1.3空间几何体的表面积与体积

C
B
2 3 2 3 OA AB r 3 2 3
例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积、表面积。
2 2 2 在Rt OO A中, OA O O O A ,
R
2
4 R . 3 4 4 4 3 256 3 V R ( ) ; 3 3 3 81 16 64 2 S 4 R 4 . 9 9
r O
l
O
2 r
圆柱的侧面展开图是矩形
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
S r 2 rl r (r l )
2r
l
r
圆锥的侧面展开图是扇形
O
(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想 象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别 为 r , r ,母线长为l,你能计算出它 的表面积吗?
S 球 S圆柱侧
(2)
Q S 圆柱全
4 R
2
2 R
2
2
6 R
2
S 球 4R 2 S 球 S圆柱全 3
练习 p28 1、2、3
例5.如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上，求球的表面积和体积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体体对角线与球的直径相等。
圆台的侧面展开图 是扇环
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
r 'O’
l
x
2r '
2r
r
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系？
S ( r r 2 r ' l rl )
'2
l
r
O
r 'O’
l
l
r
O
3 S 4 R2 16 且V 4 R 3 32 3

例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O 的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm， 求球的体积、表面积．
解：如图，设球O半径为R， 截面⊙O′的半径为r，
O A
O
R OO , ABC是正三角形， 2
S [( 15 2 15 20 1.5 ) 15 15] ( )2 2 2 2 2
1000(cm 2 ) 0.1( m 2 ) 涂100个花盆需油漆：
0.1 100 100 1000 (毫升)
15 cm
15 cm
答：涂100个这样的花盆约需要1000毫升 油漆．
解：Q 正方体内接于球 球的直径等于正方体的体对角线长 ( 2 R ) 3a R
2 2
3 2
D A O D1 A1 B1 B
C
a
3 3 3 S 4 R2 3a2 且V 4 3 R 2 a
C1
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上。
例1．已知棱长为 a ，各面均为 等边三角形的四面体S-ABC，求 它的表面积 ．
S
A
B
C
例1．已知棱长为 a ，各面均为等边三角形的四 面体S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成． 解：过点S作 SD BC ， 交BC于点D．
S A B D ∵ BC a , SD SB 2 BD 2 a 2 ( a )2 3 a 2 2
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积， 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关 系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体，它们 的展开图是什么？如何计算它们 的表面积？
棱柱,棱锥,棱台的表面积
棱柱
棱锥
棱台
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
R 2 2 3 2 ( ) ( ) , 2 3
O A
O
C
B
柱体体积公式
S
S
S
等底等高的柱体等体积
柱体的体积公式 ：
V柱体 Sh
S是柱体的底面积，h是柱体的高
锥体体积公式
等底等高的棱锥与圆锥体积相同
圆锥的体积
1 V＝ 3 Sh
S是圆锥的底面积， h是高
棱锥的体积
1 V＝ 3
Sh
S是棱锥的底面积， h是高
台体体积公式
由于圆台(棱台)是由圆锥 (棱锥)截成的，因此可以利 用两个锥体的体积差．得到 圆台(棱台)的体积公式．
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
A
P
A
S
B
D
C
h
S
D
C
B
台体的体积公式
1 V ( S S S S )h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为台体的高．
例3
3 有一堆规格相同的铁制（铁的密是 7.8g/cm ） 六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形， 边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（π取3.14）？
1.球的体积
4 V R 3 3
2.球的表面积
S 4R 2
例4、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R. 2 得: S 球 4R 2 R S圆柱侧 2R 2 R 4R O
解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆 柱体积之差，即:
3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 3 3 2956(mm ) 2.956(cm )
所以螺帽的个数为
（个）
答：这堆螺帽大约有252个．
1.3.2球体体积和表面积
球体的体积公式
15 cm
15 cm
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．为 了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆（取 3.14, 结果精确到1毫升，可用计算器）？ 解：花盆外壁的表面积： 20 cm
r
O
S r 2 rl r (r l )
O
S 2 r 2 2 rl 2 r (r l )
例、圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm， 它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么 圆台的侧面积是
例2．如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm， 盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm， 盆壁长15cm．为了美化花盆的外观，需要涂油 漆．已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样 的花盆需要多少油漆（取 3.14,结果精确到 1毫升，可用计算器）？ 21 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
3 2 S 4 a 3a 2 4
因此，四面体S-ABC的表面积为
练习：已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm， 高与斜高的夹角为300，求正四棱锥的侧面积 和表面积。
如何根据圆柱,圆锥的几何结 构特征,求它们的表面积?
(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、 2、 3 ,求此球体的表面积和体积。
分析：长方体内接于球，则由球和长方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则长方体体对角线与球的直径相等。
解： Q 长方体内接于球 球的直径等于长方体的体对角线长 ( 2 R )2 32 22 ( 3 )2 16 R 2
利用三视图求几何体面积
1、若某空间几何体的三视图如图所示，则该几 何体的表面积是
2
1
2
2、一个几何体的三视图如图，该几何体的表面 积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280
3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 所示,则其侧面积等于 ( ) A． B．2 C． D．6
柱体、锥体、台体、球体的体积