例谈辅助函数的构造方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
大学微积分l知识点总结(一)
大学微积分l知识点总结【第一部分】大学阶段准备知识1、不等式：引申双向不等式：两侧均在ab≥0或ab≤0时取等号柯西不等式：设a1、a2、。
.。
a n,b1、b2、。
.b n均是实数，则有：2、函数周期性和对称性的常用结论1、若f（x+a）=±f（x+b）,则f（x)具有周期性;若f(a+x）=±f(b-x)，则f （x)具有对称性。
口诀：“内同表示周期性,内反表示对称性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），则T=|b—a|（2）若f（x+a）=-f（b+x)，则T=2｜b—a｜（3）若f（x+a)=±1/f（x）,则T=2a（4)若f（x+a）=【1—f（x）】/【1+f（x）】,则T=2a（5）若f（x+a)=【1+f（x）】/【1—f（x）】，则T=4a3、对称性（1）若f（a+x）=f（b-x），则f（x）的对称轴为x=（a+b)/2（2）若f(a+x)=—f（b—x)+c，则f(x）的图像关于（（a+b）/2,c/2）对称4、函数图象同时具备两种对称性，即两条对称轴,两个对称中心，一条对称轴和一个对称中心,则函数必定为周期函数，反之亦然。
(1)若f(x）的图像有两条对称轴x=a和x=b，则f（x）必定为周期函数，其中一个周期为2|b-a｜。
(2）若f （x ）的图像有两个对称中心（a ，0）和（b,0）,（a ≠b)，则f （x ）必定为周期函数,其中一个周期为2|b —a ｜。
（3)若f （x ）的图像有一个对称轴x=a 和一个对称中心（b ，0），（a ≠b ），则f(x)必定为周期函数，其中一个周期为4|b —a|。
3、三角函数倒数关系： 商的关系: 平方关系：平常针对不同条件的两个常用公式: 一个特殊公式: 二倍角公式： 半角公式： 三倍角公式： 万能公式： 两角和公式： 和差化积公式: 积化和差公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限4、数学归纳法数学上证明与自然数N 有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题,在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
例谈中值定理应用中辅助函数的引入
积 分 的 方 法 ． 中 值 定 理 往 往 是 在 学 生 刚 学 完 导 数 而 之 后 ， 定 积 分 还 没 有 接 触 ， 础 知 识 不 多 ， 方 法 不 基 对
的理解 不 深 ， 常 是死 记 公式 ， 时 还 会 张冠 李 戴 ， 常 有
（ ６一 ａ） （ ｆ ｚ）一 厂（ ） ，（ ）一 ０ ６ ＋ Ⅱ ，
定 理来 证 明 的） 因此本 文 主要讨 论使 用 罗尔定 理证 ，
明时 的辅 助 函数 的引入 问题 ．
一
般 情 况 下 ， 用 中 值 定 理 证 明 的 问 题 有 如 下 可
于 是 可 设 辅 助 函 数 为
１ 拉 格 朗 日定 理 和 柯 西定 理 的 证 明
拉格 朗 日中值定 理［ 。
内至少存 在一 点 ， 使成 立
因此在 使用 上 受到 很 大 限 制． 文 从 学 生 的 实 际 出 本 发 ， 出常 用 的几种 引 人辅 助 函数 的方法 ． 给 用 拉格 朗 日中值定 理 和柯 西 中值 定 理能证 明 的
Ａ ｓ ａｔ Ｆ ｃｏ ｉ ｔ ｎ ｏ （ ） 一 ． ｂｔ ｃ： ａ ｔｒ ａｉ ｆ厂 ｚ ｒ ｚ ｏ ２ ７ ＋ １ ｎ ｒｔ ｎ ｌｆ ｌ ｚ ｌ ｄ ｏ ｈ ｏｌｗｉｇ ｉ ａｉ ａ ｉ ｄ Ｑ［ ］ ｅ ｓ ｔ ｔｅ ｆｌ ｎ ｏ ｅ ａ ｏ
由罗尔 定理 可知 在 （ ，）内至 少存 在一 点 ， ｎ６ 使 Ｆ （）一 （ 一 ｎ ／（） ， ６ ＋ ， 口 ６ ） 一 （） （ ）一 ０ ，
也 即
收 稿 日期 ： ０ ９一 Ｏ — ０ ｌ 改 日期 ： ０ ０ １ ２０ ９ ４修 ２ １ — Ｏ— Ｏ ． ５
例谈运用设辅助元法解题的步骤
