高中数学(北师大版)必修1 名师课件：第二章 §2 2.2 函数的表示法 (共26张PPT)
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北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-2《分段函数》课件PPT
+ = 1,
= −1,
解得ቊ
= 2,
= 2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
可得到以下函数解析式y=
4,10 < ≤ 15,∈N+ ,
5,15 < ≤ 19,∈N+ .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
典例剖析
例
分段函数的理解与应用
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l
第二章
§2
函 数
2.2
函数的表示法
第2课时
分段函数
学习目标
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
高中数学第二章函数2.2.2函数的表示法课件北师大版必修1
数学 必修1
第二章 函数
自主学习·新知突破
合作探究·课堂互动
高效测评·知能提升
[强化拓展] (1)研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函 数的图像时，可先将各段的图像分别画出来，从而得到整个函数的图像． (2)分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并 集．写定义域时，区间端点需不重不漏． (3)求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段 的解析式．
数学 必修1
第二章 函数
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[自主练习]
1．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(2)等于( )
x
1234
f(x) 2 3 4 1
A.1
B．2
C．3 答案： C
D．4
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第二章 函数
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－1x为有理数 2．若 f(x)＝1x为无理数 ，则 f[f( 2)]等于( )
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第二章 函数
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1．掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法．(重点) 2．会求函数解析式，并正确画出函数的图像．(难点、易错点) 3．掌握简单的分段函数，并能简单应用．(重点)
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第二章 函数
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表示出来的方法
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第二章 函数
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[强化拓展]
函数的三种表示方法的优缺点比较
高中数学第二章函数第1.2节2.2函数的表示法课件北师大版必修1
第十三页，共53页。
[再练一题] 1．作出下列函数的图像．
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝1x，0<x<1， 1，x≥1.
【导学号：04100018】
第十四页，共53页。
【解】 (1)函数 y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由1，32，(2,2)，3，52，(4,3)， 5，72五个孤立的点构成，如图：
第二十六页，共53页。
法二：(配凑法)∵f1＋x x＝1＋x2＋x22x－2x＋1x＝1＋x x2－1＋xx－x＝1＋x x2－ 1＋x x＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1. 又∵1＋x x＝1x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
第二十七页，共53页。
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝－1，∴c＝－1. ∵f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b＝2x＋2， ∴2aa＋＝b2＝，2， 解得ab＝ ＝11， ， ∴a＝1，b＝1，c＝－1， ∴f(x)＝x2＋x－1.
第三十一页，共53页。
探究 2
设函数
f(x)＝－ x2，x，
x≤0， x＞0，
若 f(a)＝4，则实数 a 等于多少？
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.
第七页，共53页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的图像一定是连续不断的曲线．( ) (2)函数的解析式是唯一的．( ) (3)分段函数是由多个函数组成的．( ) (4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
[再练一题] 1．作出下列函数的图像．
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝1x，0<x<1， 1，x≥1.
【导学号：04100018】
第十四页，共53页。
【解】 (1)函数 y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}是由1，32，(2,2)，3，52，(4,3)， 5，72五个孤立的点构成，如图：
第二十六页，共53页。
法二：(配凑法)∵f1＋x x＝1＋x2＋x22x－2x＋1x＝1＋x x2－1＋xx－x＝1＋x x2－ 1＋x x＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1. 又∵1＋x x＝1x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
第二十七页，共53页。
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝－1，∴c＝－1. ∵f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－ax2－bx－c＝2ax＋a＋b＝2x＋2， ∴2aa＋＝b2＝，2， 解得ab＝ ＝11， ， ∴a＝1，b＝1，c＝－1， ∴f(x)＝x2＋x－1.
第三十一页，共53页。
探究 2
设函数
f(x)＝－ x2，x，
x≤0， x＞0，
若 f(a)＝4，则实数 a 等于多少？
【提示】 当 a≤0 时，f(a)＝－a. ∵f(a)＝4，∴－a＝4，∴a＝－4. 当 a＞0 时，f(a)＝a2. ∵f(a)＝4，∴a2＝4，∴a＝2，或 a＝－2(舍去)． 综上 a＝－4 或 2.
