如果ACBC=√2，那么点C为线段AB的“白银分割点”如图2，矩形ABCD中，BCAB=√2，那么矩形ABCD叫做白银矩形．应用：（1）如图3，矩形ABCD是白银矩形，AD＞AB，将矩形沿着EF对折，求证：矩形ABFE也是白银矩形．（2）如图4，矩形ABCD中，AB＝1，BC=√2，E为CD上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使得点C 落在AD边上的点F处，延长BF交CD的延长线于点G，说明点E为线段GC的”白银分制点”．（3）已知线段AB（如图5），作线段AB的一个“白银分割点”．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）29．（2022•盐田区二模）定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，则图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如：在图中，点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），直接写出点B的坐标；②若点B的坐标为（2，1），直接写出点A的坐标；（2）已知E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E'F'，点E的对应点为E'，点F的对应点为F'．①求点E'的坐标；②当点G运动时，求FF'的最小值．30．（2022•高新区校级二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（比例中项的定义：如果a、b、c三个量成连比例即a：b＝b：c，则b叫做a和c的比例中项）（1）为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，A是圆O外一点，AB是圆O的切线，直线ACD为圆O的割线．求证：证明：（2）如图，已知AC＝2，CD＝4，则AB的长度是．31．（2022•江北区模拟）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，求证：BC=√2AB．（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2；（3）在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转，D点旋转到E点，A点旋转到F点，当旋转到如图3的位置时，E，F，C三点共线，BF恰好是△BEC的相似分割线，求CDBD值．32．（2022•巢湖市二模）定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称这样的三角形为倍角三角形．根据上述定义可知倍角三角形中有一个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的性质解决相关问题．请通过这种方法解答下列问题：（1）如图1，△ABC中，AD是角平分线，且AB2＝BD•BC，求证：△ABC是倍角三角形；（2）如图2，已知△ABC是倍角三角形，且∠A＝2∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长；（3）如图3，已知△ABC中，∠A＝3∠C，AB＝8，BC＝10，求AC的长．。
中考数学定义新概念压轴题以及答案
1．（2013•安徽）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：=；（3）在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论．（不必说明理由）考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据条件∠B=∠C和梯形的定义就可以画出图形；（2）根据平行线的性质就可以得出∠DEC=∠B，∠AEC=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，由相似三角形的性质就可以求出结论；（3）根据角平分线的性质可以得出△EFB≌△EHC，就可以得出∠3=∠4，再有条件就可以得出∠ABC=∠DCB，从而得出结论，当点E不在四边形内部时分两种情况讨论就可以求出结论．解答：解：（1）如图1，过点D作DE∥BC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2）∵AB∥DE，∴∠B=∠DEC，∵AE∥DC，∴∠AEB=∠C，∵∠B=∠C，∴∠B=∠AEB，∴AB=AE．∵在△ABE和△DEC中，，∴△ABE∽△DEC，∴，∴；（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∴∠BFE=∠CHE=90°．∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴EF=EG=EH，在Rt△EFB和Rt△EHC中，∴Rt△EFB≌Rt△EHC（HL），∴∠3=∠4．∵BE=CE，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC=∠DCB，∵ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴ABCD是“准等腰梯形”．当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明△EFB≌△EHC，∴∠B=∠C，∴ABCD是“准等腰梯形”．当点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”．分两种情况：情况一：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD为“准等腰梯形”；情况二：当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时，四边形ABCD不是“准等腰梯形”．点评：本题考查了平行线的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时多次运用角平分线的性质是关键．