第三章流体1(药本) (2)
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第三章流体力学
第三章：流体的流动一、学习要求1、理解理想流体、稳定流动、流线、流管、速度梯度、粘滞系数等基本概念。
2、掌握流体连续性方程和伯努利方程的意义和应用。
3、掌握泊肃叶公式的内涵和适用条件。
4、理解雷诺数及斯托克司定律在医学中的应用。
5、了解层流和湍流的概念及判断标准。
6、了解心脏做功、体内的血流速度及血压分布。
二、推荐学习方法1．体会物理模型的创建方法，重点体会在不同场合选择不同物理模型的依据和理由。
例如，理想流体（绝对不可压缩，完全没有粘滞性的流体），这一概念建立的依据是液体和气体的流动时，很多时候体积变化和摩擦耗能都很少，可以忽略不计，用理想模型使分析简洁，带来的误差又很小。
在应用此模型的时候，一定要注意实际现象中存在的体积变化和摩擦是否可以忽略。
如液体在粗管内流动，比如开口很大的容器底部开一小孔，求小孔处流速，由于水的可压缩性小，体积变化可忽略，容器大，流动时速度梯度小，内摩擦力可忽略，可应用伯努利方程；但如果在开孔处联结一较长细管，水在细管中流动时，粘滞性不可忽略，则要考虑伯肃叶定律；即使管道较粗，如管道较长，比如远距离输油、输水管道，求流量时也要考虑粘滞性。
2．严格遵循各物理规律的应用条件。
连续性原理是同一流管的不同截面处流速的关系，不可比较不同的流管；柏努利方程要在同一流线上使用，比较流体中两点的流速并应用柏努利方程时，一定要用一条流线将二者联系起来；在应用伯肃叶定理时一定要强调水平圆管中的层流。
三、解题指导2-1 有人认为从连续性方程来看管子愈粗流速愈小，而从泊肃叶定律来看管子愈粗流速愈大，两者似有矛盾，你认为如何？为什么？提示：两者所针对的对象是否一样？答：不矛盾，连续性原理指的是同一流管不同截面处的流速关系，截面大处流速小，而泊肃叶定律指出管子愈粗流速愈大是针对不同的流管。
两者没有可比性。
思考：连续性原理和泊肃叶定律的适用条件分别是什么？2-2为什么一个装有烟囱的火炉，烟囱越高通风的效果越好？（即烟从烟囱中排出的速度越大）提示：高空和低空空气的流动状态有无区别？答：由于高处空气的流动速度快，根据柏努利定律，烟囱顶端的气压低，底端气压高，从而推动空气挟带烟尘向烟囱顶部运动，促进通风。
第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
环境工程原理第三章1-2节
qm qm1 qm2
uA u1 A1 u2 A2
三、流动系统的能量衡算方程 （一）总能量衡算
2
流体携带能量
2’ 1 1’
系统与外界交换能量
衡算范围：截面1-1’与 2-2’间的管道和设备。 取0-0’为基准水平面。 衡算基准：1kg流体。
稳态流动下，系统内部无能量积累，则能量衡算方程为 输出系统的物质的总能量－输入系统的物质的总能量
二、流动系统的能量衡算方程
一、流体流动的状态 在流动流体系统中，物理量是空间坐标和时间 的函数。
稳态流动：流体流动系统中，各截面上的压力、
流速、流量等物理量仅随位置变化，
而不随时间变化。 非稳态流动：流体在各截面上的有关物理量既随
位置变化，又随时间变化。
qV2、u2、p2
qV1、u1、p1 qV2、u2、p2
输出系统的质量流量：
qm2 2um2 A2
4、写出质量衡算方程： dm 1um1 A1 2um2 A2 dt
(3.1.1)
对于稳态过程
dm 0 dt
1um1 A1 2um2 A2
um1 A1 um2 A2
(3.1.2)
对不可压缩流体，ρ为常数
(3.1.3)
不可压缩流体管内流动的连续性方程 不可压缩流体作稳态流动时平均速度um仅随管截面 积而变化。
对于圆形管道
π 2 π 2 um1 d1 um2 d 2 4 4
um 2 d1 d um1 2
2
(3.1.4)
