最新高一数学题库 集合间的关系练习题及答案
高一数学集合之间的关系练习题
高一数学集合之间的关系练习题题型一 子集与真子集【例1】下列四个命题：①＝Φ｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例2】用适当的符号填空⑴ {1}___2{|320}x x x -+=⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ∅___2{R |20}x x ∈+=【例3】用适当的符号填空：⑴ ___{0}∅ ⑵ 2___{(1,2)}⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺{(2,3)}___{(3,2)}【例4】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X ∅∈D ．{}0X ⊆【例5】用适当的符号填空{}()(){}|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤{|2x x ≤+， ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ⎧⎫=∈-=⎨⎬⎩⎭R典例分析【例6】下列说法中，正确的是（ ）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B =∅则,A B 中至少有一个为∅C ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =则A B S ==【例7】已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于___．【例8】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A B ，则a 的取值范围是______【例9】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆，求m 的取值范围．【例10】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）.【例11】若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ⊇．求实数m 的取值范围．【例12】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.【例13】已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈R ，m ∈R }，全集为R ，若A ⊂∁R B ，则实数m 的取值范围是【例14】已知集合A ＝{}20,,x x ax a x R a R -+<∈∈，Z ＝{}整数，全集为R ，若}{0A Z R ⋂⋂=，则实数a 的取值范围是 ．【例15】已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且A 、B 都是集合A BBA AB A B A ． B ．C ．D ．{}10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ⋂的“长度”的最小值是 .【例16】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.题型二 子集的列举与个数【例17】集合{1，2，3}的真子集共有（ ）A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个【例18】已知集合},3sin|{Z n n x x A ∈==π，则集合A 的真子集的个数为 ．【例19】已知集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R ｝．（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．【例20】求满足条件{1,2}A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数【例21】{,,}a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．【例22】集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是【例23】同时满足{1}A {1,2,3,4,5}，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数（）A. 5B. 6C. 7D. 8【例24】3、设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1n i i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1ikpi S=∑= ．【例25】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出{1,2,3,4,5,,100}的子集和真子集的个数．【例26】（2010湖南文数）15.若规定E={}1,210...a a a 的子集{}12...,n k k k a a a 为E 的第k 个子集，其中k=1211222n k k k --+++ ，则（1）{}1,3,a a 是E 的第 个子集； （2）E 的第211个子集是_______【例27】求集合{1,2,3,,100}M =的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零）． 【例28】（2006上海模拟）设S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1S ∉，②若a S ∈，则11S a∈-．求解下列问题：⑴若数列{2(1)}n ⋅-中的项都在S 中，求S 中所含元素个数最少的集合S *；⑵S 中所含元素个数一定是3()n n *∈N 个吗?若是，请给出证明；若不是，请说明理由．【例29】集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1∉A 且x +1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.。
集合的基本关系高一数学总结练习含答案
§2集合的基本关系1.子集(1)含义:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素①集合B中的元素,即若a∈A,则a∈B,我们就说集合A②集合B,或集合B③集合A,记作A⊆B(或B⊇A),这时我们就说集合A是集合B的④.(2)性质:空集是任何集合的子集,即⌀⑤A;任何一个集合都是它本身的子集,即A⑥A;对于集合A、B、C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⑦ C.2.集合的相等对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素⑧集合B中的元素,同时集合B中的任何一个元素⑨集合A中的元素,这时我们就说集合A与集合B相等,记作A=B.3.真子集(1)含义:对于两个集合A与B,如果A⊆B,并且A⑩B,我们就说集合A是集合B的,记作A B(或B A).(2)性质:对于集合A、B、C,如果A⫋B,且B⫋C,那么A C.4.不包含当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作“A B”或“B A”,读作“A不包含于B”或“B不包含A”.5.Venn图为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上的封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图,集合间的基本关系如图所示:一、集合间关系的判断1.(2012大纲全国,文1,5分,★☆☆)已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )A.A⊆BB.C⊆BC.D⊆CD.A⊆D思路点拨根据平面几何中各类四边形的定义和集合的子集含义进行判断.2.(2014广东珠海模拟,★☆☆)下列关系中正确的个数为( )①0∈{0},②⌀⫋{0},③{0,1}⊆{(0,1)},④{(a,b)}={(b,a)}A.1B.2C.3D.4思路点拨根据元素与集合的关系、集合与集合的关系的含义逐个进行分析判断.3.(高考预测,★★☆)设S为实数集R的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b√3|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)思路点拨正确的命题要证明,而错误的命题只需举一反例即可.二、集合相等的应用4.(2014福建四地六校联考,★☆☆)集合M={a,b},N={a+1,3},其中a,b为实数,若M=N,则( )A.a=2,b=1B.a=1,b=2C.a=3,b=4D.a=4,b=3思路点拨根据集合相等时元素完全相同,列出方程组求解.5.(高考预测,★☆☆)已知A={1,1+d,1+2d},B={1,q,q2},若A=B,求集合A.思路点拨利用集合相等的含义以及集合中元素的互异性求解.6.(高考预测,★★☆)已知集合A={a-b,a+b,ab},集合B={a2+b2,a2-b2,0}.若A=B,试求实数a,b的值,并写出集合A,B.思路点拨若两集合相等,则两集合中的元素相同,由此可列方程组求出a,b的值,求出a,b的值后要检验是否满足集合中元素的特征.三、利用集合间的关系求参数的取值范围7.(2014湖南岳阳模拟,★★☆)设A={x|x2-x-6=0},B={x|x2+(1-2m)x+m2-7=0}.若A⊆B,则m= . 思路点拨集合A是方程x2-x-6=0的解集,解方程可得集合A.集合A⊆B,说明集合A中的元素都是集合B 中的元素,即集合A中的元素都是方程x2+(1-2m)x+m2-7=0的实数根.8.