第七页，共53页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的图像一定是连续不断的曲线．( ) (2)函数的解析式是唯一的．( ) (3)分段函数是由多个函数组成的．( ) (4)分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的交集．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
高中数学2-1、2-2函数的表示法课件北师大版必修
4． 赋值法： 有时令自变量取某些特殊值即可求得解析式． 5．方程组法：若已知式子含有
1 f(x)，f x，或
f(x)，f(－x)
1 等形式，可让 x 与 互换，或－x 与 x 互换等，从而构造出另 x 一个方程，通过解方程组获解．
三、函数图像及其画法 图像是函数关系的直观体现，画好函数图像有利于问题 的解决和对知识的深层理解．最基本的方法是列表描点法， 其次还要注意充分挖掘题目中的隐含条件，根据平移关系或 对称性作图，能够提高作图的速度和准确性． (1)描点法：取有限个自变量的值，对应求出函数值，每 一组数据对应一个点，描出这些点，用光滑的曲线连接各 点．其步骤为列表、描点、连线．对于一些未知图像的函数， 此法是一种常用方法．
(3)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
2 a ＝4， ∴ ab＋b＝3，
a＝2， 解得 b＝1，
a＝－2， 或 b＝－3.
故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
[解析]
(1)∵f(1－x)＝x2－3x＋2＝(1－x)2＋1－x，
∴f(x)＝x2＋x. (2)令 x＋1＝t，则 t≥1.即 x＝(t－1)2. 则 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)． (3)∵f(0)＝c＝0， ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c ＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，
[方法总结] 判断两变量是否具有函数关系， 应以定义判
定，即从函数的基本特征入手．
某城市在某一年里各月份毛线的零售量 (单位：百公斤 ) 如下表所示： 月份 t 零售量 y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
高中数学第2章函数22.2函数的表示法课件北师大版必修第一册
类型 1 函数的表示法 【例 1】 某商场新进了 10 台彩电，每台售价 3 000 元，试求售 出台数 x 与收款数 y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析 法表示出来．
[解] (1)列表法：
x/台
1
2
y/元 3 000
6 000
x/台
6
7
y/元 18 000 21 000
3 9 000
[答案] [－1,0)∪(0,2] [－1,1)
2.若反比例函数 f(x)满足 f(3)＝－6，则 f(x)的解析式为 ________．
[答案] f(x)＝－1x8
知识点 2 分段函数 (1)分段函数 如果函数 y＝f(x)，x∈A，根据自变量 x 在 A 中不同的取值范围， 有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数． (2)分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标 系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象 的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象．
2a＝2，
∴2b＝－4， 2a＋2c＝0，
a＝1，
∴b＝－2， c＝－1，
∴f(x)＝x2－2x－1.
待定系数法求函数解析式 已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出 f(x)的解 析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数， 进而求出函数解析式．
利用换元法(配凑法)求函数解析式 【例 4】 求下列函数的解析式： (1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)； (2)已知 f(x＋2)＝2x＋3，求 f(x)．
6．已知函数 f(x)＝xx2＋－64，x＋x<60，，x≥0， 则不等式 f(x)>f(1)的解集 是________．
北师大版高中数学课件第二章 2.2 第1课时 函数的表示法
∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,
2 = 2,
即 2ax+a+b=2x,由恒等式的性质,得
+ = 0,
= 1,
∴
= -1.
∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得
得到函数y=f(x)+a的图象.
2.对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我
(3)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可
用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而
求出f(x).
(4)消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有
着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的
四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口
向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)=
k
(k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象
x
是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第
二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
名师点析 从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但
解(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
2 = 2,
即 2ax+a+b=2x,由恒等式的性质,得
+ = 0,
= 1,
∴
= -1.
∴所求一元二次函数为f(x)=x2-x+1.
(3)∵对于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,
∴将x替换为-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,联立方程组消去f(-x),可得
得到函数y=f(x)+a的图象.
2.对称变换
函数y=f(x)的图象与y=f(-x),y=-f(x)及y=-f(-x)的图象又有怎样的关系呢?我
(3)换元法(有时可用“配凑法”):已知函数f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可
用换元法(或“配凑法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),从而
求出f(x).