表明：当体积流量一定时，管内流体的流速与管道 直径的平方成反比；流体在均匀直管内作稳态流动 时，平均速度恒定不变。
思考：如果管道有分支，则稳定流动时的连续性方程 又如何？
第三章 流体力学基本方程组-2
v V2 grad rotv v F divP t 2
Lamb-Γpomeko形式的运动方程
18
流体在运动坐标系中的运动方程
va vr ve
绝对速度 相对速度 牵连速度
ve vo r
运动系平动速度 转动速度
19
流体在运动坐标系中的运动方程
s
T k dS s n
qd
d V2 d V2 U d U d dt dt 2 2
F vd div ( Pv )d
div (kgradT )d
面积分
12
动量定理：
左边：
d v F p S S n dt d d dv d v vm m v m dt dt dt dt d dv v dt dt
略去二阶无穷小量
mv F t
矢量函数体积分的随体导数公式（P138 式2.12.8）：
d a a vn aS t S dt d ( v) v vn vS F p S t S S n dt
体积分
qd
30
d V2 U d dt 2
div ( Pv )d F vd
div (kgradT )d qd
由于τ是任一微元体，且假定被积函数是连续的，则：
d V2 q div ( kgradT ) div ( Pv ) F v U dt 2
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
化学反应工程第三章反应器内的流体流动
物料的浓度变化。
如测定数据属于离散型， 则：
3.2.3 寻求停留时间分布的实验方法
在实验时，时间间隔可以取成等值，得：
平均停留时间和散度可按下式计算：
当 为定值时，
散度
3.2.3 寻求停留时间分布的实验方法
例3-2 在稳定操作的连续搅拌式反应器的进料中脉冲
m 50g
注入染料液（
）,测出出口液中示踪剂浓度随时
多级混合模型是由N个容积为V的全混釜串联组成，从一 个釜到下一个釜的管道内无返混且不发生化学反应，示 意如图3-8：
图3-8 多级混合模型
3.4.1 多级混合模型
经推导可得该多级混合模型的停留时间分布规律为：
F ( ) cN 1 1 1 1 1 exp( N )[1 ( N ) ( N ) 2 ( N ) 3 （N ) N 1 ] c0 1 ！ 2 ！ 3! （N 1 ）！
（t）；另一部分是阶跃输入前的物料量为Vc0－中时间
大于t的示踪剂，其量为Vc0－[1-F（t）] 。即：
即得：
（3-15）
如果阶跃输入前进口物料中不含示踪剂，即 ，则上 c F ( t ) 式可以改写成： （3-16） c0
3.2.3 寻求停留时间分布的实验方法
例3-1 测定某一反应器停留时间分布规律，采用阶跃输 入法，输入的示踪剂浓度 ，在出口处测定响应曲线得到 的数据如下表3-1所示：
占的分率。依此定义，E(t)和F(t)之间应具有如下关
系： 以及
3.2.1 停留时间分布的定量描述
在t=0时 F(0)=0和t=∞时 ，关于E(t)、F(t)曲线以及它 们之间的关系示于图3-2中。
图3—2 停留时间分布曲线
第3章流体流动特性
z)
cos(,
z)
第三章 流体流动特性
3.2流体流动的速度场
三、迹线和流线
流线微分方程
即：
ud,x d,y dz
v ds v ds v ds
或写成：
d sd,x vu
d v sd ,y
d v sd z
得： u(x,d y,zx ,t)(x,d y,zy ,t)(x,d y,zz,t) （3-10**）
3.2流体流动的速度场
例3-1： u x t
已知：
y
t
0
求：t＝0 时，A（－1，1）点流线的方程。
解：将已知条件代入流线微分方程式（3-10）
u(x,d y,zx ,t)(x,d y,zy ,t)(x,d y,zz,t)
得： dx dy xt yt