(2014河北唐山模拟,★★☆)已知集合A={x|0<x+a≤5},集合B={x|-1<x≤2},若B⊆A,则实数a的取值集合是.思路点拨把集合A用实数a表示出来,根据B⊆A得出关于a的不等式组,解不等式组即可.一、选择题1.设P={x∈R|x≤8},a=√61,则下列关系中正确的是( )A.a⊆PB.a∉PC.{a}⊆PD.{a}∈P2.下列表述正确的有( )①空集没有子集;②任何集合都至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若⌀⫋A,则A≠⌀.A.0个B.1个C.2个D.3个3.已知集合M={1},集合B={1,2,3},则有( )A.M=BB.M⫋BC.B⫋MD.B⊆M4.以下说法中正确的个数是( )①M={(1,2)}与N={(2,1)}表示同一个集合;②M={1,2}与N={2,1}表示同一个集合;③空集是唯一的;④若M={y|y=x2+1,x∈R}与N={x|x=t2+1,t∈R},则集合M=N.A.0B.1C.2D.35.若a∈R,则集合M={x∈R|x2-3x-a2+2=0}的子集的个数为( )A.4B.16C.2D.8二、解答题6.若集合M={x|-3≤x≤4},集合P={x|2m-1≤x≤m+1}.(1)证明:M与P不可能相等;(2)若两个集合中有一个集合是另一个集合的真子集,求实数m的取值范围.一、选择题1.(2015福建泉州一中期中,★☆☆)已知集合A={-1,0,1},B={1,m}.若B⊆A,则实数m的值是( )A.0B.-1C.0或-1或1D.-1或02.(2015江西贵溪实验中学期中,★☆☆)已知集合A={x|x2-1=0},则下列结论正确的有( )①1∈A;②{-1}∈A;③⌀⊆A;④{1,-1}⊆A.A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2015河北成安一中期中,★☆☆)已知集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4},则集合A的个数为( )A.8B.2C.3D.44.(2014浙江湖州九校联考,★☆☆)如果A={x|x>-1},那么( )A.0⊆AB.{0}∈AC.⌀∈AD.{0}⊆A5.(2014贵州湄潭中学期末,★☆☆)设集合A={x|x=2k+1,k∈Z},a=5,则有( )A.a∈AB.-a∉AC.{a}∈AD.{a}⊇A6.(2013江西南昌模拟,★☆☆)若⌀是{x|x2≤a,a∈R}的真子集,则实数a的取值集合是( )A.{a|a>0}B.{a|a≥0}C.{a|a≤0}D.{a|a<0}二、填空题7.(2015广东增城新塘中学期中,★☆☆)已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}.若B⊆A,则实数a的值为.8.(2015广东增城郑中钧中学期中,★☆☆)已知非空集合A={x|x2=a},则实数a的取值范围是.知识清单①都是 ②包含于 ③包含 ④子集 ⑤⊆ ⑥⊆ ⑦⊆ ⑧都是 ⑨都是 ⑩≠ 真子集 ⫋⫌ ⫋ ⊈ ⊉链接高考1.B 由于四边相等的矩形是正方形,故C ⊆B.2.B ①②显然正确.③中集合{0,1}是由数0和1组成的集合,而集合{(0,1)}是由点(0,1)组成的集合,故③错;④当a≠b 时,(a,b)与(b,a)代表不同的点,故④错.3.答案 ①②解析 由封闭集定义知,若S={a+b √3|a,b 为整数},则S 一定是封闭集,理由如下:任取a 1+b 1√3∈S,a 2+b 2√3∈S,其中a 1,b 1,a 2,b 2为整数,则(a 1+b 1√3)+(a 2+b 2√3)=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)√3∈S,(a 1+b 1√3)-(a 2+b 2√3)=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)√3∈S,(a 1+b 1√3)(a 2+b2√3)=(a 1a 2+3b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)√3∈S.易证明②是真命题.③是假命题,如S={0}.④是假命题,如S={0},T={0,1}.故填①②. 4.C ∵M=N,∴{a +1=b ,a =3,解得{a =3,b =4. 5.解析 因为A=B,所以{1+d =q ,1+2d =q 2或{1+d =q 2,1+2d =q .由{1+d =q ,1+2d =q 2,得(1+d)2-(1+2d)=q 2-q 2=0,解得d=0,当d=0时,1+d=1+2d=1,这与集合中元素的互异性相矛盾,应舍去.由{1+d =q 2,1+2d =q ,得(1+2d)2-(1+d)=q 2-q 2=0,解得d=0(舍去)或d=-34, 当d=-34时,q=1+2d=-12.此时A={1,14,-12},B={1,-12,14},满足题意. 所以集合A={1,14,-12}. 6.解析 ∵A=B,0∈B,∴0∈A.若a+b=0或a-b=0,则a 2-b 2=0,这时集合B={a 2+b 2,0,0},不满足集合中元素的互异性,故a+b≠0,a -b≠0.∴{ab =0,a -b =a 2+b 2,a +b =a 2-b 2①,或{ab =0,a -b =a 2-b 2,②a +b =a 2+b 2. 由①得{a =0,b =0或{a =0,b =-1或{a =1,b =0.由②得{a =0,b =0或{a =0,b =1或{a =1,b =0.经检验知{a =0,b =0和{a =1,b =0不满足集合中元素的互异性,故舍去.∴{a =0,b =1或{a =0,b =-1.∴A=B={-1,0,1}. 7.答案 1解析 A={x|x 2-x-6=0}={-2,3}, 因为A ⊆B,而B 至多含有两个元素,所以A=B,则-2,3是方程x 2+(1-2m)x+m 2-7=0的两个根.因此{(-2)2+(1-2m )×(-2)+m 2-7=0,32+(1-2m )×3+m 2-7=0, 解得m=1.8.答案 {a|1≤a≤3}解析 集合A={x|-a<x≤5-a},若B ⊆A,则实数a 满足{-a ≤-1,5-a ≥2,解得1≤a≤3,故实数a 的取值集合是{a|1≤a≤3}.基础过关一、选择题1.C √61<√64=8,故{a}⊆P.2.B ①错误,⌀⊆⌀;②错误,⌀只有一个子集⌀;③错误,空集不是空集的真子集;④正确.故选B.3.B ∵1∈B,∴M ⊆B,又∵M≠B,∴M ⫋B.4.D ①集合M 表示由点(1,2)组成的单元素集,集合N 表示由点(2,1)组成的单元素集,故①错误; ②由集合中元素的无序性可知M,N 表示同一个集合,故②正确;③假设空集不是唯一的,则不妨设⌀1、⌀2为不相等的两个空集,易知⌀1⊆⌀2且⌀2⊆⌀1,故可知⌀1=⌀2,矛盾,则空集是唯一的,故③正确;④M,N 都是由大于或等于1的实数组成的集合,故④正确.5.A 因为Δ=9-4(2-a 2)=1+4a 2>0,所以M 恒含有2个元素,所以其子集有4个. 二、解答题6.解析 (1)证明:若M=P,则-3=2m-1且4=m+1,解得m=-1且m=3, 显然不可能,故M 与P 不可能相等.(2)若P ⫋M,则{-3≤2m -1,m +1≤4,m +1≥2m -1或m+1<2m-1,解得-1≤m≤2或m>2,即m≥-1;若M ⫋P,则{-3≥2m -1,4≤m +1,m +1≥2m -1,此方程组无解.综上,当有一个集合是另一个集合的真子集时,只能是P ⫋M,此时m 的取值范围是m≥-1.三年模拟一、选择题1.D 由已知及集合中元素的互异性知,m=-1或0.2.C 由已知得,A={-1,1},根据元素与集合的关系及集合间的基本关系可知,①③④正确,故共3个正确的结论.3.D 集合A 可以为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.4.D 显然D 正确.5.A 集合A 表示全体奇数,而5是奇数,故选A.6.B 由题意知,集合{x|x 2≤a,a∈R}不是空集,则a≥0. 二、填空题7.答案 0或1或-1解析 由已知得,A={-1,1},又∵B ⊆A,∴B=⌀或{1}或{-1},∴a 的值为0或1或-1. 8.答案 a≥0解析 ∵集合A={x|x 2=a}为非空集合,∴方程x 2=a 有实根,∴a≥0.。
高一数学集合试题答案及解析
高一数学集合试题答案及解析1.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(B)∩A＝{1,2,3}，(A)∩(B)＝{6,7,8}，求集合A和B.【答案】A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【解析】如下图所示.因为A∩B＝{4,5}，所以将4,5写在A∩B中.因为(B)∩A＝{1,2,3}，所以将1,2,3写在A中.因为(B)∩(A)＝{6,7,8}，所以将6,7,8写在S中A，B外.因为(B)∩A与(B)∩(A)中均无9,10，所以9,10在B中.故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}.【考点】本题主要考查集合的交集，集合的补集。
点评：涉及实数构成集合问题，常常借助于韦恩图。
2.已知集合A＝{ |－≤x≤}，则必有 ()A．－1∈A B．0∈A C．∈A D．1∈A【答案】D【解析】∵，－≤x≤，∴x＝1,2，即A＝{1,2}，∴1∈A.故选D.【考点】元素与集合的关系点评：本题先根据x是正整数和－≤x≤确定集合A，再判断各元素是否属于集合。
3.已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是（）A．(0，1)B．(，1)C．(－∞，0)D．(0，＋∞)【答案】C【解析】因为函数f(x)的定义域是(0，1)，所以，即，，故选C。
【考点】本题主要考查函数的概念，指数函数的图象和性质。
点评：简单题，解答指数不等式，通常要化为同底数指数，利用指数函数的单调性，转化为代数不等式。
4.已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝ ()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}【答案】A【解析】集合A、B用数轴表示如图，A∪B＝{x|x≥－1}.故选A.【考点】本题主要考查集合的并集。
