河南省信阳市普通2018届高中高三第二次教学质量检测数学(理)试卷(含答案)

信阳市2017—2018学年普通高中高三第二次教学质量检测
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并帖好条形码。

请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

第Ⅰ卷 （满分60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M ＝{x ｜x ＜2}，N ＝{x ｜2x －x ＜0}，则下列关系中正确的是
A ．M ∪N ＝R
B ．M ∪（
C R N ）＝R C ．N ∪（C
R M ）＝R D ．M ∩N ＝M
2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为 A ．
54钱 B ．53钱 C ．32钱 D ．43
钱 3．下面是关于复数z ＝21i i －－的四个命题：p 1：｜z ｜＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1．其中的真命题为
A ．p 1，p 2
B ．p 2，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 3，p 4
4．已知定义在R 上的函数f （x ）＝313ax ＋2x ＋ax ＋1有三个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是
A ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
B ．[－1，0）∪（0，1]
C ．（－1，1）
D ．（－1，0）∪（0，1）
5．若偶函数f （x ）在区间（－∞，0]上单调递减，且f （3）＝0，则不等式（x －1）f （x ）＞0的解集是
A ．（－3，1）∪（3，＋∞）
B ．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C ．（－∞，－3）∪（3，＋∞）
D ．（－∞，－1）∪（3，＋∞）
6．25(2)x x
＋1的展开式的常数项为 A ．5 B ．－10 C ．－32
D ．－
42
7．某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图1所
示，若这组数据的平均数是20，则1a ＋9b 的最小值为 A ．1 B ．32 C ．2 D ．52 8．若输出的S 的值等于22，那么在如图2所示的程序框图中的判断框内应
填写的条件是
A ．i ＞5
B ．i ＞6
C ．i ＞7
D ．i ＞8
9．要得到函数f （x ）＝cos （2x ＋
3π）的图象，只需将函数g （x ）＝ sin （2x ＋3
π）的图象 A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2
π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4
π个单位长度 10．过抛物线2y ＝4x 的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若1AF －1BF ＝12
，则 直线l 的倾斜角θ（0＜θ＜
2π）等于 A ．2π B ．3π C ．4π D ．6
π 11．设x ，y ，z 为正实数，且2log x ＝3log y ＝5log z ＞0，则2x ，3y ，5
z 的大小关系不可是 A ．2x ＜3y ＜5z B ．2x ＝3y ＝5z C ．3y ＜2x ＜5
z D ．5z ＜3y ＜2x
12．如图3，将一半径为2的半圆形纸板裁剪成等腰梯形
ABCD 的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端
点在圆周上，则所得梯形面积的最大值为
A ．5
B ．3
C ．5
D ．3
第Ⅱ卷（满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13．已知向量a，b的夹角为60°，且｜a｜＝1，｜2a－b｜＝3，则｜b｜＝__________．
14．某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐4吨、硝酸盐18吨；生产一车皮乙种肥料需要磷酸盐1吨、硝酸盐15吨．已知生产一车皮甲种肥料产生的利润是10万元，生产一车皮乙种肥料产生的利润是5万元．现库存磷酸盐10吨、硝酸盐66吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是____________万元．
15．过双曲线
22
22
1
x y
a b
－＝（a＞0，b＞0）的左焦点F（－c，0）作圆222
x y a
＋＝的切线，切点为E，
延长FE交抛物线2y＝4cx于点P，O为坐标原点，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为
_____________．
16．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，AB＝1，∠D＝150°，则四边形ABCD面积的取值范围是_____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（本小题满分12分）
已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足：（a＋b＋c）（sinB＋sinC－
sinA）＝bsinC．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值．
18．（本小题满分12分）
为了调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80位性别不同的2017年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过5％的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”?
（Ⅱ）求这80位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；
（Ⅲ）以（Ⅱ）中的频率作为概率．该校近几年毕业生的2000名师范类大学生中随机选取4名，记这4名毕业生从事与教育有关的人数为X，求X的数学期望E（X）．
19．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且a 1＝2，2n S ＝2
(1)n ＋n a －21n n a ＋，数列{n b }满足 b 1＝a 1，n 1n b ＋＝n a n b ．
（Ⅰ）求数列{ n a }和{n b }的通项公式；
（Ⅱ）若数列{n c }满足n c ＝n a ＋n b （n ∈N ﹡），求数列{n c }的前n 项和n T ．
20．（本小题满分12分）
已知直线l 与椭圆C ：22
221y x a b
＋＝（a ＞b ＞0）交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，又m ＝（ax 1，by 1），n ＝（ax 2，by 2），若m ⊥n 且椭圆的离心率e 3，又椭圆经过点 （32
，1），O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问△AOB 的面积是否为定值?
21．（本小题满分12分）
已知函数f （x ）＝24x ＋1x
－a ，g （x ）＝f （x ）＋b ，其中a ，b 为常数． （Ⅰ）若x ＝1是函数y ＝xf （x ）的一个极值点，求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处
的切线方程；
（Ⅱ）若函数f （x ）有2个零点，f （g （x ））有6个零点，求a ＋b 的取值范围．
选考题：共10分。

请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为
1
2
2
x
y
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
＝－＋，
＝
（其中t为参数），曲线C1：22
cos
ρθ＋22
3sin
ρθ－
3＝0，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C1的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线C1上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最大?若存在，求出距离的最大值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x－5｜—｜x－2｜．
（Ⅰ）若x∃∈R，使得f（x）≤m成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）解不等式2x－8x＋15＋f（x）≤0．。