一阶常系数差分方程的特解公式
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
差分方程
(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
yxn a1yxn1 an1yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
例题 教材 208页 例3，例4
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
[差分方程求解]差分方程的解法1
![[差分方程求解]差分方程的解法1](https://img.taocdn.com/s3/m/8d55df0453d380eb6294dd88d0d233d4b14e3f04.png)
[差分方程求解]差分方程的解法1篇一: 差分方程的解法1第三节差分方程常用解法与性质分析高中数学新课标选修内容“一阶线性差分方程”的解法分析江西省高中数学课程标准研究组舒昌勇在高中数学新课标选修系列4的“数列与差分”专题中，一阶常系数线性差分方程xn+1=kxn+b是讨论的重点，其一般形式为xn+1=kxn+f其中k为已知的非零常数，f为n的已知函数．当f≠0时，方程称为非齐次的，f=0时，方程xn+1=kxn称为齐次的，并称为相应的齐次方程．方程是方程当f为常数的情况，是方程能用待定系数法求特解时所具有的几种特殊形式里最简单的一种．我们来讨论方程和通解的求法．1 求一阶齐次差分方程xn+1=kxn的通解用迭代法，给定初始值为x0，则一阶齐次差分方程xn+1=kxn 的通解为23x1 = kx0，x2=kx1=kx0，x3=kx2=kx0，?，一般地，有n-1nxn= kx0-1= k= kx0，n = 1，2，?，由于x0表示初始值，可任意给定，所以可视其为任意常数，不妨用c来表示．又根据差分方程通解的定义：如果差分方程的解中含有与方程的阶数相同个数的相互独立的任意常数，则为其通解，故一阶线性齐次方程xn+1=kxn的通解可表为nxn=kc.对于每一个任意给定的初始值x0，都能得到方程相应于该初始值的一个特解.而求特解只要将给定的初始值x0代入通解求出待定常数c即可.2 求一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b的通解2．1探索一阶非齐次差分方程xn+1=kxn+b通解的结构设数列﹛yn﹜，﹛zn﹜为方程的任意两个解，则yn+1=k yn +bzn+1= k zn +b－得yn +1－zn +1=k这意味着一阶非齐次线性差分方程任意两个解的差为相应齐次差分方程的解．从而，若an为非齐次方程的任意一个解，bn为非齐次方程的一个特解，则an-bn就为相应齐次方程的一个解．为了探索一阶非齐次差分方程通解的结构，我们对它的任意一个解an作适当变形：an=an+bn- bn= bn +这表明，一阶非齐次差分方程的任意一个解可表示为它的一个特解与相应齐次方程一个解的和的形式．从而非齐次方程的通解等于其一个特解加上相应齐次方程的通解．2．2 求一阶非齐次差分方程的通解①用迭代法，设给定的初始值为x0，依次将n=0，1，2，?代入，有x1=kx0+bx2=kx1+b=k+b =k2x0+bx3=kx2+b= k[k2x0+b]+b= k3x0+b??xn=knx0+bnⅰ）当k≠1时, 1+k+k2+?+k n-1 = 1?k 1?knb=kn+b 此时xn=kx0+01?k1?k1?kn由于x0表示初始值，可任意给定，故可设其为任意常数，从而x0－数．令x0－b 也为任意常1?kb=c，则的通解可表为1?kxn=knc+b 1?kⅱ）当k=1时,1+k+k2+?+k n-1=n此时xn=x0+nb由于x0可任意给定，即其可为任意常数，故的通解可写为xn=c+nb②待定系数法与求解常微分方程类似，待定系数法也是求非齐次线性差分方程一个特解的一种较为简便、常用的方法．