点评：简单题，借助于数轴求集合的并集。
5.满足{0}∪B＝{0,2}的集合B的个数是 ()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】依题意知，B中至少含有元素2，故B可能为{2}，{0,2}，共两个.【考点】本题主要考查集合的子集，集合的并集。
新人教版高中数学必修一《集合间的基本关系》同步练习(含答案)
新人教版高中数学必修一《集合间的基本关系》同步练习(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.1.2 集合间的基本关系1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若∅⊂≠A ，则A ≠∅， 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值 是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,13．设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ∈BD ．B ∈A4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.}0352|{2=--=x x x M ，}1|{==mx x N ，若M N ≠⊂，则m 的取值集合为（ ）A.{2}-B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D.12,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6. 满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合的个数为（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 7．满足{1}A {1,2,3}的集合A 的个数是________．8．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．9．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.三、解答题（本大题共3小题，共46分）10．（14分）下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合？11．（15分）已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．12．（17分）设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值一、选择题1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．2.D 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．(1)当a ＝0时,方程为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意． (2)当a ≠0时，由Δ＝22－4·a ·a ＝0，即a 2＝1， ∴a ＝±1.此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1.3. D 解析:∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，，∴A ＝{x |x ⊆B }＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B ∈A . 4. B 解析：只有②③正确.5. D 解析： 1{,3},2M =-（1）0,N m =∅⇒=（2）1{}2,2N m =-⇒=-（3）1{3},3N m =⇒=∴ 的取值集合为12,0,.3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭6. B 解析：集合M 真包含集合}3,2,1{，M 中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素. 又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-. 二、填空题7. 3 解析：A 中一定有元素1，所以A 可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}． 8. AB ＝C 解析：用列举法寻找规律．9. 1 解析：∵BA ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴ m ＝1. 当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足BA . 三、解答题10.解:观察Venn 图，得B 、C 、D 、E 均是A 的子集，且有ED ，D C .梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形， 故A ＝{四边形}；梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形， 故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；正方形是菱形，故D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．11.解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈，即不存在m 值使得A ＝B .12.解:(方法一) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，由B ⊆A ，得B ＝，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}. 因为Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0， 所以B 必有两个元素．则B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，所以a ＝2. 综上所述：a ＝2.(方法二) A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x |(x －a )(x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a ≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.所以a ＝2。
高一数学集合间的基本关系练习题及答案
精心整理1．集合{a，b}的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】集合{a，b}的子集有?，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.【答案】 D2．下列各式中，正确的是()【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.【答案】 C2．在下列各式中错误的个数是()①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1}A．1B．2【解析】①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.【答案】 A3．已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<1}，则()A．A>BB．．．A?B【答案】 C．下列说法：其中正确的有A．0．已知2－】∵∴方程x2－x＋a＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤.【答案】a≤6．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝________.【解析】∵B?A，∴m2＝2m－1，即(m－1)2＝0∴m＝1，当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}满足B?A.三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，求实数x，y.【解析】从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A＝B，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，则B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．23}，此时N{2，a}，＝{x|x＝，p∈Z}．∵3n－2＝3(n－1)＋1，n∈Z.∴3n－2,3p＋1都是3的整数倍加1，从而N＝P.而6m＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1，∴＝P.。
高一数学集合的运算试题答案及解析
