湖北省襄阳市2012届高三3月调研考试数学(理)试题(扫描版)
2012年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学(文史类)本试卷共4页,共22题.满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★考生注意：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23 20,|} {A x x x x -+=∈R ,05 {|}B x x x =∈＜＜,N ,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A .0.35B .0.45C .0.55D .0.65 3.函数s ()co 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2B .3C .4D .54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点)(1,1P 的直线,将圆形区域22{()|+4}x y x y ,≤分为两部分,使得这两部分的面积差最大,则该直线的方程为( )A .20x y +-=B .10y -=C .0x y -=D .340x y +-=6.已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )ABCD7.定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{)(}n f a 仍是等比数列,则称)(f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①2()f x x ＝；②()2x f x ＝；③()f x =；④()ln ||f x x ＝.则其中是“保等比数列函数”的)(f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④8.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整 数,且A B C ＞＞,320b acosA =,则sin :sin :sin A B C 为 ( ) A .4∶3∶2B .5∶6∶7C .5∶4∶3D .6∶5∶49.设a b c ∈,,R ,则“1abc =++a b c ”的()--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .112π-B .1πC .21π-D .2π二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有 人.12.若3+i=+i 1ib a b －（a ,b 为实数,i 为虚数单位）,则a b += . 13.已知向量0)(1,=a ,1)(1,=b ,则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14.若变量x ,y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≥≤则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b .可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （Ⅱ）21k b =－ .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωωλ-∈++=R 的图象关于直线π=x 对称,其中ω,λ为常数,且)11(2ω∈,. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π()40，,求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD －,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D －. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10=AB ,1120=A B ,20=3A ,113=AA （单位：厘米）,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元？ 20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|(|)|01DM m DA m m ≠=＞,且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；3-8数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k ＞,都有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）设函数()(1)()0n f x ax x b x ＝－＋＞,n 为正整数,a ,b 为常数.曲线()y f x =在(1)(1)f ,处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <.数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）5 / 13数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）3S ，4S 。
2023-2024学年湖北省鄂东南三月考高二下学期阶段考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年湖北省鄂东南三校联考高二下学期阶段考试数学模拟试题一、单选题1．“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（）A ．13种B ．22种C ．30种D ．60种【正确答案】D【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果.【详解】根据分步乘法计数原理，共有26560⨯⨯=（种）不同的选取方法，故选：D ．2．若直线410mx y -+=与直线230x y +-=平行，则实数m =（）．A ．2B ．2-C ．12D ．12-【正确答案】B【分析】根据直线平行的关系计算求解即可.【详解】解：两直线的斜率分别是4m，12-，由两直线平行可知142m =-，解得2m =-．故选：B ．3．已知数列{}n a 满足13a =，()111n na n a *+=-∈N ，则4a =（）．A ．23B ．12-C ．3D ．32【正确答案】C【分析】根据递推关系直接求解即可.【详解】解：因为13a =，()111n na n a *+=-∈N ，所以，211213a a =-=，321112a a =-=-，43113a a =-=．故选：C4．某班举办古诗词大赛，其中一个环节要求默写《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》，并要求《将进酒》与《望岳》默写次序相邻，则不同的默写次序有（）A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种【正确答案】B【分析】根据排列中相邻问题捆绑法即可求解.【详解】可先将《将进酒》与《望岳》捆绑起来看作一个元素，与剩下两首诗词全排列，有33A 种排法，然后捆绑的《将进酒》与《望岳》也有排列，有22A 种排法，根据乘法原理，得2323A A 12=种排法，即不同的默写次序有12种.故选：B.5．若曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线与直线:250l x y -+=垂直，则实数=a （）．A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】C【分析】函数求导，计算()11k f ='，利用切线与直线:250l x y -+=垂直，求得a 值.【详解】因为21ln x ay x --'=，所以曲线ln x ay x+=在点()1,a 处的切线的斜率为()111k f a ='=-，直线l 的斜率22k =，由切线与直线l 垂直知121k k =-，即()211a -=-，解得32a =．故选：C ．6．记椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 且倾斜角为30 的直线l 与椭圆C 交于另一点B ，若BF AF ⊥，则椭圆C 的离心率为（）A ．33B C ．12-D 1【正确答案】A【分析】由条件列关于,,a b c 的方程，由此可求离心率.【详解】因为椭圆22221x y a b+=的左顶点为A ，右焦点为F ，所以()(),0,,0A a F c -，因为点B 在x 轴上方，又BF AF ⊥，所以将x c =代入椭圆C 可得2by a =，即2,b B c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为直线l 的倾斜角为30 ，所以2b ac a+=，又222b a c =-，化简)222a ac a c +=-，所以)211e e +=-解得33e =.故选：A.7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，若68S =，1838S =，则24S =（）A ．27B ．45C ．65D ．73【正确答案】C【分析】根据等比数列前n 项和的性质可得6S ，126S S -，1812S S -，2418S S -成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出1220S =，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前n 项和的性质可得6S ，126S S -，1812S S -，2418S S -成等比数列，所以有()()212661812S S S S S -=-，即()()212128838S S -=⨯-，整理可得2121282400S S --=，解得1212S =-（舍）或1220S =.又因为()()()181212624182S S S S S S -=--，所以有()()224(3820)20838S -=--，解得2465S =.故选：C.8．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()0xf x f x '+>，则不等式()()()2222x f x x f x ++>的解集是（）A ．()2,1-B ．()(),21,-∞-⋃+∞C ．()(),12,-∞-⋃+∞D ．()1,2-【正确答案】D【分析】构造()()g x xf x =，由导函数得到其单调性，从而由单调性解不等式求出答案.