其基本思想是：根据方程的非齐次项f的特点，用与f形式相同但系数为待定的函数，作为方程的特解，然后将该试解函数代入方程，以确定试解函数中的待定系数，从而求出方程的一个特解．ⅰ）当k≠1时，设方程有一特解xn =A，其中A为待定常数，将其代入，有A=kA+b ，A=b ，即xn=b 1?k1?k知此时方程的通解为xn= knc+b 1?kⅱ）当k=1时，方程为xn+1=xn+b，知其解数列的一阶差分为常数，可设其有形如xn =An的特解，代入，有A=An+b ，得A=b ，即xn=bn知此时方程的通解为xn= knc+bn= c+bn例1 求差分方程2yt+1+5yt=0的通解，并求满足y0=2的特解.解将原方程改写成yt+1=yt ，25t)c ，c为任意常数. 250用y0=2代入通解：2=c ，得c = 2 . 25t满足初值y0=2的特解为yt=2. 2例2 求下列差分方程的通解xn+1=xn+4xn+1+xn=4解方程中有k=1，b=4 .其通解为xn=c+4n ，.原方程可化为xn+1= －xn+4 ，方程中k=－1，b=4 ，其通解为xn= nc+4 1?= nc+2 ，.例3 某学术报告厅的座位是这样的安排的：每一排比前一排多2个座位.已知第一排有30个座位，若用yn表示第n排的座位数，试写出用yn表示yn+1的公式. 第10排的座位是多少个？若用Sn表示前n排的座位数，试写出用Sn表示Sn+1的公式. 若该报告厅共有20排，那么一共有多少个座位？解yn+1= yn+2 n =1,2,?解上述差分方程，其中k=1,b=2 ，通解为yn=2n+c ，c为任意常数 .由已知y1=30，代入，得c = 28 .特解为yn=2n+28 ，y10=2×10+28=48 .Sn+1=Sn+yn+1=Sn+[2+28]可得表达式为Sn+1=Sn+2n+30 ，n=1，2，?先解上述差分方程，2由Sn+1－Sn=2n+30 ，即△Sn=2n+30,知Sn的表达式为n的二次函数，设Sn=An+Bn+C，22则△Sn =A+B+C－An－Bn－C=2A n+ A+B = 2n+30 .可得A=1，B=29 . 又由初始条件y1= 30= S1，有30 =A+B+C ，故C=0 .2因此本问题的特解Sn= n+29n ，n =1,2,?2S20= 20+29×20=980.注意：在本例小题中每排座位数的表达式yn+1=yn+2 yn+1－yn=2,与小题中前n+1排座位数表达式Sn+1=Sn+2n+30即Sn+1-Sn=2n+30都属一阶非齐次线性差分方程xn+1=kxn+f类型，但前者属f为常数的情况，而后者属f 为n的一次函数的情况，利用差分有关知识，知Sn的表达式是关于n的二次函数．参考文献[1] 教育部.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.83-85.[2] 严士健，张奠宙，王尚志. 普通高中数学课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.218-228.[3] 张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004．431，448-460.[4] 黄立宏，戴斌祥.大学数学[M]. 北京：高等教育出版社，2002.380-389 .1、常系数线性差分方程的解方程a0xn?k?a1xn?k?1?...?akxn?b 其中a0,a1,...,ak为常数，称方程为常系数线性方程。
差分方程
xk = ( − a ) x0 , k = 1, 2,L
k
所以当且仅当|a|<1时 方程（ 所以当且仅当|a|<1时，方程（2）的平衡点 |a|<1 从而方程（ 的平衡点）才是稳定的. （从而方程（1）的平衡点）才是稳定的.
