【解析】北京市第十三中学2021届高三上学期期中考试数学试题

北京市第十三中学2020~2021学年第一学期高三数学期中测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第4页.答题纸第1页至第4页，共4页.考试时间120分钟，满分150分.请在答题纸指定位置书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1. 若集合{}12A x x =∈-<<Z ，{}220B x x x =-=，则A B =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}0,1,2D.1,0,1,2【答案】C 【分析】先化简集合A ,B ，再利用并集运算求解. 【详解】{0,1},{0,2}A B =={0,1,2}A B ∴=故选：C2. 下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A. 1y x =-+ B. 1y x =-C. sin y x =D. 12y x =【答案】D1y x =-+在()0,∞+上是单调减函数，1y x =-在(),1-∞是单调减函数，在()1,+∞上是单调增函数，sin y x =在()0,∞+不是单调函数，12y x =是幂函数，它在()0,∞+上是单调增函数，故选D ．3. 已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A. 43-B. 34-C. 34D.43【答案】A 【分析】由同角三角函数基本关系的平方关系可以求出sin α的值且sin 0α>，再利用sin tan cos ααα=即可求解. 【详解】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α， 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--， 故选：A 4. 曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为（ ） A. 20x y --= B. 20x y +-= C. 450x y +-= D. 50x y --=【答案】B 【分析】先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可 【详解】求导得斜率1-，代点检验即可选B.21(21)y x -'=-，1k ∴=-，20x y ∴+-=故选：B5. 已知a ，3，b ，9，c 成等比数列，且0a >，则33log log b c -等于（ ） A. 1-B. 12-C.12D. 1【答案】A 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 【详解】a ，3，b ，9，c 成等比数列， 则81bc =，227b =，∴213b b bc c ==， ∴333log log 113log b c ==--， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关等比数列与对数运算的综合题，涉及到的知识点有等比数列的性质，对数式运算法则，属于基础题目.6. 函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解+析式为 （ ）A. y =sin 2xB. y =cos2xC. y =2sin(2)3x π+ D. y =sin(2)6x π-【答案】D由图像知A="1,"311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=, sin(2)16πφ⨯+=,2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右移6π个单位后得到的图像解+析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D ．7. 若α为任意角，则满足πcos cos 4k αα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭的一个k 值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】D 【分析】 由πcos cos 4k αα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，可知2ππ4k n ⋅=()n ∈Z ，从而可得到,k n 的关系式，结合四个选项可选出答案.【详解】因为πcos cos 4k αα⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，所以2ππ4k n ⋅=()n ∈Z ，即8k n =，所以k 可以为8. 故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8. 设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和为n S ，充分性：1n n S S +>，则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立，则20a >，0d ≠，若0d <，则数列{}n a 为单调递减数列，则必存在k *∈N ，使得当n k >时，10n a +<，则1n n S S +<，不合乎题意；若0d >，由20a >且数列{}n a 为单调递增数列，则对任意的n *∈N ，10n a +>，合乎题意.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇒“{}n a 为递增数列”；必要性：设10n a n =-，当8n ≤时，190n a n +=-<，此时，1n n S S +<，但数列{}n a 是递增数列.所以，“*n N ∀∈，1n n S S +>”⇐/“{}n a 为递增数列”.因此，“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键，属于中等题．9. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E 1和E 2，则12E E 的值所在的区间为（ ） A. ()1,2 B. ()5,6C. ()7,8D. ()15,16【答案】B 【分析】先把数据代入已知解+析式，再利用对数的运算性质即可得出． 【详解】lg 4.8 1.5E M =+，∴1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，2lg 4.8 1.57.516.05E =+⨯=， ∴16.8110E =，16.05210E =，∴0.751210E E =，∵0.750.751.5109335>==>，()40.7510=1000，46=1296，∴0.75106<，∴12E E 的值所在的区间为()5,6，故选B ． 