高中数学第三章3.4不等式的实际应用自主训练0
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用练习(含解析)新人教B版必修5
高中数学第三章不等式3.4不等式的实际应用练习（含解析）新人教B版必修5课时过关·能力提升1如图所示,已知P是球O的直径AB上的动点,PA=x,过P点,且与AB垂直的截面面积记为y,则y=f(x)的大致图象是()解析不妨设球的半径为R(常数).因为PA=x,所以OP=|R-x|.所以截面圆的半径r=.所以y=πr2=2πRx-πx2(0≤x≤2R),故选A.答案A2乘某市出租车,行程不足4千米时,车票10.40元,行程不足16千米时,大于或等于4千米的部分,每0.5千米车票0.8元,计程器每0.5千米计一次价.例如当行驶路程x(千米)满足12≤x<12.5时,按12.5千米计价;当12.5≤x<13时,按13千米计价.若某人乘车从A地到B地共付费28元,则从A地到B地行驶的路程m(千米)满足()A.10.5≤m<11B.11≤m<11.5C.14.5≤m<15D.15≤m<15.5解析可以根据条件首先判断出m的大致范围,然后代入验证即可.当m=15时,付费10.40+(15-4)×2×0.8=28元.故选C.答案C3一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下关系:y=-2x2+220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上,则它在一个星期内大约应该生产摩托车数量的范围为()A.{x|41≤x≤49,x∈N}B.{x|51≤x≤59,x∈N}C.{x|61≤x≤69,x∈N}D.{x|71≤x≤79,x∈N}解析设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得-2x2+220x>6000.移项整理,得x2-110x+3000<0.方程x2-110x+3000=0有两个实数根x1=50,x2=60.由二次函数y=x2-110x+3000的图象得不等式的解集为50<x<60.因为x只能取整数值,所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在{x|51≤x≤59,x∈N}内时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.答案B4某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号彩电降价,有四种降价方案:方案(1):先降价a%,再降价b%;方案(2):先降价b%,再降价a%;方案(3):先降价%,再降价%;方案(4):一次性降价(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是()A.方案(1)B.方案(2)C.方案(3)D.方案(4)解析设原来的价格为1,按四种方案降价后的价格分别为:方案(1):(1-a%)(1-b%),方案(2):(1-b%)(1-a%),方案(3):,方案(4):1-(a+b)%.很明显(1-a%)(1-b%)=(1-b%)(1-a%)<.又-[1-(a+b)%]=>0,所以按方案(3)降价后的价格最高.故降价幅度最小的是方案(3).答案C5某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,则每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件解析若每批生产x件产品,则每件产品的生产准备费用是,仓储费用是,总的费用是≥2=20,当且仅当,即x=80时,等号成立.所以每批应生产产品80件,才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小.答案B6某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:10万元)与营运年数x(x∈N+)为二次函数的关系(如图),则每辆客车营运年,营运的年平均利润最大.解析设年平均利润为Q,由图象,得函数解析式y=-(x-6)2+11=-x2+12x-25,则年平均利润Q==-x-+12=-+12≤-2+12=2.当且仅当x=,即x=5时,年平均利润最大.答案57某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=吨.解析某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,所以一年的总运费与总存储费用之和为万元,而·4+4x≥160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小.答案208某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的80%出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券:消费金额的范围/元[200,400) [400,500) [500,700) [700,900) …获得奖券的金额/元30 60 100 130 …根据上述促销方法,顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如,购买标价为400元的商品,则消费金额为320元,获得的优惠额为400×0.2+30=110(元).设购买商品得到的优惠率=.试问:(1)若购买一件标价为1 000元的商品,顾客得到的优惠率是多少?(2)对于标价在[500,800](元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于的优惠率? 解(1)=33%.(2)设商品的标价为x元,则500≤x≤800,消费额:400≤0.8x≤640.由已知,得①或②不等式组①无解,不等式组②的解集为625≤x≤750.因此,当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时,可得到不少于的优惠率.★9对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度含污物体的清洁度的定义为:1-为0.8,要求清洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为a(1≤a≤3).设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是(x>a-1),用y质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中c(0.8<c<0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1)分别求出方案甲以及当c=0.95时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;(2)若采用方案乙,当a为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论a取不同数值时对最少总用水量的影响.解(1)设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19.由c=0.95得方案乙初次用水量为3,第二次用水量y满足方程=0.99,解得y=4a,故z=4a+3.即两种方案的用水量分别为19与4a+3.因为当1≤a≤3时,x-z=4(4-a)>0,即x>z,故方案乙的用水量较少.(2)设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y,类似(1)得x=,y=a(99-100c).(*)于是x+y=+a(99-100c)=+100a(1-c)-a-1.当a为定值时,x+y≥2-a-1=-a+4-1.当且仅当=100a(1-c)时,等号成立.此时c=1+(不合题意,舍去)或c=1-∈(0.8,0.99).将c=1-代入(*)式,得x=2-1>a-1,y=2-a.故c=1-时总用水量最少,此时第一次与第二次用水量分别为(2-1)与(2-a),最少总用水量是T(a)=-a+4-1.当1≤a≤3时,T(a)是增函数(可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着a的值的增加,最少总用水量增加.。
3.4 不等式的实际应用含答案
【高二数学学案】3.4 不等式的实际应用【基础知识】1、应用不等式解决数学问题时，关键在于要善于把 转化为 ，以及不等关系的转化等，把问题转化为不等式问题求解。
2、解答不等式的实际应用问题，一般可分三个步骤：（1）阅读理解材料，应用题所用语言多为“ 、 、 ”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型，这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题方向。
（2）建立数学模型。
即根据题意找出常量与变量的不等关系。
（3）利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号。