(4)消元法:在已知式子中,含有关于两个不同变量的函数,而这两个变量有
着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的
四象限的直线;③一元二次函数的图象,如f(x)=2x2-x+1的图象是一条开口
向上的抛物线;④对于反比例函数f(x)=
k
(k≠0,且k为常数),当k>0时,其图象
x
是在第一、三象限内,以原点为对称中心的双曲线,当k<0时,其图象是在第
二、四象限内,以原点为对称中心的双曲线.
名师点析 从理论上来说,要作出一个函数的图象,只需描出所有点即可.但
解(1)∵f(x)为一次函数,
∴可设f(x)=ax+b(a≠0).
【数学】2.2.2《函数表示法》课件(北师必修1)
问题探究
3. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
当x在(0,+∞)变化时，这个函数关系你能用式子表示吗?
解析法有两个优点：一是简明、精确地概 括了变量间的关系；二是可以通过解析式 求出任意一个自变量的值所对应的函数 值．中学阶段所研究的主要是能够用解析 式表示的函数．
问题探究
4. 国内跨省市之间邮寄信函,每封 信函的质量和对应的邮资如下表:
信函质量(m)/g 0 m 2 0 邮资(M)/元
2 0 m 4 0 4 0 m 6 0 60 m 80 8 0 m 1 0 0
1.20
2.40
3.60
4.80
6.00
请画出图像,并写出函数的解析式.
10
O
v 30
质点的速度.
10
20
30
t
t+10, (0 ≤ t<5)
解 解析式为v (t)=
3t, (5 ≤ t＜10)
30, ( 10 ≤t ＜20) -3t+90,(20 ≤ t≤30)
t=9s时,v(9)=3×9=27 (cm/s)
小结： 1.函数图像可以是一些点或线段。 2.分段函数是一个函数，自变量在 不同的范围内时，函数的对应法则 不同（每段解析式不同）。
问题探究
1. 下表列出的是正方形面积变化情况.
边长x米 面积y 米2
1 1
1.5 2.25
2 4
2.5 6.25
3 9
这份表格表示的是函数关系吗?
列表法的优点：不需要计算就可以直接看 出与自变量的值相对应的函数值，简洁明 了．列表法在实际生产和生活中也有广泛 应用．如成绩表、银行的利率表等．
高中数学 第2章 §2 2.2 函数的表示法优质课件 北师大版必修1
第十二页，共23页。
例3.某质点在30s内运动速度v是时间t的函数,它的图 像(tú xiànɡ)如图.用解析法表示出这个函数, 并求 出9 s时质点的速度.
v/（cm/s） 30 25 20 15 10
5 O 5 10 15 20 25 30 t/s
第十三页，共23页。
解： 速度是时间的 函数，解析式为v(t)=
5
．．．.
．
O 12345
x/本
第十八页，共23页。
3.某市空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里(ɡōnɡ lǐ)以内(含5公里(ɡōnɡ lǐ))，票 价2元； （2）5公里(ɡōnɡ lǐ)以上，每增加5公里(ɡōnɡ lǐ)， 票价增加1元（不足5公里(ɡōnɡ lǐ)的按5公里(ɡōnɡ lǐ)计算）.
第十五页，共23页。
3x2 （4 x>0)
1.若函数(hánshù)f（(xx）=0)
（0））=
0(x 0)
则f（f
.
解：f（0）= ， 32 4
则f（f（0））=f（ ）=
.
答案：3π2-4
第十六页，共23页。
2.某种笔记本的单价是5元，买x
x 1,2,3本,4,笔5记 本需要多
少元？试用函数的三种(sān zhǒnபைடு நூலகம்)表示方法表示此函数.
（强度 (qiángdù)）
（时间 (shíjiān)）
第六页，共23页。
像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方 法，称为图像法. 特点(tèdiǎn)：图像法可以直观地表示函数的局部变 化规律，进而可以预测它的整体趋势.
