七年级数学下册 3.1 用表格表示的变量间关系 科学实验中“变量”的意思素材 (新版)北师大版
七年级数学 第3章 变量之间的关系 3.1 用表格表示的变量间关系
(2)当易拉罐底面半径为2.4 cm时,易拉罐需要的用铝量是多少?
(3)根据表格中的数据,你认为易拉罐的底面半径为多少时比较适宜?说
说你的理由.
解析 (1)反映了易拉罐底面半径和用铝量的关系,其中,易拉罐底面半
径为自变量,用铝量为因变量.
(2)5.6 cm3.
(3)易拉罐的底面半径为2.8 cm时比较合适,因为此时用铝量最少,成本低.
重点 解读
变量和常量往往是相对的,对于不同的研究过程而言,其中的变量和常量是不相同的,变量与常量 是可以相互转换的. 在行程问题中,当速度v保持不变时,行走的路程s是随时间t的变化而变化的,那么,在这一过程中,v 是常量,而s和t是变量.当路程s是定值时,行走的时间t是随速度v的变化而变化的,那么,在这一过程 中,s是常量,而v与t是变量
12/7/2021
(2016陕西汉中期末,2,★☆☆)在利用太阳能热水器来加热水的过程中,
热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是 ( )
A.太阳光强弱 B.水的温度
C.所晒时间
D.热水器
答案 B 水温随着所晒时间的变化而变化,所以水温是因变量.
12/7/2021
解答题 [2015天津中考,23(1)(2),★★☆]1号探测气球从海拔5 m 处出发,以1 m/ min 的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15 m处出发,以0.5 m/min 的速度上升.两个气球都匀速上升了50 min.设气球上升时间为x min(0 ≤x≤50). (1)根据题意,填写下表;
“5.61元/升”,其数值固定不变,另外两个量分别是“油量”和“金
额”,加油过程中,数值一直在变化.在这三个量当中,
是常量,
是变量.
3.1 用表格表示的变量间关系
的变化趋势。 1.判断一个量是变量还是常量的方法：关键是看在变化过程中，该量的值是否发生 改变，或者说该量是否会取不同的数值；在变化过程中不变的量是常量，可以取不 同数值的量是变量． ：在变化过程中的常量与变量的个数是不确定的． 2. 把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系， 像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．
跟踪练习
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变 化而变化.在这一问题中，自变量是( C ) A.沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼 【解析】因为骆驼的体温随时间的变化而变化， 所以自变量是时间.
2.对于圆的周长公式C=2πR，下列说法正确的是( D ) A.π，R是变量，2是常量 B.R是变量，π是常量 C.C是变量，π，R是常量 D.C，R是变量，2，π是常量 【解析】选D.因为常量就是在变化过程中不变的量， 变量是指在变化过程中发生变化的量.所以C，R是变 量，2，π是常量.
6.研究表明,当钾肥和磷肥的施用量一定时,土豆的产量与氮 肥的施用量有如下关系:
氮肥施用 量/
(千克/公顷 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 )
土豆产量/ 15.1 21.3 25.7 32.2 34.0 39.4 43.1 43.4 40.8 30.7 (吨/公顷) 8 6 2 9 3 5 5 6 3 5
3.某品牌豆浆机成本为70元,销售商对其销量与定价的关系进行了调查,结果如下:
定价/元 销量/个
100 110 120 130 140 150 80 100 110 100 80 60
初中数学知识点精讲精析 用表格表示变量之间的关系
第一节用表格表示变量之间的关系要点精讲一、变量、自变量、因变量的概念在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量．例如在表示路程关系式s=50t中，速度50恒定不变为常量，随t取不同数值时也取不同数值，s与t都为变量．t是自变量，s是因变量．二、利用表格表达变量之间的关系1．因变量随自变量的变化情况可借助与表格来表示．这种方法叫列表法．2．表格中数据对应关系的应用；2．根据表格预测（利润、产值、用点量）；3从表格中获取信息，根据因变量随着自变量变化而变化的趋势，作出合理预测．4．绘制表格表示两个变量之间关系时，一般分两栏，第一栏按从小到大的顺序列出自变量的各个变化取值，第二栏列出因变量对应的变化值．三、自变量取值范围：对于实际问题，自变量取值必须使实际问题有意义；对于纯数学问题，自变量取值必须保证函数关系式有意义：1．分式中，分母≠０；2．二次根式中，被开方数≥０；3．整式中，自变量取全体实数；4．混合运算式中，自变量取各解集的公共部份．相关链接函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．函数f中对应输入值的输出值x 的标准符号为f（x）．包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域．若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数．典型分析1．在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的（2）当所挂重物为4kg时，弹簧多长?