3、利用均值不等式求最值常见的有：（1）已知某些变量（正数）的积为定值，求和的最小值。
（2）已知某些变量（正数）的和为定值，求积的最大值。
在运用基本不等式解决上述问题时要注意“一正、二定、三相等”。
对于函数)0,0()(>>+=b a x b ax x f 定义域内不含实数ab 的类型的最值问题，要会用函数单调性求解。
【典型例题】例1、如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a, b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a, b 各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A, B 孔的面积忽略不计）。
例2、某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。
若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润=（出厂价—投入成本）×年销售量。
11-12学年高中数学 3.4 不等式的实际应用优化训练 新
3.4 不等式的实际应用 优化训练1．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%解析：选 B.设共有资金a 元，给储户的回扣率为x ，由题意，得0.1a ≤0.1×0.4a ＋0.35×0.6a －xa ≤0.15a ，解得0.1≤x ≤0.15.2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段计算：全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15%…… …某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800～900元 B ．900～1200元 C ．1200～1500元 D ．1500～2800元解析：选C.分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元．∵20<26.78<70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元．3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润 y x ＝－x －62＋11x＝12－(x ＋25x)≤12－225＝2，此时x ＝25x，解得x ＝5.4．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________t.解析：设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1600x＋4x≥21600x·4x ＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．答案：205．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解：设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0＜x ≤8)．依题意，得y ≥2400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义，知0＜x ≤8，所以0＜x ≤2为所求．1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是( )A ．505元B ．506元C ．510元D ．600元解析：选B.销售金额ω＝f (t )g (t )＝(t ＋10)(－t ＋35)＝－t 2＋25t ＋350＝－(t －252)2＋6254＋350， 当t ＝12或13时，ωmax ＝506.2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元解析：选A.设每个涨价x 元，则所获利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000＝－20(x －5)2＋4500，∴当x ＝5时，y 值最大．∴涨价5元即每个售价95元能获得最大利润．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库到车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x . 当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8， ∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时，(y 1＋y 2)min ＝8，因此应选A.4．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内，它的行程就超过2200 km ，如果它每天的行程比原来少12 km ，那么它行同样的路程就得花9天多时间，那么这辆汽车原来行程的千米数为( )A ．259＜x ＜260B ．258＜x ＜260C ．257＜x ＜260D ．256＜x ＜260 解析：选D.设原来每天行x km ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋19·8＞2200x －12·9＜x ＋19·8， 解得256＜x ＜260.5．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收益率分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＝c 且a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b解析：选C.一年到期的年收益率分别为a ＝401000＝0.04，b ＝40960＝0.0416，c ＝(1＋2%)2－1＝0.0404，所以a <c <b .6．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0<q <p )( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价 q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%解析：选C.主要考查公式21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22的应用．7．市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有某杂志，若定价每本10元，则可以发行20万本，若每本价格提高x 元，发行量就减少12500x 本．要使总收入不低于210万元，则杂志的定价范围是____________．解析：由题意可列不等式(10＋x )(200000－12500x )≥2100000，即x 2－6x ＋8≤0. ∴2≤x ≤4,12≤x ＋2≤14， ∴杂志的定价范围是[12,14]． 答案：[12,14]8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于(x20)2km ，问这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了25×(x 20)2＋400(km)所用的时间，因此，t ＝25×x202x＋400x≥225x 400×400x＝10，当且仅当25x 400＝400x， 即x ＝80时取“＝”号． 答案：109．一服装厂生产某种风衣，月销售x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x ，若月获得的利润不少于1300(元)，则该厂的月产量范围为____________．解析：由月获利y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500由－2x 2＋130x －500≥1300，解得20≤x ≤45. 答案：[20,45]10．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，求至少需这样的玻璃的块数．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ≤13，x ≥lg 13lg 910＝10.4. ∴至少需这样的玻璃为11块．11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为y 元，则y ＝(560＋48x )＋2160×100002000x ＝560＋48x ＋10800x(x ≥10，x ∈N ＋)，因为48x ＋10800x≥248×10800＝1480， 所以y ≥560＋1480＝2000，当且仅当48x ＝10800x，即x ＝15时，y 取最小值2000.所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．(2020年洛阳高二检测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂．问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －[12n ＋n n －12×4]－72＝－2n 2＋40n －72.(1)由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18， 由n ∈N 知，从第三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润 f n n ＝40－2(n ＋36n)≤16，当且仅当n ＝6时等号成立． 故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6.方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．。