2．（2013•安徽）我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点，将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2，图3，…（1）观察以上图形并完成下表：图形的名称基本图的个数特征点的个数图1 1 7图2 2 12图3 3 17图4 4 22………猜想：在图（n）中，特征点的个数为5n+2（用n表示）；（2）如图，将图（n）放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为（x1，2），则x1=；图（2013）的对称中心的横坐标为2013．考点：规律型：图形的变化类；规律型：点的坐标．专题：压轴题．分析：（1）观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个，进一步猜想出：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n﹣1）=5n+2；（2）过点O1作O1M⊥y轴于点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M=30°，再由余弦函数的定义求出O1M=，即x1=；然后结合图形分别得出图（2）、图（3）、图（4）的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图（2013）的对称中心的横坐标．解答：解：（1）由题意，可知图1中特征点有7个；图2中特征点有12个，12=7+5×1；图3中特征点有17个，17=7+5×2；所以图4中特征点有7+5×3=22个；由以上猜想：在图（n）中，特征点的个数为：7+5（n﹣1）=5n+2；（2）如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M，又∵正六边形的中心角=60°，O1C=O1B=O1A=2，∴∠BO1M=30°，∴O1M=O1B•cos∠BO1M=2×=，∴x1=；由题意，可得图（2）的对称中心的横坐标为（2×2）=2，图（3）的对称中心的横坐标为（2×3）=3，图（4）的对称中心的横坐标为（2×4）=4，…∴图（2013）的对称中心的横坐标为（2×2013）=2013．故答案为22，5n+2；，2013．点评：本题借助正六边形考查了规律型：图形的变化类问题，难度适中．关键是通过观察、归纳与总结，得到其中的规律；（2）要注意求的是整个图形的对称中心的横坐标，而不是第2013个正六边形的对称中心的横坐标，这也是本题容易出错的地方．3．我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”．其中∠B=∠C．（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C．E为边BC上一点，若AB∥DE，AE∥DC，求证：=；（3）如图3，在由不平行于BC的直线AD截△PBC所得的四边形ABCD中，∠BAD与∠ADC的平分线交于点E．若EB=EC，则四边形ABCD是不是“准等腰梯形”？请说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）过点A作AE∥CD交BC于点E，则△ABE和四边形AECD就是所求作的图形；（2）由AB∥DE，AE∥DC，就可以得出∠B=∠DEC，∠AEB=∠C，就可以得出△ABE∽△DEC，就可以得出结论；（3）作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分线的性质就可以得出EF=EG=EH，就可以得出△BEF≌△BEH，就可以得出∠FBE=∠HCE，从而得出∠ABC=∠DCB而得出结论．解答：解：（1）如图，过点A作AE∥CD交BC于点E，∴∠AEB=∠C．∵∠B=∠C∴∠AEB=∠B，∴AB=AE，∴△ABE是等腰三角形；∵AE∥CD，AD≠CD，∴四边形AECD是梯形．∴△ABE和四边形AECD就是所求作的图形；（2）∵AB∥DE，AE∥DC，∴∠B=∠DEC，∠AEB=∠C．∵∠B=∠C，∴∠AEB=∠DEC∴△ABE∽△DCE，∴；（3）四边形ABCD是“准等腰梯形”．理由：作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∴∠EFB=∠EHC=90°，EF=EG=EH．在Rt△BEF和Rt△CEH中，∴Rt△BEF≌Rt△CEH（HL）；∴∠FBE=∠HCE．∵BE=BC，∴∠EBC=∠ECB，∴∠EBC+∠FBE=∠ECB+∠HCE，∴∠ABC=∠HCB．∴四边形ABCD是“准等腰梯形”．点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，平行线的性质的运用角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质求解是关键．4．（2012•保定一模）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形ABCD的准等距点．考点：作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．专题：作图题．分析：（1）根据菱形的性质，在菱形对角线上找出除中心外的任意一点即可；（2）作对角线BD的垂直平分线于与另一对角线AC相交于点P，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得点P即为所求的准等距点；（3）连接BD，先利用“角角边”证明△DCF和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=CB，再根据等边对等角的性质可得∠CDB=∠CBD，从而得到∠PDB=∠PBD，然后根据等角对等边的性质可得PD=PB，根据准等距点的定义即可得证．解答：解：（1）如图2，点P即为所画点．…（1分）（答案不唯一）（2）如图3，点P即为所作点．…（2分）（答案不唯一．）