2020年高考数学(理)热身卷(三)
2020年全国统一高考数学试卷理科(新课标Ⅲ)(附答案及详细解析)
（t 为参数且 t≠1），C 与坐标
轴交于 A，B 两点． （1）求|AB|； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程． [选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 23．设 a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； （2）用 max{a，b，c}表示 a，b，c 的最大值，证明：max{a，b，c}≥ ．
B．3
C．4
D．6
2．（5 分）复数
的虚部是（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
3．（5 分）在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1，p2，p3，p4，且 pi＝1，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
（1）求 b； （2）若 f（x）有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f（x）所有零点的绝对值都不大于 1． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
A．1
B．2
C．4
D．8
12．（5 分）已知 55＜84，134＜85．设 a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（ ）
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．b＜c＜a
D．c＜a＜b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）若 x，y 满足约束条件
2020年高考全国III卷理科数学试题(含解析)
一、选择题1.已知集合*{(,)|,,}A x y x y N y x =∈≥，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】{(4,4),(3,5),(2,6)(1,7)}A B =，有4个元素，故选C.2.复数113i -的虚部是（ ）A.310-B.110-C.110D.310【答案】D【解析】1131313(13)(13)10i ii i i ++==--+，故选D. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 （ ）A.14p p ==30.1=C.14p p ==30.2= 【答案】B等，都为选项中，大部分数4.Logistic 0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K *t 约为 （ ）（ln193≈A.60 69 【答案】C1319≈-，∴*66t ≈. 5.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 （ ） A.1(,0)4 B.1(,0)2 C.(1,0) D.(2,0)【答案】B【解析】不妨设(2,4)D p ，(2,E ，∵OD OE ⊥，∴440OD OE p ⋅=-=，解得1p =，故抛物线C 的方程为22y x =，其焦点坐标为1(,0)2.6.已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,a a b <+>=（ ）A.3135-B.1935-C.1735D.1935【答案】D【解析】由2()||25619a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，又22||27a b a a b b +=+⋅+=，所以()1919cos ,5735||||a a b a a b a a b ⋅+<+>===⨯⋅+，故选D.7.在ABC ∆中，2cos ,4,33C AC BC ===，则cos B = （ ）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】由余弦定理可知：2222222||||||34||cos 32||||234BC AC AB AB C BC AC +-+-===⋅⨯⨯，可得|| 3 AB =，又由余弦定理可知222222||||||3341cos 2||||2339AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯. 故选A.8.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）A.6+ B. C. D.4+【答案】C棱PC ⊥底面ABC 606=+︒C.9.已知2tan tan()74πθθ-+=，则tan θ= （ ）A.2-B.1-C.1D.2 【答案】D【解析】由题可知1tan 2tan 71tan θθθ+-=-，化解得：22tan 2tan 1tan 77tan θθθθ---=-，解得tan 2θ=.故选D.10.若直线l 与曲线y 和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为 （ ）A.21y x =+B.122y x =+C.112y x =+ D.1122y x =+ 【答案】D【解析】由y =得y '=假设直线l与曲线y =相切于点0(x ， 则直线l的方程为0)y x x =-，即00x x -+=.由直线l 与圆2215x y +==，解得01x =，故直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 11.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F.P 是C 上一点，且12F P F P ⊥.若12PF F ∆的面积为4，则a = （ ） A.1D.8 【答案】 A【解析】法一：设1PF m =，则12142PF F S mn ∆==，又ce a=a 所以24tan 45b ︒=又因为c e a ==12.已知5458<，45138<.设5，8，13，则 （ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】A【解析】易知,,(0,1)a b c ∈，由2225555558log 3(log 3log 8)(log 24)2log 3log 8log 54144a b +==⋅<==<知a b <， 因为8log 5b =，13log 8c =，所以85,138b c ==，即554485,138b c ==， 又因为544558,138<<，所以445541385813c b b =>=>，即b c <， 综上所述：a b c <<.故选：A. 二、填空题13.若x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为________.【答案】7【解析】作出可行域如图所示，由32z x y =+知3122y x z =-+，由图可知，当目标函数过点(1,2)A 时，取得最大值，即max 7z =.14.262()x x+的展开式中常数项是________（用数字作答）.【答案】240【解析】因为2(6)123r r r r r r r ---240.15.________.【答案】3锥的母线长为，可得OD BCOS BS =322r -23316.关于函数1()sin sin f x x x=+. ①()f x 的图像关于y 轴对称； ②()f x 的图像关于原点对称；③()f x 的图像关于直线2x π=对称；④()f x 的最小值为2.其中所有真命题的序号是________. 【答案】②③【解析】对于①，由sin 0x ≠可得函数的定义域为{|,}x x k k Z π≠∈，故定义域关于原点对称，由11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x-=-+=--=--，所以该函数为奇函数，关于原点对称，①错②对；对于③，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x xπππ-=-+=+=-，所以()f x 关于2x π=对称，③对；对于④，令sin t x =，则[1,0)(0,1]t ∈-，由双勾函数1()f t t t=+的性质，可知()(,2][2,)f t ∈-∞-⋃+∞，所以()f x 无最小值，④错.三、解答题17.设数列{}n a 满足13a =，134n n a a n +=-. （1）计算23,a a .猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列{2}n n a 的前n 项和n S .【解析】（1）由13a =，134n n a a n +=-，21345a a =-=﹐323427a a =-⨯=，… 猜想{}n a 的通项公式为21n a n =+. 利用数学归纳法证明：（i ）当1,2,3n =时，显然成立；（ii ）假设()n k k N *=∈时猜想成立，即21k a k =+，则1n k =+时，1343(21)42(1)1k k a a k k k k +=-=+-=++， 所以1n k =+时猜想也成立， 综上（i ）（ii ），所以21n a n =+. （2）令2(2n n n b a ==则12n n S b b b =+++2323252n S =⨯+⨯+由①-②得，1322(21)2n n n S n +-=+⨯+⨯，化简得(21)2n S n =-⨯18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分別估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据所给数据.完成下面的22⨯列联表.并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，.【解析】（1）根据上面的统计数据，可得：该市一天的空气质量等级为1的概率为2162543100100++= 该市一天的空气质量等级为2的概率为5101227100100++=，该市一天的空气质量等级为3的概率为67821100100++=， 该市一天的空气质量等级为4的概率为7209100100++=. （2）由题意，计算得1000.203000.355000.45350x =⨯+⨯+⨯=， 即一天中到该公园锻炼的平均人次的值计值为350. （3）22⨯列联表如下：由表中数据可得：22100(3383722)K ⨯⨯-⨯所以有95%. 19.如图，在长方体1上且112,2DE ED BF FB ==（1）证明：点1C （2）若12,1,3AB AD AA ===，求二面角1A EF A --的正弦值.【解析】（1）在1AA 上取一点M ，使得12A M AM =，分别连接EM ，1B M ，1EC ， 1FC .在长方体1111ABCD A B C D -中，有111////DD AA BB ，且111 DD AA BB ==， 又12DE ED =，12A M AM =，12BF FB =，所以1DE AM FB ==， 所以四边形1B FAM 和四边形EDAM 都是平行四边形. 所以1//AF MB 且1AF MB =，//AD ME 且AD ME =，又在长方体1111ABCD A B C D -中，有11//AD B C ，且11AD B C =，所以11//B C ME 且11B C ME =，则四边形11B C EM 为平行四边形， 所以11//EC MB ， 所以1//AF EC ，所以点1C ，在平面AEF 内.（2）在长方形1111ABCD A B C D -中，以1C 为原点，11C D 所在直线为x 轴，11C B 的直线为y 轴，1C C 2AB =，1AD =，13AA =所以(2,1,3)A ，E (2,1,0)，则(2,1,EF =-(0,1,1)=--，1(0,1,2)A E =-1111(,,)n x y z =，则1100n EF n AE ⎧⋅=⎧⎪⇒⎨⎨⋅=⎩⎪⎩，取法向量1(1,1,1)n =-，设平面1A EF 22(,n x =，则2222210200n EF z y z n A E ⎧⋅==⎪⇒⎨-+=⋅=⎪⎩，取法向量2(1,4,n =所以121212142cos ,||||321n n n n n n ⋅+-<>==⋅⋅设二面角1A EF A -为θ，则42sin 7， 即二面角1A EF A -的正弦值为20.已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点.（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ ∆的面积.【解析】（1）c e a ==22516m =，∴C 的方程：221612525x y +=. （2）设直线BP ：(5)y k x =-，与椭圆C 联立可得：2222(116)160400250k x k x k +-+-=.设00(,)P x y ，则202400255116k x k -=+，∴202805116k x k-=+，∴0210||5|116PB x k =-+. ∵BP BQ ⊥，∴直线BQ ：1(5)y x k=--.令6x =，1y k =-，∴1(6,)Q k -，||BQ =∵||||BP BQ =，∴214k =或2164k =. 根据椭圆的对称性，只需讨论12k =和18k =的情况，当12k =时，03x =，||PQ =PQ 点A 到直线PQ 11122APQ S PQ d ∆=.||⋅=当18k =时，03x =-||PQ =∴点A 到直线PQ ∴21|2APQ S PQ d ∆=.|⋅综上52APQ S ∆=.21.设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直.（1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1.【解析】（1）2()3f x x b '=+，又曲线()y f x =在点11(,())22f 处的切线与y 轴垂直，∴13()024f b '=+= ，解得34b =-.（2）设0x 为()f x 的一个零点，且011x -≤≤，由题意可知30034c x x =-+，令33()(11)4x x x x ϕ=-+-≤≤，则11()3()()22x x x ϕ'=-+，此时1(1,)2x ∈--，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；11(,)22x ∈-，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；1(,1)2x ∈，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则1(1)4f -=，11()24f -=-，11()24f =，1(1)4f =-，此时1144c -≤≤，再设1x 为()f x 的零点，则31113()04f x x x c =-+=，311131444x x -≤-+≤，整理得2111211(1)(1)01(1)()0x x x x x ⎧-++≤⎪⎨+-≥⎪，解得111x -≤≤， 则()f x 四、选做题（2选1）22.在直角坐标系xOy 1t ≠），C 与坐标轴交于,A B （1）求||AB ；（2的极坐标方程. 【解析】（1）当x =,求得12y =;当0y =时,求得2t =或t (0,12)和(4,0)-,||AB （2）由（1）得直线3120x y -+=,故直线AB 23.设a ，b ，c R ∈，（1）证明：ab bc ++（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c的最大值，证明：max{,,}a b c ≥. 【解析】（1）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，222()()2cb bc ca ab a b c ab a b ab a b ab ++=++=-+=---223()024b a b =-+-<.（2）∵0a b c ++=，∴()c a b =-+，∵1abc =，∴()1ab a b -+=，即：2210ba b a ++=，∵0b ≠，则440b b ∆=-≥. 不妨设b 为max{,,}a b c ，则340b -≥，即b ≥，∴max{,,}a b c ≥。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前 考试时间：2020年7月7日15:00-17:002020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅲ)数学(理科)试题 (解析版)试卷总分150分， 考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出AB 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2.复数113i-的虚部是（ ） A. 310-B. 110-C.110D.310【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】 【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差,由此可得出标准差最大的一组. 【详解】对于A 选项,该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项,该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=,方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项,该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=,。