第三章 流体流动特性
了解流动特性是研究流体运动规律的第一步
本章内容：
关于流场 流体流动的速度场 粘性流体的运动形态 流体流动的分类
3.1流场及其描述方式
一、流场 由流体流动所占据的全部空间称为流场。
二、流场研究的两种方法
拉格朗日（Larange）法－跟随质点法
研究对象为流体质点。着眼于流体各质 点的运动情况，研究各质点的运动历程，通 过综合所有被研究流体质点的运动情况来获 得整个流体运动的规律。
3.4粘性流体的流动形态
水箱A注满水，利用溢水管H 保持水箱中的水位恒定。微 微打开调节阀C，水流以很小 速度沿玻璃管流出。再打开 颜色水瓶D上的小阀K，使颜 色水沿细管E流入玻璃管B中。 观察管中颜色水的流动形状。
3.4粘性流体的流动形态
粘性流体的流型对流体流动的能量损 失有很大关系。
流体力学 第三章 流体动力学
按周界性质： ①总流四周全部被固体边界限制——有压流。如 自来水管、矿井排水管、液压管道。 ②总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接 触——无压流。如河流、明渠。 ③总流四周不与固体接触——射流。如孔口、管 嘴出流。
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
7 流量、断面平均流速 a.流量：单位时间通过某一过流断面的流体量。流
量可以用体积流量Qv（m3/s）、质量流量Qm（kg/s） 表示。显然，对于均质不可压缩流体有
元流体积流量 总流的体积流量
Qm Qv
dQv vdA
Qv
dQ vdA vA
b.断面平均流速：总流过流断面上各点的流速v一般
不相等，为了便于计算，设过流断面上各点的速度
都相等，大小均为断面平均流速v。以v计算所得的
流量与实际流量相同。
vAQv
vdA
A
8 均匀流与非均匀流
流管——在流场中任意取不与流线重合的封 闭曲线，过曲线上各点作流线，所构成的管 状表面
流束——流管内的流体
5.过流断面——在流束上作出与流线正交的横断面
1
例：
注意：只有均匀流的过流断面才是平面
2
1
Hale Waihona Puke 1处过流断面2处过流断
2
面
6.元流与总流 元流——过流断面无限小的流束 总流——过流断面为有限大小的流束，它由无数元流构成
线上各点速度矢量与曲线相切
v1
v2
性质：一般情况下不相交、不折转
流线微分方程： 流线上任一点的切线方向 (dr)与该点速度矢量 (v)一致
i jk drv dx dy dz0
dx dy dz vx vy vz
vx vy vz
——流线微分方程
（2）迹线——质点运动的轨迹 迹线微分方程：对任一质点
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二.定常 (稳定) 流动
1. 流线: 为了形象地描述流场，画出一系列假想 的曲线，曲线上每一点的切线方向与液体粒 子流经该点的速度方向一致，这些曲线就称 为该时刻液体的流线。Stream line
流线——曲线上的每一点的切线方向和位于该点处 流体粒子的速度方向一致。
v1
v2
2 1
3
v3
流量守恒方程
m = ρS1 v1 = ρS2 v2 质量守恒方程
2.流量：单位时间内流过流体的体积。
Q = ∆V/ ∆ t = S v ( m3/S )
流量计（水表、煤气表、电表？）
3. 结论：截面积大处，速度小；截面积小处，
速度大。
4. 适用条件：理想液体作稳定流动
• 2011年9月15日，浙江钱塘江，江口呈喇叭 口，东海潮倒灌杭州湾，成著名的海宁 “ 钱塘潮”
总截面积
血流速度
大 小毛
静
动 动细
脉
S v 常量
脉 脉血 管
第三章 流体力学
• 流体：气体和液体
• 流体静力学：研究静止流体规律的学科 • 流体动力学：研究流体运动规律的学科
钱学森空气动力学