不挂重物呢?（3）若所挂重物为6kg时（在弹簧的允许范围内），你能说出此时弹簧的长度吗?【答案】（1）弹簧长度y,物体重量x是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量；（2）当所挂重物为4kg时，弹簧长度为28cm，不挂重物时弹簧长度为20cm；（3）当所挂重物为6kg 时，弹簧长度为32cm ．【解析】抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．针对训练1．下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处d 落下时，弹跳高度b 与下落高度d 的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系（单位：cm ） （ ）A ．2d b =B ．b=2dC ．2b =D ．b=d+25 2．甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图像判断，下列说法正确的是（ ）A ．甲队率先到达终点B ．甲队比乙队多走了200米C ．乙队比甲队少用0．2分钟D ．比赛中两队从出发到2．2分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度大3．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点,进行机组试运行,试机时至少打开一个水口,且该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示：给出以下3个判断: ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点,不进水只出水；③4点到6点不进水不出水． 则上述判断中一定正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．①②③D ．①③4．下列四幅图像近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序丙乙甲①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读书与时间的关系）④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）A．①②④③ B．③④②① C．①④②③ D．③②④①5．下表反映了青春期男孩和女孩的体重情况，从中能获得哪些信息？6．某公园决定投资开发新项目．通过考察确定有6个项目可供选择．各项目所需资金及预汁年利润如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?（2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少?（3）如果要预计获得O．9千万元的年利润．投资一个项目需要多少资金?（4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资．预计最大年利润是多少?7．下表是天马冰箱厂2006年前半年每个月的产量：（1）根据表格中的数据，你能否根据x的变化，得到y的变化趋势？（2）根据表格你知道哪几个月的月产量保持不变？哪几个月月产量在匀速增长？哪几个月产量最高？（3）试求2006年前半年的平均月产量是多少？8．如图6—1所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8．（1）梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么?（2）用表格表示当x从10变到20时（每次增加1），y的相应值；（3）当x每增加1时，y如何变化?说说你的理由；（4）当x=0时，y 等于什么?此时它表示的是什么? 参考答案 1．【答案】C【解析】用验证法．当d=50时，252502===d b ； 当d=80时，402802===d b ； 当d=100时，5021002===d b ； 当d=150时，7521502===d b ． 因上述数字完全与表格中的数字符合．故本题应选C ． 2．【答案】C【解析】A 、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3．8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；B 、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误C 、因为4－3．8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0．2分钟，本选项正确；D 、根据0～2．2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；故选C ． 3．【答案】D【解析】根据题意，结合图象信息，选Ｄ． 4．【答案】D【解析】①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系），路程是时间的正比例函数，对应第四个图象；②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）,高度是注水时间的的函数，由于锥形瓶中的直径是下大上小，故先慢后快，对应第二个函数的图象； ③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系），温度计的读数随时间的增大而增大，由于温度计的温度在放入热水前有个温度，故对应第一个图象 ④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系），水温随时间的增大而减小，由于水冷却到室温后不变化，故对应第三个图象综合以上，得到四个图象对应的情形的排序为③②④① 5．