（3）证明：连接DB，在△DCF与△BCE中，，∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD．∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC∴点P是四边形ABCD的准等距点．点评：本题考查了复杂作图，主要利用了线段垂直平分线的作法，全等三角形的判定与性质，读懂题意，理解准等距点的定义是解题的关键．5．（2006•福州）对于任意两个二次函数：y1=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，（a1a2≠0），当|a1|=|a2|时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线．现有△ABM，A（﹣1，0），B（1，0）．记过三点的二次函数抛物线为“C□□□”（“□□□”中填写相应三个点的字母）（1）若已知M（0，1），△ABM≌△ABN（0，﹣1）．请通过计算判断C ABM与C ABN是否为全等抛物线；（2）在图2中，以A、B、M三点为顶点，画出平行四边形．①若已知M（0，n），求抛物线C ABM的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与C ABM全等的抛物线解析式．②若已知M（m，n），当m，n满足什么条件时，存在抛物线C ABM根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与C ABM全等的抛物线？若存在，请列出所有满足条件的抛物线“C□□□”；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：（1）应该是全等抛物线，由于这两个抛物线虽然开口方向不同，但是开口大小一样，因此二次项的绝对值也应该相等．可用待定系数法求出两抛物线的解析式，然后进行判断即可．（2）与（1）相同都是通过构建平行四边形来得出与△ABM全等的三角形，那么过与△ABM全等的三角形的三个顶点的抛物线都是与C ABM全等的抛物线．解答：解：（1）设抛物线C ABM的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线C ABM过点A（﹣1，0），B（1，0），M（0，1），∴抛物线C ABM的解析式为y=﹣x2+1，同理可得抛物线C ABN的解析式为y=x2+1，∵|﹣1|=|1|，∴C ABM与C ABN是全等抛物线．（2）①设抛物线C ABM的解析式为y=ax2+bx+c，∵抛物线C ABM过点A（﹣1，0），B（1，0），M（0，n），抛物线C ABM的解析式为y=﹣nx2+n，与C ABM全等的抛物线有：y=nx2﹣n，y=n（x﹣1）2，y=n（x+1）2②当n≠0且m≠±1时，存在抛物线C ABM，与C ABM全等的抛物线有：C ABN，C AME，C BMF．点评：本题是函数与几何结合的综合题，解题关键是善于利用几何图形的性质以及函数的性质和定理等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法．6．（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD 沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC 的面积．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴OE=OB，∴△AOE和△AOB是友好三角形．（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，∵△AOB与△AOE是友好三角形，∴S△AOB=S△AOE，∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE=S△FOB，∴S△AOD=S△ABF，∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．探究：解：分为两种情况：①如图1，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴DO=OB，A′O=CO，∴四边形A′DCB是平行四边形，∴BC=A′D=2，过B作BM⊥AC于M，∵AB=4，∠BAC=30°，∴BM=AB=2=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得：AC==2，∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；②如图2，∵S△ACD=S△BCD．∴AD=BD=AB，∵沿CD折叠A和A′重合，∴AD=A′D=AB=4=2，∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，∴CO=OA′，BO=DO，∴四边形A′BDC是平行四边形，∴BD=A′C=2，过C作CQ⊥A′D于Q，∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，∴CQ=A′C=1，∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；即△ABC的面积是2或2．点评：本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．7．（2012•贵阳模拟）如果一个三角形和一个矩形满足下列条件：三角形的一边与矩形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在矩形与三角形重合的边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”．如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”．我们发现：当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．