• 钱学森是在1935年8月作为一名公费留学生赴美国 学习和研究航空工程和空气动力学的
意义：研究血液循环和呼吸过程 的基础。
流体力学
理想液体
实际液体
定常流动
伯努利方程
2. 稳定（定常）流动：steady flow 空间的流线不随时间变化，流场中各点
的速度不随时间变化，即流线的形状不随 时间变化。
⑴不是流场中各点的速度都相同，而是 任意时刻，粒子流经该点的速度不变。
⑵稳定流动出现在管子较粗或流速较慢处。
⑶稳定流动中流线是不随时间变化的曲 线，是流体质点的运动轨迹
连续性方程、伯努利方程、泊肃叶定律、 斯托克斯定律。 研究对象：水、血液，气体的流动运动规律; 输液、注射、血压计、流量计等。
§3.1 理想流(液)体 稳定流动
一. 理想流(液) 体 ideal fluid 1. 绝对不可压缩。所有液体都不易压缩， 这也是液 压传感器的原理。（即各处密度保持不变） 2. 黏（粘）滞性（内摩擦力）。液体内都存在内摩 擦力。越粘稠的液体（粘性大），内摩擦力越 大，越不宜流动，流动时外力需作更多的功。 越粘稠的血液，心脏的负担越重。 3. 理想液体：绝对不可压缩；完全没有内擦的液 体。所有液体都满足不可压缩，都存在粘滞性。
质量流量：在流体中任取一曲面S，单位时间内通过该曲面的
流体质量。
G m Svt Sv
tt
由于截面S1、S2是任取的，所以：
S v 常量
如果流体是不可压缩的，即流体的密度为常 量，则式可变换为：
Q S v 常量
三. 连续性方程
1. 连续性方程：
Q = S1 v1 = S2 v2
流体流过不同形状障碍物的流线
流线型：是前圆后尖，表面光滑，略像水滴的
形状。具有这种形状的物体在流体中运动时所
受到的阻力最小，所以汽车、火车、飞机机身 、潜水艇等外形常做成流线型。
所以高速运动的物体,如航空器、车船等都被设 计成能减少涡旋产生的收缩尾部——流线型.
动物与流线型
流线类似与电场线、磁感应线、光线，但区别与 流线型（高速运动物体的表面设计）。
实际流体分析
• 压缩性：液体可近似为不可压缩：气体是 可压缩的，但在温度和压强不变的情况下 ，可认为密度保持不变；
• 内摩擦：气体的内摩擦一般很小；水和酒 精的内摩擦也很小，但甘油和糖浆的内摩 擦不能忽略。
• 判断：当可压缩性和粘性只是影响运动的 次要因素，而其主要因素是流动性时，一 般可采用理想流体模型。
m2 v2tS2
m1 v1tS1
v2t v2
s2
v1t
s1 v1tS1 v2tS2
v1
S1v1 S2v2
S
S11
S 2 2
v1Δt 图3-2 流管
v2Δt
体积流量：在流体中任取一曲面S，单位时间内通过该曲面的
流体体积。
Q V Svt Sv tt
黏性定律
伯努利方程
泊肃叶定律
层流和湍流
连续性方程
应用
黏度
黏度测定
体积流量
文丘里计
质量流量
比托管
本章课内容
• 一、理想流体 • 二、流线、流管、定常流动 • 三、连续性方程 • 四、伯努利方程 • 五、伯努利方程的应用 • 六、黏性流体、层流、湍流 • 七、泊肃叶定律
第三章 流体的运动
流体：气体和液体 流体力学： 流体静力学：阿基米德定律、帕斯卡定律 流体动力学: 研究流体运动规律的学科。
流管：一束流线围成的管状区域。
实际的管子材料、管径、形状都不相同，为了使研 究问题简单，在管子中假设一不存在的流管来代替实 际的管子，效果相同。
⑴ 空间任意两条流线不能相交; ⑵ 但液体不能流出、流进流管。
定常流动
B
C VB
VC
A
VA
流线
• 定义：流体中任意一点的流速不随时间而改变 的流动称为定常流动。
• 长江三峡，三峡大坝
• 血液循环：动脉起于心室、左心室供血给 体循环；静脉连于心房、右心室供血给肺 循环
• 心室→主动脉→大动脉→动脉→小动脉→ 微动脉→毛细血管→微静脉→小静脉→静 脉→腔静脉，回到左心房
流场 缓慢的水流
交错排列管道群中的流场
协和式飞机着陆时的流场(正视图)
连续性方程的应用举例