第七页，共23页。
3.解析法 一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式（简称解 析式）表示出来，这种方法称为解析法. 例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y是x的函数，用 解析法表示为
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(3)消元法(或解方程组法)：在已知式子中，含有关 于两个不同变量的函数，而这两个变量有着某种关系， 这时就要依据两个变量的关系，建立一个新的关于这两 个变量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程组 消去一个变量，得到目标变量的解析式，这种方法叫做 消元法(或解方程组法)．
[活学活用]
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于 x f(x) A.1 C．3 1≤x＜2 1 2 2 B． 2 D．不存在 2＜x≤4 3
(
)
答案：C
3.函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的定义 域是________，值域是________．
答案：[－1,2) (－1,1]
x＋1，x≤1， 4．已知函数f(算就能知道两个变量之间的对应关 系，比较直观．但是，它只能表示有限个元素间的函数关系． (2)图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以 预测它的整体趋势． (3)解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究 函数性质．但是，一些实际问题很难找到它的解析式．
2．2
函数的表示法
预习课本P28～31，思考并完成以下问题
1．函数的表示方法有哪几种方法？
2．什么样的函数是分段函数？
[新知初探]
1．函数的三种表示方法 函数的表示方法通常有三种，它们分别是列表法、图像法和解析 法． (1)列表法：用 表格 的形式表示两个变量之间函数关系的方法． (2)图像法：用 图像 把两个变量间的函数关系表示出来的方法． (3)解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 _______ (简称解析式)表示出来，这种方法称为解析法．
(2)法一(配凑法)： ∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二(换元法)： 令 x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(
)
|x| 解析：选C 对于y＝x＋ x ， 当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
x＋1，x>0， 即y＝ x－1，x<0，
故其图像应为C.
求函数的解析式
[典例] 求函数的解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f( x＋1)＝x＋2 x，求f(x)；
则f
5 f ＝________. 2
解析：f f
5 5 1 ＝－ ＋3＝ ， 2 2 2
5 1 1 3 f ＝f ＝ ＋1＝ . 2 2 2 2
3 答案： 2
5．已知f(x)是一次函数，且其图像过点A(－2,0)，B(1,5) 两点，则f(x)的解析式为________．
2．分段函数 有些函数在其定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间， 有着不同的 对应关系 ，这样的函数称为分段函数．
[点睛]
分段函数是一个函数，而不是几个函数．
[小试身手]
1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打×”． (1)任何一个函数都可以用解析法表示． ( × )
(2)分段函数各段上的对应关系不同，因此分段函数是由几个 不同函数构成的． (3)分段函数分几段，其图像就有相应的几段． (4)分段函数的定义域部分可以有公共部分． ( ×) ( √) ( ×)
求函数解析式的常用方法： (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求 解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程 (组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式． (2)换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析 式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t， 反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x)．
解析：据题意设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
－2a＋b＝0， 又图像过点A(－2,0)，B(1,5)．∴ a＋b＝5，
5 10 5 10 解得a＝ ，b＝ .∴f(x)＝ x＋ . 3 3 3 3 5 10 答案：f(x)＝ x＋ 3 3
函数图像的画法
[典例]
作出下列函数的图像．
(1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
1 1 (3)(消元法)∵f(x)＋2fx＝x，令x代换x的值，
得f
1 x
1 1 ＋2f(x)＝ x .于是得关于f(x)与f x 的方程组
1 ＝x， fx＋2f x f1＋2fx＝1. x x
2 x 解得f(x)＝ － (x≠0)． 3x 3
1 (3)已知2fx＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．
[解]
(1)(待定系数法)设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
2 k ＝9， ∴ kb＋b＝4.
解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
[解]
(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直
线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图 ①所示为函数图像的一部分；
(2)∵0≤x<3，∴这个函数的图像是抛物线y＝2x2－4x－ 3介于0≤x<3之间的一段曲线，且y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－ 5，当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3，如图②所示．
(1)图像法是表示函数的方法之一，画函数图像时， 以定义域、对应关系为依据，采用列表、描点法作 图．当已知解析式是一次或二次式时，可借助一次函数 或二次函数的图像帮助作图． (2)作图像时，应标出某些关键点．例如，图像的顶 点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实 心点，还是空心点．
[活学活用] |x| 函数y＝x＋ x 的图像是