2019-2020学年杭州启正中学九年级上册期中数学模拟试卷(含答案解析)

2019-2020学年杭州启正中学九上期中数学模拟试卷（含答案解析）一、选择题（每小题4分，共40分）1.投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为.那么方程有解的概率是（）A. B. C. D.解：一次投掷骰子，向上的点数有6种，两次投掷则有种。

则a=1、2、3、5或6，b=1、2、3、4、5或6. 一元二次方程有解则，当a=1时, 有0种，；当a=2时，b=1, 有1种；当a=3时，b=1或2，有2种；当a=4时， b=1、2、3或4有4种；当a=5时，b=1、2、3、4、5或6，有6种；当a=6时，b=1、2、3、4、5或6也有6种。

共有1+2+4+6+6=19种。

所以概率为。

故答案为：D2.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )A. B.C. D.解：y=-2x2+4x+1=-2(x2-2x+1-1）+1∴y=-2（x-1）2+3∵将抛物线y=-2（x-1）2+3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，∴所得的函数关系式为：y=-2（x-1+2）2+3+3即y=-2（x+1）2+6.故答案为：C3.如图，△A′B′C′是由△ABC经过平移得到的，△A′B′C′还可以看作是△ABC经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称；③2次旋转；④2次轴对称.其中所有正确结论的序号是（）A.①④B.②③C.②④D.③④解：先将△ABC绕着B'C的中点旋转180°，再将所得的三角形绕着B'C'的中点旋转180°，即可得到△A'B'C'；先将△ABC沿着C'C的垂直平分线翻折，再将所得的三角形沿着C''C'的垂直平分线翻折，即可得到△A'B'C'；故答案为：D.4.如图，四边形是菱形，经过点、、，与相交于点，连接、.若，则的度数为（）A. B. C. D.解：∵四边形是菱形，，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴。

故答案为：C。

5.心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x（min）之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受力最大，为59.9；当提出概念30min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为（）A.y=﹣（x﹣13）2+59.9B.y=﹣0.1x2+2.6x+31C.y=0.1x2﹣2.6x+76.8D.y=﹣0.1x2+2.6x+43解：设抛物线解析式为：y=a（x﹣13）2+59.9，将（30，31）代入得：31=a（30﹣13）2+59.9，解得：a=﹣0.1，故：y=﹣0.1（x﹣13）2+59.9═﹣0.1x2+2.6x+43．故选：D．6.在一个不透明的塑料袋中装有红色、白色球共40个，除颜色外其它都相同，小明通过多次摸球实验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中白色球可能（）A.4个B.6个C.34个D.36个解：设白球有x个，根据题意得：＝15%，解得：x＝34，即白色球的个数为34个，故答案为：C．7.如图，与x轴交于点，，与轴的正半轴交于点．若，则点的纵坐标为( )A. B. C. D.解：连接，，，过作于，于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，，∵，，，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴点的纵坐标为.故答案为：B．8.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D( ,y2)、E(2,y3)，则y1、y、y3的大小关系是( ).2A.y1< y2< y3B.y1 < y3< y2C.y3< y2< y1D.y2< y3< y1解：∵经过A（m，n）、C（3−m，n），∴二次函数的对称轴x＝，∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，∵|a|＞0，∴y2< y3< y1；故答案为：D．9.如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，与BC，AC分别交于点D，E.设，的面积为，则与的函数图象大致为( )A. B. C. D.解：连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H，∵AB=AC，∠B=30°，∴∠C=∠B=30°，∵△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，∴AH= AC ′=1， ∴C ′H=，∴B ′C ′=2C ′H=2 ，∵AB ′=AC ，∴∠AB ′C=∠ACB ′， ∵∠AB ′D=∠ACD=30°，∴∠AB ′C-∠AB ′D=∠ACB ′-∠ACD ， 即∠DB ′C=∠DCB ′， ∴B ′D=CD ， ∵CD+DE=x ，∴B ′D+DE=x ，即B ′E=x ， ∴C ′E=B ′C ′-B ′E=2 -x ， ∴y== ×(2-x)×1=，观察只有B 选项的图象符合题意。

