九年级数学上册一元二次方程单元基础测试卷
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试题(含答案)
【解析】
【分析】设经过x秒钟，△PBQ的面积等于16平方厘米，根据点P从B点开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q从B沿BC→CA以1cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
【详解】
由勾股定理得 ,
设x秒后△PBQ的面积等于16,依题意有
①当t≤6时, ,
解得 , (负值舍去);
人教版数学九年级上学期
《一元二次方程》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
(x+1)=0;(4)(k2+1)x2+kx+1=0中,一元二次方程的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
x2+6x+5=0
（x+5）（x+1）=0
x1=-1，x2=-5
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题关键.
4.某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（2）要想平均每天销售这种童装盈利1800元，有可能吗？
（3）要想平均每天销售这种童装获利达最大，则每件童装应降价多少元？每天的获利是多少元？
参考答案
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.已知关于x的方程:(1)ax2+bx+c=0;(2)x2-4x=8+x2;(3)1+(x-1)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(含答案)
【解析】
【分析】
一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【详解】把一个根x=1代入方程得 ，即 ，解得 或m= .
故本题正确答案为D.
【点睛】本题主要考查一元二次方程的基本概念和用因式分解法解一元二次方程,本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．
∴x2-5x+1=0．
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式．此题比较简单，解题需细心，注意一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．
4.方程x2+2x﹣3＝0的两根的情况是（ ）
A.没有实数根B.有两个不相等的实数根
C.有两个相同的实数根D.不能确定
【答案】B
【答案】D
【解析】
【分析】
把x=3代入已知方程求得m的值;然后通过解方程求得该方程的两根,即等腰 的两条边长,由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可.
【详解】把x=3代入方程得9-3(m+1)+2m=0,
解得m=6,
则原方程为 ,
解得 =3, =4,
因为这个方程的两个根恰好是等腰 的两条边长,
人教版数学九年级上学期
《一元二次方程》单元测试
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1.关于 方程 的一个根是 ，则 的值是（）
A. B. C. D. 或
2.一元二次方程 的解是（）
A. B.
C. ， D. ，
3.将一元二次方程 化为一般形式为（）
A.
九年级上册数学《一元二次方程》单元检测卷带答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷(满分120分,考试用时120分钟)一、选择题1．将一元二次方程2316x x +=化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ． 23,6x x -2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．()223x +=B ．()223x -=C ．()225x +=D ．()225x -= 3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣24．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c ++=,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )． A ．a c = B ．a b = C ．a b = D ．a b c == 5．若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=有一个根为0,则m 的值( ) A ．0 B ．1或2 C ．1 D ．26．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．07．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出( )A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支8．关于x 的方程(m +n )x 2+mn 2-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为12,差为2,则常数项为( )A ．18B ．12C ．116D ．149．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根10．若代数式2x 6x 5-+的值是12,则x 的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 11．将一元二次方程2230x x --=用配方法化成()2()0x h k k +=≥的形式为( )A ．2 (1)4x -=B ．2(1)1x -=C ．2 (1)4x +=D ．2 (1)1x +=12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( )A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3二、填空题13．若方程2234mx x x +-=是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是_____.14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____． 15．若方程2410x x -+=的两根12,x x ,则122(1)x x x 的值为__________．16．已知1x =是一元二次方程220x mx +-=的一根,则该方程的另一个根为_________．三、解答题17．已知：已知关于x 的方程220x mx m ++-=(1)求证：不论m 为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求m 的值及方程的另一个根.18．据统计某市农村2013年人均纯收入是10000元,预计2015年人均纯收入可达到12100元． ()1试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；() 2按此增长速度2016年该市农村人均纯收入可达到多少元？19．选择适当方法解下列方程：(1)2510x x -+=(用配方法)； (2)()()2322x x x -=-；(3)2250x --=；(4)()()22231y y +=-.20．已知关于x 的方程()()22110m x m x m --++=． ()1m 为何值时,此方程是一元一次方程？