【答案】（1）年龄是自变量，男、女孩体重分别都是因变量； （2）男孩体重岁年龄增长而增长，女孩体重岁年龄增长而增长． 【解析】此解将自变量当成因变量，同时对变化趋势表述不准确． 6．【答案】（1）反映了所需资金和预计年利润之间的关系，其中所需资金为自变量，预计年利润为因变量；（2）预计年利润为O ．55千万元； （3）需要资金7亿元；（4）共三种方案选择：①l 亿元，2亿元，7亿元；②2亿元，8亿元；③ 4亿元，6亿元；其利润分别为1．45亿元．1．35亿元和1．25亿元．预计最大年利润为1．45亿元． 【解析】由表格可直接观察出（1）（2）（3）的答案；对于（4）首先要弄清题意，用10亿元进行多个项目投资，也就是从给出的六个项目中不重复地选出若干个项目．使所需资金之和为lO 亿元．可看出其有三种方案选择：①l 亿元，2亿元和7亿元；②4亿元，6亿元；③2亿元，8亿元．这样可算出最大年利润．7．【答案】（1）随着月份x 的增大，月产量y 正在逐渐增加；（2）1月、2月两个月的月产量不变，3月、4月、5月三个月的产量在匀速增多，6月份产量最高； （3）（10000+10000+12000+14000+18000）÷6≈13000（台）． 故2006年前半年的平均月产量约为13000台．【解析】用表格表示现实生活中的数量关系，简明易懂，便于寻找变化规律，估计预测未知量，因此在解题时，要仔细观察表格中有关数据是解决本题的关键． 8．【答案】（1）()81521⨯+=x y ， 即y=4x+60； （2）（3）当x 每增加1时，y 的值随之增加4；（4）当x=0时，y=60，此时梯形成为了三角形． 【解析】（1）根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式； （2）通过计算列表说明；（3）由表格中的数据可以观察出； （4）当上底为零时（即成为一个点），成为三角形．扩展知识函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢?这也就是函数概念的核心的问题．纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式．而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则称x 为自变量，y 为x 的函数”．分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y 对x 是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数．因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系．这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化;第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的．。
七年级数学下册 用表格表示的变量间关系
3.1 用表格表示的变量间关系基础训练1.某人要在规定时间内加工100个零件,则工作效率y与时间t之间的关系中,下列说法正确的是( )A.y,t和100都是变量B.100和y都是常量C.y和t是变量D.100和t都是常量2.下表是某报纸公布的世界人口数情况:上表中的变量是( )A.仅有一个,是年份B.仅有一个,是人口数C.有两个变量,一个是人口数,另一个是年份D.一个变量也没有3.某种报纸的价格是每份0.4元,买x份报纸的总价为y元,填写下表.在这个问题中,___________是常量; __________是变量.4.王老师开车去加油站加油,发现加油表如图所示.加油时,单价其数值固定不变,表示“数量”、“金额”的量一直在变化,在数量(升)金额(元)单价元/升)这三个量中, 是常量, 是自变量, 是因变量.5.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中因变量是( )A.太阳光强弱B.水的温度C.所晒时间D.热水器6.一个圆柱的高h为10 cm,当圆柱的底面半径r由小到大变化时,圆柱的体积V也发生了变化,在这个变化过程中( )A.r是因变量,V是自变量B.r是自变量,V是因变量C.r是自变量,h是因变量D.h是自变量,V是因变量7.声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)与气温x(℃)的关系如下表所示.上表中___________是自变量, __________是因变量.照此规律可以发现,当气温x为__________℃时,声速y达到346 m/s.8.弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度 y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系:下列说法不正确的是( )A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量B.弹簧不挂重物时的长度为0 cmC.在弹性限度内,物体质量每增加1 kg,弹簧长度y增加0.5 cmD.