2019-2020年高三12月联考文数试卷 含解析

2019-2020年高三12月联考文数试卷含解析一、选择题：共12题1．已知全集,集合,则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查集合的基本运算.,则.2．设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查复数的四则运算、纯虚数. 复数为纯虚数,所以，所以a=2.3．已知,则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数关系式.4．若正方形边长为为边上任意一点,则的长度大于的概率等于A. B. C. D.【解析】本题主要考查几何概型.如图所示，当M、N分别是BC、DC的中点，且|AM|=|AN|=,当点E在折线段MCN上时，的长度大于，所以的长度大于的概率等于5．某几何体的三视图如图所示,则此几何体的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、球的表面积与体积，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.由三视图可知，该几何体是由一个长、宽、高分别为3,2,2的长方体截下的一个三棱锥，所以该几何体的外接球的直径的平方(2R)2=17,所以此几何体的外接球的表面积为6．已知命题,命题,则下列命题中为真命题的是A. B. C. D.【解析】本题主要考查全称命题与特称命题、逻辑联结词，考查了逻辑推理能力.令x=4，则，故命题p是假命题；当时，成立，故命题q是真命题，因此是假命题，所以答案为B.7．执行如图所示的程序框图,若输出的值为,则判断框内可填入的条件是A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查当型循环结构程序框图，考查了逻辑推理能力.运行程序：k=10，S=1;S=,k=11;S=,k=12;S=,k=13;S=,k=14;S=,k=15;S=,k=16,此时不满足条件，循环结束，输出k=16，所以判断框内可填入条件是8．若实数满足则只在点处取得最大值,则的取值范围为A. B.C. D.【答案】D【解析】本题主要考查线性规划问题，考查了数形结合思想与逻辑失推理能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，只在点处取得最大值,当a>0时，由目标函数z与直线在y轴上的截距之间的关系可知，,则0<a<1(如图中红线)；当a<0时，由目标函数z与直线在y 轴上的截距之间的关系可知，只在点处取得最大值(如图中蓝线)；当a=0时，满足题意，因此，的取值范围是9．如图,在三棱锥中,,平面平面是的中点,则与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查线面、面面垂直的判定与性质、异面直线所成的角，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.取AD的中点F，因为是的中点,所以EF//AC,则是与所成的角或补角，令，则AC=，EF=，由面面垂直的性质定理易得，则BE=，又BF=，在三角形BEF中，由余弦定理可得10．已知,函数在上单调递减,则的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力.因为，所以，因为函数在上单调递减,所以由正弦函数的单调性可得,即,当k=0时可得的取值范围是11．已知偶函数的定义域为,且是奇函数,则下面结论一定成立的是A.是偶函数B.是非奇非偶函数C. D.是奇函数【答案】D【解析】本题主要考查函数的图像与性质，考查了逻辑推理能力.因为偶函数的定义域为,所以函数的图像关于直线x=0对称，又因为是奇函数,所以函数的图像关于点对称，所以函数的对称轴为x=2n，n是整数，对称点为(2n+1,0),n是整数，则(3,0)是函数图像的对称点，将函数的图像向左平移3个单位可得函数，即对称点为(0,0),所以函数是奇函数，故答案为D.12．数列满足,则的前项和为A. B. C. D.【答案】C【解析】本题主要考查递推公式的应用、数列求和、等差数列求和，考查了逻辑推理能力与计算能力.，，，，，，，，，，所以，，，，，，，所以的前项和为二、填空题：共4题13．已知向量,向量的夹角为,则等于__________.【答案】【解析】本题主要考查平面向量的坐标表示与数量积，考查了计算能力.因为，向量的夹角为,所以14．若,则的最小值是__________.【答案】【解析】本题主要考查基本不等式、对数的运算性质，考查了计算能力.由可得2xy=1，且x、y均为正数，则，当且仅当，即时，等号成立.15．在中,．若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率为__________.【答案】【解析】本题主要考查椭圆的定义与性质、余弦定理，考查了逻辑推理能力与计算能力.令,由题意可得2c=4,由余弦定理可得,所以2a=，则该椭圆的离心率16．已知奇函数是定义在上的连续函数,满足,且在上的导函数,则不等式的解集为__________. 【答案】【解析】本题主要考查导数、函数的性质，考查了转化思想与逻辑推理能力.令，因为奇函数是定义在上的连续函数,所以函数是定义在上的连续函数,则,所以函数在上是减函数，又，所以不等式的解集为三、解答题：共7题17．在等差数列中,,其前项和为,若为公差是的等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列,求数列的前项和．【答案】(Ⅰ)设的公差为,由,.当时,(Ⅱ)由(Ⅰ)知:.)【解析】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查了裂项相消法与计算能力.(1) 设的公差为,由题意得出通项公式，再利用等差数列的前项和公式，化简可得，由为公差是的等差数列，即可求出d，则可得结论；(2) 由(Ⅰ)知:，利用裂项相消法求和即可.18．如图,在四边形中,,将沿折起,得到三棱锥为的中点,为的中点,点在线段上,满足．(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若,求点到平面的距离.