高中数学 第3章 不等式 3.4 不等式的实际应用学案 新人教B版必修5
3.4 不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P 81～P 83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题.1.有如图341所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a ，b 的不等式表示出来为________.图341【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S 1，则S 1＝a 22＋b 22，图(2)面积为S 2，则S 2＝ab ，∴12a 2＋12b 2＞ab .【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积12a 2＋12b 2>ab 2.一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】 原来每天行驶x km ， 现在每天行驶(x ＋19) km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”， 写成不等式为8(x ＋19)>2 200. 若每天行驶(x －12) km ，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为8xx －12>9. 【答案】 8(x ＋19)>2 2008xx －12>9[小组合作型]种降价方案：方案(1)先降价a %，再降价b %； 方案(2)先降价b %，再降价a %； 方案(3)先降价a ＋b2%，再降价a ＋b2%；方案(4)一次性降价(a ＋b )%.其中a ＞0，b ＞0，a ≠b ，上述四种方案中，降价幅度最小的是( ) A.方案(1) B.方案(2) C.方案(3)D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg 大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】 设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为： (1)(1－a %)(1－b %)；(2)(1－b %)(1－a %)； (3)⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2；(4)1－(a ＋b )%. 由于(1－a %)(1－b %)＝(1－b %)·(1－a %)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b %＋1－a %22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 2%2，且(1－a %)(1－b %)＞1－(a ＋b )%， 所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a 、b ＞0，a ≠b )，则甲两次购买大米的平均价格是a ＋b200＝a ＋b2元/千克；乙两次购买大米的平均价格是200100a ＋100b ＝21a ＋1b＝2aba ＋b 元/千克.∵a ＋b 2－2aba ＋b ＝a ＋b 2－4aba ＋b ＝a －b 2a ＋b＞0， ∴a ＋b2＞2aba ＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算. 【答案】 (1)C (2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图342(2)，一圆柱的底面半径为5 dm ，高为5 dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC .如图(1)所示： 路线2：高线AB ＋底面直径BC .如图(2)所示：(1) (2)图342【解】 设路线1的长度为l 1，则l 21＝AC 2＝AB 2＋BC 2＝52＋(5π)2＝25＋25π2. 设路线2的长度为l 2，则l 22＝(AB ＋BC )2＝(5＋10)2＝225.∵l 21－l 22＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴l 21>l 22，∴l 1>l 2.所以选择路线2较短.为10个百分点)，计划可收购 a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围. 【精彩点拨】 认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】 (1)降低税率后为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %).依题意：y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10). (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元). 依题意得：150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得，x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x－600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.[探究共研型]钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，那么x ，y 间有何关系？你能建立仓库底面积S 与x 、y 间的关系吗？【提示】 x 与y 间关系为40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200，S 与x 、y 间的关系为S ＝xy . 探究2 在探究1中若要求S 的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S 的最大值？【提示】 在S ＝xy 中含两个变量x ，y ，而x ，y 满足40x ＋90y ＋20xy ≤3 200，利用该关系不能将S 表示为关于x 或只关于y 的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为x m ，一侧砖墙长为y m ，则有S ＝xy . 由题意得40x ＋2×45y ＋20xy ≤3 200.由均值不等式，得 3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0.∵S ＋16＞0，∴S －10≤0，∴S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】 平均每天所支付的总费用＝x 天支付的总费用天数x，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】 (1)设该厂应每x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝3×x x ＋2＝9x (x ＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y 1元，则Y 1＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6＝9x ＋900x＋10 809 ≥29x ·900x＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x 天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每2106＝35天购买一次面粉，即x ≥35.