考点透视辅助元法即换元法，是指引入一个或几个新变量来代替代数式中的某些量或式子，通过等量代换来解题.在解答较为复杂的代数问题时，引入辅助元，可以把一些分散的条件逐一联系起来，也可以把隐藏的条件显示出来，还可以将一些陌生的、未知的式子转变为熟悉的、已知的形式，从而达到化难为易、化繁为简的目的.一般地，运用辅助元法解题的基本步骤为：（1）将问题中的某个式子或几个式子看成一个整体；（2）引入一个新元替换这些式子，以将代数式简化；（3）将问题转化为关于新元的函数问题、不等式问题、方程问题、求值问题来求解；（4）将所得的结果代入原来的式子中，求出原变量的值或者范围.在换元的过程中，一定要注意新元的约束条件，可适当地补充一些条件，以使新元的取值范围满足旧元的取值范围.例1.解方程：(8-x )23+(x +27)23=(x +27)(8-x )3+7.解：设u =8-x 3，v =x +273，则u 3+v 3=35，由题意可得u 2+v 2=uv +7，即u 2-uv +v 2=7，从而可得u +v =u 3+v 3u 2-uv +v 2=357=5，而uv =13[](u +v )2-(u 2-uv +v 2)=13×(52-7)=6，则u ，v 是方程y 2-5y +6=0的两个根，解得y 1=2，y 2=3；当u =2，v =3时，x 1=0；当u =3，v =2时，x 2=-19；经检验，x 1=0，x 2=-19都符合原方程，所以原方程的解是x 1=0，x 2=-19.仔细观察方程，可注意到8-x 3和x +273的立方和为常数，于是引入辅助元，设u =8-x 3，v =x +273，并得到uv 、u +v 的值，即可根据韦达定理，构造出方程y 2-5y +6=0，通过解方程求得方程的根.在解答复杂的代数问题时，同学们需仔细观察代数式的结构特点，将其进行适当的变形，挖掘其中的隐含条件，合理设出辅助元，以简化计算.例2.已知函数f (x )=x 2+ax +1x2+ax +b (x ≠0,x ∈R)，若方程f (x )=0有实数根，求a 2+b 2的最小值.解：由f (x )=x 2+ax +1x2+ax +b 可得：f (x )=(x 2+1x2)+a (x +1x )+b =(x +1x )2+a (x +1x )+b -2,令t =x +1x，则f (x )=t 2+at +b -2=0，即ta +b +t 2-2=0.设点P (a ，b )为直线l ：ta +b +t 2-2=0上的一点，则||OP 2=a 2+b 2，设原点(0，0)到直线l 的距离为d ，则a 2+b 2≥d 2=(t 2-2)2t 2+1=(t 2+1)+9t 2+1-6；令u =t 2+1，则u =(x +1x )2+1≥5（当且仅当x =1x 时等号成立），由于y =u +9u-6在[)5,+∞上单调递增，故当u =5时，函数y =u +9u -6取得最小值5+95-6=45，即a 2+b 2的最小值为45.本题中的函数式较为复杂，仔细观察可发现x 2+1x2与x +1x 之间存在一定的联系：(x +1x )2=x 2+1x2+2，于是令t =x +1x ，将方程f (x )=0化为ta +b +t 2-2=0.再将ta +b +t 2-2=0看作一条直线，将目标式看作一条线段的长度的平方，根据点到直线的距离公式确定||OP 取得最小值的情形，并建立关系式.而该式较为复杂，需再次设辅助元，令u =t 2+1，将目标式化为关于u 的函数式，根据对勾函数的单调性求得最值.总的来说，辅助元法是比较常用的一种方法，常用于解答方程、不等式、函数、数列、向量等代数问题.运用辅助元法解题，要注意：（1）选取合适的式子进行换元；（2）明确换元的目的，即简化代数式；（3）确保换元前后新旧元的等价性.（作者单位：江苏省南通大学附属中学）朱振华34Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
浅谈辅助函数的构造及其应用
浅谈辅助函数的构造及其应用[摘要] 在对数学命题的观察和分析的基础上，通过一些数学问题的证明，给出了构造辅助函数的方法．讨论了辅助函数在证明过程中的应用及辅助函数在数学分析中的重要性和应用的广泛性．[关键词] 中值定理；辅助函数；应用一、 辅助函数方法的构造利用辅助函数解数学问题，是高等数学中常用的方法之一，尤其在解证明题的过程中，如果能用好辅助函数，则能起到事半功倍的效果，但恰当的辅助函数并不容易找到．通过几道题来说明构造辅助函数的几种方法．