2019-2020年高考数学热身试卷 文(3)(含解析)
2019-2020年高考数学热身试卷文（3）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．设i是虚数单位，那么使得的最小正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．34．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．156．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．137．已知a＞1，f（x）=a，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜18．从集合A={1，3，5，7，9}和集合B={2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（）A．B．C．D．9．若实数x，y满足不等式组则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣3，11] B．[﹣3，13] C．[﹣5，13] D．[﹣5，11]10．下列对于函数f（x）=3+cos2x，x∈（0，3π）的判断正确的是（）A．函数f（x）的周期为πB．对于∀a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=4D．函数f（x）在区间内单调递增11．函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．直角梯形ABCD，满足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2现将其沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A．B．C．3π D．4π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为．14．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=，点M，N满足，，λ∈R，若，则λ=．15．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为．16．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知点A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（﹣sinθ，2），且．（Ⅰ）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求的值．18．（12分）（xx•泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（I）求证：PB∥平面COD；（II）求证：PD⊥平面COD．19．（12分）（xx•滑县校级模拟）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某日，L市交警支队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒精浓度超标者60名，如图是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（Ⅰ）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，求这60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值；（Ⅲ）本次行动中，A，B两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的人中随机抽出2人抽血检验，求A，B两位先生至少有1人被抽中的概率．20．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知曲线C1：，曲线C2：．曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．若P为AC中点．①求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；②求四边形ABCD的面积．21．（12分）（xx•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（xx•南昌校级二模）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．（xx•滑县校级模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为x（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．选修4-5：不等式选讲24．（xx•南宁二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．xx年河南省安阳市滑县六中高考数学热身试卷（文科）（3）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x∈N|0＜x＜4}的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8考点：子集与真子集．专题：集合．分析：先求出集合的元素的个数，再代入2n﹣1求出即可．解答：解：∵集合A={x∈N|0＜x＜4}={1，2，3}，∴真子集的个数是：23﹣1=7个，故选：C．点评：本题考查了集合的子集问题，若集合的元素有n个，则子集的个数是2n个，真子集的个数是2n﹣1个，本题是一道基础题．2．设i是虚数单位，那么使得的最小正整数n的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由已知=，==1；由此得到答案．解答：解：因为已知=，==1；故=1；故选B．点评：本题考查了复数的运算；对于已知=，==1经常用到．3．已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（）A．﹣3 B．C．D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为θ，求得cosθ= 的值，只根据向量在上的投影为||•cosθ，计算求得结果．解答：解：由题意可得||=2，||=2，=0﹣6=﹣6，设向量与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴向量在上的投影为||•cosθ=2•（﹣）=﹣3，故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于基础题．4．要得到函数y=sin2x的图象，只需将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用诱导公式化简函数y=cos（2x﹣）为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．解答：解：因为函数y=cos（2x﹣）=sin（2x+），所以可将函数y=cos（2x﹣）的图象，沿x轴向右平移，得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x，得到函数y=sin2x的图象，故选：C．点评：本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．7 B．9 C．10 D．15考点：系统抽样方法．专题：概率与统计．分析：由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21，由451≤30n﹣21≤750 求得正整数n的个数．解答：解：960÷32=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为a n=9+（n﹣1）30=30n﹣21．由451≤30n﹣21≤750 解得15.7≤n≤25.7．