设平均每天支付的总费用为Y 2元，则Y 2＝9xx ＋＋900x ＋1 800×6×910＝9x ＋900x＋9 729(x ≥35)， 记f (x )＝x ＋100x，x ∈[35，＋∞)，设x 1，x 2∈[35，＋∞)，取x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋100x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋100x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫100x 1－100x 2＝x 1－x 2x 1x 2－10x 1x 2，∵35≤x 1<x 2，x 1x 2>100， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2－100>0， ∴x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2<0，f (x 1)－f (x 2)<0，∴函数f (x )＝x ＋100x在[35，＋∞)上是增函数， ∴当x ≥35时，f (x )min ＝f (35).所以，当x ＝35时，Y 2有最小值，此时Y 2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式. 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)【解】 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋).(2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元). 答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元.1.若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x <0} B.{x |0<x ≤1} C.{x |0≤x ≤2}D.{x |0≤x ≤1}【解析】 ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}. 【答案】 B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m【解析】 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】 C3.某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，所以x 2＋50x －30 000≥0，得x ≤－200(舍去)或x ≥150， 又因为0<x <240，x ∈N ，所以150≤x <240，x ∈N . 【答案】 1504.用一根长为100 m 的绳子，围成一个一边长为x 米，面积大于600 m 2的矩形，则x 的取值范围为________.【导学号：18082049】【解析】 设围成的矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x ) m ，且0<x <50. 由题意，得围成矩形的面积S ＝x (50－x )>600， 即x 2－50x ＋600<0， 解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形. 【答案】 (20,30)5.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式.(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内. 【解】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0＜x ＜1). 整理得，y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0＜x ＜1). (2)要使本年度的年利润比上年有所增加，必须有：⎩⎪⎨⎪⎧y －－＞0，0＜x ＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x ＞0，0＜x ＜1.∴0＜x ＜13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内.。
高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习含解析新人教A版必修50819314
高中数学第三章不等式3.4.2基本不等式的应用练习含解析新人教A 版必修50819314知识点一 用基本不等式求最值1．若点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上移动，则2a ＋4b的最小值是( ) A ．8 B ．6 C ．4 2 D ．3 2 答案 C解析 点(a ，b )在直线x ＋2y ＝3上，则a ＋2b ＝3， 所以2a＋4b＝2a＋22b≥22a ＋2b＝223＝42，当且仅当a ＝2b ＝32时等号成立．故选C ．2．下列各式中最小值等于2的是( )A ．x 2a ＋2a xB ．x ＋1x(x ≥4) C ．x 2＋x ＋3 D ．3x ＋3－x答案 D解析 A 不正确，例如x ，a 的符号相反时，式子的最小值不可能等于2．B 不正确，∵y ＝x ＋1x 在[4，＋∞)上递增，它的最小值是4＋14＝174．C 不正确，∵x 2＋x ＋3＝x ＋122＋114≥114，故最小值不是2．3x＋3－x≥23x ×3－x ＝2(当且仅当3x ＝3－x，即x ＝0时等号成立)．故选D ．3．已知m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn≥3＋2＝5，当且仅当m＝n ＝12时取等号．故选B ．4．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A ．13 B ．12 C ．34 D ．23 答案 B解析 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．5．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9 D ．36 答案 B解析 (1＋x )(1＋y )≤1＋x ＋1＋y22＝2＋x ＋y22＝2＋822＝25，因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25．故选B ．知识点二 基本不等式的实际应用6．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( )A ．200件B ．5000件C ．2500件D ．1000件 答案 D解析 设进货n 次，则每次的进货量为10000n，一年的运费和租金为y 元．根据题意得y ＝100n ＋10000n≥2000，当且仅当n ＝10时取等号，此时每次进货量应为1000件．故选D ．7．如图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0．1米)．解 (1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x．令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36．则x 的取值范围是[8，36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥242．当且仅当x ＝288x，即x ≈17．0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34．0． 即最少需要约34．0米铁丝网．易错点 忽略等号成立的一致性8．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．易错分析 易错解为1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥22xy ·21xy＝42．在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥22xy ，1x ＋1y ≥21xy，但这两次取“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，自相矛盾，所以“＝”取不到．解 x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝3＋x y ＋2y x ≥3＋22当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时，取“＝”．∵x ＋2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22.∴当且仅当x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y有最小值，为3＋22．一、选择题1．已知x ，y 是正数，且xy ＝4，则y x ＋xy取得最小值时，x 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ． 2 答案 B 解析 y x ＋xy≥2xy ＝244＝22，当且仅当y x ＝xy，即x ＝y ＝2时取得最小值．故选B ．2．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x 2＋2＋1x 2＋2B ．