1“按图索骥”法例1 证明21()>+n n y x ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2()1,,0,0>≠>>n y x y x证明 因为所要证明的不等式中，多次出现n t 这样的表达式，联想到凹函数的定义，不难发现应考虑辅助函数()()0>=t t t f n ， 由于'f()1-=n nt t ，()()012''>-=-n t n n t f ，故()t f 是凹函数，从而当y x y x ≠>>,0,0时，有()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+22y x f y f x f 即 ()nn n y x y x ⎪⎭⎫⎝⎛+>+2212“逆向思维”法例2 设()x f 在[]1,0上可微，且满足()()dx x xf f ⎰=2121，证明在[]1,0内至少有一点,θ使()()'f f θθθ=-．证明：有所要证明的结论出发，结合已知条件，探索恰当的辅助函数．将()()'f f θθθ=-变形为()()'0f f θθθ+=，联想到()[]()()θθθθ''f f x xf x +==可考虑辅助函数()()[]1,0,∈=x x xf x F因为()()dx x xf f ⎰=21021，由积分中值定理可知，至少存在一点⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0ξ，使得()().1ξξf f =而对于()x F ，有()()()()11,f F f F ==ξξθ，所以()()1F F =ξ 由Rolle 定理知，至少存在一点()1,ξθ∈，使(),0'=θF 即()()θθθf f ='3“图象”法例 3 设()x f 在()b a ,内二阶可导，且证明对于()b a ,内任意两点1x ，2x 及10≤≤t ，有证明 因(),0''≥x f 所以()x f 是凹函数，不妨做出()x f 的粗图，设x 是位于1x ，2x 之间的任意一点，则x 可表示为x =()211tx x t +-，.10≤≤t 由图象上可看出，经过()x f 上两点()()()()2211,,,x f x x f x 的弦上任一点都位于函数()x f 的图象上方，故可考虑函数()()()211x tf x f t y +-=，其中21121,x x x x x x x t ≤≤--=，由于y 位于函数()x f 的上方，所以有()21,x x x x f y ≤≤≥即 ()()()()x f x tf x f t y ≥+-=211， 即证得 ()[]()()()212111x tf x f t tx x t f +-≤+- 4“化常量为变量”法例4 设()x f 在[]1,0上连续，证明 ()()()()310110161⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰dt t f dz z f y f x f dy dx证明 将等式右边的积分上限1变为x ，作辅助函数()()⎰=xdt t f x F 0则有 ()()()()()x f x F F dt t f F ===⎰1',00,1，即()x F 是()x f 的原函数()()()()()()dy z F y f dx x f dz z f y f x f dy dx xy x⎰⎰⎰⎰⎰=101101010=()()[]()()()[]()[]()31033210611610161121⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-⎰⎰dt t f F F F x dF x F F 5“旁征博引”法例5 证明对任意的数c b a ,,有52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc证明 这一类问题找辅助函数最困难，因为所求问题与辅助函数表面上的联系不多，须见多识广，经验丰富．因为c b a ,,是正数，所以可令222,,z c y b x a ===，则不等式变为5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x ，将该不等式两边同时取对数，有5222222527ln ln 3ln ln ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤++z y x z y x ，故考虑作辅助函数，()z y x z y x F ln 3ln ln ,,++=，我们首先求函数()z y x F ,,在球面22225R z y x =++上的极大值()0,0,0>>>z y x ，解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++=+==+==+=05023'021'021'2222R z y x z z F y yF x x F zy x λλλ 得R z R y R x 3,,===，所以()z y x F ,,的极大值是()533ln 3ln 3ln ln R R R R =++即 25225353333ln ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=≤zy x R xyz 两边平方得 5222622527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x z y x令 c z b y a x ===222,,，即得52223527⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≤z y x abc6 “几何变形（面积）”法例6 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明：至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -=-ξ'证明：设曲线()x f 上的动点()()x f x M ,，则以M ，A ，B 为顶点的三角形面积()()()()11121b f b a f a x f xx S ±= 可取辅助函数为：()()()()111b f ba f ax f xx G = 显然 ()()()x G b G a G ,0==在[]b a ,上满足罗尔定理条件，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0'=ξG ，()()()()a b f a f b f -=-ξ'综上所述，作辅助函数是求解数学问题的方法之一，有时可以利用逆向思维法，几何法，图象法等可构造辅助函数，从而使问题迎刃而解．二、辅助函数在数学解题中的应用辅助函数法是数学分析中解决问题的一种重要方法．通过作辅助函数，不仅反映了事物内部的数量特征和制约关系，揭示了其内在的联系，而且在处理和解决问题时常用此法，并在现代数学理论中发挥着重要作用．数学分析中许多理论问题的解决都涉及到作辅助函数的方法．某些很复杂的问题构造一个适当的辅助函数，能使问题变得非常简单．具体体现在： （1） 微分中值定理的证明引入了辅助函数，通过明确的函数关系式，使其证明得到了完满的解决． （2） 定积分的基本公式,牛顿—莱布尼兹公式()()()()⎰-==ba b aa Fb F x F dx x f （其中()()x f x F ='的证明用到了辅助函数即积分上限函数()()[]b a x dt t f x xa,,∈=⎰φ）．（3） 多元函数求条件极值用到了辅助函数即拉格朗日乘数法，通过拉格朗日乘数法将多元函数的条件极值问题转化为多元函数的普通极值问题．（4） 多元函数的泰勒公式的证明用到了辅助函数通过构造辅助函数将多元函数问题转化为一元函数问题．（5） 常微分方程中的常数变易实质上也是引入了辅助函数，使用权一阶微分方程的解得以实现．由此可见，辅助函数在数学分析上的证明和计算中发挥着十分重大的作用．利用辅助函数来解决问题要求主体具有良好的知识结构和发散性的直觉思维能力，并要求主体具有广泛的联想能力．如对微分中值定理当我们弄清了命题的几何背景，以及拉格朗日定理与洛尔定理的关系，同时认识到柯西定理只不过是拉格朗日定理的不同表达之后，就会联想到要作辅助函数，从而使定理得以证明．利用辅助函数的两种方法：几何推导法和代数分析法．下面以拉格朗日定理为例加以说明：从几何推导法着手给出了辅助函数()x φ，在此不再叙述；现以代数分析法入手给出辅助函数()x φ．分析：要使()()()a b a f b f x f --='，只须()()()0'=---ab a f b f x f ，从而证明拉格朗日定理就归结为寻找辅助函数()x φ，使()x φ满足洛尔定理的条件，并且()=ξφ'()()()ab a f b f f ---ξ'．拉格朗日定理证明的关键就是找一个满足洛尔定理的条件的函数()x φ，使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'．