常数矩阵A构成的 常数矩阵 对于n维向量 x ( k ) 和n×n常数矩阵 构成的 对于n (3) 方程组 x ( k + 1) + Ax ( k ) = 0 其平衡点稳定的条件是A的特征根 其平衡点稳定的条件是 的特征根
g 曲线斜率 y P3 f f P4 g P4 P3 K f < Kg K f > Kg y0 y0 P0 P0 y3 P2 P2 P1 y1 P1 0 x2 x x3 x1 x 0 x0 x 0
y y2
方程模型
yk = f (xk ) x k +1 = h ( y k )
在P0点附近用直线近似曲线
yk − y0 = −α ( xk − x0 ) (α > 0) xk +1 − x0 = β ( yk − y0 ) ( β > 0)
k +1
xk +1 − x0 = −αβ ( xk − x0 ) x
− x 0 = ( −αβ ) ( x1 − x 0 )
k
αβ < 1 (α <1/ β)
xk → x0 xk → ∞
= 1，故有解 an = 2 −1
n
1.3 差分方程的平衡点及稳定性 (1) 一阶线性方程的平衡点及稳定性 一阶线性常系数分方程
x k +1 + axk = b, k = 0,1,2,L
的平衡点由 x + ax = b 当
8.6 一阶差分方程
二、一阶常系数线性差分方程
齐次线性差分方程的通解 例2 求差分方程yx+13yx=0的通解和y0=5的特解． 解： 特征方程为 r 3 0 特征根为 r 3 差分方程的通解为 y x C 3 x
将y0=5代入通解得：
5 C3
即 故所求特解为：
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铃
应用微分方程解决具体问题的步骤如下 一、分析问题,建立方程，并提出初始条件 二、求出微分方程的通解 三、根据初始条件确定通解常数，得到 所需的特解
7.6.1 几何上的应用
例1 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
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铃
一、基本概念
函数的差分 设函数y=f(x)，当x以相等间隔取一系列离散值 x， x+1， x+2，……，记作
则差yx+1yx称为函数yx的差分，也称为一阶差分，记为 y x 函数 yx f ( x) 在 x 的一阶差分的差分为函数在 x 的二阶差分， 2 yx 记作 ，即
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y* ( x) 2x x 2
1 例5 求差分方程 y x 1 y x ( x 1)3 3 的通解 解： 对应齐次差分方程特征方程为 r 1 0 特征根为 r 1
x
齐次差分方程的通解为 y x C 由叠加原理知方程的特解由下面两个方程的特解相加 得到
(2)
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一阶线性常系数差分方程及其应用
r=[.09;.09;-.1;-.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; % 增长率
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];
% 初始值
for n=1:20
x(:,n+1)=(1+r).*x(:,n);
% 迭代计算
end s{1}='单调增趋于正无穷大,r>0,x_0>0';
3.2.4 按揭贷款
1. 问题提出
购买商品房，首付至少两成，余款做按揭贷款， 如何设计合适的按揭计划.
2. 问题分析
个人住房按揭贷款通常有两种分期还本付息方 式，一种是等额本息还款法，每月还款计算公式为：
每月还款额=贷款本金×月利率× （1+月利率）还款月数/[（1+月利率）还款月数-1]
3.2.4 按揭贷款
解答（续） 结论 （1）在中等和较差的自然环境下，由于 1 r 0 ，且 x0 0 ，所以 xk 单调衰减趋于 0，即沙 丘鹤将濒于灭绝；在 1 r 0 范围内，r 的绝对值越 大， xk 单调衰减得越快. （2）在较好的自然环境下，由于 r 0 ，且 x0 0 ， 所以 xk 单调增趋于无穷大，即沙丘鹤数量将无限增长.
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x0>0
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
一阶差分方程
y k +1 = y k (1 + r ) − m, y 0 = 10000
k = 0, 1, 2, L
(5.5.1) (5.5.2)
其中 r 为月利率, 是年利率的 1 /12 . (5.5.1) 与 (5.5.2) 类似于大家熟知的微分方程初值问题 , 称为差分方程的初值问题 . 其中 (5.5.1)是差分方程,而(5.5.2)是其初值. 你现在用 m=434.87, r=0.345 %代入(5.5.1), 验证一下, 看看是否 y24 = 0 ? 现在要问：月还款额 m 是如何确定的？ 如果已知 r , m , y0 ,要求 yk 的一般表达式, 这就是(5.5.1)的求解. 令 zk = yk - yk-1, 即 yk 的差分, k = 1, 2, …. 于是不难得 zk+1=(1+r) zk, 从而有 zk = z1(1+r) k-1 , k = 1, 2, …. 然后, yk - y0 = z1 + z2 + … + zk = z1[ 1 +(1+ r )+ …+(1+r) k-1]
5.5.4. 一阶常系数非线性差分方程 x t+1= a x t (1- x t)
例 5.5.6 动物种群的约束增长模型.