【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.10. 已知函数()e 1,0,,0.x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. (),1-∞- B. (],1-∞-C.1,0D. [)1,0-【答案】A 【分析】将方程的有解问题转化为函数图象的交点问题，利用导数，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】不妨设00x >当0k ≥时，()00=e 10xf x ->，()000f x kx -=-≤，不存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则0k ≥不满足题意当0k <时，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则方程00e 1xkx -=-有非零的正根，即函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点先考虑函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切的情形设切点为11(,)x y ，则11111e 1x x k e y kx y ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，整理得()111e 10xx -+=令()()1e 1,0xg x x x =-+≥，则()0e xg x x '=≥，即函数()g x 在[)0,+∞上单调递增 则()(0)0g x g ≥=，所以方程()111e 10xx -+=的根只有一个，且10x =，即1k -=则函数()e 1,0xy x =-≥与直线y kx =-相切时，切点为原点所以要使得函数()e 1,0xy x =->与(),0y kx x =->有交点，则1k ->，即1k <- 所以实数k 的取值范围是(),1-∞- 故选：A【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，导数研究方程的根，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题11. 如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是_________，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是______.【答案】 (1). 84 (2). 2 【分析】根据茎叶图和平均数，以及中位数的定义进行求解即可 【详解】根据茎叶图写出甲、乙的成绩如下， 甲：76，83，84，87，90 乙：79，80，82，88，91 所以，甲的平均成绩为：176********845x ++++==，乙的平均成绩为：27980828891845x ++++==，乙的中位数为82，所以，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2 故答案为：①84；②2 12. 求值tan 2010︒=_______. 3 【分析】根据诱导公式化为锐角后可求得结果.【详解】tan 2010tan(5360210)=⨯+tan 210=3tan(18030)tan 30=+==。

故答案为：3313. 函数1()1f x x x =+-(1)x >的最小值是_____，此时x =_____.【答案】 (1). 3 (2). 2 【分析】由题知10x ->，又由()1111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()12111131f x x x =-+++=-≥=， 当且仅当111x x -=-即2x =时，函数取得最小值3． 故答案为：①3；②2．【点睛】关键点点睛：该题主要考查了利用基本不等式求解最值，在求解的过程中，时刻关注利用基本不等式求最值的三个条件：一正、二定、三相等，考查学生的运算求解能力． 14. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院. 【答案】 (1). 16 (2). 21 【分析】由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果． 【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院． 且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为451216a =⨯=，1(12)12712n n S ⨯-==-，解得7n =，∴第715121+-=天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，21．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．15. 能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______.（写出满足条件的一组值即可）【答案】1-，2-，3-（答案不唯一） 【分析】任意取一组a ，b ，c 的值，满足a b c >>，但不满足a b c +>即可. 【详解】令1,2,3a b c =-=-=- ，则a b c >>， 但是3a b c +=-=，所以a b c +>不成立，满足a ，b ，c 是任意实数，若a b c >>，则a b c +>”是假命题， 故答案为：1-，2-，3-（答案不唯一）16. 定义在区间[],a b 上的连续函数()y f x =，如果[],a b ξ∃∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-，则称ξ为区间[],a b 上的“中值点”，下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，在区间[]0,1上“中值点”多于一个的函数序号为__________．（写出所有满足条件的函数的序号） 【答案】①④①∵()3f x '=，()()3()f b f a b a -=-，∴[]0,1ξ∀∈，均符合题意． ②∵()21f x x '=-，()()()(1)f b f a b a b a ⋅=-+-()()b a f ξ'=-． ∵b a ≠，∴()1f a b ξ=+-'，∴211a b ξ-=+-，1()2a b ξ=+不符合题意； ③∵1()1f x x '=+，1()()ln 1b f b f a a +⎛⎫-= ⎪+⎝⎭()()f b a ξ'=- ∴1ln 11()1b a f b a ξξ+⎛⎫⎪+⎝=-'⎭=+，∴11ln 1b a b a ξ-=-+⎛⎫ ⎪+⎝⎭不符合题意；④∵21()32f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，3311()()22f b f a b a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()f b a ξ'=-． ∴221111()2222f b a b a ξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣⎦'⎥2132ξ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．