y ＝lg x ＋1lg x (1＜x ＜10)C ．y ＝2x ＋2－x(x ∈R ) D ．y ＝sin x ＋1sin x 0＜x ＜π2答案 C解析 利用基本不等式，注意“一正、二定、三相等”．x 2＋2＋1x 2＋2≥2，当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2，即x 2＋2＝1时，等号成立，但x 2＋2≥2＞1显然不成立，∴A 不正确；lg x＋1lg x ≥2，当且仅当lg x ＝1lg x， 即x ＝10或110时，等号成立，而1＜x ＜10，故等号不成立，∴B 不正确；2x ＋2－x≥2，当且仅当2x ＝2－x，即x ＝0时取等号，∴C 正确；sin x ＋1sin x ≥2，当且仅当sin x ＝±1时取等号，而0＜x ＜π2，等号不成立，∴D 不正确． 3．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A ．25B ．12C ．22 D ．1 答案 B解析 令t ＝x (t ≥0)，则x ＝t 2，∴f (x )＝x x ＋1＝tt 2＋1．当t ＝0时，f (x )＝0； 当t ＞0时，f (x )＝1t 2＋1t ＝1t ＋1t． ∵t ＋1t ≥2，∴0＜1t ＋1t≤12．∴f (x )的最大值为12．4．设M 是△ABC 内一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．8B ．9C ．16D ．18答案 D解析 由条件可得|AB →||AC →|＝4，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝1，∵S △MBC ＝12，∴x ＋y ＝12，故1x ＋4y ＝2(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥18，当且仅当x ＝16，y ＝13时等号成立．故选D ．5．设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a a －b的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D 解析 a 2＋1ab＋1aa －b＝a 2－ab ＋ab ＋1ab＋1aa －b＝a (a －b )＋ab ＋1ab＋1a a －b≥2a a －b ·1a a －b＋2ab ·1ab ＝4，当且仅当a (a －b )＝1a a －b 且ab ＝1ab即a ＝2b ＝2时，等号成立．故选D ．二、填空题6．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．答案 1760解析 设水池池底的一边长为x m ，则另一边长为4xm ，则总造价为：y ＝480＋80×2x ＋2×4x ×2＝480＋320x ＋4x≥480＋320×2x ×4x＝1760． 当且仅当x ＝4x即x ＝2时，y 取最小值1760．所以水池的最低总造价为1760元．7．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，y ＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3＝3－(5－4x )＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x ＝15－4x，即x ＝1时成立． 8．已知m ＞0，n ＞0，则当81m 2＋n 2＋7298mn 取得最小值时，m －n 的值为________．答案 －4解析 依题意，81m 2＋n 2＋7298mn ≥18mn ＋7298mn ≥81，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝n ，18mn ＝7298mn ⇒⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝n ，mn ＝94⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝92时等号成立，此时m －n ＝－4．三、解答题9．已知a ，b 为正数，求证：1a ＋4b≥22＋122a ＋b．证明 因为a ＞0，b ＞0，所以(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b＝6＋b a ＋8a b≥6＋2b a ·8ab＝6＋42＝2(2＋1)2，即得1a ＋4b≥22＋122a ＋b．10．某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1．5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)设2018年该产品的利润为y 万元，将y 表示为m 的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？ 解 (1)由题意，知当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ，即k ＝2．∴x ＝3－2m ＋1． 又每件产品的销售价格为1．5×8＋16xx元，∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m(m≥0)．(2)y＝28－16m＋1－m＝29－⎣⎢⎡⎦⎥⎤m＋1＋16m＋1，∵m≥0，∴(m＋1)＋16m＋1≥216＝8，当且仅当16m＋1＝m＋1，即m＝3时等号成立，∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，y max＝21．∴该厂家2018年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 不等式的实际应用(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A.2B.3C.4D.5 【解析】 设这种书的最高定价应当为x 元， 由题意得：80 000－x －2.50.1×2 000×x ≥200 000，解得52≤x ≤4，所以最高定价为4元.【答案】 C2.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图343所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大( )图343A.3B.4C.5D.6【解析】 设y ＝a (x －6)2＋11，将(4,7)代入求得a ＝－1，∴平均利润为：y x ＝－x －2＋11x＝－x －25x＋12≤－2×5＋12＝2，当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立. 【答案】 C3.某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤20，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t 满足( )A.15≤t ≤20B.10≤t ≤15C.10＜t ＜15D.0＜t ≤10【解析】 由题意知日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10 ≤t ≤15. 【答案】 B4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件(x ＞0)，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )【导学号：18082117】A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80件(x ＞0)时，f (x )取最小值，故选B.【答案】 B5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间【解析】 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间. 【答案】 C 二、填空题6.某地每年销售木材约20万m 3，每m 3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________.【导学号：18082118】【解析】 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2).令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 【答案】 [3,5]7.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________.【解析】 依题意，得5%＜x ·4%＋200·7%x ＋200＜6%，解得x 的范围是(100,400). 【答案】 (100,400)8.如图344，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是______dm 2.