【详解】根据题意，构造函数()()g x xf x =，则()()()0g x xf x f x ''=+>，所以函数()g x 在R 上单调递增，又()()()2222x f x x f x ++>，即()()22g x g x +>，所以22x x +>，即220x x --<，解得12x -<<.故选：D.二、多选题9．下列运算错误的是（）A ．'2(2)2log ex x=B ．'=C ．(sin1)cos1'=D ．31(log )ln 3x x '=【正确答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A ，(2)2ln 2x x '=，A 错误；对于B ，11221()2x x -'='=，B 正确；对于C ，(sin1)0'=，C 错误；对于D ，31(log )ln 3x x '=，D 正确.故选：AC10．某校环保兴趣小组准备开展一次关于全球变暖的研讨会，现有10名学生，其中5名男生5名女生，若从中选取4名学生参加研讨会，则（）A ．选取的4名学生都是女生的不同选法共有5种B ．选取的4名学生中恰有2名女生的不同选法共有400种C ．选取的4名学生中至少有1名女生的不同选法共有420种D ．选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有155种【正确答案】AD【分析】A 选项只在女生5人中选取4人，直接列式求解；B 选项男、女生选取各2人，则分别选取即可列式求解；C 用间接法列式求解；D 分情况讨论.【详解】选取的4名学生都是女生的不同选法共有45C 5=种，故A 正确；恰有2名女生的不同选法共有2255C C =100种，故B 错误；至少有1名女生的不同选法共有44105C C 205-=种，故C 错误；选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有041322555555C C C C C C 155++=种，故D 正确.故选：AD.11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，()4,A n 为C 上一点，且5AF =，直线AF 交C 于另一点B ，记坐标原点为O ，则（）A ．2p =B ．8n =C ．1(,1)4B -D ．3OA OB ⋅=-【正确答案】AD【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.【详解】依题意，抛物线C 2:2(0)y px p =>的准线为2p x =-，因为()4,A n 为C 上一点，且||5AF =，则452pAF =+=，解得2p =，故A 正确；可得抛物线C :24y x =，焦点为()1,0F ，因为A 为C 上一点，则24n =⨯4，所以4n =±，故B 错误；若()4,4A ，则线AF 的方程为()413y x =-，代入2:4C y x =，得()216149x x -=，整理得241740x x -+=，解得14x =或4x =，因为B 与A 分别在x 轴的两侧，可得1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭；同理：若()4,4A -，可得1,14B ⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述：1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1,14B ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 错误；若()4,4A ，则()1,,144,4OB OA ⎛⎫=⎝=- ⎪⎭uu u r uu r ，则143OA OB ⋅=-=- ；同理：若()4,4A -，可得3OA OB ⋅=-；故D 正确；故选：AD.12．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ，11a =，24a =，则（）A ．583S =B ．数列{}1n n a a +-是等比数列C ．1323n n a -=⋅-D ．3223nn S n =⋅--【正确答案】ABD【分析】根据递推关系式依次求得数列{}n a 的前5项，加和即可知A 正确；将递推关系式转化为()112n n n n a a a a +--=-，结合213a a -=，由等比数列定义可得B 正确；利用累加法可求得C 错误；采用分组求和的方式，结合等比数列求和公式可求得D 正确.【详解】对于A ，()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N ，11a =，24a =，3213210a a a ∴=-=，4323222a a a =-=，5433246a a a =-=，51410224683S ∴=++++=，A 正确；对于B ，由()113202,n n n a a a n n *+--+=≥∈N 得：()112n n n n a a a a +--=-，又213a a -=，∴数列{}1n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，B 正确；对于C ，由B 知：1132n n n a a -+-=⋅，当2n ≥时，()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-+⋅⋅⋅+-+=()()1231112322213321132212n n n n n ------++⋅⋅⋅++=⨯=-+=⋅--，又11a =满足1322n n a -=⋅-，()1322n n a n -*∴=⋅-∈N ，C 错误；对于D ，()011123222232322312nn n n S n n n --=++⋅⋅⋅+-=⨯-=⋅---，D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若785a a +=，则14S =__________．【正确答案】35【分析】根据给定条件，利用等差数列性质结合前n 项和公式求解作答.【详解】因为{}n a 是等差数列，114785a a a a +=+=，所以()1141414352a a S +==．故3514．若圆221:5C x y +=与圆222:480C x y x y m +---=外切，则m =________．【正确答案】15-【分析】由题意分别求两圆的圆心和半径，根据两圆外切可得1212C C r r =+，代入运算求解．【详解】由题意可得：圆12,C C 的圆心分别为12(0,0),(2,4)C C ，半径分别是)1220r r m =>-，因为圆12,C C 外切，所以1212C C r r =+，1520m =->-．故答案为.15-15．在中国空间站某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有___________种.【正确答案】450【分析】安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆分配问题解决方法求解即可.【详解】满足条件的安排方案可以分为两类，第一类，每个舱各安排2人，共有2223642333C C C A 90A ⋅=（种）不同的方案；方案二：一个实验舱安排3人，一个实验舱2人，一个实验舱1人，共有32136313C C C A 360=（种）不同的方案.所以共有()90360450+=种不同的安排方案.故450.16．设函数()e 2xf x mx =-在区间[1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则实数m 的取值范围是___________.【正确答案】3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.【详解】令()e 20xf x mx =-=，则e 2x m x=，函数()e 2xf x mx =-在区间[12，3]上有零点等价于直线y m =与曲线()e 2xg x x=在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有交点，则()()'21e 2x x g x x -=，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()'0,g x g x ＜单调递减，当(]1,3x ∈时，()()'0,g x g x ＞单调递增，()()mine 12g x g ==，()1321e e ,326g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，显然132e e 6，∴()3e e ,26g x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，即当m 3e e ,26⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点；故3e e ,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17．已知nx ⎛⎝的展开式中前三项的二项式系数和为37.(1)求n ；(2)求展开式中的常数项.【正确答案】(1)8n =；(2)1792.【分析】（1）写出前三项二项式系数，根据和为37，列方程求出n 的值；（2）利用通项，并令x 的指数为0，求出常数项．【详解】（1）因为nx ⎛ ⎝的展开式中前三项的二项式系数分别是0C n ，1C n ，2C n ，所以()012711C C 32C n n n n n n -=+++=+，即2720n n +-=，解得8n =或()9n =-舍去（2）8x ⎛- ⎝的展开式中通项为()()4883188C C 208N kk k k k kk T x x k k --+⎛==-≤≤∈ ⎝，，由4803k -=时，可得6k =，即第7项为常数项，所以展开式中的常数项为()66618C 21792T +=-=.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为632n S a a =，，且7499S S a -=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .【正确答案】(1)n a n =(2)21n n T n =+【分析】（1）根据等差数列公式，运用条件列方程求出1,a d ；（2）运用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列{n a }的公差为d ，由637492,9a a S S a =-=+，得()()()111115227214689a d a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+-+=++⎪⎩，解得11,1a d ==，∴n a n =；（2）()()11111,2221n n n n a a n n S S n n ++⎛⎫===- +⎝⎭，11111112212233411n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ；综上，2,1n n na n T n ==+.19．