而要使()=ξφ'()()()a b a f b f f ---ξ'，只须()=x 'φ()()()a b a f b f x f ---'，从而得到辅助函数的一般表达()=x φ()()()C x ab a f b f x f +---（其中C 是任意常数），此时只要()x f 满足垃格朗日的条件，()x φ就满足洛尔定理的条件，从而定理得证，而且对于C 的每一个具体的数值，就得到一个具体的辅助函数，并对应一个具体的证法．辅助函数方法实质就是当遇到实际问题时，设法利用问题来列出函数关过对函数问题的研究使问题得以解决的一种数学思想方法．在处理和解决问题时构造一个适当的辅助函数，往往使问题的解决变得非常简单．利用辅助函数解决问题的一般方法是直接依据问题的特点，构造与之相适应的函数关系式，通过研究函数，使问题得以解决．1 利用辅助函数求极限在求离散型变量的极限时往往通过构造辅助函数，使离散变更连续化，然后利用求函数极限的方法，使离散型的变量极限得以解决．例1 求n n n ∞→lim解:作辅助函数()x x x f 1=,则()xx ex f ln =()1lim lim 01limln limln =====∴+∞←∞→=+∞→+∞→e eeex f xxx xx x x x x故n n n ∞→lim = =()1lim =∞→n f n2利用辅助函数证明不等式证明不等式()()[]b a x x g x f ,,∈≥，只要作辅助函数()()()x g x f x F -=，这时证明不等式的问题就归结为证明()x F 在[]b a ,最小值大于等于零的问题．例2 (柯西—舒瓦茨不等式)设()x f 和()x g 在区间[]b a ,上连续，证明：()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析一：由于定积分只与积分区间和被积函数有关以及定积分的定义，易知给定间上的定积分是一个常数，不妨令()()()().,,22dx x g C dx x g x f B dx x fA ba b a ba⎰⎰⎰===则命题转换为证,2AC B ≤联想到一元二次函数的判别式，利用化归思想，则可构造函数：()()()[]dx x g t x f t F ba2⎰+=()()()()02222≥++=⎰⎰⎰dx x g dx x g x f t dx x ftba b a ba因为对任意的实数t ，关于它的上述类型的一元二次函数均肺腑，所以判别式.0≤∆即()()()()dx x g dx x fdx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222分析二：欲证()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，只需要证明()()()()0222≤⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰dx x g dx x fdx x g x f ba b ab a而()()()()dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=222若把上式视为某个函数()x F 在b a ,两点的函数值的大小之比较，即证当a b <时()()b F a F >，如果可以证明函数()x F 在[]b a ,上是单调递减函数，则命题得证．证明：作辅助函数()x F =()()()()dt t g dt t fdt t g t f ba ba b a ⎰⎰⎰⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡222，依题意易知函数()x F 在[]b a ,上可导，且 ()()()()()⎰-=xax fdt t g t f x g x f x F 2)(2'()()()⎰⎰-x a xadt t fx g dt t g 222()()()()()()()()⎰⎰⎰--=x axaxa dt t f x g dt t g x f dt t g t f x g x f 22222()()()()()()()()[]⎰--=xa dt t f x g t g x ft g t f x g x f 22222()()()()[]⎰≤+-=xa dt t f x g t g x f 02故函数()x F 在[]b a ,上单调递减，因此，当a b <时，()()b F a F >，有()()()()222b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()2220b b ba a a f x g x dx f x dx g x dx ⎡⎤≤-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰命题得证． 