高一数学集合的运算试题答案及解析1.设全集，集合,则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，所以.故选D.【考点】集合的简单运算.2.已知集合，，则（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以；又因为，所以.【考点】集合的运算.3.已知全集U=R，A={x|﹣3＜x≤6，}，B={x|x2﹣5x﹣6＜0，}．求：（1）A∪B；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】解题思路：由题意，先解出一元二次不等式，化简集合B，再求出集合B的补集，再由交、并的运算法则解出即可.规律总结：在处理集合间的运算问题时，往往先化简集合，再结合数轴求集合间的交、并、补集. 试题解析：（1），则；（2），则 .【考点】交、并、补集的运算.4.已知集合，，且，则实数的值是．【答案】.【解析】∵，，∴.【考点】集合间的关系.5.已知集合，则满足A∩B=B的集合B可以是( )A．{0，}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|0＜x＜}D．{x|x＞0}【答案】C【解析】利用复合函数的值域知识可得A={y|0<y},因为A∩B=B，所以B A，所以答案是C.【考点】(1)复合函数；（2）集合的运算.6.已知全集，设集合，集合，若，求实数a的取值范围.【答案】.【解析】先解方程，的x=a,-4将a,与-4比较进行讨论，再利用得进行求解.试题解析：因为，又因为2分当时满足，此时 4分当时若，则 6分当时，满足，此时 8分综合以上得：实数的取值范围,所以 10分.【考点】1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.7.已知全集则（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】找出全集U中不属于A的元素，确定出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，即可确定出所求的集合,∵全集U={1，2，3，4}，A={1，2}，∴∁UA={3，4}，又B={2，3}，则（∁UA）∪B={2，3，4},故选C.【考点】交、并、补集的混合运算．8.以知集合，则=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，，，【考点】指数不等式的运算和集合的运算9.集合，，则．【答案】【解析】根据，集合A与集合B中的公共元素为4,7，所以【考点】集合的运算10.已知集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】,,，故选：A.【考点】集合的运算11.已知，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求的范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将代入得到集合，然后计算并集和交集；（Ⅱ）结合数轴由,集合B的左端点大于等于1，右端点小于等于4，于是，特别注意端点值是否可以取等号。
高一数学集合练习题及答案
高一数学集合练习题及答案一、单选题1．集合{}22A x x =-<≤，{}2,1,0,1B =--，则A B =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0,1,2-- 2．已知集合(){}2{|14,},1,0,1M x x x R N =-<∈=-则M N =（ ）A ．{}0,12，B ．{}0,1C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,123，， 3．集合,2k M x x k π⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，,2P x x k k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、P 之间的关系为（ ）A ．M P =B ．M P ⊆C ．P M ⊆D ．M P ⋂=∅4．设集合{}1,0,2,3A =-，139x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2,3B ．{}0,2C ．{}0,2,3D ．{}1,0,2,3- 5．设{|1},{|12}P x x Q x x ==-<≤≤，那么P Q =（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|12}x x -≤<C ．{|12}x x ≤<D ．{|11}x x -≤≤ 6．已知集合{}0,1,2,3,4,5A =，{}1,3,6,9B =，{}3,7,8C =，则 ()A B C ⋂⋃=（ ） A ．{}3 B ．{}3,7,8 C ．{}1,3,7,8 D ．{}1,3,6,7,87．已知集合{}21A x x =<，{}02B x x =<<，则A B =（ ） A ．1,2 B ．0,1 C ．()0,2 D ．1,28．已知集合{3,1,2}A =-，{}2|60B x N x x =∈--≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}1,2B ．{}3,0,1,2-C ．{}3,1,2,3-D ．{}3,0,1,2,3-9．下列命题说法错误的是（ ） A ．()2()lg 23f x x x =-++在(1,1)-上单调递增B ．“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=恰有两个子集，则1k =D ．对于命题:p 存在0R x ∈，使得20010x x ++<，则¬p ：任意R x ∈，均有210x x ++≥ 10．已知集合{}20A x x =-≤≤，{}21B x x =>，则A B ⋃=（ ） A ．[)2,1--B ．[]()2,01,-⋃+∞C ．(](),01,-∞⋃+∞D ．[)2,1-11．已知集合2{|30}A x x x =-≥，集合{1234}B =，，，，则A B =（ ）A ．{01234}，，，，B ．{123}，，C ．[0,4]D ．[1,3]12．设全集U =R ，集合(){}ln 1|M x y x ==-，2{|4}N x y x ==-，则下面Venn 图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 13．已知集合{1,5,},{2,}A a B b ==，若{2,5}A B ⋂=，则a b +的值是（ ）A ．10B ．9C ．7D ．4 14．已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．515．设集合{}260A x x x =--≤，{}15B x x =≤<，则A B =（ ） A ．{}23x x -<<B ．{}13x x ≤≤C ．{}13x x ≤<D ．{}23x x -≤≤二、填空题16．已知集合{}|04A x x =<≤，集合{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____.17．已知集合[)[)2,6,1,4A B ==-，则A B ⋃=__________.18．全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =______．19．下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号).①{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x |x 2＝0}⊆{0}；④{(0，1)}⊆{0，1}；⑤{1}∈{0，1，2}；⑥{}|2x x ≥ {}|1x x >.20．已知集合{}2,1,2A =-，{}1,B a a =+，且B A ⊆，则实数a 的值是___________． 21．用适当的符号填空：（1）{}0______()2,3-； （2）{},,a c b ______{},,a b c ；（3）R______(],3-∞-； （4）{}1,2,4______{}8x x 是的约数． 22．已知集合A 与B 的关系如下图，则图中所示的阴影部分用集合表示为________．（要求用集合A 与B 的符号关系表示）23．已知集合{}1,3,5,6,8A =，{}2,3,4,6B =，则下图中阴影部分表示的集合为___________.24．若“x a >”是“39x >”的必要条件，则a 的取值范围是________．25．设{}|11A x x =-<<，{}|0B x x a =->若A B ⊆，则a 的取值范围是_____．三、解答题26．集合22,Z 33A x k x k k ππππ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭，222,Z 3B x k x k k πππ⎧⎫=<<+∈⎨⎬⎩⎭，,Z 62C x k x k k ππππ⎧⎫=+<<+∈⎨⎬⎩⎭，[]10,10D =-，分别求A B ，A C ，A D ．27．已知函数()()4log 526f x x x =-+-()g x x α=(α为常数)，且()g x 的图象经过点(8,22P .(1)求()f x 的定义域和()g x 的解析式；(2)记()f x 的定义域为集合A ，()g x 的值域为集合B ，求()A B ⋂R .28．已知命题“{}11x x x ∃∈-≤≤，使等式220x x m --=成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)设关于x 的不等式()2242360x a x a a -+++<的解集为B ，若B A ，求实数a 的取值范围．29．设M 为100个连续正整数的集合，已知其中2的倍数有50个，3的倍数有33个，6的倍数有16个，如何利用这些数据求出M 中不能被3整除的奇数的个数？30．已知集合{}A x x =是平行四边形，{}B x x =是矩形，{}C x x =是正方形，{}D x x =是菱形，求集合A ，B ，C ，D 之间的关系．【参考答案】一、单选题1．C【解析】【分析】利用交集的定义，直接计算即可.【详解】根据题意，A B ={}1,0,1-.故选：C .2．B【解析】【分析】先化简集合M ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为已知集合(){}{}2|14,|13M x x x R x x =-<∈=-<<，{}1,0,1N =-，所以MN ={}0,1，故选：B3．