故答案为：B 。

10.新定义：若关于x 的一元二次方程：a 1(x-m)2+n=0与a 2(x-m)2+n=0，称为“同族二次方程”如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二次方程”现有关于x 的一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x 2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”，那么代数式ax 2+bx+2018能取的最小值是（ ） A.2011 B.2013 C.2018 D.2023解：由题意得，“同族二次方程”是指顶点相同的二次函数，函数值为0的一元二次方程，由于y= 2(x-1)2+1的顶点坐标为（1,1），则 (a+2)x 2+(b-4)x+8= (a+2)(x-1)2+1, 整理得：(a+2)x 2+(b-4)x+8= (a+2)x 2+2（a+2）x+a+3, 比较系数得：解得：∴ax2+bx+2018 =5x2-10x+2018=5(x-1)2+2013,∴当x=1时，ax2+bx+2018有最小值2013；故答案为：B.二、填空题（每小题6分，共24分）11.在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于________．解：根据题意知，解得，经检验：是原分式方程的解，∴，故答案为：5．12.如图所示，为的直径，点在上，且，过点的弦与线段相交于点，满足，连接，则________度．解：连接 OD，如图：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：20．13.AB是半圆O的直径，AB=8，点C为半圈上的一点将此半圆沿BC所在的直线折叠，若配给好过圆心O，则图中阴影部分的面积是________．解：过点O作OD⊥BC于点D,交弧BC于点E，连接OC，∴点E是的中点，由折叠的性质可得点O为的中点，∴S弓形BO =S弓形CO，在Rt△BOD中，OD=DE=R=2，OB=R=4，∴∠OBD=30°∴∠AOC=60°∴S阴影=S扇形AOC=故答案为：14.二次函数y＝ax2＋bx＋c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法：①抛物线的开口向下；②当x＞－3时，y随x的增大而增大；③二次函数的最小值是－2；④抛物线的对称轴是x＝－2.5.其中正确的是________.（填序号）解：由题意可知函数图象过点、和，，解得，抛物线解析式为，抛物线开口向上，对称轴为，最小值为，当时随的增大而增大，正确的是④，故答案为：④.15.定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，和组成圆的折弦，，是弧的中点，于，则．如图2，△中，，，，是上一点，，作交△的外接圆于，连接，则=________°．解：∵AB=8 BC=6 BD=1∴AD=7 BD+BC=7AD=BD+BC∵ED⊥AB点E为弧ABC的中点，弧AE=弧CE∠AOE=∠COE∠AOC=2∠ABC=120°∠COE=120°∠CAE=16.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1，且过点（，0）.有下列结论：①abc＞0；②25a ﹣10b+4c=0；③a﹣2b+4c=0；④a﹣b≥m（am﹣b）；⑤3b+2c＞0；其中所有正确的结论是________（填写正确结论的序号）.解：①由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴是x＝－1.且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x＝时，y＝0，即=0，整理得：25a－10b＋4c＝0，故②正确；③直线x＝－1是抛物线的对称轴，所以＝－1，解得b＝2a，∴a－2b＋4c＝a－4a＋c＝－3a＋c.∵a＜0，∴-3a＞0.∵c＞0，∴-3a＋c＞0.即a－2b＋4c＞0，故③错误；④∵x＝－1时，函数值最大，∴a－b＋c （m≠1），∴a－b m(am－b)，所以④正确；⑤∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∵b=2a，a=∴+b+c＜0∴3b＋2c＜0，故⑤错误.故答案为：①②④.三、解答题（本大题共8小题，共86分）17.已知点（2，8）在函数y=ax2＋b的图像上，当x=－1时，y=5．（1）求a，b的值．（2）如果点（，m），（n，17）也在这个函数的图像上，求m与n的值．（1）解：由题意可知：，得（2）解：将（，m），（n，17）代入y＝x2＋4，得m = ＋4= ，17= n2＋4，解得n=±．18.在一个不透明的布袋中，有2个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同（1）搅匀后从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是________；（2）搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的球中任意摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．（用树状图或表格列出所有等可能出现的结果）（1）（2）解：∵共有6种等可能的结果,两次都摸岀红球有2种情况∴P(两次都摸出红球)解：（1）3个球中，有2个是红球，则任意摸出一个球，摸到红球的概率是.19.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度（AB）为16米，拱高（CD）为4米，求：（1）桥拱半径.（2）若大雨过后，桥下河面宽度（EF）为12米，求水面涨高了多少？（1）解：∵拱桥的跨度AB=16m，∴AD=8m，因为拱高CD=4m，利用勾股定理可得：AO2-（OC-CD）2=82，解得OA=10（m）.所以桥拱半径为10m（2）解：设河水上涨到EF位置（如图所示），这时EF=12m，EF∥AB，有OC⊥EF（垂足为M），∴EM= EF=6m，连接OE，则有OE=10m，OM2=OE2-EM2=102-62=64，所以OM=8（m）OD=OC-CD=10-4=6（m），OM-OD=8-6=2（m）.即水面涨高了2m. 20.某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动. （1）甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少？（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是.（1）解：画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为；（2）解：乙同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），∴乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是：；故答案为：21.