再由n为正整数可得16≤n≤25，且n∈z，故做问卷B的人数为10，故选：C．点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题．6．图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m=209，n=121，则输出m的值等于（）A．10 B．11 C．12 D．13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：先求出m除以n的余数，然后利用辗转相除法，将n的值赋给m，将余数赋给n，进行迭代，一直算到余数为零时m的值即可．解答：解：当m=209，n=121，m除以n的余数是88此时m=121，n=88，m除以n的余数是33此时m=88，n=33，m除以n的余数是22此时m=33，n=22，m除以n的余数是11，此时m=22，n=11，m除以n的余数是0，此时m=11，n=0，退出程序，输出结果为11，故选：B．点评：算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．7．已知a＞1，f（x）=a，则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0 B．﹣2＜x＜1 C．﹣2＜x＜0 D．0＜x＜1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式的解集即不等式成立的充要条件；据当集合A⊆集合B且B⊊A时，A是B的充分不必要条件．解答：解：f（x）＜1成立的充要条件是：a＜1，∵a＞1∴x2+2x＜0∴﹣2＜x＜0∴f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是﹣1＜x＜0故选：A．点评：本题考查不等式的解集是不等式的充要条件；据集合之间的关系判断条件关系．8．从集合A={1，3，5，7，9}和集合B={2，4，6，8}中各取一个数，那么这两个数之和除3余1的概率是（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求出所有基本事件，两数之和除3余1的基本事件，即可求两数之和除以3余1的概率解答：解：从集合A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8}各取一个数，基本事件有（1，2），（1，4），（1，6），（1，8），（3，2），（3，4），（3，6），（3，8），（5，2），（5，4），（5，6），（5，8），（7，2），（7，4），（7，6），（7，8），（9，2），（9，4），（9，6），（9，8）共20个；其中两个数的和除以3余1基本事件有（1，6），（3，4），（5，2）（5，8），（7，6），（9，4）共6个，∴两个数的和除3余1的概率为P==．故选：D．点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．9．若实数x，y满足不等式组则z=2x+y的取值范围是（）A．[﹣3，11] B．[﹣3，13] C．[﹣5，13] D．[﹣5，11]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即B（6，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×6﹣1=11．即目标函数z=2x+y的最大值为11．当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣2，﹣1），代入目标函数z=2x+y得z=2×（﹣2）﹣1=﹣5．即目标函数z=2x+y的最小值为﹣5．目标函数z=2x+y的取值范围是[﹣5，11]，故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．下列对于函数f（x）=3+cos2x，x∈（0，3π）的判断正确的是（）A．函数f（x）的周期为πB．对于∀a∈R，函数f（x+a）都不可能为偶函数C．∃x0∈（0，3π），使f（x0）=4D．函数f（x）在区间内单调递增考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：直接结合所给的函数和三角函数的性质进行求解，注意取值范围问题．解答：解：对于选项A，错在所给函数已经限制了范围：x∈（0，3π），它不再具备周期性了，故选项A错误；对于选项B，不放取a=π，则函数f（x+a）是偶函数，故选项B错误；对于选项D，令π+2kπ≤2x≤2π+2kπ，∴+kπ≤x≤π+kπ，∵x∈（0，3π），∴单调增区间为[，π]，[，2π]，[，3π），故选项D错误；只有选项C符合题意，正确，故选C．点评：本题重点考查了三角函数的单调性和奇偶性等知识，属于中档题．11．函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数为（）A．9 B．10 C．11 D．12考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作图并利用三角函数的图象特征求解．解答：解：函数f（x）=lg（|x|+1）﹣sin2x的零点个数即y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象的交点的个数，作函数y=lg（|x|+1）与y=sin2x的图象如下，结合图象及三角函数的最值知，图象在y轴左侧有6个交点，在y轴右侧有5个交点，在y轴上有一个交点；故选D．点评：本题考查了函数的图象的应用及函数的零点的个数的判断，属于基础题．12．直角梯形ABCD，满足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2现将其沿AC折叠成三棱锥D﹣ABC，当三棱锥D﹣ABC体积取最大值时其外接球的体积为（）A．B．C．3π D．4π考点：球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：画出图形，确定三棱锥外接球的半径，然后求解外接球的体积即可．解答：解：已知直角梯形ABCD，AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折叠成三棱锥，如图：AB=2，AD=1，CD=1，∴AC=，BC=，∴BC⊥AC，取AC的中点E，AB的中点O，连结DE，OE，∵三棱锥体积最大时，∴平面DCA⊥平面ACB，∴OB=OA=OC=OD，∴OB=1，就是外接球的半径为1，此时三棱锥外接球的体积：=．故选：B．点评：本题考查折叠问题，三棱锥的外接球的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为8．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是以正视图为底面的四棱柱，求出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是以正视图为底面的四棱柱，其底面面积S=2×2=4，高h=2，故几何体的体积V=Sh=8，故答案为：8点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．14．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，BC=，点M，N满足，，λ∈R，若，则λ=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意推出，根据，通过向量的转化求得λ的值．解答：解：由题意可得，∵，，λ∈R，由于==[﹣]•[﹣]==﹣4（1﹣λ）﹣λ=﹣2，解得：λ=，故答案为：．点评：本题考查平面向量的数量积运算，着重考查了向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于中档题．15．已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB 为直角三角形，可得|AB|=．圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=2．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且△AOB为直角三角形，∴|AB|=r=．∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==，化为2a2+b2=2．∴+==≥=4，当且仅当b2=2a2=1取等号．∴+的最小值为4．故答案为：4．点评：本题考查了直线与圆相交问题弦长问题、点到直线的距离公式、基本不等式的性质，属于中档题．16．