在弹性限度内,所挂物体质量为7 kg时,弹簧长度为13.5 cm9.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据:设烤鸭的质量为x kg,烤制时间为t min,估计当x=3.2时,t的值为( )A.140B.138C.148D.16010.赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表(如下表所示):对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是( )A.赵先生的身高增长速度总体上先快后慢B.赵先生的身高在21岁以后基本不长了C.赵先生的身高从0岁到21岁平均每年约增高5.8 cmD.赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1 cm提升训练11.父亲告诉小明:“距离地面越高,气温越低.”并给小明出示了下面的表格:根据上表,父亲还给小明出了下面几个问题,你和小明一起回答.(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)如果用h表示距离地面的高度,用t表示温度,那么随着h的变化,t 是怎么变化的?(3)你知道距离地面6 km的高空气温是多少吗?12.在烧水时,水温达到100 ℃就会沸腾,下表是某同学做“观察水的沸腾”试验时记录的数据:(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)水的温度是如何随着时间的变化而变化的?(3)时间每推移2 min,水的温度如何变化?(4)时间为8 min时,水的温度为多少?你能得出时间为9 min时水的温度吗?(5)根据表格,你认为时间为16 min和18 min时水的温度分别为多少?(6)为了节约能源,你认为应在什么时间停止烧水?13.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系(其中0≤x≤20):(注:接受能力值越大,说明学生的接受能力越强)(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当提出概念所用时间是10 min时,学生的接受能力是多少?(3)根据表格中的数据,你认为提出概念所用时间为多少时,学生的接受能力最强?(4)从表格中可知,当提出概念所用时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?当提出概念所用时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】0.4;0.8;1.2;1.6;0.4;x,y4.【答案】单价;数量;金额5.【答案】B解：所晒时间和水的温度都是变量,但水的温度随所晒时间的变化而变化,所以所晒时间是自变量,水的温度是因变量.6.【答案】B7.【答案】气温;声速;25解：气温是自变量,声速是因变量,气温每上升5 ℃,声速增加3 m/s,而x=20时,y=343,所以当x=25时,y=346.8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】D解：(170.4-48)÷24=5.1(cm),从0岁到24岁平均每年增高7.1 cm是错误的.11.解:(1)反映了距离地面高度与气温之间的关系.距离地面高度是自变量,气温是因变量.(2)随着h的升高,t逐渐降低.(3)观察表格,可得距离地面高度每上升1 km,气温下降6 ℃.当距离地面 5 km时,气温为-10 ℃,故当距离地面 6 km时,气温为-16 ℃.12.解:(1)上表反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量.(2)水的温度随着时间的增加而增加,到100 ℃时恒定.(3)时间每推移2 min,水的温度增加14 ℃,到10 min时恒定.(4)时间为8 min时,水的温度是86 ℃,时间为9 min时,水的温度是93 ℃.(5)根据表格,时间为16 min和18 min时水的温度均为100 ℃.(6)为了节约能源,应在第10 min后停止烧水.13.解:(1)反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的关系;其中x是自变量,y是因变量.(2)由表格可知,当提出概念所用时间是10 min时,学生的接受能力是59.(3)由表格可知提出概念所用时间为13 min时,学生的接受能力最强.(4)当x在2至13的范围内,学生的接受能力逐步增强;当x在13至20的范围内,学生的接受能力逐步降低.。
北师大版七年级数学下册 第一讲 用表格表示的变量间关系(基础讲解)(含解析)
第一讲用表格表示的变量间关系【学习目标】1、理解函数中变量的概念2、能借助表格表示两个变量之间的关系【知识总结】一、变量的概念在一个变化过程中,我们把数值发生变化的量称为__变量__,数值始终不变的量称为常量．在一个变化过程中,其中一个变量在取一个数值时,另一个变量也有唯一一个数值与其对应,那么,通常前一个变量叫做自变量,后一个变量叫做因变量．[注意] 自变量是在一定范围内主动发生变化的变量；因变量是随着自变量的变化而发生变化的变量．二、借助表格表示两个变量之间的关系把自变量的一系列值和因变量的对应值列成一个表来表示变量之间的关系,像这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．用表格表示两个变量,一般第一栏表示自变量,第二栏表示因变量,从表格中可以发现因变量随自变量的变化存在一定的规律,或增加或减少或呈现规律性的起伏变化,从而利用变化趋势对结果作出预测．