（1）仿照以上叙述，请你说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”；（3）若△ABC是锐角三角形，且AB=5cm，AC=7cm，BC=8cm，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最大的矩形并说明理由．考点：四边形综合题．分析：（1）仿照友好矩形的定义即可得出友好平行四边形的定义；（2）根据友好矩形的定义得出分别以AB为边和对角线得出△ABC的所有“友好矩形”即可；（3）利用勾股定理得出BD，AD的长，进而分别求出以BC、AB、AC为边的“友好矩形”周长比较即可．解答：解：（1）三角形的一边与平行四边形的一边完全重合，并且三角形的这条边所对的角的顶点落在平行四边形与三角形重合的边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．（2）如图②所示：（3）如图③，过A做AD⊥BC于D设BD长为x cm，则DC长为（8﹣x）在Rt△ABD和Rt△ADC中AD2=AB2﹣BD2=52﹣x2，AD2=AC2﹣DC2=72﹣（8﹣x）2则52﹣x2=72﹣（8﹣x）2解得：x=2.5，过A做AD⊥BC于D，则有，则以BC为边的“友好矩形”周长为：，以AB为边的“友好矩形”周长为：，以AC为边的“友好矩形”周长为：，∴以BC为边的“友好矩形”周长最大．点评：此题主要考查了四边形综合题以及勾股定理等知识，考查学生的阅读理解、综合分析及分类讨论能力，难度较大．8．（2012•常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD 的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足m=1，且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）考点：一次函数综合题；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；锐角三角函数的定义．专题：计算题；作图题．分析：（1）①以O为圆心，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；②分别作∠BOC和∠BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；（2）过M作MN⊥AB于N，根据已知得出OM=n，MN=m，求出∠NOM=60°，根据锐角三角函数得出sin60°==，求出即可．解答：解：（1）①如图所示：点M1和M2为所求；②如图所示：直线MN和直线EF为所求；（2）如图：过M作MN⊥AB于N，∵M的“距离坐标”为（m，n），∴OM=n，MN=m，∵∠BOD=150°，直线l⊥CD，∴∠MON=150°﹣90°=60°，在Rt△MON中，sin60°==，即m与n所满足的关系式是：m=n．点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．9．（2012•无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据新的运算规则知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形；（2）根据新的运算规则知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．解答：解：（1）由题意，得|x|+|y|=1，∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）∴d（0，P）=|x|+|y|∴|x|+|y|=1①x≥0，y≥0∴x+y=1y=1﹣x②x≤0，y≤0∴﹣x﹣y=1y=﹣x﹣1③x≥0，y≤0∴x﹣y=1y=x﹣1④x≤0，y≥0∴﹣x+y=1y=1+x将四个函数关系式表示在数轴上，所有符合条件的点P组成的图形如图所示：（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3．点评：本题考查了一次函数综合题．正确理解新定义运算法则是解题的关键．10．（2012•厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3）、B（6，3），连接AB．如果点P在直线y=x﹣1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“临近点”．（1）判断点C（）是否是线段AB的“临近点”，并说明理由；（2）若点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，求m的取值范围．考点：一次函数综合题．专题：计算题．分析：（1）根据A、B的坐标得出AB∥x轴，根据点P到直线AB的距离小于1，求出当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，看点的纵坐标是否在y的范围内即可；（2）根据线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜n＜4，把n=2和n=4分别代入n=m﹣1，求出相应的m 值，即可得出点的横坐标m的范围．解答：解：（1）点C（）是线段AB的“临近点”．理由是：∵点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，∴AB∥x轴，3﹣1=2，3+1=4，∴当纵坐标y在2＜y＜4范围内时，点是线段AB的“临近点”，点C的坐标是（），∴y=＞2，且小于4，∵C（，）在直线y=x﹣1上，∴点C（）是线段AB的“临近点”．（2）∵点Q（m，n）是线段AB的“临近点”，由（1）可以得出：线段AB的“临近点”的纵坐标的范围是2＜n＜4，把n=2代入y=x﹣1（即n=m﹣1）得：m=3，n=4代入y=x﹣1（即n=m﹣1）得：m=5，∴3＜m＜5，即m的取值范围是3＜m＜5．点评：本题考查了有关一次函数的应用，通过做此题培养了学生的阅读能力和计算能力，此题是一道非常好、比较典型的题目．11．