特殊四面体外接球和内切球半径的非常规解法——构造法
几类特殊四面体外接球半径求解的策略
几类特殊四面体外接球半径求解的策略摘要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。
关键词：四面体；外接球；半径球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。
三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题。
本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。
1.易补形为长方体模型下的四面体（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。
该三棱锥的特点为一顶点处引发的的三条棱两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。
则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .例1（2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为，则外接球的表面积为_______.解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。
由于三个侧棱长都等于，则外接球半径所以此三棱锥外接球的表面积 .点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进（ 2）等腰四面体的外接球半径三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。
该三棱锥的特点为三组相对的棱与、与、与分别相等。
可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分别位于长方体的六个面的对角线上。
不妨长方体的长、宽、高分别为，则由勾股定理可知，故可得所以此三棱锥外接球的半径.例2（2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为_______.解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。
四面体外接球的球心、半径求法
四面体外接球的球心、半径求法一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为222c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2222c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
所以：四面体外接球的直径为AE 的长即：22224AD AC AB R ++= 1663142222=++=R 所以2=R球的表面积为ππ1642==R S二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。
球心为直角三角形斜边中点。
【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。
解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥所以可得图形为：在ABC Rt ∆中斜边为AC在PAC Rt ∆中斜边为AC ，取斜边的中点O ，则OC OB OA ==，OC OB OP == 所以OA OC OB OP ===，即O 521==AC R 所以该外接球的体积为3500343ππ==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。
三、四面体是正四面体A CP处理球的“内切”“外接”问题与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。
解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。
一、棱锥的内切、外接球问题例1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。
解：如图1所示，设点O 是内切球的球心，正四面体棱长为a ．由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ． 正四面体的表面积223434a a S =⨯=表． 正四面体的体积22221234331BE AB a AE a V BCD A -=⨯⨯=- 322212233123a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= BCD A V r S -=⋅表31 ，a aa S V r BCD A 12631223323=⨯==∴-表 在BEO Rt ∆中，222EO BE BO +=，即22233r a R +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，得a R 46=，得r R 3= 【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为4h ( h 为正四面体的高)，且外接球的半径43h ，从而可以通过截面图中OBE Rt ∆建立棱长与半径之间的关系。
四面体外接球的半径求法
四面体外接球的半径求法
李海玲
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】四面体的外接球问题,作为高考的一个常考知识点,在历年高考题及多地模拟试题中总能见到它的身影,在此将四面体外接球的问题做一说明.一、任意四面体外接球的存在性我们知道,任一三角形都存在外接圆,且三角形外接圆的圆心是三角形各边中垂线的交点.
【总页数】1页(P22-22)
【作者】李海玲
【作者单位】新疆巴州马兰中学，841700
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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2.揭开多面体外接球的面纱探析多面体外接球半径求法 [J], 薛胜菊;
3.四面体外接球半径的常规求法 [J], 卢伟
4.垂心四面体的勾股4态15个外接球半径、外心坐标及距离的算法——四维体积勾股定理的应用(公式九) [J], 蔡国伟
5.四面体存在外接球及其半径的应用 [J], 邓建祥
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四面体外接球的球心、半径求法