【典型例题】【类型】一、变量、自变量、因变量的概念例1要通过驾照考试,学开车的人就必须熟悉交通规则,也要知道当路况不良时,使车子停止前进所需的大约距离．(1)上表反映的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？(2)说一说这两个变量之间的关系．[解析] 根据自变量、因变量的定义,停止距离是随速度的变化而变化的,从而判断速度为自变量,停止距离为因变量．解：(1)上表反映的是速度与停止距离之间的关系；速度是自变量,停止距离是因变量．(2)随着速度的增大,停止距离逐渐增大．[归纳总结] 自变量和因变量的联系和区别见下表：【类型】二、用表格表示变量之间的关系例2某同学用弹簧做试验,在弹簧上挂不同质量的物体时弹簧的长度就会发生变化,但所挂物体的质量不能超过1000克,试验数据如下：(1)此题中哪个是自变量？哪个是因变量？它们之间有什么关系？(2)你能否预测所挂重物质量为800克时,弹簧总长度是多少吗？弹簧总长度为15厘米时,所挂重物的质量是多少？(3)不挂重物,弹簧的长度是多少？在弹性限度内弹簧的最大长度是多少？[解析] 由题意及表格可知,弹簧长度随所挂物体的质量的增加而伸长,而由表中数据看到所挂的物体每增加100克,弹簧就伸长1厘米,因此问题迎刃而解．解：(1)自变量是物体质量,因变量是弹簧长度,其中,弹簧长度随物体质量的增加而伸长．(2)由表中数据可知,重物每增加100克,弹簧就伸长1厘米,故挂800克的重物时,弹簧长为18厘米；当弹簧总长度为15厘米时,所挂重物的质量是500克．(3)由(2)知,不挂重物,弹簧的长度是10厘米；在弹性限度内,弹簧的最大长度是20厘米．[归纳总结] 用表格法表示两个变量之间的关系时,能准确地指出几组自变量与因变量的值,但不能全面地反映两个变量之间的关系,只能反映其中的一部分,从这部分数据中观察变量的变化趋势并估计未在表格中出现的数据的大小,因此需要对表格中的数据进行分析．【类型】三、价格变化规律例1 某商店出售商品时,在进价的基础上又加了一定的利润,其数量x与售价y的关系如下表所示：请根据表中所提供的信息,写出售价y与数量x之间的关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.析解:从表格可发现,当x =1时,y =8+0.4;当x =2时,y =16+0.8=2(8+0.4);当x =3时,y =24+1.2=3(8+0.4),…,所以y 与x 之间的关系式为y =(8+0.4)x =8.4x . 当x =2.5时,y =8.4×2.5=21(元). 即2.5千克的售价是21元.【类型】四、树苗生长规律例2 一种树苗的高度用h 表示,测得的有关数据如下表（树苗原高80cm ）：写出年数x 与树高h 的关系式,并计算生长5年的树苗的高度.析解：观察表格可知,树苗高度一栏中由两部分组成,“+”号前是树的原来高度不变,“+”后面的部分与a 的关系是年数的5倍,所以树的高度h 与年数x 的关系式为h =80+5x 当x =5时,则h =80+5×5=80+25=105（cm ）. 即5年后的高度是105cm .【类型】五、音速传播规律例3 声音在空气中传播的速度v (米/秒)(简称音速)和气温t (℃)有关,音速随着气温的变化如下表:试写出音速v 与气温t 之间的关系式,根据关系式,估计25时的音速是多少?析解:从表格可以看出,当t =0时,音速v =331,当t =5时,v =334=331+3;当t =10时,v =337=331+6=331+2×3;当t =15时,v =340=331+9=331+3×3,…, 所以v 与t 的关系为v =331+t 53. 当t =25时,v =331+53×25=331+15=346(米/秒). 即当温度是25℃时,音速是346米/秒.【类型】六、温度变化规律例4 下表中记录了一次试验中的时间和温度的数据.（1）写出温度T与时间t的关系式；（2）什么时间的温度是34℃.析解：（1）从表中的数据可知温度随时间的增加而上升,且每分钟上升3,所以可得关系式为T=10+3t. （2）当T=34℃时,有34=10+3t,解得t=8,即8分钟的温度是34℃.。
七年级下册数学 用表格、关系式表示的变量间关系(知识点串讲)(解析版)
专题08 用表格、关系式表示的变量间关系知识网络重难突破知识点一用表格表示的变量间关系1、常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．2、自变量与因变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．注意：区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3、从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．典例1（2018春•金牛区期末）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是()A．金额B．数量C．单价D．金额和数量【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，故选：D．典例2（2018春•成华区期末）在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度()y cm与所挂物体的质量()x kg之间有如下表关系：x kg01234⋯()y cm1010.51111.512⋯()下列说法不正确的是()A．y随x的增大而增大B．