注：在知道被积函数连续的条件下，积分不等式的证明用构造辅助函数的方法更为简洁．例3 求证 ()()0,1ln >+>x x x证明：作辅助函数()()x x x F +-=1ln ，则()xx F +-=111' 0>x 时，()0'>x F ，即当0>x 时()x F 是增函数，而()00=F()()0,0>>∴x x F故当0>x 时，()x x +>1ln 3 利用辅助函数讨论方程的根解方程()0=x F 实质上就是求函数()x f 的零点，关于函数零点的问题一般是利用连续函的介值性及微分中值定理来解决． 例4 设()x f 在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内可导求证：在()b a ,内至少存在一个ξ，使()()()()ξξξ'f f ab a af b bf +=--分析：令()()k ab a af b bf =--，因此，()()()()()ka a af kb b bf a b k a af b bf -=--=-,，此为对称式，且a 与b 互换等式不变．所以，对此类型的问题作辅助函数为()()kx x xf x F -= 证明：令()()()()x ab a af b bf x xf x F ---=（由分析得），显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导．又因为()()()(),0=---=a a b a af b bf a af a F ()()()()0=---=b ab a af b bf b bf b F ．所以()()0==b F a F ．因此，在[]b a ,上满足罗尔定理，于是存在一个ξ，()b a ,∈ξ，使(),0'=ξF ()()()()0'=---+ab a af b bf f f ξξξ所以，()()()()x a b a af b bf f f --=+ξξξ'，证毕．4 利用辅助函数计算积分有时计算积分确定被积的原函数是十分困难的，若能引如适当的辅助函数，困难就解决了．例5 计算()⎰++=102,11ln dx x x I 解:引入辅助函数()()120ln 11x I t dx x +=+⎰,则()1I I =()00I =，且()()211ln ,xx t x f ++=，及()()()tx x x t x f t ++=11,'2，在[]10,10≤≤≤≤t x 上连续()t I ∴满足积分号下求导数条件 ()()()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+=++=∴12242ln 211ln 1111't t t dx tx x xt I π ()()10'ln 214I t dt I π∴=-⎰而()()()10'10,I t dt I I =-⎰故()2ln 81π==I I同样利用辅助函数不难计算⎰+∞sin dx xx，只要引入辅助函数()⎰+∞-=0sin dx x x e y I yx，即可计算得出2sin 0π=⎰+∞dx x x5 利用辅助函数计算多元函数的极值多元函数的条件极值问题在数学分析教材中以作了较详细的叙述，在此不在重述，此类问题只要引入拉格朗日函数就可以得到完满的解决．此外在实际经济活动、操作、经营和决策者经常要思考怎样才能以最低成本，最短时间获得最大经济效益，这也属于数学上的最优化问题，最优化问题的解决也是通过构造辅助函数，把最优化问题归结为求函数的最值问题．综上所述，全面掌握，深刻领会辅助函数方法，无论在理论方面还是应用方面，都具有重要的意义．参考文献：[1] 刘玉琏、傅沛仁.数学分析[M].北京:高教出版社,1992.[2] 翟连林、姚正安.数学分析方法论[M].北京:农业大学出版社,1992[3] 郭乔 .如何作辅助函数解题[J].