图344【解析】 设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x＋2－72＝8＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2).当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立. 【答案】 56 三、解答题9.甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100×⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解】 (1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克 该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图345.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2).图345(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值.【导学号：18082119】【解】 (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450).(2)因为8＜x ＜450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.[能力提升]1.在如图346所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图346A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解析】 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x . ∵xy ≥300， ∴x (40－x )≥300， ∴x 2－40x ＋300≤0， ∴10≤x ≤30. 【答案】 C2.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A.5 km 处B.4 km 处C.3 km 处D.2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立. 【答案】 A3.有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________.【解析】 设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x. 第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为x －x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －－x －x升. 依题意，得(x －8)－x －x≤28%·x .由于x ＞0，因而原不等式化简为 9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0. 解得103≤x ≤403.又∵x ＞8，∴8＜x ≤403.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤8，4034.如图347所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米.图347(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.【导学号：18082120】【解】 (1)设DN 的长为x (x ＞0)米， 则|AN |＝(x ＋2)米. ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝x ＋x ，∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝x ＋2x.由S 矩形AMPN ＞32，得x ＋2x＞32.又由x ＞0，得3x 2－20x ＋12＞0，解得0＜x ＜23或x ＞6.即DN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞). (2)由(1)知，矩形花坛AMPN 的面积为S 矩形AMPN ＝x ＋2x＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12(x ＞0)≥23x ·12x＋12＝24.当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米.。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用同步导学案 新人教B版必修5
3.4不等式的实际应用【预习达标】⒈实际问题中，有许多不等式模型，必须在首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设 ，将量与量间的关系变成 或不等式组． ⒉实际问题中的每一个量都有其 ，必须充分注意定义域的变化．3．由例1可以知道：一个正的真分数的分子与分母同时增加同一个数，分数值变 。
若一个假分数呢？试证明之。
【典例解析】例⒈某工厂有一面14m 的旧墙，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m 2的厂房。
工程条件是：①建1m 新墙的费用为a 元；②修1m 旧墙的费用为4a 元；③用拆去1m 旧墙所得的材料建1m 新墙的费用为2a 元。
现在有两种建设方案：（Ⅰ）利用旧墙的一段Xm(x<14)为矩形厂房的一个边长；（Ⅱ）利用旧墙的矩形厂房的一个边长为Xm(x ≥14)。
问如何利用这堵旧墙，才使建墙费用最低？（Ⅰ）（Ⅱ）两个方案哪个更好？例2．有纯农药一桶，倒出８升后用水补满，然后倒出4升再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的２８％.问桶的容积最大为多少？分析：若桶的容积为x, 倒前纯农药为x 升第一次：倒出纯农药8升，纯农药还剩（x-8）升，桶内溶液浓度x x 8- 第二次 ：倒出溶液4升，纯农药还剩［（x-8）—（xx 8-）4］， 中本题的不等关系是：桶中的农药不超过容积的２８％解答：学生完成。
例3．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51，本年度当地旅游业收入估计万400万元，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41．（1）设n 年内（本年度万第一年）总投入万a n 万元，旅游业总收入万b n 万元，写出a n 、b n 的表达式。
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【双基达标】一．选择题：⒈某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n=1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率万P 1，第三年比第二年增长的百分率万P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1。
高中数学人教B版学案：第三单元 §3.4 不等式的实际应用 Word版含答案
学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2.掌握建立均值不等式模型解决实际问题．知识点一 不等式模型思考 一般情况下，建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？梳理 建立不等式模型解决实际问题的过程：(1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解)；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)解决数学问题；(4)回归实际问题，写出准确答案．知识点二 常见的不等式模型1．一元二次不等式模型根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值，解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值，注意实际含义对变量取值范围的影响．2．均值不等式模型根据题意抽象出的模型是(1)y ＝x ＋a x(a ＞0)，(2)a ＋b ，ab 中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备．类型一一元二次不等式的实际应用命题角度1范围问题例1国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫作税率R%)，则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？反思与感悟解有关不等式应用题的步骤(1)选用合适的字母表示题中的未知数．(2)由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．