已知函数()()323129R f x ax x x a =++-∈的两个极值点12,x x 满足122x x =-.(1)求a 的值；(2)求()f x 在区间[]3,3-上的最值.【正确答案】(1)2a =-(2)最大值为36，最小值为-16【分析】（1）()f x 有2个极值点等价于导函数()'f x 有2个零点，根据条件运用韦达定理求解；（2）根据导函数求出()f x 的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.【详解】（1）()'23612f x ax x =++，令()'0f x =，则()'f x 有2个零点12,x x ，显然0a ≠，由韦达定理得121224x x ax x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①②，又122x x =-代入①得：1242,x x a a =-=，再代入②得：284,2a a a-==-，2646120∆=+⨯⨯＞，符合题意，()3223129f x x x x ∴=-++-；（2）()()()'26612621f x x x x x =-++=--+，得下表：x()3,1---1()1,2-2()2,3()'f x 0＜0＞0＜()f x 单调递减极小值-16单调递增极大值11单调递减又()336f -=，()30f =，所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为36，最小值为-16；综上，2a =-，()f x 在区间[]3,3-上的最大值为36，最小值为-16.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，平面11AA D D ⊥平面ABCD ，点E 是AD 的中点，1122A A A D AD AB ====.(1)求证：平面1A EB ⊥平面ABCD ；(2)求直线1A D 与平面1A BC 所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)4【分析】（1）先证明1A E AD ⊥，根据面面垂直的性质定理证明1A E ⊥平面ABCD ，再由面面垂直判定定理证明平面1A EB ⊥平面ABCD ；（2）建立空间直角坐标系，求直线1A D 的方向向量与平面1A BC 的法向量，利用空间向量夹角公式求直线1A D 与平面1A BC 夹角.【详解】（1）因为11A A A D =，点E 是AD 的中点，所以1A E AD ⊥，又平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D 平面ABCD AD =，1A E ⊂平面11AA D D ，所以1A E ⊥平面ABCD ，又1A E ⊂平面1A EB ，所以平面1A EB ⊥平面ABCD ；（2）取BC 的中点F ，连结EF ，因为四边形ABCD 为矩形，且22AD AB ==，所以四边形CDEF 为正方形，EF AD ⊥，以E 为坐标原点，EF ，ED ，1EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则()()()(11,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,B C D A -，所以()((110,2,0,,0,1,BC BA A D ==-=- ，设平面1A BC 的法向量(),,m x y z = ，则有100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200y x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则0,y x ==所以平面1A BC的一个法向量)m = ，设直线1A D 与平面1A BC 所成角为θ，则111sin cos ,m A D m A D m A Dθ⋅====⋅ 直线1A D 与平面1A BC21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>()4P 是C 上一点.(1)求C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m m =+>与C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若4OE OF ⋅= ，判断直线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.【正确答案】(1)22124x y -=(2)直线l恒过定点(【分析】（1）根据离心率、双曲线,,a b c 关系和双曲线所过点可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程；（2）将直线方程与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，代入向量数量积的坐标运算中，整理可求得m =.【详解】（1） 双曲线C的离心率==c e a ，22223c a b a ∴=+=，则222b a =，又()4P 为C 上一点，22101612a a∴-=，解得：22a =，24b ∴=，∴双曲线C 的方程为.22124x y -=（2）设()11,E x y ，()22,F x y ，由22124y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得：()2222240k x kmx m ----=，()()2222220Δ44240k k m k m ⎧-≠⎪∴⎨=+-+>⎪⎩，则222224k m k ⎧≠⎨>-⎩；12222km x x k ∴+=-，212242m x x k +=--，()()()()221212121212121OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ∴⋅=+=+++=++++ ()()2222222142422k m k m m k k++=-++=--，整理可得：212m =，又0m >，m ∴=，则:l y kx =+∴直线l恒过定点(.22．已知函数()()ln f x x x a =-，a ∈R .(1)若函数()f x 在[]1,4上单调递增，求a 的取值范围；(2)若0a >，求证.()()2ln f x x x a ≤--【正确答案】(1)(,1]-∞；(2)证明见解析.【分析】（1）对()f x 求导后，问题转化为()0f x '≥在[1,4]上恒成立，进而求得()f x '的最小值即可求解；（2）由0x >可得只需证明ln 2ln x a x a -≤--，令()2ln ln g x x a a x =+---，求导后求得()(1)1ln g x g a a ≥=--；令()1ln (0)h a a a a =-->，求导后求得()(1)0h a h ≥=，从而可得()0g x ≥，问题得证.【详解】（1）()ln 1=-+'f x x a ，因为函数()f x 在[1,4]上单调递增，所以()0f x '≥在[1,4]上恒成立，又()ln 1=-+'f x x a 在[1,4]上单调递增，所以min ()1f x a '=-+，所以10a -+≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞.（2）因为0,0a x >>，所以要证()(2ln )f x x x a ≤--，只需证ln 2ln x a x a -≤--，令()2ln ln g x x a a x =+---，则11()1x g x x x -'=-=.当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增.所以()(1)1ln g x g a a ≥=--，令()1ln (0)h a a a a =-->，则11()1a h a a a -'=-=，当01a <<时，()0,()h a h a '<单调递减，当1a >时，()0,()h a h a '>单调递增.所以1a =时，()h a 取最小值,则()(1)0h a h ≥=,所以0a >时，()0h a ≥，因此()0g x ≥.所以()(2ln )f x x x a ≤--.。
2012湖北襄阳中考数学
机密★启用前2012年襄阳市初中毕业生学业考试数 学 试 题(满分120分，考试时间120分钟)★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3. 非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区城内，答在试题卷上无效，作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔.4. 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.1.（2012湖北襄阳，1，3分）一个数的绝对值等于3，这个数是（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 31 【答案】C2. （2012湖北襄阳，2，3分）下列计算正确的是（ ）A. 23a a a =-B. 224)2(a a =- C. 623·--=x x x D. 326x x x =÷3. （2012湖北襄阳，3，3分）李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”，能搜索到与之相关的结果个数约为236 000，这个数用科学记数法表示为（）A. 31036.2⨯ B.310236⨯ C. 51036.2⨯ D. 61036.2⨯【答案】C4. （2012湖北襄阳，4，3分）图1是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（）图1 A. B. C. D.【答案】B5. （2012湖北襄阳，5，3分）如图2，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（）m图2A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°6. （2012湖北襄阳，6，3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A7. （2012湖北襄阳，7，3分）为了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图3所示的频数分布直方图（每小组的时间值包含最小值，不包含最大值）.