如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0）由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）即：y＝a（x﹣1）（x+3）把B（0，3）代入得：3＝﹣3a∴a＝﹣1∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），B（0，3），∴，∴直线AB为y＝x+3，作PQ⊥x轴于Q，交直线AB于M，设P（x，﹣x2﹣2x+3），则M（x，x+3），∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，∴，当时，，，∴△PAB的面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）.22.如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为的中点，点D为圆上一动点，过A 点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则＝________；（2）①当点D在上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（1）（2）解：①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，∵AC＝BC，∴∠BDC＝∠CDA＝∠DAM＝45°，∴AM＝DA，DN＝DB，∴DC＝DN+NC＝DB+ DA＝（DB+DA），即DA+DB＝DC；②在Rt△DAB中，DA2+DB2＝AB2＝m2，∵（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB，且由①知DA+DB＝DC＝t，∴（t）2＝m2+2DA•DB，∴DA•DB＝t2﹣m2，＝DA•DB＝t2﹣m2，∴S△ADB∴△ADB的面积S与t的函数关系式S＝t2﹣m2；（1）解：如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为的中点，∴，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝AB，∴DA+DB＝AB＝CD，∴＝.故答案为：.23.已知：正方形ABCD，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E、F分别在边BC、CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；童威同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，所以△ADF≌△ABG．（2）如图2，点M、N分别在边AB、CD上，且BN＝DM．当点E、F分别在BM、DN上，连接EF，探究三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，当点E、F分别在对角线BD、边CD上．若FC＝2，则BE的长为________．（1）证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，∴△ADF≌△ABG∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG∵正方形ABCD∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上∵∠EAF＝45°∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°即∠EAG＝∠EAF在△EAG与△EAF中，∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EG＝EF∵BE+DF＝BE+BG＝EG∴EF＝BE+DF（2）解：EF2＝BE2+DF2，证明如下：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2）∴△ADF≌△ABH∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH∵∠EAF＝45°∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°即∠EAH＝∠EAF在△EAH与△EAF中，∴△EAH≌△EAF（SAS）∴EH＝EF∵BN＝DM，BN∥DM∴四边形BMDN是平行四边形∴∠ABE＝∠MDN∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°∴EH2＝BE2+BH2∴EF2＝BE2+DF2（3）解：作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）∵∠ADF＝90°∴AF为⊙O直径∵BD为正方形ABCD对角线∴∠EDF＝∠EAF＝45°∴点E在⊙O上∴∠AEF＝90°∴△AEF为等腰直角三角形∴AE＝EF在△ABE与△CBE中∴△ABE≌△CBE（SAS）∴AE＝CE∴CE＝EF∵EM⊥CF，CF＝2∴CM＝CF＝1∵EN⊥BC，∠NCM＝90°∴四边形CMEN是矩形∴EN＝CM＝1∵∠EBN＝45°∴BE＝EN＝故答案为：24.如图抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时.那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线.如图1，已知抛物线C1:y1= x2+x与C2:y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1， C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1).（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式:（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形?如果存在.请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由:（3）如图2.点F(-6，3)在抛物线C1上，点M、N分别是抛物线C1， C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2.观察图像.当y1≤y2时，写出x的取值范围.并求出在此范围内S的最大值.（1）解：C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上.C1顶点，易得A(-2，-1)，C2过A，D两点则，解得∴y2= x2+x+2∴B(2，3)（2）解：直线AB的解析式为y=x+1①若B为直角的顶点，BE⊥AB，kBE ·kAB=-1.得kBE=-1，则BE的解析式为:y=-x+5联立解得或此时，E（6，-1）②若A为直角顶点.AE⊥AB.kAE ·kAB=-1，得kAE=-1则AE的解析式为y=-x-3联立解得或此时,E(10,-13)③若E为直角的顶点.设E(m，m2+m+2)由BE⊥AE得kBE ·kAE=-1即=-1 解得.m=2或m=-2(均排除)所以存在，E1(10，-13)或E2(6，-1)（3）解：∵y1≤y2，观察图形可得:x的取值范围为-2≤x≤2设M(t，t2+t) N(t，t2+t+2)，且-2≤t≤2 易求，AF解析式为:y=-x-3过M作×轴的平行线MQ交AF于Q由yQ =yM，得，Q( t2-t-3, t2+t)S 1= |QM|·|yA-yp|= t2+4t+6设AB交MN于P，易知:P坐标为(t，t+1)S 2= |PN|·|xA-xB|=2- t2S=S1+S2=4t+8当t=2时，有Smax=16。