C【解析】【分析】用列举法表示集合M 、P ，即可判断两集合的关系；解：因为335,,2,,,,0,,,,2,,222222k M x x k Z ππππππππππ⎧⎫⎧⎫==∈=----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 5335,,,,,,,,2222222P x x k k Z ππππππππ⎧⎫⎧⎫==+∈=---⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以P M ⊆，故选：C4．C【解析】【分析】先解指数不等式得集合B ，然后由交集定义可得.【详解】由2139x x -=⎛⎪3⎫ ⎭<⎝，得12x >-，所以12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2,3A B =. 故选：C ．5．D【解析】【分析】 直接根据集合交集运算求解即可.【详解】解：因为{|1},{|12}P x x Q x x ==-<≤≤，所以{|11}Q x x P -≤≤=.故选：D6．C 【解析】【分析】先求A B ，再求()A B C ⋂⋃.【详解】{}1,3A B =，(){}1,3,7,8A B C ⋂⋃=. 故选：C7．B【解析】【分析】解一元二次不等号求集合A ，再由集合的交运算求A B .【详解】由题设，{|11}A x x =-<<，又{|02}B x x =<<所以{|01}A B x x =<<.故选：B8．D【分析】先求出集合B 的元素，进行并集运算即可.【详解】因为{}()(){}2|60|320B x N x x x N x x =∈--≤=∈-+≤ {}{}|230,1,2,3x N x =∈-≤≤=，所以{}3,0,1,2,3A B ⋃=-.故选：D.9．C【解析】【分析】A.利用复合函数的单调性判断；B.利用充分条件和必要条件的定义判断；C.由方程2440kx x ++=有一根判断；D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.【详解】A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由复合函数的单调性知：()2lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；B. 当1x =时，2430x x -+=成立，故充分，当2430x x -+=成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；C.若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所以0k =或1k =，故错误；D.因为命题:p .存在0R x ∈，使得20010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即:p ⌝任意R x ∈，均有210x x ++≥，故正确；故选：C.10．C【解析】【分析】解不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】()()21,110x x x >+->，解得1x <-或1x >，所以()(),11,B =-∞-⋃+∞，所以(](),01,A B ⋃=-∞⋃+∞.故选：C11．B【解析】【分析】先求得{|03}A x x =≤≤，再根据交集的运算可求解.【详解】由已知{|03}A x x =≤≤，所以{}1,2,3A B =.故选:B ．12．A【解析】【分析】由对数函数性质，二次根式定义确定集合,M N ，然后确定Venn 图中阴影部分表示的集合并计算．【详解】由题意{|10}{|1}M x x x x =->=>，2{|4}{|2N x x x x =≥=≤-或2}x ≥，{|22}U N x x =-<<，Venn 图中阴影部分为(){|12}U MN x x =<<． 故选：A ．13．C【解析】【分析】利用交集的运算求解.【详解】解：因为集合{1,5,},{2,}A a B b ==，且{2,5}A B ⋂=，所以a =2,b =5,所以a b +=7，故选：C14．D【解析】【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.15．B【解析】【分析】先求出集合A 的解集，然后进行交集运算即可.【详解】 因为{}23A x x =-≤≤，{}15B x x =≤<，所以{}13A B x x ⋂=≤≤．故选：B.二、填空题16．4a >【分析】结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.【详解】在数轴上表示出集合A ，B ，由于A B ⊆，如图所示，则4a >.17．[1-，6)【解析】【分析】直接利用并集运算得答案．【详解】[2A =，6)，[1B =-，4)，[2A B ∴=，6)[1-，4)[1=-，6)．故答案为：[1-，6)．18．{}3x x >-【解析】【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A ={}3x x >-， 故答案为：{}3x x >-19．①③⑥【解析】【分析】根据集合间的基本关系中的子集、真子集的定义及元素与集合的关系即可求解.【详解】对于①，2，4，6}{2,3,4,5,6∈，则{2，4，6}⊆{2，3，4，5，6}，故①正确； 对于②，菱形不属于矩形，则{菱形} {矩形}，故②不正确；对于③，由20x =，解得0x =，则{x |x 2＝0}⊆{0}，故③正确；对于④，()}{0,10,1∉，则{(0，1)}⊆{0，1}，故④不正确；对于⑤，集合与集合不能用属于与不属于关系表示，所以{1}∈{0，1，2}不正确； 对于⑥，{}|2x x ≥ {}|1x x >，故⑥正确.故答案为：①③⑥.20．1【分析】由子集定义分类讨论即可.【详解】因为B A ⊆，所以a A ∈1A ∈，当2a =-1无意义，不满足题意；当1a =12=，满足题意；当2a =11=，不满足题意.综上，实数a 的值1.故答案为：121． ⊆ = ⊇ ⊆【解析】【分析】根据集合子集的定义及集合相等的概念求解.【详解】由集合的子集、集合的相等可知（1）⊆，（2）=，（3）⊇，（4）⊆ 故答案为：⊆，=，⊇，⊆22．()A B A B ⋃【解析】【分析】由集合的交并补运算求解即可.【详解】设全集为A B ，则阴影部分表示集合A 与B 交集的补集，即()A B A B ⋃ 故答案为：()A B A B ⋃23．{}1,5,8【解析】【分析】 分析可知，阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}x B ∉，即可得解.【详解】 由图可知，阴影部分所表示的集合为{x x A ∈且}{}1,5,8x B ∉=. 故答案为：{}1,5,8.24．2a ≤【解析】【分析】根据题意39x >解得：2x >，得出()()2,,a +∞⊆+∞，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】根据题意39x >解得：2x >，由于“x a >”是“39x >”的必要条件，则()()2,,a +∞⊆+∞，2a ∴≤. 因此，实数a 的取值范围是：2a ≤.故答案为：2a ≤.25．(],1-∞-【解析】【分析】由数轴法可得到A B ⊆，则只要1a ≤-即可.【详解】根据题意作图：由图可知，A B ⊆，则只要1a ≤-即可，即a 的取值范围是(],1-∞-． 故答案为：(],1-∞-.三、解答题26．2,2,3k k k πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ；2,2,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ；7557,,,333333ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【解析】【分析】根据任意角的弧度表示及交集的概念即可计算.【详解】22,22,22,2,3333A B k k k k k k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂+=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ； 2,2,2,2,336263A C k k k k k k k ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Z ； 分别令k ＝－1，0，1，即可得：[]75572,210,10,,,33333333A D k k ππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋂=-+⋂-=--⋃-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 27．(1)()3,5；()12g x x =；(2)][)0,35,∞⎡⋃+⎣.【解析】【分析】 (1)根据f (x )解析式即可求其定义域，根据()g x x α=过P 求出α即可求出g (x )解析式；(2)根据幂函数的性质求g (x )值域即B ，根据集合的补集和交集的运算方法求解即可.(1)5052603x x x x ⎧-><⎧⇒⎨⎨->>⎩⎩， ∴f (x )定义域为()3,5；∵()g x x α=过(P ，则()3132218222g x x ααα==⇒=⇒=； (2)()3,5A =，[)0,B ∞=+，][(),35,A ∞∞=-⋃+R ，()][)0,35,A B ∞⎡⋂=⋃+⎣R. 28．(1){}13A m m =-≤≤ (2)113a -≤≤ 【解析】【分析】（1）分析可得()211m x =--，求出当11x -≤≤时，()211x --的取值范围，即可得解； （2）对3a 与2a +的大小进行分类讨论，求出集合B ，根据B A 可得出关于实数a 的不等式（组），综合可求得实数a 的取值范围.(1)解：由220x x m --=可得()22211m x x x =-=--，当11x -≤≤时，则210x -≤-≤，所以，()[]2111,3m x =--∈-，故{}13A m m =-≤≤. (2)解：()()()2242360320x a x a a x a x a -+++<⇔---<．