3 a ，正三棱柱的高为 6
图6
h 2 R2
3 a ，由 RtA1 D1O 中，得 3
2 2 2
3 3 3 5 2 2 R2 2 R1 a 3 3 a 6 a 12 a
，
R1
h 3h ( h 为正四面体的高)， 且外接球的半径 ， 4 4
从而可以通过截面图中 RtOBE 建立棱长与半径之间的关系。 例 2．设棱锥 M ABCD 的底面是正方形，且 MA MD ， MA AB ，如果 AMD 的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径. 解： AB AD, AB MA, AB 平面 MAD ，
PB 5 ， PC 51 ， AC 10 ,求球 O 的体积。
解： AB BC 且 PA 7 ， PB 5 ， PC 51 ， AC 10 , 因为 7 2 51 102
2
所以知 AC 2 PA2 PC 2
所以 PA PC
所以可得图形为：
P
在 RtABC 中斜边为 AC 在 RtPAC 中斜边为 AC 取斜边的中点 O ， 在 RtABC 中 OA OB OC 在 RtPAC 中 OP OB OC
3 2 a 3a 2 ． 4
正四面体的体积 V A BCD
1 3 2 3 2 a AE a AB 2 BE 2 3 4 12
3 2 2 3 2 2 3 a a a a 12 3 12
3 2 3 a 6 12 a 2 12 3a
2 2
EFGH 的内切圆，得 R
a ； 2
2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作 截面图，圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆，易得 R
探求正四面体外接球、内切球半径求法知识讲解
探求正四面体外接球、内切球半径求法探求正四面体外接球、内切球半径正四面体是特殊的正三棱锥，所有的棱长都相等，四个面是全等的等边三角形，有外接球、内切球，且球心重合.已知正四面体ABCD 棱长为a ，设外接球半径为R ，内切球半径为r ，球心为O ，则正四面体的高h a a 即34R h =；内切球a 即14r h =. 外接球半径是内切球半径的3倍. 下面从不同角度、用不同方法进行探求：方法一：（勾股定理）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO 在Rt BOH V 中，222BO BH OH =+，即222()()33R a a R =+-，,.R a r h R a a a ∴==-=-= 方法二：（三角正切倍角公式）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 连结,.BH BO = ,2.AO BO ABO BAO BOH θθ=∴∠=∠∠=Q在Rt ABHV中，tan,23aBHAHθ===在Rt OBHV中，3tan2,3aBHOH r rθ===23r⨯∴==,.r a R h r a a a∴==-=-=方法三：（分割等体积）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V高3h AH a==，设O为球心，则.O AH∈连结,,,BO CO DO得到四个以O为顶点的小棱锥，它们的底面是正四面体的一个面，高是内切球的半径r，设正四面体每个面的面积为S，则4,O BCD A BCDV V--=即114,33S r S AH⨯=g g11,4412.3124r AH h aR h r a a a∴====-=-=方法四：（侧棱、高相似或三角）作平面于点,则点H是的中心，AH BCD H BCD⊥V22tantan2,1tanθθθ=-Q高3h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设M 是AB 的中点，连结,,,OM OB BHAO BO OM AB =∴⊥QAMO AHB Rt ∴∠=∠=∠，又MAO HAB ∠=∠，AMO AHB ∴V :V ， AM AO AH AB∴=， 即,aR a =,.R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设BAH MAO θ∠=∠=，则在Rt ABH V中，3cos a AH AB aθ==， 在Rt AMO V 中，2cos .aAM AO Rθ==32a aa R∴= ， 以下同上. 方法五：（斜高、高相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,AE EH ，作ON AE ⊥于N 点，则N 是ABC V 中心，N 是AE 的三等分点，平面，ON 是内切圆半径r,ON ABC ⊥且 ,Rt ANO Rt AEH V :VAN AO AH AE ∴=，32a R = ，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 或：设EAH NAO θ∠=∠=，则在Rt AEH V中，cos 2a AH AEθ==， 在Rt ANO V中，3cos .a AN AO Rθ==3aa R∴=， 以下同上. 方法六：（斜高、侧棱相似或三角）作 平面于点,则点H 是的中心，AH BCD H BCD ⊥V高h AH a ==，设O 为球心，则.O AH ∈ 设E 为BC 中点，连结,,AE DE DO ，延长DO 交AE 于N ，则N 是AE 的三等分点，.H DE ∈ 且DN ⊥平面.ABC则,Rt ODH Rt DNE V :V OH OD NE DE∴= 即 OH OD = NE DE 13=， 13r R ∴=， 3.R r ∴=又,R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 或：在Rt DNE V 中，1sin ,3NE NDE DE ∠== 在Rt DOH V 中，sin sin ,OH NDE ODH OD∠=∠= 13OH OD ∴=， 即13r R =， 3.R r ∴=又,3R r AH h a +===13,.41244r h a R h a ∴==== 方法七：（构造正方体）正四面体的四个顶点是正方体的顶点，此时正四面体的外接球也是正方体的外接球，正四面体的棱长为a的棱长为.2a 正方体的体对角线等于外接球直径，有22a R ⨯=，,.43412R a r h R a a a ∴==-=-= 方法八：（相交弦定理）设外接球球心为O ，半径为R ，过A 点作球的直径，交底面BCD V 于H ，则H 为BCD V 的外心，求得,,33AH a BH a == 由相交弦定理得2(2)).333a R a a -=g解得.4R a =.r h R a a a ∴=-=-= 以上从不同角度针对正四面体的外接球半径、内切球半径作了讨论，从而从不同方面对思维作了训练，不仅对正四面体的外接球半径、内切球半径有了透彻的认识，同时对解题能力的提高是有帮助的.。