根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）图3A. 50%B. 55%C. 60%D. 65%【答案】C时间（小时）8. （2012湖北襄阳，8，3分）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A. 80°B. 160°C. 100°D. 80°或100°【答案】D9. （2012湖北襄阳，9，3分）如图4，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F，下列结论不一定成立的是（）AB图4A. △AED≌△BFAB. DE－BF＝EFC. △BGF∽△DAED. DE－BG＝FG【答案】D10. （2012湖北襄阳，10，3分）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD.如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）图5（重新绘制）（原题截图）A. m )6.134(+B. m )6.1312(+C. m )6.124(+D.m 34 【答案】A11. （2012湖北襄阳，11，3分）若不等式组⎩⎨⎧≤->+042,1x a x 有解，则a 的取值范围是（ ）A. 3≤aB. 3<aC. 2<aD. 2≤a 【答案】B12. （2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x 的一元二次方程01122=++-x k kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A. 21<k B. 21<k 且0≠k C. 2121<≤-k D. 2121<≤-k 且0≠k 【答案】DACEO 60°二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把每小题的答案填在答题卡上的对应位置的横线上.13. （2012湖北襄阳，13，3分）分式方程352+=x x 的解是 . 【答案】x ＝2.14. （2012湖北襄阳，14，3分）在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：则这10个小组植树株数的方差是 . 【答案】0.615. （2012湖北襄阳，15，3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y （单位：m ）与滑行时间x （单位：s ）之间的函数关系式是25.160x x y -=，该型号飞机着陆后需滑行 m 才能停下来. 【答案】60016. （2012湖北襄阳，16，3分）如图6，从一个直径为dm 34的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC ，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 dm.图6【答案】1.17. （2012湖北襄阳，17，3分）在等腰△ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8，则AB 边上的高CD 的长是 . 【答案】4或34或334.三、解答题（本大题共9个小题，共69分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在答题卡上每题对应的答题区域内.18. （2012湖北襄阳，18，6分）先化简，再求值：)11()2(2222b a a b ab a aba ab +⋅++÷--，其中32+=a ，32-=b . 解：原式⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷---=ab a ab b a b ab a a ab a b a 222222 ab b a b a a b a a b a b a +⨯+⨯--+-=2)()())(( ························································ 3分 ab1-=. ············································································································· 4分 当32+=a ，32-=b 时，原式111321)3()2(1)32)(32(122=--=--=--=-+-=. ……6分19. （2012湖北襄阳，19，5分）如图7，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，将△ADC 绕点A 顺时针旋转，使AC 与AB 重合，点D 落在点E 处，AE 的延长线交CB 的延长线于点M ，EB 的延长线交AD 的延长线于点N. 求证：AM ＝AN.NME D BCA证明：如下图所示.M∵△AEB 由△ADC 旋转而得 ∴△AEB ≌△ADC.∴∠3＝∠1，∠6＝∠C. ····································································································· 1分 ∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C.∴∠3＝∠2，∠6＝∠7. ····································································································· 2分 ∵∠4＝∠5∴∠ABM ＝∠ABN. ·········································································································· 3分又∵AB ＝AB ，∴△AMB ≌△ANB. ······················································································· 4分 ∴AM ＝AN.······················································································································ 5分20. （2012湖北襄阳，20，6分）襄阳市教育局为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比较学”活动.在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有“A ”，“B ”内容的签中，随机抽出一个作为自己的讲课内容.某校有三个选手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容“A ”，一个抽中内容“B ”的概率. 解：设这三个选手分别为甲、乙、丙，根据题意，所有的结果可列表表示如下：或者用树形图表示如下：丙乙甲ABABABABABBABA观察表格（或树形图）可知，所的结果共有8种，每种结果出现的可能性相同，即（A ，A ，A ），（A ，A ，B ），（A ，B ，A ），（A ，B ，B ），（B ，A ，A ），（B ，A ，B ），（B ，B ，A ），（B ，B ，B ）. ········································· 3分 三个选手中有两个抽中内容“A ”，一个抽中内容“B ”（记为事件M ）的结果共有3个， 即（A ，A ，B ），（A ，B ，A ），（B ，A ，A ）. ···························································· 5分 ∴83)(M P . ···················································································································· 6分答：三个选手中有两个抽中内容“A ”，一个抽中内容“B ”的概率为83.21. （2012湖北襄阳，21，6分）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m ，宽20m 的长方形空地，建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图8所示，要使种植花草的面积为532m 2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）x图8解：设小道进出口的宽度应为x 米，根据题意，得532)20)(230(=--x x . ·················································································· 3分整理，得034352=+-x x .解得：11=x ，342=x . ····················································································· 4分 ∵3034>（不合题意，舍去），∴1=x . ·························································· 5分 答：小道进出口的宽度应为1米. ······································································· 6分22. （2012湖北襄阳，22，7分） 如图9，直线b x k y +=1与双曲线xk y 2=相交于A （1，2），B （m ，－1）两点.⎩⎨⎧-=+-=+12211b k b k ，解得⎩⎨⎧==211b k . ∴直线的解析式为2+=x y .······································································· 3分（2）312y y y <<. ······························································································ 5分 （3）1>x 或02<<-x . ·················································································· 7分23. （2012湖北襄阳，23，7分）如图10，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 的中点，BC ＝2AD ，EA ＝ED ＝2，AC 与ED 相交于点F.