西安:高等数学研究,2002,3(5):48-49Talking About the Construction of AuxiliaryFunction and Its ApplicationAbsract: On the basis of studying and analyzing mathematical proposition,through proving a few mathematical problems,some methods about construction of auxiliary are proposed.This paper discusses the application of auxiliary function in the process of proving and the importance of auxiliary function in mathematical analysis and extension of its application.Key words: auxiliary function ; application ;theorem of mean。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。
构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。
构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。
如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。
2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。
其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。
3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。
其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。
4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。
通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。
在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。
2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。
3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。
4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。
下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。
例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。
证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。
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由ｎ Ｉ （ 。一１ ） ， 凡＞ ２ ， 知
ｎ
ｂ
∑ ≠ ０ ∑ ＝ ｏ ｎ ｌ （ ６ ＋ １ ） ．
ｉ ＝０ Ｊ ：ｕ
易证 ， 当ａ ， ｂ 分别模 几 余 １ 、 一１ 时， 矩形边 界七 和内部 ， 剩余 系每个元素 出现的次数相 同．
２ ０ １ ３年第 ５期
△Ａ Ｂ Ｃ 有
２ ＋ ｖ２ ＋ ２
构造 辅助 函数
Ｆ （ ） ＝ ａ ｌ ｎ 口 ＋ ｘ ｌ ｎ 一 （ 口 ＋ ｘ ） ｌ ｎ 半 ．
证明 不 妨设 ａ＜ｂ ．
作辅 助 函数 Ｆ （ ） ＝ａ ｌ ｎ口＋ｘ ｌ ｎ 一（ ０＋ ｘ ） ｌ ｎ ，
＞２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋２ ｙ ｚ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋２ ｚ ｘｃ ｏ ｓ Ｂ．
￣
【 构造思路 】 要证原不等式成立 ， 即证
＋ ＋Ｚ ２
一
（ ２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋ ２ ｙ ｚ Ｃ Ｏ Ｓ Ａ＋ ２ ｇ Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ Ｂ ） ９ ０ ．
其中， ≥ａ ．
要证 ｃ ＜ａ ￣ ｂ ， 只需证 Ｆ （ ） ＞ ０即可．
故 可构造 辅 助 函数
的直线方 程 为
