高中数学(新人教A版)必修3第一章1.3《算法案例---秦九韶算法》课件

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算 法 案 例
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复习引入:
1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 （ ）和（ ）。
2、两个数21672，8127的最大公约数是 （
）
A、2709
B、2606
C、2703
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f ( x) ((an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即
v2 v1 x an 2 v3 v2 x an 3
n n 1
n2
a1 x a0
a1 ) x a0
n 3
这是怎样的一 种改写方式？ 最后的结果是 什么？
( an x
n 1
an 1 x

(( an x
n2
an 1 x
a2 ) x a1 ) x a0
((an x an 1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
n=1 v=a5
这是一个在秦九韶算法中 反复执行的步骤，因此可 用循环结构来实现。
n=n+1
n≤5?
Y
v=vx0+a5-n N
输出v
结束
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另解：（秦九韶算法的另一种直观算法） 多项式的系数
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5
2
3.5
-2.6
1.7
-0.8
+
X5
0
5
25

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课堂小结：
1、秦九韶算法的方法和步骤
2、秦九韶算法的程序框图
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第步：输入i次项的系数an.
第四步：v=vx+ai, i=i-1.
第五步：判断i是否大于或等于0，若是，则返回第三 步；否则，输出多项式的值v。
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金太阳教育网 （2）程序框图：
开始
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输入n,an,x V=an
i=n-1
i=i-1 v=vx+ai i>=0? N 输出v 结束
共做了4次乘法运算，5次加法运算。
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《数书九章》——秦九韶算法 设 f (x) 是一个n 次的多项式
f ( x) an x an 1 x
n n 1
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a1 x a0
对该多项式按下面的方式进行改写：
f ( x) an x an 1 x
输入ai
Y
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（3）程序：

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INPUT “n=”；n INPUT “an=“;a
INPUT “x=“;x
v=a i=n-1
WHILE i>=0
PRINT “i=“;i INPUT “ai=“;a
v=v*x+a
i=i-1 WEND
PRINT v
D、2706
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新课讲解:
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怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？
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计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１
135
692.5 3449.5 17256
27 138.5 689.9 3451.2 17255.2
多项式的值
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思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？
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(1)、算法步骤：
第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的 值. 第二步：将v的值初始化为an，将i的值初始化为n-1.
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例： 已知一个五次多项式为
5 4 3 2
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f ( x) 5 x 2 x 3.5 x 2.6 x 1.7 x 0.8
用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解： 将多项式变形：
f ( x) (((( 5 x 2) x 3.5) x 2.6) x 1.7) x 0.8
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所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
最后的一项 是什么？
v1 an x an 1

vn vn 1 x a0
这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次 多项式的值的方法，称为秦九韶算法。
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秦九韶算法的特点：
通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项 式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n 次加法即可。
END
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练习：
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1、已知多项式f(x)=x5+5x4+10x3+10x2+5x+1
用秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。
2、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值。
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你从中看到了 怎样的规律？ 怎么用程序框 图来描述呢？
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所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2
程序框图：
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开始
输入f(x)的系数： a0,a1,a2,a3,a4a5
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输入x0
v 0 a n v k v k 1 x a n k ( k 1,2, , n)
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算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１
=3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906
共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。
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算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１
按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：
v0 5 v1 5 5 2 27 v2 27 5 3.5 138.5 v3 138.5 5 2.6 689.9 v4 689.9 5 1.7 3451.2 v5 3451.2 5 0.8 17255.2