（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）当AB 与AC 具有什么关系位置关系时，四边形AECD 是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD 的面积.图10解：（1）证明：如下图，∵AD ∥BC ，∠1＝∠DAE ，∠2＝∠3.∵EA ＝ED ， ∴∠DAE ＝∠3.∴∠1＝∠2.又∵EB ＝EC ，∴△AEB ≌△DEC. ·················································································· 1分 ∴AB ＝DC ，∴梯形ABCD 是等腰梯形. ····························································· 2分 （2）当AB ⊥AC 时四边形AECD 是菱形. ······················································· 3分 证明：∵AD ∥BC ，EB ＝EC ＝AD ，∴四边形ABED 和四边形AECD 都是平行四边形. ·········································· 4分 ∴AB ＝DE.∵AB ⊥AC ，EB ＝EC ，∴AE ＝EB ＝EC.∴四边形AECD 是菱形. ························································································ 5分ABCDE F过点A 作AG ⊥BC 于点G.∵AE ＝EB ＝AB ＝2，∴△ABE 为等边三角形.∴∠1＝60°，∴AG ＝AE ·sin60°＝3. ································································ 6分 ∴3232=⨯=⨯=AG EC S AECD 菱形. ························································ 7分24. （2012湖北襄阳，24，10分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦·时，交费60元；居民乙用电200千瓦·时，交费122.5元.设该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x 千瓦·时，当月交电费y 元. （1）上表中，a ＝ ；b ＝ ； （2）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦·时时，其当月的平均电价每千瓦·时不超过0.62元？解：（1）当150≤x 时，ax y =，∵100=x 时60=y ，∴6.0=a ； 当300150≤<x 时，)150(1506.0-+⨯=x b y . ∵200=x 时5.122=y ，∴65.0=b .故填：6.0=a ；65.0=b . ········································································ 3分（2）由（1）得：当300>x 时，)300()3.06.0(15065.01506.0-⨯++⨯+⨯=x y即5.829.0-=x y .∴当150≤x 时，x y 6.0=； ····································································· 4分 当300150≤<x 时，5.765.0-=x y ； ············································ 5分 当300>x 时，5.829.0-=x y . ··························································· 6分或⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-≤=)300(5.829.0)300150(5.765.0)150(6.0x x x x x x y （3）当居民月用电量x 满足150≤x 时，x x 62.06.0≤，∴0≥x ； ········································································ 7分 当居民月用电量x 满足300150≤<x 时，x x 62.05.765.0≤-，∴250≤x ； ······················································· 8分 当居民月用电量x 满足300>x 时， x x 62.05.829.0≤-，∴149294≤x . ···················································· 9分 综上，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦·时时，其当月的平均电价每千瓦·时不超过0.62元. ········································· 10分25. （2012湖北襄阳，25，10分）如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF. （1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC ＝6，tan ∠F ＝21，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长.解：（1）证明：连接OB.∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°. ·························································· 1分 ∵OA ＝OB ，PO ⊥BA 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠1＝∠2. 又∵OP ＝OP ，∴△POA ≌△POB. ······························································································ 2分 ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°，∴直线PA 为⊙O 的切线.·············································································· 3分（2）OP OD EF ⋅=42. ······················································································· 4分证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°， ∴∠2＋∠6＝90°，∠2＋∠4＝90°.∴∠6＝∠4. ∴△OAD ∽△OPA. ································································· 5分P∴OPOA OA OD =，即OP OD OA ⋅=2. ∵EF ＝2OA ，∴OP OD EF ⋅=42. ···························································· 6分 （3）∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴321==BC OD . ·························7分 设AD ＝x ，在Rt △ADF 中，tan ∠F ＝21， ∴DF ＝2AD ＝2x ，OA ＝OF ＝32-x . 在Rt △AOD 中，222AD OD OA +=. ∴2223)32(+=-x x解得：01=x （不合题意，舍去），42=x .即AD ＝4，OA ＝32-x ＝5. ··································································· 8分 ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°. ∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6， ∴cos ∠ACB 53106===AB BC . ···································································9分 ∵OP OD OA ⋅=2∴25)5(3=+PE ，∴PE ＝310. ································································ 10分26. （2012湖北襄阳，26，12分）如图12，在矩形OABC 中，AO ＝10，AB ＝8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处.分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，抛物线c bx ax y ++=2经过O ，D ，C 三点.（1）求AD 的长及抛物线的解析式；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由.解：（1）如下图.∵四边形∴∠BC＝10.∴∠B在Rt△1分∴AE＝设AD在Rt△2)x.2分∴点D ····································· 3分），C （8，0），∴⎩⎨⎧+649a a4分 （2 ∴∠1 5分 由（ 而CQ ＝t ，EP ＝2t ，∴PC ＝10－2t.当∠PQC ＝∠DAE ＝90°时，△ADE ∽△QPC.如下图：∴ED CP EA CQ =，即52104t t -=，解得1340=t ； ···························· 6分 当∠QPC ＝∠DAE ＝90°时，△ADE ∽△PQC.如下图：∴ED CQ EA PC =，即54210t t =-，解得725=t . ······························· 7分 ∴当1340=t 或725=t 时，以P ，Q ，C 为顶点的三角形与△ADE 相似. ·········· 8分。
2012年湖北省襄阳市中考数学试卷..