假设某种动物栖息地能够容纳动物最大数量为 M,称为动物容量,如果数量超过 M,就会 出现数量的负增长.而且当数量接近 M 时, 增长速度会缓慢下来. 如果用 yt 表示动物在时刻 t 的数量, 则单位时间以后的动物数量是 y t +1 , 于是我们可以得到这种动物数量的变化规律: yt+1-yt = k yt(M- yt) 其中 k 是正的比例系数. 现在把(5.5.5)改写为 yt+1 = (1+ k M) yt - k y t 2 , 其一般形式是 yt+1 = a yt - b y t 2 对它作适当的变量代换: y t = x t+1= a x t (1- x t) . 因此我们要研究二次函数 ( 称为逻辑斯蒂映射 ) f(x) =ax(1- x ) , xœ[0,1] 2, 2.9, 3.4, 3.5, 3.7, 4 以及 x0 = 0.2, 分别作 实验 5.5.7 取定参数 a = 0.5, 1, 1.5, (5.5.5)
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Ｖｏ ． ． Ｉ４ ＮＯ １
Ｊｎ． ２ ０ ａ ０８
一
阶 常 系数 差 分 方 程 的 特 解 公 式
赵 士 银 （ 苏宿 迁 学院 教 育 系 ， 江 江苏 宿迁 ２ ３ ０ ） ２８０
摘 要 ：利 用比较 系数 法， 导 出一 阶常 系数 线性差 分方程 Ｙ＋ ＋Ｐ ｔ １ Ｙ ＝（ １ ＋ａ ） ｙ＋ ＋Ｐ ， ｌ Ｙ 推 ｔ２ Ｙ＋ ＋ｑｔ ａ ｔ ｏ ｄ 和 ｔ２ Ｙ ＋ ＋ｑｔ
比较 系数得
，
ａ１
以ｏ
Ｄ１
２ 一 ｄ
Ｄ０
一 Ｄ１
在 定理 １中 ， 若方程 （ ） 的 ａ １中 ＝ ０ 则有 ， 推论 １ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ ＋ 川 ａ ＝ａ ｄ （ ａ 、 均为 常数 ）的特解形 式可 写为 ｙ ｏ ａ、 ０ｄ
方程 的特 征方程 记 为
ｒ＋ ａ ＝ ０ （） ２
ｂｔ ｏ ｄ
其中 ｂ ｏ 。＝ ａ
，
是 特征根
若令 ｆ ｄ）＝ ｄ＋ａ， 方程 （ ） （ 则 １ 的特 解形 式可写 为
（ １ ｂ ｔ＋ ｂ ） ０ｄ
在 定理 １中 ， 若方程 （ ）中 的 ｄ － ， 有 １ ７ 则 －１ 推论 ２ 一 阶 常 系 数 线 性 非 齐 次 差 分 方 程 Ｙ＋ ｔ１＋ ａ １ ＋ａ （ ａ 、 为常 数 ） ｙ ＝ａ ｔ ｏ 以、 ｏｄ均 的特 解形 式可写 为
ｂ ｄ ｏ
１ ｆ（ ） ａ ｔ ｏｄ ｔ ＝（ ｌ ＋ａ ）
定理 １ 设有 一 阶常 系数线性 非齐 次差 分方 程
Ｙ＋ ＋ａ ｆ＝ （ １ ｆ１ ｙ ａ ｔ＋ａ ） ０ｄ （） １
其中 ６ 。＝
ｆ
， 不是 特征根
其 中 ａ、 ０ ａ 、 ａ 、 ｄ均 为 实常 数 ， 式 （ ） 应 的齐 次 且 １对
其中 ６ ＝
ｄ不 是特 征根
ｆ
， （＝ ６）
，
ｔ ｂ ｔ＋ｂ ） （１ ０
其中 ６ ＝
＊
， 。＝ ６
， 不是 特征 根 １
ｆ
其中 ６ ＝
是特 征根
收 稿 日期 ： ０ ７—０ ～１ ２０ ２ ６
， 。＝ ６
一
ｔｂ ｔ ｂ ） （ １ ＋ ０
（ １ ＋ａ ）ｉｗ 特解的一般公式 ， 用该公式 可以直接得到 此类差分方程 的特 解． ａ ｔ ｏｓ ｔ ｎ 利
关键词 ：特解 ； 特征方程 ； 特征根