（2012•台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ的长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是2；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；②点D的坐标为（0，2），m≥0，n≥0，作MH⊥x轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；（3）①在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长；②如答图4所示，符合题意的相似三角形有三个，需要进行分类讨论，分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值．解答：解：（1）当m=2，n=2时，如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段BN的长）=2；当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，ON=m，AN=OA﹣ON=4﹣m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：∴d===．（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．②结论：存在．∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．如答图4所示，相似三角形有三种情形：（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA﹣OH1=2﹣m，由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2﹣m），∴m=1；（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2﹣OA=m﹣2，由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m﹣2），∴m=3；（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．如图，OH3=m+2，AH3=OH3﹣OA=m﹣2，过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m﹣4，由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m﹣2=2n （1）在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m﹣4）2+n2（2）由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，∴m=．综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．点评：本题是以圆为基础的运动型压轴题，综合考查了圆的相关性质、相似三角形、点的坐标、勾股定理、解方程等重要知识点，难度较大．本题涉及动线与动点，运动过程比较复杂，准确理解运动过程是解决本题的关键．第（3）①问中，关键是画出点M运动轨迹的图形，结合图形求解一目了然；第（3）②问中，注意分类讨论思想的运用，避免漏解．12．（2012•绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求∠APB的度数．探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．专题：新定义．分析：应用：连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；探究：先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．解答：应用：解：①若PB=PC，连接PB，则∠PCB=∠PBC，∵CD为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD=DB=AB，与已知PD=AB矛盾，∴PB≠PC，②若PA=PC，连接PA，同理可得PA≠PC，③若PA=PB，由PD=AB，得PD=BD，∴∠APD=45°，故∠APB=90°；探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC===4，①若PB=PC，设PA=x，则x2+32=（4﹣x）2，∴x=，即PA=，②若PA=PC，则PA=2，③若PA=PB，由图知，在Rt△PAB中，不可能．故PA=2或．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键，根据准外心的定义，要注意分三种情况进行讨论．。
中考数学压轴题之新定义经典题型
中考数学压轴题之新定义经典题型【01】.在平面直角坐标系xOy 中，C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于O 的反称点的定义如下：若在射线CP 上存在一点P ¢，满足2CP CP r ¢+=，则称P ¢为点P 关于C 的反称点，下图为点P 及其关于C 的反称点P ¢的示意图。
的示意图。
(1)(1)当当O 的半径为1时。
时。
①分别判断点(2,1)M ，3(,0)2N ，(1(1,,3)T 关于O 的反称点是否存在，若存在？在？求其坐标；求其坐标；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于O 的反称点P ¢存在，且点P ¢不在x 轴上，求点P 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围； (2)(2)当当C 的圆心在x 轴上，轴上，半径为半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，轴，y y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于C 的反称点P ¢在C 的内部，求圆心C 的横坐标的取值范围。
