【推专题5.2+解析几何与平面向量相结合问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品+Word版含解析

一．方法综述向量具有代数与几何形式的双重身份，平面向量与解析几何的交汇是新课程高考命题改革的发展方向和必然趋势。

平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算。

或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。

二．解题策略类型一 利用向量垂直的充要条件，化解解析几何中的垂直问题【例1】【2018河南郑州一模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A ．． D ．【答案】B【指点迷津】本题在考查椭圆的离心率的同时，充分利用向量的垂直等价条件，通过构造函数，利用函数极值点为零点的要求，建立关于c b a ,,的关系式，思考量较大，需要比较扎实的计算功底和计算能力.【举一反三】【2017届四川省资阳市高三期末】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是 （ ）A ． ()1,2B ． 1,4⎛ ⎝⎦C ． 4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D ． ()2,+∞ 【答案】B【解析】由题意得，()(),0,2,0A a F a ，设00,b P x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，由A PF ⊥，得2220020320c AP PF x ax a a⋅=⇒-+=，因为在E 的渐近线上存在点P ，则0∆≥，即2222222994209884c a a a c e e a -⨯⨯≥⇒≥⇒≤⇒≤ ，又因为E 为双曲线，则14e <≤，故选B ．【指点迷津】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用，抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将AP FP ⊥系用代数形式表示出来，即可得到一个一元二次方程，若要使得一元二次方程有实数解， 0∆≥，水到渠成，即可得到答案，因此将几何关系转化成方程是解题的关键． 类型二 利用向量平行的充要条件，灵活转换解析几何中的平行或共线问题【例2】【广西桂林市桂林中学2016-2017期中考试】过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点(),0F c 作圆222x y a +=的切线，切点为M ．直线FM 交抛物线24y cx =-于点N ，若2O F O N OM +=（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A ．． C ．． 1 【答案】B()()2224244c c a a c a --+=+，变形可得22c a ac -=，两边同除以2a ，有210e e --=，所以12e =（负值已经舍去），故选B ．【指点迷津】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e 的等式，从而求出e 的值．本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于e 的等式，最后解出e 的值．【举一反三】【东北三省三校2017年第二次联考】已知,,A B P 为双曲线2214y x -=上不同三点，且满足2PA PB PO +=（O 为坐标原点），直线,PA PB 的斜率记为,m n ，则224n m +的最小值为（ ）A ． 8B ． 4C ． 2D ． 1 【答案】B【指点迷津】本题主要考查了双曲线的有关计算，涉及到的知识点有平面向量中线定理，直线斜率的计算公式，基本不等式等，属于中档题． 首先得出原点为线段AB 的中点，再求出直线PA ，PB 斜率的表达式， 算出mn 为定值，再由基本不等式求出最小值．类型三 将向量的坐标表示和运算转化为点的坐标和曲线的方程【例3】【湖南省衡阳市2017届下学期第三次联考】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ．设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A ． 1xy =-B ． 1xy =C ． 222y x -=D ． 221y x -= 【答案】A【解析】设平面内曲线C 上的点(),P x y ，则其绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点())'22P x y x y ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∵点'P 在曲线222x y -=上，∴()()22222x y x y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得1xy =- ．故选A ．【指点迷津】求轨迹方程是解析几何中的重要内容，是高考命题的热点和重点．主要考查学生的数形结合思想、等价转化思想、逻辑推理能力、分类讨论及创新思维，属于较高的能力考查．求轨迹方程常用的方法有：直接法、定义法、几何法、相关点法、参数法、交轨法、点差法等．本题主要是考查几何法中的三角形重心的向量表示及重心坐标公式，然后根据相关点法可以求出点P 的轨迹方程．【举一反三】【江西省抚州市临川区一中4月模拟】已知B 、C 为单位圆上不重合的两个定点，A 为此单位圆上的动点，若点P 满足AP PB PC =+，则点P 的轨迹为（ ）A ． 椭圆B ． 双曲线C ． 抛物线D ． 圆 【答案】D类型四 利用向量相等的关系，把几何问题代数化【例4】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆Ω：2224a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐标原点，若12QN OF OM +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ． y x =B ． y =C ． y x =D ． y = 【答案】C【解析】12ON PF OM +=，故1ON OM OM PF -=-，即1MN FM =，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1,2aOM OM F N =⊥，故22N F OM a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-=，故点N 在双曲线C 的右支上，13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由勾股定理可得， 2221212NF NF F F +=，即()()22232a a c +=，解得c a ==b a =，故双曲线C 的渐近线方程为y x =，故选C ． 