函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（0，3）．考点：利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求导f′（x）=2x﹣2•﹣a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f′（1）f′（2）＜0，从而解得．解答：解：∵f′（x）=2x﹣2•﹣a在（1，2）上是增函数，∴若使函数f（x）=2x log2e﹣2lnx﹣ax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f′（1）f′（2）＜0，即（﹣a）（3﹣a）＜0，解得，0＜a＜3，故答案为：（0，3）．点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了极值的定义，函数的零点存在定理的运用，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知点A（sinθ，1），B（cosθ，0），C（﹣sinθ，2），且．（Ⅰ）记函数，，讨论函数的单调性，并求其值域；（Ⅱ）若O，P，C三点共线，求的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）设设P（x，y），由向量的坐标运算求出、和的坐标，由和向量相等的充要条件求出x和y，求出的坐标，由向量的数量积运算和三角公式化简，再根据三角函数的单调性求出f（x）的单调性和值域；（Ⅱ）根据条件得，代入向量共线的坐标条件，由商的关系求出tanθ，再由二倍角的正弦公式和平方、商的关系将sin2θ用tanθ表示出来并求值，再求出的值．解答：解：设P（x，y），由得，即（cosθ﹣sinθ，﹣1）=（x﹣cosθ，y），所以x=2cosθ﹣sinθ，y=﹣1，亦即P（2cosθ﹣sinθ，﹣1）；（Ⅰ）=2sin2θ﹣2sinθcosθ﹣1=﹣sin2θ﹣cos2θ=；由得，所以，当即时，f（θ）单调递减，且，当即时，f（θ）单调递增，且，故，函数f（θ）的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为．（Ⅱ）由O、P、C三点共线可知，∥，即（﹣1）•（﹣sinθ）=2•（2cosθ﹣sinθ），得，所以===．点评：本题是向量与三角函数的综合题，考查了向量的坐标运算、数量积运算、向量相等的充要条件，三角恒等变换中公式，涉及的公式多，需要熟练掌握并会灵活运用18．（12分）（xx•泰安二模）如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC=AB，又P0⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO=PO．（I）求证：PB∥平面COD；（II）求证：PD⊥平面COD．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（I）根据线面垂直，得到线线平行，然后即可证明线面垂直．（II）根据题意，设出OA并表示出OP，OB，DA，然后通过线面垂直得到DA⊥平面ABC，在△PDO中，根据勾股定理判定直角三角形，然后得到PD⊥DO，最终综合即可证明线面垂直．解答：证明：∵PO⊥平面ABCD，AD∥PO，∴DA⊥AB，PO⊥AB又DA=AO=AB．∴∠AOD=又AO=PO，∴OB=OP∴∠OBP=∴OD∥PB又PB⊄平面OCD，OD⊂平面COD．∴PB∥平面COD．（II）依题意可设OA=a，则PO=OB=OC=2a，DA=a，由DA∥PO，且PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC．从而PD=DO=a，在△PDO中∵PD=DO=a，PO=2a∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO又∵OC=OB=2a，∠ABC=45°，∴CO⊥AB又PO⊥平面ABC，∴CO⊥平面PAB、故CO⊥PD．∵CO与DO相交于点O．∴PD⊥平面COD．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及直线与平面平行的判定，通过在几何体中建立关系得以证明结论，属于中档题．19．（12分）（xx•滑县校级模拟）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．”某日，L市交警支队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出酒精浓度超标者60名，如图是用酒精测试仪对这60名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检测后依所得结果画出的频率分布直方图．（Ⅰ）求这60名酒后驾车者中属醉酒驾车的人数；（图中每组包括左端点，不包括右端点）（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，求这60名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值；（Ⅲ）本次行动中，A，B两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度在70mg/100ml（含70）以上的人中随机抽出2人抽血检验，求A，B两位先生至少有1人被抽中的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据图象求出即可；（Ⅱ）代入平均数的公式求出即可；（Ⅲ）列出一切可能的结果组成的基本事件，从而求出相对应的概率．解答：解：（Ⅰ）根据题意，醉酒驾车者即血液酒精浓度在80mg/100mL（含80）以上者，由图可知，共有0.005×10×60=3（人）；…（4分）（Ⅱ）酒精浓度的平均值：s=25×0.025×10+35×0.015×10+45×0.020×10+55×0.015×10+65×0.010×10+75×0.010×10+85×0.0 05×10=47（mg/100mL）；（Ⅲ）酒精浓度在70mg/100mL（含70）以上人数为：（0.10+0.05）×60=9，设除吴、李两位先生外其他7人分别为a、b、c、d、e、f、g，则从9人中抽出2人的一切可能的结果组成的基本事件有：（吴，李），（吴，a），（吴，b），（吴，c），（吴，d），（吴，e），（吴，f），（吴，g），（李，a），（李，b），（李，c），（李，d），（李，e），（李，f），（李，g），（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（a，g），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（b，g），（c，d），（c，e），（c，f），（c，g），（d，e），（d，f），（d，g），（e，f），（e，g），（f，g），共36种；用A表示“吴、李两位先生至少有1人被抽中”这一事件，则A所含的基本事件数位15，所以，P（A）=．…（12分）点评：本题考查了频率分布直方图，考查考查求平均数问题，考查概率问题，是一道中档题．20．（12分）（xx•滑县校级模拟）已知曲线C1：，曲线C2：．曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点．（Ⅰ）求λ的值；（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．若P为AC中点．①求证：直线AC的方程为x0x+2y0y=2；②求四边形ABCD的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出，由此能求出．（Ⅱ）①由已知条件推导出，直线OP：y=，联立，得，由此能证明直线AC的方程为x0x+2y0y=2．②联立方程组，得，由此能求出四边形ABCD的面积为4．解答：（本题满分15分）（Ⅰ）解：∵曲线C1：，曲线C2：，曲线C2的左顶点恰为曲线C1的左焦点，∴，解得（5分）（Ⅱ）①证明：∵，∴，，∵P（x0，y0）为曲线C2上一点，过点P作直线交曲线C1于A，C两点．直线OP交曲线C1于B，D两点．∴，直线OP：y=，联立，得（7分）由，即x0x+2y0y=2，，，符合x0x+2y0y=2，∴直线AC的方程为x0x+2y0y=2．（9分）②解：联立方程组，得，即（11分）∴==，∵B，D到AC距离（13分）∴=4，（14分）当y0=0时，ABCD面积也为4．综上：四边形ABCD的面积为4．（15分）点评：本题考查实数值的求法，考查直线方程的证明，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．21．