的横坐标的取值范围。
yPOCx1 1【02】.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ，且12x x ¹，12y y ¹，若,P Q 为某个矩形的两个顶点，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P Q ，的“相关矩形”的“相关矩形”..下图为点,P Q 的“相关矩形”的示意图意图. .（1）已知点A 的坐标为()10，，①若点B 的坐标为()31，，求点,A B 的“相关矩形”的面积；的“相关矩形”的面积；②点C 在直线3x =上，若点,A C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；式；（2）O ⊙的半径为2，点M 的坐标为(),3m .若在O ⊙上存在一点N ，使得点,M N的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围的取值范围. .【03】对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若存在过点P 的直线l 交⊙C 于异于点P 的A ，B 两点，在P ，A ，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P 为⊙C 的相邻点，直线l 为⊙C 关于点P 的相邻线的相邻线. . （1）当⊙O 的半径为1时，时， ○1分别判断在点D （，14），E （0，-3），F （4，0）中，是⊙O 的相邻点有____________________；；○2请从○1中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程相邻线，并说明你的作图过程. .○3点P 在直线3y x =-+上，若点P 为⊙O 的相邻点，求点P 横坐标的取值范围；范围；（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线3233y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，若线段．．MN 上存在⊙C 的相邻点P ，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．范围．21备用图1备用图2 图1【04】定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个）是否为这个最小值函数图象上的点；图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是的面积，其面积是 ； ②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆为半径作圆. . 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值的值最小，直接写出此最小值. .【05】在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和图形W ,如果线段OP 与图形W 无公共点，则称点P 为关于图形W 的“阳光点”；如果线段OP 与图形W 有公共点，则称点P 为关于图形W 的“阴影点”． （1）如图1，已知点()13A ，，()11B ，，连接AB①在()11,4P ，()21,2P ，()32,3P ，()42,1P 这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是；是；②线段11A B AB P ；11A B 上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段11A B 向上或向下平移时，都会有11A B 上的点成为关于线段AB 的“阳光点”．若11A B 的长为4，且点1A 在1B 的上方，则点1A 的坐标为的坐标为_________________________________________________________；； （2）如图2，已知点()13C ，，C e 与y 轴相切于点D ．若E e 的半径为32，圆心E 在直线343l y x =-+：上，且E e 上的所有点都是关于C e 的“阴影点”，求圆心E 的横坐标的取值范围；的横坐标的取值范围；（3）如图3，M e 的半径是3，点M 到原点的距离为5．点N 是M e 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面内的两个动点，且M e 上的所有点都是关于NQT D 的“阴影点”，直接写出NQT D 的周长的最小值．的周长的最小值．图1 图2 图3yxB A OyxCOD yx11O【06】给出如下规定：在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），以及两个无公共点的图形1W 和2W ，若在图形1W 和2W 上分别存在点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），使得P 是线段MN 的中点，则称点M 和N 被点P “关联”，并称点P 为图形1W 和2W 的一个“中位点”，此时P ，M ，N 三个点的坐标满足122x x x +=，122y yy +=．（1）已知点(0,1),(4,1),(3,1),(3,2)A B C D --，连接AB ，CD ．①对于线段AB 和线段CD ，若点A 和C 被点P “关联”，则点P 的坐标为____________________；； ②线段AB 和线段CD 的一个“中位点”是1(2,)2Q -，求这两条线段上被点Q “关联”的两个点的坐标；“关联”的两个点的坐标；（2）如图1，已知点R （－（－2,02,02,0）和抛物线）和抛物线1W ：22y x x =-，对于抛物线1W 上的每一个点M ，在抛物线2W 上都存在点N ，使得点N 和M 被点R “关联”，请在图1中画出符合条件的抛物线2W ；（3）正方形EFGH 的顶点分别是(4,1),(4,1),(2,1),(2,1)E F G H ------，⊙T 的圆心为(3,0)T ，半径为1．