所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cmC．所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cmD．不挂重物时弹簧的长度为0cm【解答】解：A、y随x的增大而增大，正确；B、所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cm，正确；C、所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cm，正确；D、不挂重物时，弹簧的长度为10cm，错误；故选：D．知识点二用关系式表示变量间关系1、用关系式表示两个变量间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．2、利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．典例1（2019春•锦江区期末）有一辆汽车储油50升，从某地出发后，每行驶1千米耗油0.12升，如果设剩余油量为y（升)，行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为．【解答】解：如果设剩余油量为y（升)，行驶的路程为x（千米），则y与x的关系式为500.12=-，y x故答案为：500.12=-．y x典例2（2018秋•成都期中）已知y与x的部分对应关系如下表：则可得y与x的一个关系式．【解答】解：由题可得，y的值等于x的值的3-倍，∴=-，3y x故答案为：3y x=-．典例3（2019春•郫都区期中）观察图象，解答问题：（1）把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为多少？（2）若用x个这样的圆环相扣并拉紧，长度为y厘米，求y与x之间的关系式．【解答】解：（1）由图可知，把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为：8(812)8614+-⨯=+=（厘米），即把这样的2个圆环扣在一起并拉紧（如图2)，长度为14厘米；（2）由题意可得，y x x=+-=+，86(1)62即y与x的函数关系式为62=+．y x巩固训练一、单选题（共5小题）1．（2019春•罗湖区期中）一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是() A．常量，常量B．变量，变量C．常量，变量D．变量，常量【解答】解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5和y分别是常量，变量．故选：C．2．（2019春•通川区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()x kg之y cm与所挂的物体的质量()间有下面的关系：/x kg012345/y cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量B．弹簧不挂重物时的长度为0 cmC．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cmD ．所挂物体质量为7 kg 时，弹簧长度为13.5 cm【解答】解：A 、y 随x 的增加而增加，x 是自变量，y 是因变量，故A 选项正确；B 、弹簧不挂重物时的长度为10cm ，故B 选项错误；C 、物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cm ，故C 选项正确；D 、由C 知，100.5y x =+，则当7x =时，13.5y =，即所挂物体质量为7kg 时，弹簧长度为13.5cm ，故D选项正确； 故选：B ．3．（2019春•太原期末）一种手持烟花，这种烟花每隔0.5秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同．皮皮小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h （米）随飞行时间t （秒）变化的规律如下表所示．下列这一变化的过程说法正确的是（ ）A ．飞行时间t 每增加0.5秒，飞行高度h 就增加5.5米B ．飞行时间t 每增加0.5秒，飞行高度h 就减少5.5米C ．估计飞行时间t 为5秒时，飞行高度h 为11.8米 D ．只要飞行时间t 超过1.5秒后该花弹爆炸，就视为合格【解答】解：从表格可以看到0秒到3秒的过程中，随着飞行时间的增加，飞行高度增加； 从3秒以后，随着飞行时间的增加，飞行高度减小； 因此，A 与B 选项不正确；从表格看到飞行高度在3秒左右是对称的，所以C 选项正确； 从已知中没有涉及合格的标准，所以D 不正确； 故选：C ．4．声音在空气中传播的速度与气温的关系如下表，根据表格分析下列说法错误的是（ ）A ．在这个变化过程中，气温是自变量，声速是因变量B ．声速随气温的升高而增大C ．声速v 与气温T 的关系式为330v T =+D ．气温每升高10C ︒，声速增加6/m s【解答】解：A 、在这个变化过程中，气温是自变量，声速是因变量，正确，不合题意；B 、声速随气温的升高而增大，正确，不合题意；C 、声速v 与气温T 的关系式为33305v T =+，故此选项错误，符合题意；D 、气温每升高10C ︒，声速增加6/m s ，正确，不合题意．故选：C ．5．（2017春•温江区期末）如表列出了一项实验的统计数据：它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y 与弹跳高度x 的关系，能表示变量y 与x 之间的关系式为( ) A ．