（12分）（xx•滑县校级模拟）设函数，g（x）=x3﹣x2﹣3．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）如果对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，试求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，对参数a讨论得到函数的单调区间．（Ⅱ）由题对于任意的，都有x1•f（x1）≥g（x2）成立，则x1•f（x1）≥g（x）max，然后分离参数，求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，若，则f'（x）≥0，函数f（x）单调递增；若，则f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；所以，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增．…（4分）（Ⅱ），，可见，当时，g'（x）≥0，g（x）在区间单调递增，当时，g'（x）≤0，g（x）在区间单调递减，而，所以，g（x）在区间上的最大值是1，依题意，只需当时，xf（x）≥1恒成立，即恒成立，亦即a≥x﹣x2lnx；…（8分）令，则h'（x）=1﹣x﹣2xlnx，显然h'（1）=0，当时，1﹣x＞0，xlnx＜0，h'（x）＞0，即h（x）在区间上单调递增；当x∈（1，2]时，1﹣x＜0，xlnx＞0，h'（x）＜0，（1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h（x）取得最大值h（1）=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞）．…（12分）点评：本题主要考查含参数的函数求单调区间的方法和利用导数求最值问题，属于难题，在高考中作为压轴题出现．请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（xx•南昌校级二模）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•C D．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．解答：证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（5分）（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角及与圆有关的比例线段的知识．解题时，乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．选修4-4：坐标系与参数方程23．（xx•滑县校级模拟）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为x（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l与圆C交于A，B两点，试求的值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：综合题；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；（Ⅱ）求出过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程，代入到圆的方程中，得到关于t 的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．解答：解：（Ⅰ）由x，可得ρ=4cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=4ρcosθ﹣4ρsinθ，∴x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8；（Ⅱ）过点P（2，0）作斜率为1直线l的参数方程为代入（x﹣2）2+（y+2）2=8得t2+24﹣4=0，A，B对应的参数为t1、t2，则t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4，由t的意义可得=+==．点评：本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．（xx•南宁二模）已知函数f（x）=|x﹣a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式．分析：（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．解答：解：（1）∵f（x）≤m，∴|x﹣a|≤m，即a﹣m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x﹣2|+t≥|x|．当x≥2时，x﹣2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2﹣x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2﹣x+t≥﹣x，即t≥﹣2恒成立．综上不等式的解集为（﹣∞，]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧． .。
2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案
绝密★启用前2020年高考数学（理科）（全国新课标Ⅲ）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=(){}*,,,x y x y N y x ∈≥，B=(){},8x y x y +=，则A B 中元素个数为（）A.2B.3C.4D.62.复数113i -的虚部是（）A.310- B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p ，2p ，3p ，4p ，且411ii p==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A.14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()()0.23531t K I t e--=+，其中K 为的最大确诊病例数.当()0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3）（）A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（）A.（41，0） B.（12，0） C.（1，0） D.（2，0）6.已知向量，a b 满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ，cos =（）A.3135-B.1935-C.1735D.19357.在△ABC 中，2cos =3C ，4AC =，3BC =，则cos B =（）A.91 B.31 C.21 D.328.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442+C.623+D.423+9.已知7)4tan(tan 2=--πθθ，则tan θ=（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l 与曲线y x =和圆2215x y +=都相切，则l 的方程为（）A.12+=x yB.212+=x y C.121+=x y D.2121+=x y11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是C 上的一点，且12F P F P ⊥.若△12PF F 的面积为4，则a =（）A ．1B ．2C ．4D ．812.已知5458<，45138<，设，，，8log 5log 3log 1385===c b a 则（）A.cb a ＜＜ B.ca b ＜＜ C.ac b ＜＜ D.ba c ＜＜二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)附答案
(400,600]
25 12 8 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点 值为代表)
(3)若某天的空气质量等级为 1 或 2:则称这天"空气质量好"若某天的空气质量等级 为 3 成 4,则称这天"空气质量不好"·根据所给数据,完成下面的 2×2 列联表并根据列 联表,判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质 量有关?