2012年湖北省襄阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．3．（3分）（2012•襄阳）李阳同学在“百度”搜索引擎中输入“魅力襄阳”，能搜索到与之相关的结果个数约为236 000，4．（3分）（2012•襄阳）如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（）．C D．5．（3分）（2012•襄阳）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）．C D．7．（3分）（2012•襄阳）为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（）∠AOC=×9．（3分）（2012•襄阳）如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是（）10．（3分）（2012•襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图，已知小明距假山的水平距离BD为12m，他的眼镜距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为（）+1.64=，进而得出=，（米）+1.6=11．（3分）（2012•襄阳）若不等式组有解，则a的取值范围是（），12．（3分）（2012•襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）且≤＜且∴＜二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分）13．（3分）（2012•襄阳）分式方程的解是x=2．14．（3分）（2012•襄阳）在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数个小组植树株数的方差是0.6．[﹣﹣﹣解：根据表格得出：==﹣））=﹣））15．（3分）（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来．=16．（3分）（2012•襄阳）如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为1dm．，那么过圆心向∴17．（3分）（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4或4．CD=AC=；4=故答案为：或三、解答题18．（6分）（2012•襄阳）先化简，再求值：，其中a=，b=．a+（+÷•，+b=时，=19．（5分）（2012•襄阳）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．求证：AM=AN．20．（6分）（2012•襄阳）襄阳市教育局为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比教学”活动．在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有“A”、“B”内容的签中，随机抽取一个作为自己的讲课内容，某校有三个选手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容“A”，一个抽中内容“B”的概率．=21．（6分）（2012•襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）22．（7分）（2012•襄阳）如图，直线y=k1x+b与双曲线y=相交于A（1，2）、B（m，﹣1）两点．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）为双曲线上的三点，且x1＜x2＜0＜x3，请直接写出y1，y2，y3的大小关系式；（3）观察图象，请直接写出不等式k1x+b＞的解集．y=．y=，23．（7分）（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．AG=×=224．（10分）（2012•襄阳）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年52012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．（1）上表中，a=0.6；b=0.65；（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？294，25．（10分）（2012•襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．∴，即OD=BC=3F=ACB==．．26．（12分）（2012•襄阳）如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．∴x x∴，即，t=∴，即，t=t=或，EC），﹣。
湖北省襄阳市2015届高三上学期第一次调研考试数学(理)试题
2015年1月襄阳市普通高中调研统一测试高三数学（理工类） 2015．1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集U =R ，M ={x |x <-2或x >2}，N ={x |x <1或x ≥3}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{x |-2≤x <1}B ．{x |-2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2）D ．{x |x <2} 2．直线2x +（m +1）y +4=0与直线mx +3y -2=O 平行，则m = A ．-2 B ．-3 C ．2或-3 D ．-2或-33．已知x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤-+1023032y y x y x ，则z =x -y 的最大值是A ．6B ．4C ．OD ．-24．等差数列}{n a 的前n 项和为S n ．若S 19为一确定常数，下列各式也为确定常数的是 A ．a 2+a n B ．a 2a 17 C ．a 1+a 10+a 19 D ．a 1a 10a 195．抛物线y 2=2px 的焦点为F ，M 为抛物线上一点，若△OFM 的外接圆与抛物线的准线相切（O 为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则p = A ．2 B ．4 C ．6 D ．86．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是 A ．6 B ．41418+ C ．2π D ．3π 7．下列说法正确的是 A ．“f （O ）=O ”是“函数f （x ）是奇函数”的充要条件 B ．“向量a ，b ，c ，若a·b =a·c ，则b =c ”是真命题C ．函数f （x ）=31x -㏑x 在区间（e 1，1）有零点，在区间（1，e ）无零点 D ．“若α=6π，则sin α=21”的否命题是“若α≠6π，则sin α≠21”8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）别为L 1=5．06x -0．15x 2和L 2=2x ，其中x 为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 4．45．606万元 B ．45．6万元 C ．45．56万元 D ．45．51万元9．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22a x +22by =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为 A ．5 B ．5 C ．17 D ．7142 1O ．若a 、b 是方程x +lg x =4，x +10x=4的解，函数f （x ）=⎩⎨⎧+++22)(2x b a x 00>≤x x ，则关于x 的方程，f （x ）=x 的解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分。