请在图2中画出由正方形EFGH 和⊙T 的所有“中位点”组成的图形（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示），并直接写出该图形的面积．并直接写出该图形的面积．图1 图2R【06】在平面直角坐标系中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的限距点的定义如下：若为直线PC 与⊙C 的一个交点，满足，则称为点P 关于⊙C 的限距点，右图为点P 及其关于⊙C 的限距点的示意图．的示意图． （1）当⊙O 的半径为1时．时．①分别判断点M ，N ，T 关于⊙O 的限距点是否存在？若存在，求其坐标；在？若存在，求其坐标；②点D 的坐标为（的坐标为（2,02,02,0）），DE ，DF 分别切⊙O 于点E ，点F ，点P 在△DEF 的边上的边上..若点P 关于⊙O 的限距点存在，求点的横坐标的取值范围；取值范围；（2）保持（）保持（11）中D ，E ，F 三点不变，点P 在△DEF 的边上沿E →F →D →E的方向的方向运动，⊙C 的圆心C 的坐标为（1,01,0）），半径为r .请从下面两个问题中任选一个作答一个作答. .温馨提示：答对问题1得2分，答对问题2得1分，两题均答不重复计分.问题1问题2若点P 关于⊙C 的限距点存在，且随点P 的运动所形成的路径长为，则r 的最小值为的最小值为______________________________．． 若点P 关于⊙C 的限距点不存在，则r 的取值范围为的取值范围为________. ________.xOy P ¢2r PP r ¢££P ¢P¢(3,4)5(,0)2(1,2)P ¢P ¢P ¢P ¢r p P¢【07】对于某一函数给出如下定义：若存在实数p ，当其自变量的值为p 时，其函数值等于p ，则称p 为这个函数的不变值. 在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q 称为这个函数的不变长度.特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q 为零为零..例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q 等于1.（1）分别判断函数1y x =-，1y x=，2y x =有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度；其不变长度；（2）函数22y x bx =-.①若其不变长度为零，求b 的值；的值；②若13b ££，求其不变长度q 的取值范围；的取值范围；（3）记函数22()y x x x m =-³的图象为1G ，将1G 沿x=m 翻折后得到的函数图象记为2G .函数G 的图象由 1G 和2G 两部分组成，若其不变长度q 满足03q ££，则m 的取值范围为的取值范围为 . .【08】P 是⊙O 内一点，过点P 作⊙O 的任意一条弦AB ，我们把P A PB ×的值称为点P 关于⊙O 的“幂值”．（1）⊙O 的半径为5，OP = 3．①如图1，若点P 恰为弦AB 的中点，则点P 关于⊙O 的“幂值”为________________；； ②判断当弦AB 的位置改变时，点P 关于⊙O 的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P 关于⊙O 的“幂值”的取值范围．的取值范围．（2）若⊙O 的半径为r ，OP = d ，请参考（，请参考（11）的思路，用含r 、d 的式子表示点P 关于⊙O 的“幂值”或“幂值”的取值范围的“幂值”或“幂值”的取值范围________________________；； （3）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为4，若在直线33y x b =+上存在点P ，使得点P 关于⊙O 的“幂值”为1313，，请写出b 的取值范围的取值范围________________________．．图1POBAO备用图备用图【09】在平面直角坐标系xOy 中，中，图形图形W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点),(11y x P ，),(22y x Q 是图形W 上的任意两点．若21x x -的最大值为m ，则图形W 在x 轴上的投影长度m l x =；若21y y -的最大值为n ，则图形W 在y 轴上的投影长度n l y =．如图，图形W 在x 轴上的投影长度213=-=xl ；在y 轴上的投影长度404=-=y l ．（1）已知点)3,3(A ，)1,4(B ．如图1所示，若图形W 为△OAB ，则=xl ，=y l ．（2）已知点)0,4(C ，点D 在直线26y x =-+上，若图形W 为△OCD ．当y x l l =时，求点D 的坐标．的坐标．（3）若图形W 为函数2x y =）（b x a ££的图象，其中0a b £<．当该图形．当该图形满足1£=y x l l 时，请直接写出a 的取值范围．的取值范围．x yO BA 1234123x y O 1231234图1【10】.在平面直角坐标系xOy 中，对图形W 给出如下定义：若图形W 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，下图中的矩形ABCD 的坐标角度是9090°．°．°．（1）已知点)3,0(-A ，)1,1(--B ，在点)0,2(C ，)0,1(-D ，)2,2(-E 中，选一点，使得以该点及点A ，B 为顶点的三角形的坐标角度为9090°，则满足条件°，则满足条件的点为的点为 ； （2）将函数2ax y =)31(££a 的图象在直线1=y 下方的部分沿直线1=y 向上翻折，求所得图形坐标角度m 的取值范围；的取值范围；（3）记某个圆的半径为r ，圆心到原点的距离为l ，且)1(3-=r l ，若该圆的，若该圆的坐标角度°££°9060m ．直接写出满足条件的r 的取值范围．的取值范围． O xy D C B A –1–2–312312345。
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压轴题——新定义