(3)解所列出的不等式(组)．(4)结合问题的实际意义写出答案．跟踪训练1某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？命题角度2最值问题例2甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g(x)，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．(1)若f(0)＝10，g(0)＝20，试解释它们的实际意义；(2)设f(x)＝x4＋10，g(x)＝x＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？反思与感悟与最值相关的二次函数问题的解题方法(1)此类问题一般涉及最大值、最小值的确定，实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数，再通过配方求最值．(2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值．(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值，再比较每个最值的大小．跟踪训练2已知不等式sin2x－2a sin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R恒成立，求实数a的取值范围．类型二均值不等式的实际应用例3某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．(1)仓库底面积S(m2)的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？反思与感悟(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法，尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2)建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等”，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．跟踪训练3把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为()A．4 B．8 C．16 D．321．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 22.某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m 2.3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x 件与单价P 元之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件所需成本为C ＝500＋30x 元，该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？1.解不等式实际应用题的解题思路 实际问题――→建模审题、抽象概括、转化数学问题――→建模推理演算数学模型答案――→验证实际问题结论 2．建立一元二次不等式模型求解实际问题操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．答案精析问题导学知识点一思考 设a 和b 分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m 表示增加的面积，则只需比较a b 与a ＋m b ＋m的大小即可． 题型探究类型一命题角度1例1 解 设产销量每年为x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的金额为70x ·R %万元，其中x ＝100－10R .由题意，得70(100－10R )·R %≥112，整理，得R 2－10R ＋16≤0.因为Δ＝36＞0，所以方程R 2－10R ＋16＝0的两个实数根分别为R 1＝2，R 2＝8.由二次函数y ＝R 2－10R ＋16的图象，得不等式的解集为{R |2≤R ≤8}．所以当2≤R ≤8时，每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．跟踪训练1 解 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系，因为AB ＝400，∠BAx ＝30°，所以热带风暴中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后热带风暴中心B 到达点 P (2003，40x －200)处，由已知，A 市受热带风暴影响时，有|AP |≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解不等式，得3.75≤x ≤6.25，A 市受热带风暴影响的时间为6．25－3.75＝2.5，故在3.75 h 后，A 市会受到热带风暴的影响，时间长达2.5 h.命题角度2例2 解 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，若双方均无失败的风险，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧y ≥f (x )＝14x ＋10，x ≥g (y )＝y ＋20成立． 故y ≥14(y ＋20)＋10， 则4y －y －60≥0，所以(y －4)(4y ＋15)≥0， 得y ≥4，故y ≥16，x ≥y ＋20≥24，即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．跟踪训练2 解 设f (x )＝sin 2x －2a sin x ＋a 2－2a ＋2，则f (x )＝(sin x －a )2＋2－2a .当a <－1时，f (x )在sin x ＝－1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2＋3，a 2＋3>0显然成立，∴a <－1.当－1≤a ≤1时，f (x )在sin x ＝a 时取到最小值，且f (x )min ＝2－2a ，由2－2a >0，解得a <1，∴－1≤a <1.当a >1时，f (x )在sin x ＝1时取到最小值，且f (x )min ＝a 2－4a ＋3，由a2－4a＋3>0，解得a<1或a>3，∴a>3.综上所述，a的取值范围为a<1或a>3.类型二例3解(1)设铁栅长为x m，一侧砖墙长为y m，则有S＝xy.由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3 200.由均值不等式，得3 200≥240x·90y＋20xy＝120xy＋20xy＝120S＋20S，∴S＋6S≤160，即(S＋16)(S－10)≤0.∵S＋16>0，∴S－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允许值是100 m2.(2)由(1)知取得最大值的条件是40x＝90y，而xy＝100，由此求得x＝15，即铁栅的长应是15 m. 跟踪训练3 B当堂训练1．B 2.648 3.54．解由题意得(160－2x)x－(500＋30x)≥1 300，化简得x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45.所以该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元.。
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3.4 不等式的实际应用自主广场 我夯基 我达标1.某居民小区收取冬季供暖费，根据规定，住户可以从以下两种方案中任选其一：（1）按照使用面积缴纳，每平方米4元；（2）按照建筑面积缴纳，每平方米3元.李明家的使用面积是60平方米.如果他家选择第（2）种方案缴纳的供暖费不多于按第(1)种方案缴纳的供暖费，那么他家的建筑面积最多不超过( )A.70平方米B.80平方米C.90平方米D.100平方米 思路解析：根据使用面积应该缴纳的费用为60×4=240元,设建筑面积为x,则根据他所选择的方案,知3x-240≤0,所以x≤80,即建筑面积不超过80平方米. 答案：B2.张先生买了一部手机，欲使用中国电信“神州行”卡或加入中国联通130网，经调查，收（注：本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费）若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间（分钟）在区间（40，50）内，则选择较为省钱的网络为( )A.甲B.乙C.甲或乙D.分情况而定 思路解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x 分钟,则有40＜5x+x ＜50,即320＜x ＜325,使用甲和乙方式应付话费的差为12+0.36×5x+0.06×10x -(0.6×5x+10×0.07x)=12-1.3x＞0. 