210y x =-B ．2y x =C ．25y x =+D ．5y x =+【解答】解：根据题意，设函数关系式为y kx b =+， 则30504580k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：210k b =⎧⎨=-⎩，则210y x =-． 故选：A ．二、填空题（共5小题）6．（2018春•成华区期末）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中 是自变量， 是因变量．【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化， 所以销售量是自变量，收入数为因变量． 故答案为：销售量，销售收入．7．（2018春•太原期中）地表以下岩层的温度(C)y ︒随着所处深度()x km 的变化而变化，在某个地点y 与x 之间有如下关系：/x km1 2 3 4 /C y ︒5590125160根据表格，估计地表以下岩层的温度为230C ︒时，岩层所处的深度为 km ． 【解答】解：设Y kx b =+， 则把(1,55)，(2,90)代入得： 55290k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：3520k b =⎧⎨=⎩，故3520Y k =+，则当230Y =时，2303520x =+， 解得：6x =， 故答案为：6． 故答案为：6y x =．8．（2018秋•新密市校级期中）米店买米，数量x （千克）与售价y （元)之间的关系如下表： /x 千克0.5 1 1.5 2⋯ /y 元 1.30.1+ 2.60.1+ 3.90.1+ 5.20.1+⋯则售价y 与数量x 之间的关系式是 ．【解答】解：售价y 与数量x 之间的关系式是 2.60.1y x =+， 故答案为： 2.60.1y x =+．9．（2018春•和平区校级期中）如图所示，一边靠校园院墙，另外三边用50m 长的篱笆，围起一个长方形场地，设垂直墙的边长为()x m ，则长方形场地面积2()y m 与x 的关系式为 ．【解答】解：由题意可得：(502)y x x =-， 即2250y x x =-+， 故答案为：2250y x x =-+．10．（2018春•铁西区校级期中）为了美化校园，学校计划修建6个完全相同的长方形花坛．如果每个花坛的一条边长为10米，另一条边长为x ，花坛总面积为S 平方米，那么S 与x 之间的关系式可表示为 ． 【解答】解：由题意，得 10660S x x ==，所以S 与x 之间的关系式可表示为60S x =． 故答案为：60S x =．三、解答题（共3小题）11．（2019春•昌图县期末）为了解某品牌轿车以80/km h 匀速行驶的耗油情况，进行了试验：该轿车油箱加满后，以80/km h 的速度匀速行驶，数据记录如下表：（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？自变量、因变量各是什么？（2）油箱剩余油量Q （升)与轿车行驶的路程s （千米）之间的关系式是什么？（3）若小明将油箱加满后，驾驶该轿车以80/km h 的速度匀速从A 地驶往B 地，到达B 地时油箱剩余油量为5升，求两地之间的距离．【解答】解：（1）上表反映了轿车行驶的路程s （千米）和油箱剩余油量Q （升)之间的关系，其中轿车行驶的路程s （千米）是自变量，油箱剩余油量Q （升)是因变量； （2）由题可得，950100Q s =-； （3）将5Q =代入得，9550100s =-， 解得500s =，即两地之间相隔500千米．12．（2019春•大邑县期中）大坪山合作社向外地运送一批李子，由铁路运输每千克需运费0.6元；由公路运输，每千克需运费0.25元，运完这批李子还需其他费用800元．（1）该合作社运输的这批李子为xkg ，选择铁路运输时，所需费用为1y 元，选择公路运输时，所需费用为2y 元．请分别写出1y ，2y 与x 之间的关系式．（2）若合作社只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的李子重量多？ 【解答】解：（1）由题意可得， 10.6y x =， 20.25800y x =+；（2）当1500y =时，15000.6x =，解得2500x =，即选择铁路运输时，运送的李子重量为2500千克； 15000.25800x =+，解得2800x =，即选择公路运输时，运送的李子重量为2800千克．所以选择公路运输运送的李子重量多．13．（2019春•济南期中）为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：（1）该轿车油箱的容量为 L ，行驶150km 时，油箱剩余油量为 L ； （2）根据上表的数据，写出油箱剩余油量()Q L 与轿车行驶的路程()s km 之间的表达式；（3）某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A 地前往B 地，到达B 地时邮箱剩余油量为26L ，求A ，B 两地之间的距离．【解答】解：（1）由表格中的数据可知，该轿车油箱的容量为50L ，行驶150km 时，油箱剩余油量为：15050838()100L -⨯=． 故答案是：50；38；（2）由表格可知，开始油箱中的油为50L ，每行驶100km ，油量减少8L ，据此可得Q 与s 的关系式为500.08Q s =-；故答案是：500.08Q s =-；（3）令26Q =，得300s =．答：A，B两地之间的距离为300km．。