Ｙ ＝ （ ／ ， ５—１ ） ＋ １ ． 猜想： ￣ ／ ， ４ ＋ １ ＞ （ √ ５ — １ ） ＋ １ （ ０ ＜ ＜ １ ） ．
要证 明猜想 成 立 ， 如图 １ ， 只需 证 明辅助 函数 ． 厂 （ ） 为凹 函数 即可．
过程． 本文将结合实例 ， 展示思维过程 ， 探讨
数学 教 育 大 师 波 利 亚提 出 ： “ 人 的 高 明
．
厂 （ ） ＝Ｊ ａ ｘ ＋ ｌ （ Ｏ＜ ＜ １ ） ．
取端 点 ＝ ０ ， ＝１ 代 入得
Ｙ ｌ ＝１， Ｙ ２ ＝， ／ ５．
之处 在于 当他碰 到一个 不能直 接克 服的 障碍
时， 他 就会 绕过 去 ， 当原 来 的问题看 起来似 乎
而
＞（ 一 １ ） ｃ ＋ １ ．
＿ 、 ＿＿ ＿ 、
①＋ ②＋ ③得
证明： ｃ ” ＜ａ ￣ ｂ ．
＞（ √ ５—１ ） （ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ） ＋ ３
：
【 构造思路 】 由２ ｃ ＝ ａ＋ｂ ， 知ｃ ” ＜ ａ ａ ｂ
（ √ ５—１ ）×１＋ ３＝ ２＋ √ Ｓ．
１ ６
中 等 数 学
例 谈 辅 助 函 数 的 构 造 方 法
刘 再 平
（ 陕 西 省 镇 巴 县盐 场 中学 ， ７ ２ ３ ６ ０ ６）
中图分类号 ： Ｏ１ ４ １ ４
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１ ０ ０ ５— ６ ４ １ ６ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ １ ６— ０ ３
Ｉ ≤ ≤ ｂ一 １
０≤ ≤ ６
－
：
：
０．
：
ｎ — ｉ ＝ — ０
：０．
故∑ ‘ 及∑ 中 至少 有 一 个为０ ．
又 ｓ是 几次 单位 根 ， 则 口一ｌ 、 ｂ一１中至 少 有一个 是 ｎ的倍 数 ， 不妨 设 ｎ ｌ （ Ⅱ一１ ） ． 再结合边界上剩余系中各个数出现的次
Ｐ
／ 而
证明
＋
＋√
＞ ２＋ ．
一
Ｄ
— ｊ
引入辅 助 函数
图 １
收稿 １ ３ 期： ２ ０ １ ３—０ ｌ—ｌ Ｏ
（ ∑占 ‘ １ ∑ ＝∑
、 ｉ ＝Ｉ Ｊ １ Ｉ ≤Ｅ ≤ ０ 一Ｉ
（ ∑ １ ∑ ＝ ∑ Ｊ
、Ｉ Ｕ Ｊ ｕ Ｉ Ｊ ‘毫 “
） ＝ ＋ ＋ 一 （ ２ ｘ ｙ ｃ ｏ ｓ Ｃ ＋ ２ ｙ ｚ ｃ ｓ ｏ Ａ＋ ２ ｚ ｘ ｃ ｏ ｓ Ｂ ）
对 Ｆ（ ） 分别 求一 阶导 数 、 二 阶导数 得
Ｆ （ ）＝Ｉ ｎ —Ｉ ｎ （ ａ＋ ）＋ Ｉ ｎ ２，
再 用主元 思想 解决． 证明 作 辅 助 函数 ） ＝ ＋ ＋ ｇ ２ 一 （ ｌ 嘶Ｃ ＋ ２ ｙ ｚ ｃ ｓ ｏ Ａ＋ ２ ＝ ｃ ｏ ｓ ） ．
可 变 形 为 （ 厂＜ 口 ．
两边 同时取 自然 对数得
（ 口＋６ ） ｌ ｎ ＜ ｎ ｌ ｎ ｎ＋ｂ ｌ ｎ ｂ ．
故 原 不等式 得证 ．
２ 作 差或 求商
作差 与求 商 法 常用 于 比较 大小 ， 其 实也 可用来 构 造辅 助 函数．
例２ 设 、 Ｙ 、 ｚ为 实 数．证 明 ： 对 任 意
ｌ ７
由 ， ” （ ） ＝ 一 幂＜ 。 ， 知 函 数 ）
在 ０＜ ＜１ 上 为 凹函数． 分另 ０ 令 ＝ａ ， ＝ｂ ， ＝Ｃ ． 贝 ０
＞（ 一１ ） ａ＋１ ；
【 评注】 主元思想 在解决多元复杂数学
问题 时 ， 经 常会起 到意想 不 到的简化 效果 ．
３ 恒 等变 形
① ② ③
恒 等变 形是 一 种 操 作 简 易 、 运 用 广 泛 的 数 学 变形．此方 法也 可用 于构 造辅助 函数．
例 ３ 设 ａ＞ ０ ， ｂ＞ ０ ， ｃ ＞ ０ ， 且
ａ≠ｂ． ２ ｃ：ｎ＋ｂ ．
￣ ／ ４ ． ６ ＋ １ ＞（ √ ５— １ ） ｂ ＋ １ ；
辅助 函数 的构造方 法 ， 以求抛砖 引 玉．
１ 直接观 察
Ｊ Ｙ
观察 是认识 事 物 、 发 现 与 解 决 问题 的基 石 ．观察法 可 以构 造 简 易 的辅 助 函数 ， 解 决
．
表面特 征 比较 明显 的数学 问题． 椤 ０ １ 若口 、 ｂ 、 ｃ∈ Ｒ＋ ， Ⅱ＋ ｂ ＋ ｃ ＝１ ， 证明：
不 好解 时 ， 就想 出一个 合适 的辅助 问题 ． ” 可见， 当面对 的数 学 问题 难 以直接 解 决
时， 就 可试着用 构造辅 助 函数来 解决 ． 但 如何构 造辅助 函数 是个具 有创造 性 的
记点 ｐ （ ｏ ， １ ） ， ｑ （ １ ， √ ５ ） ． 于是 ， 经过 Ｐ 、 ｑ