的离心率为 ，A，B 分别为 C 的左右顶
点. （1）求 C 的方程； （2）若点 P 在 C 上,点 Q 在直线 x=6 上,且|BP|=|BQ|,BP
BQ,求
APQ 的面积.
21. 设函数 f(x)=x3+bx+c,曲线 y=f(x)在点
处的切线与 y 轴垂直
(1)求 b; (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点,证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
f(x)的图像关于 y 轴对称. f(x)的图像关于原点对称,
f(x)的图像关于直线 x= 对称.
f(x)的最小值为 2.
其中所有真命题的序号是__________. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 设数列{ }满足 =3, = -4n.
(1) 计算 , , 猜想{ }的通项公式并加以证明;
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22. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
(t 为参数且 t 1),C
与坐标轴交于 A,B 两点.
(1)求|AB|;
(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AB 的极坐标方程.
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅲ卷(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合*{()|}A x y x y y x =∈N ，，，，{()|8}B x y x y =+=，，则A B 中元素的个数为（ ） A.2 B.3C.4D.62.复数113i-的虚部是（ ） A.310-B.110-C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234p p p p ，，，，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A.140.1p p ==，230.4p p == B.140.4p p ==，230.1p p == C.140.2p p ==，230.3p p ==D.140.3p p ==，230.2p p ==4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1e t K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数.当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln193≈）（ ） A.60B.63C.66D.695.设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线22(0)C y px p =>：交于D E ，两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ）A.(14)0， B.(12)0， C.(10)， D.(20)，6.已知向量a b，满足||5||66===-a b a b，，⋅，则cos+=a a b，（）A.3135- B.1935- C.1735D.19357.在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=，则cos B=（）A.19B.13C.12D.238.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.62+ B.442+ C.623+ D.423+9.已知π2tan tan()74θθ-+=，则tanθ=（）A.2-B.1-C.1D.210.若直线l与曲线y x=和圆2215x y+=都相切，则l的方程为（）A.21y x=+ B.122y x=+ C.112y x=+ D.1122y x=+11.设双曲线22221(00)x yC a ba b-=>>：，的左、右焦点分别为1F，2F5.P是C上一点，且12F P F P⊥.若12PF F的面积为4，则a=（）A.1B.2C.4D.812.已知5458<，45138<.设5log3a=，8log5b=，13log8c=，则（）A.a b c<< B.b a c<< C.b c a<< D.c a b<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020高考数学(理)全真模拟卷3(解析版)
备战2020高考全真模拟卷3数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|06}M x x =≤≤，{|232}x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．(,6]-∞ B ．(,5]-∞ C ．[0,6] D ．[0,5]【答案】A 【解析】分析：根据指数函数求解集合N ，再根据集合的交集运算，即可得到结果.详解：由题意，集合{|06},{|232}{|5}xM x x N x x x =≤≤=≤=≤，所以{|6}(,6]M N x x ⋃=≤=-∞，故选A.点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合N 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.2．若复数z 满足(34)43i z i -=+，则z 的虚部为（ ） A ．-4 B ．45-C ．4i -D ．45i -【答案】B【分析】先根据已知求出复数z,再求z 及其虚部得解. 【详解】 由题得55(34)5(34)3434(34)(34)255i i iz i i i +++====--+， 所以3455z i =-， 所以z 的虚部为45-.故选B 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的计算和共轭复数的概念，考查复数的虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.3．在ABC ∆中，1=3AD DC u u u r u u u r ，P 是直线BD 上的一点，若12AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则m =（ ）A ．4-B ．1-C ．1D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件化以,AB AD u u u r u u u r为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数. 【详解】114222AP mAB AC mAB AD mAB AD =+=+⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rQ ，又B P D 、、三点共线，所以21+=m ，得1m =-. 故选：B 【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知，，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B试题分析：由题意，，所以，，，故选B ．考点：对数的运算，换底公式．5．在ABC V 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且222a b c ab +-==则ABC V 的面积为( )A B ．34C D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化简a 2＋b 2－c 2＝ab C ＝60°，即得△ABC 的面积. 【详解】依题意得cos C ＝222122a b c ab +-=，所以C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12absin C ＝12＝34， 故答案为B 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.6．下表是考生甲、乙、丙填写的第一批A 段3个平行志愿，而且均服从调剂，如果3人之前批次均未被录取，且3所学校天津大学、中山大学、厦门大学分别差1人、2人、2人未招满.已知平行志愿的录取规则是“分数优先，遵循志愿”，即按照分数从高到低的位次依次检索考生的院校志愿、、A B C ，按照下面程序框图录取.执行如图的程序框图，则考生甲、乙、丙被录取院校分别是( )A ．天津大学、中山大学、中山大学B ．中山大学、天津大学、中山大学C ．天津大学、厦门大学、中山大学D ．中山大学、天津大学、厦门大学【答案】B 【解析】乙的分最高，第一志愿是天津在，所以被天津大学录走。
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2020年高考数学（理）热身卷（三）注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