数学七年级下北师大版3-1用表格表示的变量间关系课件(38张)
（1）时间是8分钟时，水的温度为100℃； （2）此表反映了变量 温度和 时间之间的关系，其 中 时间是自变量， 温是度因变量； （3）在 0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加； _8_至__1_2_分__钟_时间内，水的温度不再变化．
课堂精讲
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解：（1）第8分钟时水的温度为100℃； （2）反映的温度随着时间的变化而变化的，时间 是自变量，温度是因变量； （3）观察表格发现在0至8分钟时间内，温度随时 间增加而增加；8至12分钟时间内，水的温度不再 变化． 故答案为：（1）100℃（2）温度，时间，时间， 温度；（3）0至8分钟，8至12分钟．
Hale Waihona Puke 堂精讲Listen attentively
解：（1）电动车的月产量y为随着时间的变化而变 化，有一个时间就有唯一一个y， 月产量是时间的因变量； （2）六月份常量最高，一月份常量最低； （3）六月份和一月份相差最大，在一月份加紧生 产，实现产量的增值．
课堂精讲
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目录 contents
课前小测
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3．某款贴图的成本价为1.5元，销售商对其销量与 定价的关系进行了调查，结果如下： 你认为其因变量为（C ）
定价/ 1.8 2 2.3 2.5 2.8 3 元
销量/ 20 25 30 26 22 18 个
A．成本价 B．定价 C．销量 D．以上说法都不正确
课堂精讲
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知识点2 表格法 例2．秋天到来了，小明家的苹果获得了丰收，他
主动帮助妈妈到集市上去卖刚刚采摘下的苹果．已
七年级下3.1用表格表示的变量间关系课件(共38张PPT)
刹车时车速 20
40
60
80 100 120
（千米/时）
刹车距离（米） 1.0 3.6 7.8 13.6 21
30
回答下列问题： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？ （2）如果刹车时车速为60千米/时，那么刹车距离 是多少米？
课后作业
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解：（1）上表反映了刹车速度和刹车距离 之间的关系；
目录 contents
课后作业
课后作业
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基础过关
3．（2014春•沙河市期中）2013年8月16日，广东 省遭受台风“尤特”袭击，大部分地区发生强降雨，
某河受暴雨袭击，一天的水位记录如表，观察表中 数据，水位上升最快的时段是（D ）
时间/ 0 4 8 12 16 20 24 时
类比精练.1.下表是小华做观察水的沸腾实验时所记 录的数据：
（1）时间是8分钟时，水的温度为100℃； （2）此表反映了变量 温度和 时间之间的关系，其 中 时间是自变量， 温是度因变量； （3）在 0至8分钟时间内，温度随时间增加而增加； _8_至__1_2_分__钟_时间内，水的温度不再变化．
课堂精讲
课前小测
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5．（2015春•市北区期中）声音在空气中传播的速 度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的 关系如下从表中可知音速y随温度x的升高 而 加快 ．在气温为20℃的一天召开运动会，某人 看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可 知，这个人距发令地点 68.6米．
课后作业
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解：（1）随着月份x的增大，月产量y正在 逐渐增加； （2）2月的月产量不变，3月、4月、5月三 个月的产量在匀速增多，6月份产量最高； （3）2007年前半年的平均月产量 （10000+10000+12000+13000+14000+18000） ÷6≈13000（台）．
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科学实验中“变量”的意思
科学实验中“变量”并不是数学中所说的“变化的量”，而是“还没有确定的量”。
通过改变这个量会对试验结果产生影响，从而得到结论。
如物理学科中有这样的试验——让同一辆小车从同一斜面的同一高度由静止释放自由下滑,这样可以使小车到达斜面底部时具有相同的速度.在水平面上,小车由于受到摩擦力的作用会最终停下来，这是探究牛顿第一定律时所做得实验。
牛顿第一定律：一切物体在不受力的作用时，总保持静止状态或匀速直线运动状态。
实验探究的是阻力对物体运动的影响，那么采用控制变量法，即要保证所用斜面相同，到达斜面底端时的速度相同。
所以“同一辆小车从同一斜面的同一高度”就是被控制的保持不变的量，而“水平面的光滑程度”就是对试验结果产生影响的量。
结论：平面越光滑，小车运动的距离越远，这说明小车受到的阻力越小，速度减小得越少。
推理：如果运动物体不受力，它将以原有的速度永远的运动下去。