中 图分 类 号 ：Ｏ１５ １ ７． 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ： １７ ６ ３—１ ０ （０ ８ ０ —０ ９ —０ ６ ３ ２ ０ ）１ ０ １ ３
维普资讯
第 ４卷第 １ 期
２００８年 １ 月
沈 阳工程 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｈ ｎ ａ ｇＩｓｉ ｔ ｆ ｎ ｉｅｒ ｇ Ｎａｕａ Ｓ ｉ ｃ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｅ ｙ ｎ ｎｔ ｕｅ ｇｎ ｅｉ （ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｎ Ｓ ｔ ｏＥ ｎ ｅ
其根 为 ｒ ＝ ３ 故 原 方 程 对 应 的齐 次 方 程 的通 解 为 ，
Ｙ ＝Ｃ 由于 ｄ ＝ ３是 特征根 ， １＝ １ ａ ３， ａ ， ０＝ ２ 于是 ， 由定理 １ 原 方程 的特解 为 ，
一
阶常 系 数线 性非 齐 次差 分 方 程 Ｙ ＋ ａ ＝ 川 ｙ
只证 ｄ是 特征 根 的情形 ．
ｆ（ ） 其 中 ， ｔ（ ａ为常数 ， （ ） 已知 函数 ）的通 解 等 于 厂ｔ 为 其 对应 的一 阶 常系数线 性齐 次差 分方 程 Ｙ ＋ａ 川 ｙ ＝０
证 明： 设方 程 （ ） 应 的特征 方 程 为 （ ） 且 ｄ 是 １对 ２，
方程 （ ）的特征根 ， 方程 （ ） ２ 则 １ 的特 解可设 为
Ｙ ＝ ｔ ｂ ｔ＋ｂ ） ｔ （１ ｏｄ 从而 Ｙ ｔ１＝ （ ＋ ｔ＋ １ （ １ ｔ＋１ ＋ ｂ ） ）ｂ （ ） ｏ （） ４ （） ３
的通解再 加 上 自身 的一 个特 解 ， 由于 Ｙ ＋ａ ０的 川 ｙ＝
其 中 ６ ，。＝ 以 １： ６ 。一ｂ ， ｌ１是特 征根
作 者 简 介 ： 士 银 （９ ８ ， ， 赵 １ ７ 一） 男 江苏 宿迁 人 ， 师 讲
维普资讯
・
９ ２・
沈 阳工程 学 院学报 （ 自然科 学版 ）
第４ 卷
２ ｆ（ ） ａ ｔ ／）ｉｃｔ ｔ ＝（ ｌ ＋ｔ ｓ ｏ ０ ｎ
通 解 较 为 容 易 求 出 ， 以关 键 在 于 求 Ｙ ＋ ａ ： 所 川 ｙ ｆ ｔ 的特解 ． 自由项 ｆ（ ） 函数 （ ０ １ ） （ ０ （） 当 ｔ为 ａ ＋ａ ｄ ，ａ ｔ ＋ａ ｔ ｓ ｒ ，ａ １ ）ｉ ｏ （ ｏ＋ａ ｔ ｃｓ ｔ 文献 ［ ｎｔ １ ）ｏｏ ， ａ １—４ 上介 绍 的 ］
将 式 （ ） （ ） 入方 程 （ ） 整理 得 ３ 、４ 带 １并
（ｂ ｄ ｏ＋２ ｂ ＋ ａ ０ ｔ＋ （ ｂ ｄ１ ｂ） ａ ｏ＋ｄ １ ｂ ）： ａ ｔ＋ａ １ ｏ
常用方法 都是 待定 系数 法 ， 即先 设 出含 有待 定 系数 的 特解， 然后 把其 带入 原差 分方 程 ， 过 比较所得 等式 两 通 边 的系数 求 出待定 系数 ． 这样 的方 法 一般 解 题 计 算 量 都 较大 ． 里提 供 了一 个 可直 接 定 出此类 方 程 特 解 的 这 公 式 ， 而省去 了繁 琐 的计 算 ． 从
根据 欧拉 公式 以 及线 性 差 分 方程 解 的叠 加原 理 ， 原 方程 可化为 Ｙ ＋ ＋ａ ａ ｔ ｏ ， ｔ １ ｙ ＝（ １ ＋ａ ） 从而 由定理
１程 Ｙ＋ —３ ｔ ｔ ） 的通解 ． ｔ２ ｙ ＝（ ＋２ ３
解 原方 程对 应 的齐次方 程 的特征方 程 为 ｒ一３＝ ０ ，