卷I （选择题 共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1．已知集合,则（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数121,z i z i =+=，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -3．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ）A ． 多1斤B ． 少1斤C ． 多13斤D ． 少13斤 4．执行如下所示的程序框图，如果输入，则输出的属于（ ）A ．B ．C ．D ．5．以下四个命题：①命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为“若023,12≠+-≠x x x 则”；②“2x >”是“2320x x -+≥”的充分不必要条件； ③若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；④对于命题22:,10,:,10p x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则为均有. 其中,假命题的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6、设四边形ABCD 为平行四边形, 6AB =,4AD =.若点,M N 满足3BM MC =,2DN NC =,则AM NM ⋅= ( )A.20B.15C.9D.67.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 362π- B 364π- C 482π- D 484π- 8．若点(,)P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点P 的轨迹图象大致是（ ） A. B ． C ． D.9．在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，则下列命题错误的是（ ） A ．异面直线和所成的角为定值 B ．直线和平面平行C ．三棱锥的体积为定值D ．直线和平面所成的角为定值10. 已知函数()2sin()cos (0,0)6f x x a x a πωωω=++>>对任意12,x x R ∈都有12()()f x f x +≤()f x 在[0,]π上的值域为[3,，则实数ω的取值范围为( )A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．12.已知函数0)>()1()(2a x x ax x f +-=，方程b x f f =)]([对于任意b ∈[-1，1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为（ ） A. ),1(+∞B. ),2(+∞C. (3,)+∞D. ),4(+∞卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数212x a y x +-=+为奇函数，则2()0a x x dx +=⎰_____．14.已知实数x ，y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则13y x --的取值范围为_____． 15.将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为_____． 16．在中，为的中点，，点与点在直线的异侧，且，则平面四边形的面积的最大值为_______.三．解答题：本大题共6小题，共70分.17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c +++的值。
18、某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏． （1）求甲获得奖品的概率；（2）设X 为甲参加游戏的轮数，求X 的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点．（1）证明：；（2）设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值． 20．已知抛物线的焦点为，是上一点，且.（1）求的方程；（2）设点是E 上异于点的一点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交于点，证明：直线过定点.21.已知函数()ln af x x x=+(a ∈R ). （1）讨论函数()f x 的单调性；（2） 设函数f (x )的导函数为'()f x ，若函数()f x 有两个不相同的零点12,x x . ① 求实数a 的取值范围；② 证明：1122'()'()2ln 2x f x x f x a +>+. 22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若点的极坐标为，，求的值.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.参考答案一.选择题BACDA CABDA AD 二．填空题13、56； 14、71[,]42-； 15、30； 16、.三．解答题17、解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=， 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②①－②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 所以11222n n n a -+=⋅=，即21n n a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．18、解析：（1）设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中， 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则．（2）随机变量X 的取值可以为1，2，3，4．，，，．X的分布列为随机变量X的概率分布列为：所以数学期望．19、解析：（1）证明：∵四边形为菱形，，∴为正三角形.又为的中点，∴.又，因此.∵平面，平面，∴.而平面，平面且，∴平面.又平面，∴.（2）如图，为上任意一点，连接，.当线段长的最小时，，由（1）知，∴平面，平面，故.在中，，，，∴，由中，，，∴.由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又，分别是，的中点，可得，，，，，，，所以，.设平面的一法向量为，则因此，取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量.又，所以.易得二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.20、解析：（1）根据题意知，，①因为，所以.②.联立①②解的，.所以的方程为.（2）证明：设，.由题意，可设直线的方程为，代入，得.根与系数的关系.得，.③由轴及点在直线上，得，则由，，三点共线，得，整理，得.将③代入上式并整理，得.由点的任意性，得，所以.即直线恒过定点.21、解析：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－a x2.①当a≤0时，f′(x)>0成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数； ②当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数. (2) ①由(1)知，当a≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)， 依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点. 另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0. 又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断， 所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e . ②设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－ax 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋ax 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分)下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2. 要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2.因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分) 设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x －2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0，所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数. 所以F(x 2)>F(a)＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立. 从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立. 22、解析：（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即， 直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得.因为直线与曲线交于，两点。