【答案】(Ⅰ)过点作的平行线,交直线于点,过点作的平行线,交直线于点,因为,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,且平面平面,所以平面.(Ⅱ)因为,所以,且,所以平面.由:,,所求点到平面的距离.【解析】本题主要考查折叠问题、线面、面面平行与垂直的判定与性质、点到平面的距离、空间几何体的体积，考查了转化思想、逻辑推理能力与空间想象能力.(1) 过点作的平行线,交直线于点,过点作的平行线,交直线于点,根据题意，证明四边形为平行四边形,则结论易得；(2)易证平面，由求解易得结论.19．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施,对全校学生家长进行了问卷调查.根据从其中随机抽取的份调查问卷,得到了如下的列联表:已知在抽取的份调查问卷中随机抽取一份,抽到不同意限定区域停车问卷的概率为．(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整;(Ⅱ)是否有的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关?请说明理由;(Ⅲ)学校计划在同意限定区域停车的家长中,按照性别分层抽样选取人,在上学、放学期间在学校门口维持秩序．已知在抽取的男性家长中,恰有位日常开车接送孩子．现从抽取的男性家长中再选取人召开座谈会,求这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率．附临界值表及参考公式:,其中.【答案】(Ⅰ)列联表补充如下:(Ⅱ)因为,所以我们有的把握认为是否同意限定区域停车与家长的性别有关.(Ⅲ)男性家长人数,女性家长人数,所以,按照性别分层抽样,需从男性家长中选取人,女性家长中选取人.记位男性家长中不开车的为,开车的为.则从人中抽取人,有,共有种,其中至少有一人日常开车接送孩子的有,共种.则这两人中至少有一人日常开车接送孩子的概率为.【解析】本题主要考查独立性检验及其应用、古典概型、分层抽样，考查了分析问题与解决问题的能力.(1)由在抽取的份调查问卷中随机抽取一份,抽到不同意限定区域停车问卷的概率为，即可得出结论；(2)将表中的数据代入公式求出k2的观测值，再对照临界值表，即可得出结论；(3)由题意可知，按照性别分层抽样,需从男性家长中选取人,女性家长中选取人，记位男性家长中不开车的为,开车的为，从人中抽取人,列出所有的基本事件，再从中找出所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式求解即可.20．已知抛物线,过动点作抛物线的两条切线,切点分别为,且.(Ⅰ)求点的轨迹方程;(Ⅱ)试问直线是否恒过定点?若恒过定点,请求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.【答案】(Ⅰ)设,则直线,代入抛物线方程:,因为直线与抛物线相切,所以,同理,有,所以分别为方程:的两个不同的实数根,,所以,所以点的轨迹方程为.(Ⅱ)设,由,所以抛物线在点的切线方程分别为,又都过点,所以所以直线的方程为,所以直线恒过定点.【解析】本题主要考查抛物线的方程与性质、导数的几何意义、直线方程、点的轨迹方程，考查了方程思想与逻辑推理能力.(1) 设,则直线,代入抛物线方程，由直线与抛物线相切可得,同理可得,则分别为方程:的两个不同的实数根, 结论易得；(2) 设,由导数可得过两点的切线方程, 又都过点,则直线AB的方程为,则可得结论.21．已知函数(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若函数存在两个极值点,且,若恒成立,求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ),令,对应,若,即时,,此时函数在上单调递增.若时,即或时,当时,对应方程的根分别为,且由根与系数的关系可知:所以两根均为负数,此时函数在上单调递增.当时,对应方程的两根均为正数,且,此时函数在上单调递增,上单调递减,上单调递增.综上:当时,在上单调递增,当时,在上单调递增;在上单调递减;在上单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,若函数有两个极值点,则,且即:,解得.,.,即函数在上单调递增,,即．综上可得:.【解析】本题主要考查导数、函数的性质与极点，考查了恒成立问题、分类讨论思想与转化思想、逻辑推理能力与计算能力.(1), 令,分、两种情况讨论求解即可；(2)由(Ⅰ)知,若函数有两个极值点,则,由易得，,求导，判断函数的单调性，并求出最大值，即可得出结论.22．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数)若以坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为).(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)将曲线向下平移)个单位后得到的曲线恰与曲线有两个公共点,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)由已知,得),.(Ⅱ)将曲线向下平移)个单位后得到的曲线对应方程为,则当直线与圆相切时,,即,又直线恰过点时,,结合图象,可得.【解析】本题主要考查参数方程与极坐标，考查了参直与极直互化、图像变换、点到直线的距离公式.(1)消去参数可得曲线的普通方程)；由题意易得曲线的直角坐标方程；(2) 将曲线向下平移)个单位后得到的曲线对应方程为, 当直线与圆相切时,,求解，结合图象,可得结论.23．设函数.(Ⅰ)求函数的最小值;(Ⅱ)若有解,求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)由不等式的性质,可得,所以当且仅当时函数的最小值为.(Ⅱ)又函数恒过定点,结合函数图象,可得或.【解析】本题主要考查含绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式，考查了逻辑推理能力.(1)利用绝对值三角不等式求解即可；(2)恒过定点, 结合函数图象,可得结论.。