符合题意． 点睛：本题考查了新定义的命题真假的判断问题，重点是对导数及其几何意义的理解与应用问题，根据“中值点”的几何意义是在区间[a ，b]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a ，b]的两个端点连线的斜率值．由此定义并结合函数的图象与性质，对于四个选项逐一判断，即得出正确答案．三、解答题17. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．【答案】（1）a n =2n −1.（2）312n -试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解.试题详细分析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10. 解得d =2. 所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q . 因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9. 解得q 2=3.所以2212113n n n b b q---==. 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=. 【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和. 18. 已知函数()22sin cos 2sin 1f x x x x =-+.（1）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期； （3）求()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 【答案】（1）1；（2）π；（3）2- 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解+析式，从而求得4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值 （2）由（1）得，利用正弦函数的周期性，得出结论； （3）由（1）得，利用正弦函数的单调性，得出结论；【详解】（1）()22sin cos 2sin 1sin 2cos2f x x x x x x =-+=+π224x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴πππ21424f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或直接求2ππππ2sin cos 2sin 114444f ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭. （2）由（1）得，所以()f x 的最小正周期为2π2ππ2T ω===（3）由（1）得，∵π02x -≤≤，∴3πππ2444x -≤+≤，∴πsin 24x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦当ππ242x +=-，即3π8x =-时，()f x 取得最小值为. 【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用三角恒等变换化简函数的解+析式得到()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而利用正弦函数的性质求解，属于中档题19. 某单位有车牌尾号为2的汽车A 和尾号为6的汽车B ，两车分属于两个独立业务部门.对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日，A 车日出车频率0.6，B 车日出车频率0.5.该地区汽车限行规定如下：现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且A ，B 两车出车相互独立. （1）求该单位在星期一恰好出车一台的概率；（2）设X 表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求X 的分布列及其数学期望()E X .【答案】（1）0.5；（2）分布列见解+析，1.7. 【分析】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5， 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，根据()()1111P C P A B A B =+计算可得结果； （2）X 的可能取值为0，1，2，3，求出X 的各个取值的概率可得分布列和数学期望. 【详解】（1）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1i =，2，3，4，5由已知可得()0.6i P A =，()0.5i P B = 设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，因为A ，B 两车是否出车相互独立，且事件11A B ，11A B 互斥， 所以()()()()()()()()111111111111P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+()()0.610.510.60.5=⨯-+-⨯0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. （2）X 的可能取值为0，1，2，3()()()11200.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=()()()()()211210.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯=()()()()()112220.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=()()()11230.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=所以X 的的分布列为X0 1 2 3 P0.080.320.420.18()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问分析出X 的可能取值，搞清楚X 的每个取值对应的事件是解题关键.20. 