答案：B3.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A.800-900元 B.900-1 200元 C.1 200-1 500元 D.1 500-2 800元思路解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1 200元，1 500元，2 800元计算应交纳此项税款额，它们分别为5元，20元，70元，200元.∵20＜26.78＜70，所以某人当月工资、薪金所得介于1 200-1 500元，选C. 答案：C4.用两种金属材料做一个矩形框架，按要求长（较长的边）和宽应选用的金属材料价格每1 m 分别为3元和5元，且长和宽必须是整数，现预算花费不超过100元，则做成矩形框架围成的最大面积是_______________.思路解析：设长为x m,宽为y m,则根据条件知6x+10y≤100,即3x+5y≤50,且x≥y,再根据x,y 都是整数的条件求xy 的最大值,而xy=151·3x·5y≤151(253y x +)2,并且检验,知当x=8,y=5时,面积xy 最大为40 m 2.答案：40 m 25.某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台（x ∈N +），且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用?求出结论，并说明理由. 思路分析：根据每批购入x 台,建立总费用的函数y=x3600×400+k·（2 000·x）,进行化简后利用均值不等式即可求解.解：设总费用为y 元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k （k ＞0），每批购入x 台，则y=x3600×400+k·（2 000·x）， 当x=400时，y=43 600，解出k=5%. ∴y=x4003600⨯+100x ≥x40036002⨯·100x=24 000（元）为所需最低费用.当且仅当x4003600⨯=100x ，即x=120时取到等号，因此只需每批购入120台，便可使资金够用.6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站…( )A.5千米处B.4千米处C.3千米处D.2千米处 思路解析：设仓库到车站的距离为x,y 1=xk 1,y 2=k 2x,当x=10时,y 1=2,y 2=8, ∴k 1=20,k 2=0.8. ∴y 1+y 2=x 20+0.8x(x ＞0)≥20.8x·xx 208.02∙=8. 当且仅当0.8x=x20，即x=5时，(y 1+y 2)min =8,因此应选A. 答案:A7.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2+30=110（元）.设购买商品得到的优惠率=商品的标价购买商品获得的优惠额.试问：（1）若购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠率是多少? （2）对于标价在［500，800］（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于31的优惠率? 解：（1）10001302.01000+⨯=33%.（2）设商品的标价为x 元，则500≤x≤800，消费额：400≤0.8x≤640.由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+5008.0400,31602.0x x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<≤≥+.6408.0500,311002.0x x x ②不等式组①无解，不等式组②的解为625≤x≤750.因此，当顾客购买标价在［625，750］元内的商品时，可得到不少于31的优惠率. 我综合 我发展8.如图3-4-3所示，电路中电源的电动势为E ，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少?图3-4-3思路分析：本题牵涉到物理中的电学知识,首先根据条件建立功率的表达式,利用结论:当x＞0，y ＞0且x+y=s （定值）时，x·y 有最大值42s 即可得出答案.解：由电学公式，知电功率P=UI ，有 P 2=U 2I 2=122)(R r U E U +-，∵U 2（E-U 2）≤［2)(22U E U -+］2=42E （定值），∴仅当U 2=E-U 2，即2U 2=E 时，P 2达到最大值.在E=2U 2的两端同除以I （I=I 1=I 2）， 得2R 2=r+R 2+R 1，即R 2=r+R 1，此时消耗的电功率最大，其最大的电功率为)(412R r E +.9.某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成（这里x 成，即10x，0＜x≤10），每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的z 倍. （1）设y=ax ，其中a 是满足31≤a＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 值； （2）若y=32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围. 思路分析：第(1)题首先把上涨后的销售额用变量x 表示,然后根据函数的形式求出最大值,第(2)题实际上就是根据条件解不等式. 解：（1）由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p （1+10x ）元、n （1-10y ）件、npz 元，因而npz=p （1+10x ）·n（1-10y）， ∴z=1001（10+x ）（10-y ）. 在y=ax 的条件下，z=1001{-a ［x-a a )1(5-］2+100+aa 2)1(25-}. 由于31≤a＜1，则0＜aa )1(5-≤10. 要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x=aa )1(5-. （2）由z=1001（10+x ）（10-32x ）＞1， 解得0＜x ＜5.10.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/时）与汽车的平均速度v （千米/时）之间的函数关系为y=160039202++v v v(v ＞0).（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/时）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ 解：（1）依题意， y=83920160023920)1600(3920=+≤++vv ,当且仅当v=v 1600,即v=40时,上式等号成立, 所以y max =83920≈11.1(千辆/时).（2）由条件,得160039202++v v v＞10,整理得v 2-89v+1 600＜0, 即（v-25）（v-64）＜0,解得25＜v ＜64.答：当v=40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时.11.某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔，如图3-4-4所示，塔高BC=80米，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α,tan α=21.试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）.图3-4-4思路分析：建立函数，然后求函数的最值.为了建立函数采用建立坐标系，用到角公式比较简单.解：如图所示，建立平面直角坐标系，图3-4-5则A （200，0），B （0，220），C （0，300）， 直线l 的方程为y=(x-200)tan α,即y=2200-x . 设点P 的坐标为（x ，y ）， 则P(x,2200-x )(x ＞200). 由经过两点的直线的斜率公式,得k PC =x x x x 28003002200-=--, k PB =xx x x 26402202200-=--. 由直线PC 到直线PB 的角的公式,得tan∠BPC=xx x x x k k k k PCPB PC PB 26402800121601-∙-+=∙+- ).200(28864016064640160288642>-⨯+=⨯+-=x xx x x x要使tan∠BPC 达到最大，只需x+x640160⨯-288达到最小， 由均值不等式,有x+x640160⨯-288≥6401602⨯-288, 当且仅当x=x640160⨯时上式取得等号，故当x=320时,tan∠BPC 最大，这时，点P 的纵坐标y 为y=2200320- =60. 由此实际问题,知0＜∠BPC＜2π, 所以tan∠BPC 最大时，∠BPC 最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC 最大.。