正四面体外接球内切球半径
解析正四面体外接球内切球半径正四面体是一种非常特殊的多面体，其四个面都是等边三角形，相互之间都是等角的。
正四面体有个很有意思的性质，就是它的外接球和内切球的半径是相等的。
这个性质可以通过以下步骤进行证明：首先，我们需要知道正四面体外接球和内切球的半径分别为r和R。
我们可以画出如下的图形：正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D。
正四面体外接球的圆心为O，内切球的圆心为I。
现在我们来证明r=R。
步骤1：连接OI，这条线段的长度为r+R。
步骤2：连接AB、AC、AD、BC、BD、CD，将正四面体分成四个小正三角形。
步骤3：我们知道正四面体每个小正三角形的面积都相等，设为S。
步骤4：我们可以通过三角形的面积公式求出AO、BO、CO、DO的长度。
AO=BO=CO=DO=√(3S)/3步骤5：再通过余弦定理求出角AOI的大小。
cos(AOI)=（OI²+AO²-AI²）/(2×OI×AO)=（r+R）/（2r）步骤6：由于AOI是一个等腰三角形，所以角OAI也等于角OIA。
因此，我们可以用余弦定理求出AI的长度。
cos(OAI)=（OI²+AI²-OA²）/(2×OI×AI)=cos(AOI)AI=√(OI²+OA²-2×OI×OA×cos(AOI))步骤7：我们可以用同样的方法求出BI、CI、DI的长度。
BI=√(OI²+OB²-2×OI×OB×cos(BOI))CI=√(OI²+OC²-2×OI×OC×cos(COI))DI=√(OI²+OD²-2×OI×OD×cos(DOI))步骤8：根据勾股定理，我们可以求出AB、AC、AD、BC、BD、CD 的长度。
外接球与内切球解题方法
空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1•球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球。
2•外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一入球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
3•内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
二、外接球的有关知识与方法1・性质：性质1：过球心的平面裁球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2:经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面裁球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在范平面（类比：圆的垂径定理）;性质4:球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5:在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1 初图2初图1 初图22. 结论:结论I:长方体的外接球的球心在体对角线的交点外，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此直垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5:圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6:直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8:圆锥体轴裁面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3. 终极利器：勾股定理、正弦定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法|.若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法在立体几何的学习中，内切球与外接球问题常常让同学们感到头疼。
其实，只要掌握了常见的解法，这类问题就能迎刃而解。
下面咱们就来详细探讨一下内切球与外接球的常见解法。
首先，咱们得明白什么是内切球和外接球。
内切球就是一个几何体内部恰好能够容纳一个球，并且这个球与几何体的各个面都相切；外接球则是指一个几何体恰好能够被一个球完全包围，并且几何体的各个顶点都在这个球面上。
对于常见的几何体，比如长方体、正方体、正四面体等，都有比较固定的求解方法。
先来说说长方体的外接球。
假设长方体的长、宽、高分别为 a、b、c，那么其外接球的直径就是长方体的体对角线长度。
体对角线长度可以通过勾股定理求出，即\（＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}＼），所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{a^2 ＋ b^2 ＋ c^2}｝｛2}＼）。
正方体就更简单啦。
设正方体的棱长为 a，那么其外接球的直径就是正方体的面对角线长度的\（＼sqrt{3}＼）倍，所以外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{3}a}｛2}＼）。
再看看正四面体的外接球。
正四面体比较特殊，我们可以通过一些几何关系来求解。
设正四面体的棱长为 a，先求出正四面体的高\（h ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛3}a\），然后外接球的半径\（R ＝＼frac{＼sqrt{6}｝｛4}a\）。
接下来，咱们说说一般多面体的外接球求解方法。
其中一种常用的方法是补形法。
比如说，如果一个三棱锥的对棱相等，那么我们可以把它补成一个长方体，然后利用长方体的外接球求解方法来解决。
还有一种方法是找球心。
球心到几何体各个顶点的距离都相等，我们可以通过一些已知条件，比如垂直关系、距离关系等来确定球心的位置。
对于内切球的求解，通常会用到体积分割的方法。
比如说，对于一个三棱锥，如果知道了它的表面积和体积，那么内切球的半径 r 就可以通过体积分割来求。
设三棱锥的体积为 V，表面积为 S，那么\（V ＝＼frac{1}｛3}Sr\），从而可以求出内切球的半径 r 。