当32a a >+，即1a >时，{}23B x a x a =+<<，因为B A ，则21331a a a +≥-⎧⎪≤⎨⎪>⎩，此时a 不存在； 当32a a =+，即1a =时，B =∅，满足题设条件；当32a a <+，即1a <时，{}32B x a x a =<<+，因为B A ，则31131a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<⎩，解得113a -≤<.综上可得，实数a 的取值范围为113a -≤≤． 29．33【解析】【分析】分析集合之间的关系，由()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂可得.【详解】记{|2,,}A x x n x M n N ==∈∈，{|3,,}B x x n x M n N ==∈∈，则{|21,,}M A x x n x M n N ==-∈∈，{|3,,}M B x x n x M n N =≠∈∈， {|A B x x ⋂=是能被3整除的偶数，}x M ∈， ()(){|M M A B x x =是不能被3整除的奇数，}x M ∈由题知()50,()33,()16card A card B card A B ===，因为()()()M M M A B A B =，()()()()50331667card A B card A card B card A B =+-=+-=所以M 中不能被3整除的奇数有100-67=33个.30．答案见解析【解析】【分析】直接利用四边形的关系，判断即可．【详解】解：因为矩形、正方形、菱形都是特殊的平行四边形，所以B A ，C A ，D A ； 又正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，所以C B ，C D ；。
高一数学集合练习题及答案(新版)
高一数学集合练习题及答案（新版）一、单选题1．设集合{}2|60A x x x x =--<∈Z ，，(){}2|ln 1B y y x x A ==+∈，，则集合B 中元素个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．无数个2．已知集合102x A xx -⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{1}B x x =>-，则（ ） A ．RA B ⊆B ．RA B ⊆ C ．B A ⊆ D ．A B ⊆3．已知集合{}220A x x x =--<，(){}3log 22B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}12x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x ≤<4．已知集合2cos ,3n A x x n N π*⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，{}2230B x x x =--<，则A B =（ ） A ．{}2,1-- B ．{}2,1,1--C ．{}1,2D ．{}1,1,2-5．设集合{}1,0,2,3A =-，139xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．{}0,2C ．{}0,2,3D ．{}1,0,2,3-6．已知集合{1,0,1}A =-，{|3x B x =≥，则A B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1}-D ．{1,0,1}-7．满足条件{M ⋃永安，漳平}{=德化，漳平，永安}的集合M 的个数是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．38．设集合1|05x A x x -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}|13B x x =-≤≤，则()A B =R （ ） A ．{}|35x x ≤< B ．{}|15x x ≤< C ．{}|15x x -≤<D ．{}|13x x ≤≤9．设集合{}02A x x =≤≤，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则()A B C =（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{0，1，2，3，4}10．已知集合(){}30A x x x =-<，{}0,1,2,3B =，则A B （ ） A ．{}0,1,2,3 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2,3D ．{}1,211．已知集合{}1,0,1,2M =-，{}21xN x =>，则()R M N ⋂=（ ）A ．{}1-B ．{}0x x ≤C ．{}10x x -<≤D ．{}1,0-12．已知集合(){}2{34},log 22A x Zx B x x =∈-≤<=+<∣∣，则A B 的元素个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．613．已知集合{}{}|2|21A x x B x x =≥-=-≤≤，，则下列关系正确的是（ ） A ．A B =B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B =∅14．集合N A x x ⎧⎫=∈⎨⎬⎭⎩31，()}{N log B x x =∈+≤211，S A ⊆，S B ⋂≠∅，则集合S 的个数为（ ） A ．0 B ．2C ．4D ．815．已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，2{|9}B x x =<，则A B =（ ）A ．{0,1,2,3,4}B ．{3,2,1,0,1,2,3}---C ．{2,1,0,1,2}--D ．()3,3-二、填空题16．若{}31,3,a a ∈-，则实数a 的取值集合为______．17．已知集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则实数x =__________．18．已知{}3A x a x a =≤≤+，{}15b x x =-<<，A B =∅，则实数a 的取值范围是______19．集合{|13},{|25}A x x B x x =∈<≤=∈<<Z Z ，则A B 的子集的个数为___________. 20．已知集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B =-，则A B =_______. 21．已知集合{}1,2,3A =，{}1,0,1B =-，则A B ⋃=___________.22．已知函数()f x 满足()()2f x f x =-，当1≥x 时，()22f x x =-，若不等式()22f x a ->-的解集是集合{}13x x <<的子集，则a 的取值范围是______．23．若集合{}3cos23,xA x x x R π==∈，{}21,B y y y R ==∈，则A B ⋂=_______．24．设α：()124R m x m m +≤≤+∈；β：13x ≤≤．若β是α的充分条件，则实数m 的取值范围为______．25．若21,2x a A x x R x ⎧⎫+==∈⎨⎬-⎩⎭为单元素集，则实数a 的取值的集合为______． 三、解答题26．已知U =R 且{}2|560A x x x =--<，{|3B x x =≥或1}x ≤.求：(1)A B ，A B ； (2)()()U U A B .27．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时，求A B ； (2)若______，求实数a 的取值范围.28．设函数()()21,R f x ax a x =-∈的不动点（满足()f x x =）、稳定点（满足()()f f x x =）的集合分别为A 、B ．若A B =≠∅，求实数a 的取值范围．29．已知集合702x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}123B x m x m =-≤≤-． (1)当6m =时，求集合A B ；(2)若{}58C x x =<≤，“()x A C ∈⋂”是“x B ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围．30．设Y 是由6的全体正约数组成的集合，写出Y 的所有子集.【参考答案】一、单选题 1．B 【解析】 【分析】先解出集合A ，再按照对数的运算求出集合B ，即可求解. 【详解】由260x x --<，解得23x -<<，故{}1,0,1,2A =-，()2222ln (1)1ln(11)ln 2,ln 010,ln(21)ln5⎡⎤-+=+=+=+=⎣⎦，故{}ln 2,0,ln5B =，集合B 中元素个数为3. 故选：B. 2．D 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合A ，再根据补集的定义求出RA 、RB ，再根据集合间解得基本关系判断可得； 【详解】 解：由102x x -<-，等价于()()120x x --<，解得12x <<， 所以{}10|122x A xx x x -⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，{}R|12A x x x =≤≥或又{1}B x x =>-，所以{}R 1B x x =≤-， 所以A B ⊆ 故选：D 3．B 【解析】 【分析】求解不等式可得集合A ，根据对数函数的定义可得集合B ，进而求解. 【详解】因为220x x --<，所以12x -<<，则{}12A x x =-<<， 因为220x ->，所以1x >，则{}1B x x =>， 所以{}12B x A =<<， 故选：B 4．C 【解析】 【分析】结合余弦型函数的周期性可得到{}1,1,2,2A =--，再得到2230x x --<的解集，进而求解. 