【指点迷津】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题．求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系． 本题中，利用双曲线的定义与几何性质，以及222c a b =+构造,a b 的齐次式，从而可求出渐近线的斜率，进而求出渐近线方程的．【举一反三】【四川省雅安中学2017-2018期中考试】如图，已知梯形ABCD 中， 2AB CD =， E 在线段AC 上，且满足AE EC λ=，双曲线过C D E 、、 三点，且以A 、B 为焦点．当2334λ≤≤时，双曲线离心率e 的取值范围是（ ）A ．]B ．． (． 【答案】A【指点迷津】求双曲线的离心率或离心率的取值范围问题是高考常见问题，求离心率只需寻求一个关于,,a b c 的等量关系，求离心率的取值范围只需列出一个关于,,a b c 的不等关系，进而求出离心率的值或离心率的取值范围，求范围时还要注意曲线的离心率的范围，如双曲线的离心率的范围要大于1. 类型五 利用向量夹角，化解解析几何中的角度问题【例5】【四川省绵阳市南山中学2016-2017期中考试】已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ． ()1,+∞B ． ()1,2C ． (1,1D ． ()2,+∞【答案】D【指点迷津】求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b ac =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用．求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查． 【举一反三】【川省成都市新津中学2018届11月月考】如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，1212,,,A A B B 为椭圆的顶点， 2F 为右焦点，延长12B F 与12A B 交于点P ，若12B PB ∠为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ． ⎫⎪⎪⎝⎭B ． ⎛ ⎝⎭C ． ⎛ ⎝⎭D ． ⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C【解析】如图所示， 12B PB ∠为22A B 与21F B 的夹角，设椭圆长半轴、短半轴、半焦距分别为， ,,a b c ，()()2221,,,A B a b F B c b =-=--，向量的夹角为钝角时， 222210,0A B F B ac b ⋅<∴<<，又22222,0b a c a ac c =-∴-->，两边除以2a 得210e e -->，即210e e +-<，解集1e <<01,0e e <<∴<<C ． 类型六 利用向量数量积，求解解析几何中的数量关系问题【例6】【2016届广西来宾高中5月模拟】如图，椭圆()222:124x y C a a +=>，圆222:4O x y a +=+，椭圆C 的左右焦点分别为12F F 、，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若126PF PF ⋅=，则PM PN ⋅的值为___________．【答案】6【指点迷津】本题主要考查利用余弦定理、平面向量数量积公式及向量的几何运算、圆的性质及椭圆的定义，性质，属于难题．求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系；同时，由于综合性较强，不能为了追求速度而忽视隐含条件的挖掘．本题解题的关键点是利用向量这一工具将问题转化后再利用椭圆定义及余弦定理解答．【举一反三】【2015届河南省师范大学附属中学12月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆221259x y +=上，点P 满足(1)AP OA λ=- ()R λ∈，且72OA OP ⋅=，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为 ． 【答案】15三．强化训练1．【湖北省部分重点中学2017-2018上学期期中考试】已知过点()0,1的直线与圆224x y +=相交于A 、B 两点，若OA OB OP +=，则点P 的轨迹方程是（ ）A ． 22112x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭B ． ()2211x y +-=C ． 22122x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D ． ()2212x y +-=【答案】B【解析】设()P x y ，，()()1122A x y B x y ，，，过点()0,1的直线为1y kx =+， 由OA OB OP +=得()()1212x y x x y y =++，，，直线1y kx =+代入224x y +=得()221230k xkx ++-= 则12221k x x k +=-+， 12221y y k +=+即221k x k =-+，221y k=+，所以()2211x y +-=，故选B 2．【辽宁省大连渤海高级中学2017-2018期中考试】已知12,F F 是椭圆的两个焦点，满足12·0MF MF =的点M 总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ． ()0,1B ． 10,2⎛⎤⎥⎝⎦ C ． 0,2⎛ ⎝⎭D ． 2⎫⎪⎪⎣⎭ 【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c 。