1.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确
定正方形”．
如右图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1）
的“确定正方形”的面积为_____________；
（2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y x b
=+
C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求
（3）已知点E在以边长为2
标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y x
=-
所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2
范围．
2.在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周
长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x 轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题：
图1
（1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5，
10
3
-），其中是平面直角坐标系中的巧点的是________；
（2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线=k
y
x
（k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．
3.在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的“中点形”的定义如下：对于图形W 上的任意一点Q ，连结PQ ，取PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点P 和图形W 的“中点形”． 已知C （-2，2），D （1，2），E （1，0），F （-2，0）．
（1）若点O 和线段CD 的“中点形”为图形G ，则在点1(1,1)H -，2(0,1)H ，3(2,1)H 中，在图形G 上的
点是；
（2）已知点A （2，0），请通过画图说明点A 和四边形CDEF 的“中点形”是否为四边形？若是，
写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由；
（3）点B 为直线y =2x 上一点，记点B 和四边形CDEF 的中点形为图形M ，若图形M 与四边形
CDEF 有公共点，直接写出点B 的横坐标b 的取值范围．
4.对于一次函数b kx y +=）（0≠k ，我们称函数[]=m y ⎩⎨⎧>--≤+）
（）
（m x b kx m x b kx 为它的m 分函数（其中m 为
常数）．
例如，23+=x y 的4分函数为：当4≤x 时，[]234+=x y ；当4>x 时，[]234--=x y ． （1）如果1+=x y 的－1分函数为[]1-y ，
①当4=x 时，[]=-1y ——————
；当[]31-=-y 时，=x ——————．
②求双曲线x
y 2
=
与[]1-y 的图象的交点坐标； （2）如果2+-=x y 的0分函数为[]
0y ，
正比例函数）（0≠=k kx y 与2+-=x y 的0分函数[]0y 的图象无交点时，直接写出k 的取值范围．
5.对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的"距离"，记作d(M ，N) ．特别的，当图形M ，N 有公共点时，记作d(M ，N)=0.一次函数y=kx+2的图像为L ，L 与y 轴交点为D, △ABC 中，A （0，1），B （-1，0），C （1，0）．
（1）求d(点 D , △ABC)= ；当k=1时，求d( L , △ABC)= ；
（2）若d(L, △ABC)=0.直接写出k 的取值范围；
（3）函数y=x+b 的图像记为W , 若d(W ，△ABC)≤1,求出b 的取值范围．
6.在平面直角坐标系xOy 中，记y 与x 的函数2
()y a x m n =-+（m ≠0，n ≠0）的图象为图形G , 已知图形G 与y 轴交于点A ，当x m =时，函数2
()y a x m n =-+有最小（或最大）值n , 点B 的坐标为(m ,
n )，点A 、B 关于原点O 的对称点分别为C 、D ，若A 、B 、C 、D 中任何三点都不在一直线上，且对角线AC ，
BD 的交点与原点O 重合，则称四边形ABCD 为图形G 的伴随四边形，直线AB 为图形G 的伴随直线. （1）如图，若函数2
(2)1y x =-+的图象记为图形G ，
求图形G 的伴随直线的表达式；
（2）如图，若图形G 的伴随直线的表达式是3y x =-，且伴随四边形的面积为12， 求y 与x 的函数2()y a x m n =-+（m ＞0，n ＜0）的表达式；
（3）如图，若图形G 的伴随直线是24y x =-+，且伴随四边形ABCD 是矩形， 求点B 的坐标.
7.平面直角坐标系XOY 中，对于点),(n m A 和点)',(n m B ，给出如下定义： 若⎩⎨
⎧<-≥=)
1()
1('m n m n n 则称点B 为点A 的可变点．例如：点)4,1(的可变点的坐标是)4,1(，点)4,1(-的可变
点的坐标是)4,1(--．
（1）①点)1,3(的可变点的坐标是 ；
②在点)2,1(-A ，)4,2(-B ，中有一个点是函数x y 2=图象上某一个点的可变点，这个点是 ；（填“A ”或“B ”）
（2）若点A 在函数)34(2≤≤-+=x x y 的图象上，求其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围；
（3）若点A 在函数)1,1(4->≤≤-+-=a a x x y 的图象上，其可变点B 的纵坐标'n 的取值范围是
3'5≤≤-n ，直接写出a 的取值范围．。