【详解】 因为2cos3y x π=的最小正周期263T ππ==且1cos32π=， 21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，3cos 13π=-，41cos cos cos 3332ππππ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，51cos cos 2cos 3332ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 6cos13π=，71cos cos 2cos 3332ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，，所以{}*|2cos ,1,1,2,23n A x x n N π⎧⎫==∈=--⎨⎬⎩⎭， 又{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，所以{}1,2A B =， 故选：C 5．C 【解析】 【分析】先解指数不等式得集合B ，然后由交集定义可得. 【详解】由2139xx -=⎛⎪3⎫⎭<⎝，得12x >-，所以12B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，所以{}0,2,3A B =.故选：C ． 6．B 【解析】 【分析】由对数的运算性质，并解指数不等式可得31{|log }2B x x =≥，再由集合的交运算求A B . 【详解】由31{|log }2B x x =≥，而311log 02-<<， 所以{0,1}A B =. 故选：B 7．C 【解析】 【分析】根据集合的并集可得答案. 【详解】因为集合{M ⋃永安，漳平}{=德化，漳平，永安}， 所以集合M 可以为{德化}，{德化，漳平}，{德化，永安}， {德化，永安，漳平}，共4个，故选：C. 8．D 【解析】 【分析】求解分式不等式的解集，再由补集的定义求解出A R，再由交集的定义去求解得答案.【详解】1015x x x ->⇒<-或5x >，所以{}15A x x =≤≤R ， 所以得(){}13A B x x ⋂=≤≤R . 故选：D 9．C 【解析】 【分析】根据集合交、并的定义，直接求出()A B C . 【详解】因为集合{}02A x x =≤≤，B={1，2，3}，所以{}1,2A B =, 所以()A B C ={1，2，3，4}. 故选：C 10．D 【解析】 【分析】先化简集合A ，继而求出A B . 【详解】解：(){}{}30=03A x x x x x =-<<<，{}0,1,2,3B =，则A B ={}1,2. 故选：D. 11．D 【解析】 【分析】 先求出RN ，再结合交集定义即可求解．【详解】 由{}{}R210x N x x x =≤=≤，得()R M N ⋂={}1,0-故选：D 12．A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性解得集合B ，再求A B ⋂即可得到其元素个数. 【详解】因为{34}A x Zx =∈-≤<∣{}3,2,1,0,1,2,3=---， ()2log 22x +<，即()22log 2log 4x +<，故024x <+<，解得22x -<<，即{|22}B x x =-<<，则{}1,0,1A B ⋂=-，其包含3个元素.13．C 【解析】 【分析】由子集的定义即可求解. 【详解】解：因为集合{}{}|2|21A x x B x x =≥-=-≤≤，， 所以根据子集的定义可知B A ⊆， 故选：C. 14．C 【解析】 【分析】根据分式不等式和对数不等式求出集合A 和B ，利用交集的定义 和集合的包含关系即可求解. 【详解】 由x31，得03x <≤， 所以}{N ,,A x x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎭⎩31123. 由()log x +≤211，得11x -<≤． 所以()}{}{N log ,B x x =∈+≤=21101．由S A ⊆，S B ⋂≠∅，知S 中必含有元素1，可以有元素2,3．所以S 只有{}1，{}12，，{}13，，{}123，，，即集合S 的个数共4个． 故选：C. 15．C 【解析】 【分析】求得集合{|33}B x x =-<<，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合2{|9}{|33}B x x x x =<=-<<， 又由集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----， 所以A B ={2,1,0,1,2}--. 故选：C.二、填空题16．{}0,1,3【解析】根据元素的确定性和互异性可求实数a 的取值. 【详解】因为{}31,3,a a ∈-，故1a =-或3a =或3a a =，当1a =-时，31a =-，与元素的互异性矛盾，舍； 当3a =时，327a =，符合；当3a a =时，0a =或1a =±，根据元素的互异性，0,1a =符合， 故a 的取值集合为{}0,1,3. 故答案为：{}0,1,3 17．2 【解析】 【分析】由已知，两集合相等，可借助集合中元素的的互异性列出方程组，解方程即可完成求解. 【详解】因为集合2{2,}x 与{4,}x 相等，则242x x ⎧=⎨=⎩，解得2x =．故答案为：2. 18．4a ≤-或5a ≥ 【解析】 【分析】由3a a <+可得A ≠∅，根据题意可得到端点的大小关系，得到不等式，从而可得答案. 【详解】由题意 3a a <+，则A ≠∅要使得A B =∅，则31a +≤-或5a ≥ 解得4a ≤-或5a ≥ 故答案为：4a ≤-或5a ≥ 19．8 【解析】 【分析】先求得A B ，然后求得A B 的子集的个数. 【详解】{}{}2,3,3,4A B ==，{2,3,4}A B ⋃=，有3个元素，所以子集个数为328=.故答案为：820．{}0,1【解析】 【分析】先求出集合A ,然后根据交集的定义求得答案. 【详解】由题意，{}22A x x =-<<，所以{}0,1A B =. 故答案为：{}0,1.21．{}10123-，，，， 【解析】 【分析】根据并集的定义可得答案. 【详解】{}1,2,3A =，{}1,0,1B =-，∴{}10123A B ⋃=-，，，，. 故答案为：{}10123-，，，，. 22．24a ≤≤【解析】 【分析】先由已知条件判断出函数()f x 的单调性，再把不等式()22f x a ->-转化为整式不等式，再利用子集的要求即可求得a 的取值范围. 【详解】由()()2f x f x =-可知，()f x 关于1x =对称，又()22f =-，当1≥x 时，()22f x x =-单调递减，故不等式()22f x a ->-等价于211x a --<，即122a ax <<+， 因为不等式解集是集合{}13x x <<的子集， 所以12132aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得24a ≤≤．故答案为：24a ≤≤23．{}1【解析】 【分析】易知{}1,1B =-，分别验证1,1-和集合A 的关系即可得结果. 【详解】因为{}{}21,1,1B y y y R ==∈=-，13cos 23π=，()13cos 23π--≠，即1A ∈，1A -∉，所以{}1A B ⋂=， 故答案为：{}1.24．102m -≤≤【解析】 【分析】根据给定条件可得β所对集合包含于α所对集合，再利用集合的包含关系列式作答. 【详解】令α所对集合为：{|124(R)}x m x m m +≤≤+∈，β所对集合为：{|13}x x ≤≤， 因β是α的充分条件，则必有{|13}{|124(R)}x x x m x m m ≤≤⊆+≤≤+∈，于是得11243m m +≤⎧⎨+≥⎩，解得102m -≤≤，所以实数m 的取值范围为102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤25．9,4⎧-⎨⎩【解析】 【分析】 由方程212x ax +=-只有一解可得，注意方程增根情形． 【详解】 由题意方程212x ax +=-只有一解或两个相等的实根， 220x x a ---=(*)，14(2)0a ∆=++=,94a =-，此时，方程的解为1212x x ==，满足题意，1{}2A =；若方程(*)有一个根是x 1x =a ={1A =；若方程(*)有一个根是x =1x =a ={1A =+．综上，a 的取值集合为9{,4-．故答案为：9{,4-．三、解答题26．(1){|11A B x x ⋂=-<≤或36}x ≤<;A B R ⋃= (2)∅ 【解析】 【分析】（1）先求解集合A ，再根据交集和并集的概念写出结论即可； （2）先分别求解集合A 和集合B 的补集，再根据交集的概念写出答案.(1)根据{}2|560A x x x =--<可知，{}|16A x x =-<< 又{|3B x x =≥或1}x ≤{|11A B x x ∴⋂=-<≤或36}x ≤<;A B R ⋃=.(2)根据题意，{|1U A x x =≤-或6}x ≥;{|13}U B x x =<<所以()()U U A B ⋂=∅.27．(1){}|13A B x x ⋃=-≤≤(2)条件选择见解析，()(),24,-∞-+∞【解析】【分析】（1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围(1)当2a =时，集合{}|13A x x =≤≤，{}|13B x x =-≤≤，所以{}|13A B x x ⋃=-≤≤；(2)若选择①A ∪B ＝B ，则A B ⊆，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅，又{}|13B x x =-≤≤， 所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，所以A ≠∅， 又{}|13B x x =-≤≤，所以1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得02a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是[]0,2．