2012年高考真题——数学理全国卷解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟. 考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目.2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．.3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 【解析】i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 【答案】C2、已知集合A ＝{1.3.m }，B ＝{1，m} ,AB ＝A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 【解析】因为A B A = ,所以A B ⊆,所以3=m 或m m =.若3=m ，则}3,1{},3,3,1{==B A ,满足A B A = .若m m =，解得0=m 或1=m .若0=m ，则}0,3,1{},0,3,1{==B A ，满足A B A = .若1=m ，}1,1{},1,3,1{==B A 显然不成立，综上0=m 或3=m ，选B.【答案】B3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 【解析】椭圆的焦距为4，所以2,42==c c 因为准线为4-=x ，所以椭圆的焦点在x 轴上，且42-=-c a ，所以842==c a ，448222=-=-=c a b ，所以椭圆的方程为14822=+y x ，选C.【答案】C4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1【解析】连结BD AC ,交于点O ，连结OE ，因为E O ,是中点，所以1//AC OE ,且121AC OE =，所以BDE AC //1，即直线1AC 与平面BED 的距离等于点C 到平面BED 的距离，过C 做OE CF ⊥于F ,则CF 即为所求距离.因为底面边长为2，高为22，所以22=AC ,2,2==CE OC ,2=OE ,所以利用等积法得1=CF ，选 D.【答案】D（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 【解析】由15,555==S a ,得1,11==d a ，所以n n a n =-+=)1(1，所以111)1(111+-=+=+n n n n a a n n ，又1011001011110111001312121111110110021=-=-++-+-=+ a a a a ，选A.【答案】A（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C) (D)【解析】在直角三角形中，521===AB CA CB ，，,则52=CD ,所以5454422=-=-=CD CA AD ,所以54=AB AD ,即b a b a AB AD 5454)(5454-=-==，选D. 【答案】D（7）已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则cos2α= (A) 5-3 （B ）5-9 (C) 59 (D)53【解析】因为33cos sin =+αα所以两边平方得31cos sin 21=+αα，所以032cos sin 2<-=αα，因为已知α为第二象限角，所以0cos ,0sin <>αα，31535321cos sin 21cos sin ==+=-=-αααα，所以)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα+-=-==3533315-=⨯-，选A. 【答案】A（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45【解析】双曲线的方程为12222=-y x ，所以2,2===c b a ，因为|PF 1|=|2PF 2|，所以点P 在双曲线的右支上，则有|PF 1|-|PF 2|=2a=22,所以解得|PF 2|=22，|PF 1|=24，所以根据余弦定理得432422214)24()22(cos 2221=⨯⨯-+=PF F ,选C. 【答案】C（9）已知x=ln π，y=log 52，21-=ez ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x【解析】1ln >=πx ，215log 12log 25<==y ，ee z 121==-，1121<<e ，所以x z y <<，选D.【答案】D(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1【解析】若函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有一个为0，函数的导数为33'2-=x y ，令033'2=-=x y ，解得1±=x ，可知当极大值为c f +=-2)1(，极小值为2)1(-=c f .由02)1(=+=-c f ，解得2-=c ，由02)1(=-=c f ，解得2=c ，所以2-=c 或2=c ，选A.【答案】A（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.【答案】A（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73.动点P 从E 出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16（B ）14（C ）12(D)10【解析】结合已知中的点E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可. 【答案】B2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ） 第Ⅱ卷 注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题，共90分.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） （13）若x ，y 满足约束条件则z=3x-y 的最小值为_________.【解析】做出做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得z x y -=3，平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)1,0(C 时，直线z x y -=3的截距最 大，此时z 最小,最小值为1-3=-=y x z . 【答案】1-（14）当函数取得最大值时，x=___________.【解析】函数为)3sin(2cos 3sin π-=-=x x x y ，当π20<≤x 时，3533πππ<-≤-x ，由三角函数图象可知，当23ππ=-x ，即65π=x 时取得最大值，所以65π=x . 【答案】65π=x （15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________.【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即62n n C C =，所以8=n ，所以展开式的通项为k k k kk k x C xxC T 288881)1(--+==，令228-=-k ，解得5=k ，所以2586)1(x C T =，所以21x的系数为5658=C .【答案】56（16）三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA 1=CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为____________.【解析】如图设,,,1c AC b AB a AA ===设棱长为1，则,1b a AB +=b c a BC a BC -1+=+=，因为底面边长和侧棱长都相等，且01160=∠=∠CAA BAA 所以21=•=•=•c b c a b a ，所以3)(21=+=b a AB ，2)-(21=+=b c a BC ，2)-()(11=+•+=•b c a b a BC AB ，设异面直线的夹角为θ，所以36322cos 1111=⨯=•=BC AB BC AB θ. 【答案】36 三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．） △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A-C ）＋cosB=1，a=2c ，求c.（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小.19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望.（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(12y )2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离.22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．）函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4,5）、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标.（Ⅰ）证明：2 x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{x n}的通项公式.。
数学理卷·2014届湖北省襄阳市高三统一调研测试(2013.12)word版