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，将角α的终边按照逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记()()1122,,,A x y B x y（1）若113x =，求2x ； （2）分别过A 、B 做x 轴的垂线，垂足依次为C 、D ，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ，若122S S =，求角α的值.【答案】（1）2x ；（2）4πα=【分析】（1）由三角函数定义，得11cos 3x α==，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据2cos()3x πα=+，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得1sin y α=，2sin()3y πα=+，分别求得1S 和2S 的解+析式，再由122S S =求得cos20α=，根据α的范围，求得α的值．【详解】（1）解：由三角函数定义，得1cos x α=，2cos()3x πα=+．因为(,)62ππα∈，1cos 3α=，所以sin 3α==．所以21cos()cos 32x π=+==αα-α． （2）解：依题意得1sin y α=，2sin()3y πα=+． 所以111111cos sin sin 2224S x y ααα===，2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππααα==-++=-+． 依题意122S S =得2sin 22sin(2)3παα=-+，即22sin 22[sin 2coscos2sin ]sin 233ππααααα=-+=， 整理得cos20α=． 因为62ππα<<，所以23παπ<<，所以22πα=，即4πα=．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题． 21. 已知函数()2xf x e x =-.（1）求函数()f x 的极值； （2）证明：当0x >时，曲线2yx 恒在曲线x y e =的下方；（3）讨论函数()()21xH x x te t e =-<<零点的个数. 参考公式：()log 0,1,0a NaN a a N =>≠>.【答案】（1）极小值为2ln4-，无极大值；（2）证明见解+析；（3）当1t e <<时，函数只有一个零点. 【分析】（1）利用导数等于0，即可求出函数的极值；（2）构造函数()2xg x e x =-，求出导数，利用（1）的结论判断导函数的符号，即可判断()g x 的单调性及最值，从而得出结论；（3）由()0H x =得2x x t e =，设()2x x x eϕ=，所以求函数()H x 零点的个数等价于求直线y t=与函数()y x ϕ=图象交点的个数.【详解】解：（1）()e 2xf x '=-.令()0f x '=，得ln 2x =.当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增. 所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为()ln2ln2e2ln 22ln4f =-=-，()f x 无极大值.（2）证明：令()2xg x e x =-，则()2x g x e x '=-，由（1）得()()()ln 2=2ln 40g x f x f '=≥->， 故()g x 在R 上单调递增，又()010g =>， 因此，当0x >时，()()00g x g >>，即2x x e < 即当0x >时，曲线2yx 恒在曲线x y e =的下方.（3）由()20xH x x te =-=得2x x t e =，设()2x x x eϕ=，则函数()H x 零点的个数等价于直线y t =与函数()y x ϕ=图象交点的个数.()()222x xe x x x eϕ-'=，由()0x ϕ'>得02x <<，由()0x ϕ'<得0x <或2x >，所以函数()x ϕ在(),0-∞和()2,+∞单调递减，在()0,2上单调递增， 当2x =时，函数取得极大值()242eϕ=，0x =时，函数取得极小值()00ϕ=， 又当0x ≠时()0x ϕ>，()1e ϕ-=， ∴()01,0x ∃∈-，使得()0241x eϕ=<. 因为()x ϕ在()01,x -上单调递减， 所以，当1t e <<时，函数只有一个零点.【点睛】（1）解答本题时多次用到了转化的解题方法，如何证明当0x >时，曲线2y x 恒在曲线xy e =的下方转化为证明不等式的问题，又转化为求所构造函数的最值问题； （2）求含参数的函数零点个数可由()0H x =分离参变量得()t x ϕ=，转化为求两个函数y t =和()y x ϕ=图象的交点问题.22. 设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥).如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”.记“()G A 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合. （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出()G A 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则()G A ≠∅ ；（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则()G A 的元素个数不小于N a -1a . 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解+析；（3）详见解+析.试题分析：（Ⅰ）关键是理解“G 时刻”的定义，根据定义即可写出的所有元素；（Ⅱ）要证，即证中含有一元素即可；（Ⅲ）当时，结论成立.只要证明当时结论仍然成立即可.试题详细分析：（Ⅰ）的元素为和.（Ⅱ）因为存在使得，所以{}1|2,i i N i N a a *∈≤≤>≠∅.记{}1min |2,i m i N i N a a *=∈≤≤>， 则，且对任意正整数.因此，从而.（Ⅲ）当时，结论成立.以下设.由（Ⅱ）知.设.记.则.对，记{}|,i i i k n G k N n k N a a *=∈≤. 如果，取，则对任何.从而且.又因为是中的最大元素，所以.从而对任意p n k N ≤≤，，特别地，.对.因此.所以.因此的元素个数p 不小于1N a a -.【考点】数列、新定义问题.【名师点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.。