若选择③，A B =∅，因为{}|11A x a x a =-≤≤+，{}|13B x x =-≤≤，所以13a ->或11a +<-，解得4a >或2a <-，所以实数a 的取值范围是()(),24,-∞-+∞．28．13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据函数的不动点、稳定点的定义结合题意分别求出集合A 、B ，再结合结合A B =≠∅即可求解.【详解】由题意可知，()21f x ax x =-=， {}210A x ax x -=-=，由()()f f x x =，得()()342222221110a x a x x a ax x a xax a --+-=--+-+=， (){}2211B x a ax x =--={}3422210x a x a x x a =--+-=． ()(){}222110x ax x a x ax a =--+-+=． 当0a =时，()1f x =-．则集合{}1A B ==-，满足题设要求．当0a ≠时，当A B =≠∅时，方程210ax x --=有解，对方程2210a x ax a +-+=根的情况进行分类讨论若方程2210a x ax a +-+=有两个不相等的实数根，则22 1+40-4(1-) >0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得34a >， 此时两个方程没有公共解，集合B 中有四个元素，不合题意，舍去. 若方程2210a x ax a +-+=有两个相等的实数根，则22 1+40-4(1-) =0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得34a = 此时方程210ax x --=的两根分别为2,23-， 方程2210a x ax a +-+=的根为1223x x ==-. 验证得2,23A B ⎧⎫==-⎨⎬⎭⎩ 若方程2210a x ax a +-+=无实数根，此时A B =，则22 1+40-4(1-) <0 0 a a a a a ≥⎧⎪⎨⎪≠⎩，解得1344a -≤<且0a ≠ 综上所述，实数a 的取值范围为13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 29．(1){|29}x x -<≤(2)56m ≤≤【解析】【分析】（1）先化简集合A ，由6m =解得集合B ，然后利用并集运算求解.（2）根据“()x A C ∈⋂”是“x B ∈”的充分条件，转化为A B ⊆求解.(1) 由702x x -≤+得：27x -<≤，即27{|}A x x =-<≤， 当6m =时，{|59}B x x =≤≤，所以{|29}A B x x ⋃=-<≤.(2) 因为{}58C x x =<≤，所以{}57A C x x ⋂=<≤，由“A C ”是“x B ∈”的充分条件，则()A C B ⋂⊆，则2312237556156m m m m m m m m -≥-≥⎧⎧⎪⎪-≥⇒≥⇒≤≤⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 实数m 的取值范围是56m ≤≤.30．答案见解析【解析】【分析】首先写出6的正约数，即可得到集合Y ，再用列举法列出Y 的所有子集；【详解】解：因为6的正约数有1、2、3、6，所以{}1,2,3,6Y =，所以Y 的子集有：∅、{}1、{}2、{}3、{}6、{}1,2、{}1,3、{}1,6、{}2,3、{}2,6、{}3,6、{}1,2,3、{}1,2,6、{}1,3,6、{}2,3,6、{}1,2,3,6共16个；。
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【补充练习】
1.判断正误:
(1)空集没有子集. ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )
(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )
分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x∉A时也必有x∉B.
2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.
分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n 个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.
解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,
即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.
真子集:∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.
3.(1)下列命题正确的是( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中,错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}
④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}
A.5
B.2
C.3
D.4
(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )
A.a M
B.a∉M
C.{a}∈M
D.{a}M
分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,
无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于∅只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.
①应是{1}⊆{0,1,2},④应是∅⊆{0,1,2},⑤应是∅⊆{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M={x|3<x<4},a=π.
因3<a<4,故a是M的一个元素.
{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.
答案：(1)C (2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},
又x=4n=2·2n,
在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.
故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有B A.
点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q ={x|ax+1=0}满足Q P,求a 所取的一切值.
解：因P={x|x 2+x-6=0}={2,-3},
当a=0时,Q ={x|ax+1=0}=∅,Q P 成立.
又当a≠0时,Q ={x|ax+1=0}={a 1-
},要Q P 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=2
1-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q =∅时,满足Q P.
6.已知集合A={x ∈R |x 2-3x+4=0},B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0},要使A P ⊆B,求满足条件的集合P.
解：由A={x ∈R|x 2-3x+4=0}=∅,
B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0}={-1,1,-4},
由A P ⊆B 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为
{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 应具有何种关系？
解：因A={0,1},B={x|x ⊆A},
故x 为∅,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.
点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.
8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},
(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;
(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;
(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.
解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=∅满足B ⊆A.
当m+1≤2m -1即m≥2时,要使B ⊆A 成立,
需⎩
⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值范围m≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.
(3)∵x ∈R ,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B≠∅即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
②若B≠∅,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩
⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略∅;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.。