襄阳市2013-2014学年普通高中调研统一测试高三数学（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设集合A ={x |1<x <4}，集合B ={x |x 2-2x -3≤0}，则A ∩（СR B ）= A ．（1，4） B ．（3，4） C ．（1，3） D ．（1，2）∪（3，4） 2．设a 、b 为实数，若复数12ia bi++=1+i 则 A ．a =32，b =12 B ．a =3，b =1 C ．a =12，b =32D ．a =1，b =33．已知幂函数y =f （x ）的图象过点（12，2），则log 4f （2）的值为A ．14B ．-14C ．2D ．-24．已知向量a =（cos α，sin α），向量b =-1），则|2a -b |的最大值，最小值分别是A ．，0B ．4，．16，0 D ．4，05．命题甲：p 是q 的充分条件，命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题乙的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．已知f （x ），g （x ）是定义为R 的函数，在有穷数列中，任意取正整数k （1≤k ≤10），则前k 项和大于的概率是7．执行如右图所示的程序框图，若输出的值为-105，则输入的n 值可能为A ．5B ．7C ．8D ．108．已知正数x 、y 满足x +2y -xy =0，则x +2y 的最小值为 A ．8 B ．4 C ．2 D ．0 9．给出下面结论：①命题p ：“0x R ∃∈，20032x x -+≥0”的否定为p ⌝：“x R ∀∈，200320x x -+<”．②若，则实数m 的值为③函数在内没有零点；④设函数则f （x ）为周期函数，最小正周期为其中正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知函数有两个极值点，若，则关于x 的方程的不同实根个数为 A ．4 B ．4 C ．5 D ．6二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。
2021-2022学年湖北省襄阳市优质高中高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：若1a >，1b c >>，则log log b c a a <；命题q ：()00,x ∃+∞，使得0302log x x <”，则以下命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 2．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ）A ．55B ．35C ．79D ．2353．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16005．过抛物线22(0)y px p =>的焦点作直线交抛物线于A B ，两点，若线段AB 中点的横坐标为3，且8AB =，则抛物线的方程是( )A ．22y x =B ．24y x =C ．28y x =D ．210y x =6．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）A ．40B ．60C ．80D ．1007．已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且满足()()f x f x ϕϕ+=-，则要得到函数()f x 的图像，可将函数()sin g x x ω=的图像（ ）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 8．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位9．已知向量()34OA =-，，()15OA OB +=-，，则向量OA 在向量OB 上的投影是（ ）A ．25B 25C ．25-D ．2510．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是2,2⎡-⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 11．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+，则MB MA ⋅=（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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17．(1)解：由2n n S a n =+ 得：1121n n S a n ++=++ ≨111221n n n n n a S S a a +++=-=-+，即121n n a a +=- 2分 ≨112(1)n n a a +-=-
4分 又因为1121S a =+，所以a 1 =－1，a 1－1 =－2≠0， ≨{1}n a -是以－2为首项，2为公比的等比数列． 6分 (2)解：由(1)知，11222n n n a --=-⨯=-，即21n n a =-+ 8分 ≨11211
(12)(12)2121
n n n n n n b ++-==-----
10分 故223111111111[(
)()()]121212*********
n n n n T ++=--+-++-=-------- ． 12分
18．(1)解：由题意，超过限定速度10%的时速为70×(1 + 10%) = 77(km/h)
由频率分布直方图得，时速在[77，80)中的车辆数为3
0.020********
⨯⨯⨯=
时速在[80，90)中的车辆数为0.004×10×100 = 4 时速在[90，100]中的车辆数为0.002×10×100 = 2
4分 ≨估计在这100辆机动车中，时速超过限定速度10%以上(包括10%)的车辆数为 6 + 4 + 2 = 12
5分
(2)解：由题意，超过限定速度20%的时速为70×(1 + 20%) = 84(km/h) 超过限定速度50%的时速为70×(1 + 50%) = 105(km/h) X 的可能取值为0，100，200
P (X = 0) = 1－0.02－0.04－0.20×0.3 = 0.88 P (X = 100) = 0.20×0.3 + 0.04×0.4 = 0.076 P (X = 200) = 0.040×0.6 + 0.02 = 0.044
10分
20．(1)解：由题意知12c e a ==，≨222222
14c a b e a a
-===，即2
243a b =
又b =2243a b ==， 故椭圆的方程为22143
y x += 2分
(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =-
由2
2(4)
14
3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分
由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：21
4
k <
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则22121222326412
4343
k k x x x x k k -+==
++， ① 6分
≨22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
21．(1)解：
22
2
[2(14)(42)]
2
()22
2121
x ax a x a
a
f x x x a
ax ax
+--+
'=+--=
++
1分
因为x = 2为f (x)的极值点，所以(2)0
f'=2分
即
2
20
41
a
a
a
-=
+
，解得：a = 0 3分
又当a = 0时，()(2)
f x x x
'=-，从而x = 2为f (x)的极值点成立．4分(2)解：≧f (x)在区间[3，+≦)上为增函数，
≨
22
[2(14)(42)]
()0
21
x ax a x a
f x
ax
+--+
'=
+
≥在区间[3，+≦)上恒成立．5分
①当a = 0时，()(2)0
f x x x
'=-≥在[3，+≦)上恒成立，所以f (x)在[3，+≦)上为增函数，故a = 0符合题意．6分
②当a≠0时，由函数f (x)的定义域可知，必须有2ax + 1 > 0对x≥3恒成立，故只能a > 0，所以22
2(14)(42)0
ax a x a
+--+≥在区间[3，+≦)上恒成立．7分
令22
()2(14)(42)
g x ax a x a
=+--+，其对称轴为
1
1
4a
-8分
≧a > 0，≨
1
11
4a
-<，从而g (x)≥0在[3，+≦)上恒成立，只要g (3)≥0即可，
由2
(3)4610
g a a
=-++≥a9分
≧a > 0，≨0a
<．
综上所述，a的取值范围为[0] 10分
(3)解：
1
2
a=-时，方程
3
(1)
(1)
3
x b
f x
x
-
-=+可化为，2
ln(1)(1)
b
x x x
x
--+-=．
问题转化为2
[ln]
b x x x x
=+-在(0，+≦)上有解11分
令2
()ln
h x x x x
=+-，则
(21)(1)
1
()12
x x
h x x
x x
+-
'=+-=12分
当0 < x < 1时，()0
h x
'>，≨h (x)在(0，1)上为增函数
当x > 1时，()0
h x
'<，≨h (x)在(1，+≦)上为减函数
故h (x)≤h (1) = 0，而x > 0，故()0
b xh x
=≤
即实数b的最大值是0．14分。