大学概率论试题 2004—2005学年第1学期

东北大学考试试卷（A B 卷） 2004 — 2005学年 第1学期
课程名称：
《概率论与数理统计》 A 卷 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (本题共10小题, 每小题3分, 满分30分. 在每小题给出的四个 , 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) 1. 随机事件AB AB AB 发生, 意味着
(A),A B 都发生; (B),A B 至少有一个发生; (C),A B 恰好有一个发生; (D),A B 至多有一个发生. [ ]
2. 设,A B 为任意两个事件, 且(),0,A B P B >⊂ 则下列选项必然成立的是 (A)()();|P A P A B < (B) ()();|P A P A B ≤ (C)()();|P A P A B > (D)()()|.P A P A B ≥ [ ]
3. 已知“A 不发生或者B 发生”的概率是0.4，则“A 发生而B 不发生” 的概率是
(A) 0.16; (B) 0.4; (C) 0.6; (D) 0.8. [ ]
4. 设随机变量X 的分布律为{}{}{}10.4,00.2,10.4,P X P X P X =-===== 则 概率{}2
1P X =等于 (A) 0.2; (B) 0.4; (C) 0; (D) 0.8. [ ]
5. 参数为5的泊松分布的期望和方差是
(A) 5, 25; (B) 11,525; (C) ,155; (D) 5,5. [ ]
6. 设随机变量X 服从参数为13的指数分布，则{}1P X ≤等于
(A)13e -; (B)3
1e -; (C)3
1e --; (D)13e +. [ ] 7. 设随机变量X 服从正态分布()2
,N σμ, 则随着σ的增大, 概率{}P X σμ-< (A) 增减不定; (B) 单调减小; (C) 单调增大; (D) 保持不变. [ ]
8. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2, 则随机变量32X Y -的
方差是
(A) 8; (B) 16; (C) 28; (D) 44. [ ]
9. 均值为μ, 方差为()20σ>的独立同分布的随机变量1
2
,,,n
X X X 的算术平均值 1
1n
k k X X n ==∑, 当n 充分大时, 近似地服从
(A) 指数分布; (B) 二项分布; (C) 泊松分布; (D) 正态分布. [ ] 10. 设相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布()0,1N 和()1,1N , 则 (A){}102P X Y +≤=; (B){}1
12
P X Y +≤=; (C){}1
02
P X Y -≤=; (D){}112P X Y -≤=. [ ] 计算题(本题共2小题, 每小题5分, 满分10分.)
1. 两两相互独立的三个事件A B C 、、满足条件: ABC ∅=,()()()P A P B P C ==1
2
<, 并且已知()9
16
P A B C = , 求()P A .
2. 袋中有50个乒乓球, 其中20个是黄球, 30个是白球. 今有两人依次从袋中 随机地各取一个球, 取后不放回. 求第二个人取得黄球的概率.
计算题(本题共4小题, 每小题6分, 满分24分.)
1. 设随机变量X 服从正态分布()()20,N σσμ>，二次方程240X y y ++= 无实根的概率为1
2
, 求μ.
2. 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为601
()0, ,,f else x x y x y ≤≤≤⎧⎨⎩
=, 求()X f x .
3. 设二维随机变量(),X Y 的概率密度为601
()0, ,,
else x x y f x y ≤≤≤⎧⎨⎩=, 求{1}X Y P +≤.
4. 设随机变量X 的概率密度为() 0
0 0
,,X x e x x f x -⎧⎪⎨≤⎪⎩>=, 求随机变量X Y e =的概率密度
()Y y f .
计算题(本题共4小题, 每小题6分, 满分24分.)
1. 已知随机变量X 与Y 的分布律分别为{}{}00.4,10.6P X P X ====和
{}{}{}10.2,00.3,10.5,P Y P Y P Y =-===== 且X 与Y 相互独立. 求随机变量 X 与Y 的联合分布律以及随机变量{},max Z X Y =的分布律.
2. 已知随机变量X 与Y 的联合分布律为
求X 与Y 的协方差(),Cov X Y . 3. 设随机变量()8,0.5 X b , 试根据切比雪夫不等式估计(){}
2P X E X -≥.
4. 设12,,,n X X X 是来自参数为1
2
的指数分布总体X 的简单随机样本, 11n n i i Y X n ==∑.
则由中心极限定理可知, n Y 近似地服从正态分布()2,N σμ, 试求(),()E X D X 和2,σμ.
证明题(本题共2小题,每小题6分, 满分12分.)
1. 设A、B是任意二事件, 其中A的概率不等于0和1. 证明: ()()
||
P B A P B A
=
是事件A与B独立的充分必要条件.
2. 设随机变量X的数学期望是,μ方差是2σ, C是不等于μ的常数, 证明:
22
()
E X Cσ
->.。