()2m 为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．22．一玩具城以49元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为50元/个时,每天能售出50个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高0.5元时,每天就会少售出3个玩具()1若玩具售价不超过60元/个,每天售出玩具总成本不高于686元,预计每个玩具售价的取值范围； ()2在实际销售中,玩具城以()1中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了%a ,从而每天的销售量降低了2%a ,当每天的销售利润为147元时,求a 的值．23．某林场计划修一条长750m ,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为21.6m ,上口宽比渠深多2m ,渠底比渠深多0.4m()1渠道的上口宽与渠底宽各是多少？()2如果计划每天挖土348m ,需要多少天才能把这条渠道挖完？24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．参考答案一、选择题1．将一元二次方程化为一般式后,二次项系数和一次项系数分别为( )A ．3,-6B ．3,6C ．3,1D ．[答案]A[解析][分析]一元二次方程的一般形式是：A x 2+B x+C =0(A ,B ,C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中A x 2叫二次项,B x 叫一次项,C 是常数项．其中A ,B ,C 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项．[详解]解化成一元二次方程一般形式是,则它的二次项系数是3,一次项系数是-6． 故选A ．[点评]此题主要考查了一元二次方程的一般形式,关键把握要确定一次项系数,首先要把方程化成一般形式． 2316x x +=23,6x x -2316x x +=23-610x x +=2．解一元二次方程x 2＋4x －1＝0,配方正确的是( )A ．B ．C ．D ． [答案]C[解析][分析]根据一元二次方程的配方法即可求出答案．[详解]∵x 2+4x-1=0,∴x 2+4x+4=5,∴(x+2)2=5,故选：C ．[点评]此题考查一元二次方程,解题关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的一个根是2,则常数k 的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2 [答案]B[解析][分析]根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入得4-6+k=0,然后解关于k 的方程即可.[详解]把x=2代入得,4-6+k=0,解得k=2.故答案为：B . ()223x +=()223x -=()225x +=()225x -=2x -3x+k=02x -3x+k=0[点评]本题主要考查了一元二次方程的解,掌握一元二次方程的定义,把已知代入方程,列出关于k 的新方程,通过解新方程来求k 的值是解题的关键.4．定义：如果一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知是“凤凰”方程,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是( )．A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]因为方程有两个相等的实数根,所以根的判别式△=B 2-4A C =0,又A +B +C =0,即B =-A -C ,代入B 2-4AC =0得(-A -C )2-4A C =0,化简即可得到A 与C 的关系．[详解]∵一元二次方程A x 2+B x+C =0(A ≠0)有两个相等的实数根∴△=B 2−4A C =0,又A +B +C =0,即B =−A −C ,代入B 2−4A C =0得(−A −C )2−4A C =0,即(A +C )2−4A C =A 2+2A C +C 2−4A C =A 2−2A C +C 2=(A −C )2=0,∴A =C故选：A[点评]本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,根据方程根的情况确定方程中字母系数之间的关系． 5．若关于的一元二次方程有一个根为0,则的值( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2[答案]D 20(a 0)++=≠ax bx c 0a b c ++=20(a 0)++=≠ax bx c a c =a b =a b =a b c ==x 22(1)5320m x x m m -++-+=m[解析][分析]把x=0代入已知方程得到关于m 的一元二次方程,通过解方程求得m 的值；注意二次项系数不为零,即m-1≠0．[详解]解：根据题意,将x=0代入方程,得：m 2-3m+2=0,解得：m=1或m=2,又m-1≠0,即m≠1,∴m=2,故选：D ．[点评]本题考查了一元二次方程的解定义和一元二次方程的定义．注意：本题中所求得的m 的值必须满足：m-1≠0这一条件．6．若关于x 的一元二次方程(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0的一个解是x ＝0,则A 的值为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0[答案]A[解析][分析]方程的根即方程的解,就是能使方程两边相等的未知数的值,利用方程解的定义就可以得到关于A 的方程,从而求得A 的值,且(A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程,即．[详解]把x=0代入方程得到：A 2－1＝0解得：A =±1． (A ＋1)x 2＋x ＋A 2－1＝0为一元二次方程 即．+10a ≠-1a ≠∴+10a ≠-1a ≠综上所述A =1.故选：A ．[点评]此题考查一元二次方程的解,解题关键在于掌握一元二次方程的求解方法.7．某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是13,则每个支干长出()A ．2根小分支B ．3根小分支C ．4根小分支D ．5根小分支[答案]B[解析][分析]先设每个支干长出x个分支,则每个分支又长出x个小分支,x个分支共长出x2个小分支；再根据主干有1个,分支有x个,小分支有x2个,列出方程；然后根据一元二次方程的解法求出符合题意的x的值即可. [详解]设每个支干长出x个分支,根据题意得1+x+x•x=13,整理得x2+x-12=0,解得x1=3,x2=-4(不符合题意舍去),即每个支干长出3个分支.故应选B .[点评]此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解．8．关于x 的方程(m +n )x 2+-(m -n )x =0(m +n ≠0)的二次项系数与一次项系数的和为,差为2,则常数项为( )A ．B ．C ．D ． [答案]A[解析][分析]二次项系数与一次项系数的和为,差为2列方程组求出m 、n 的值,然后可求出常数项. [详解]由题意得 , 解之得, ∴. 故选A .[点评]本题考查了一元二次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2,像这样的方程叫做一元二次方程.对于一元二次方程A x 2+B x +C =0(A ≠0),其中A 是二次项系数,B 是一次项系数,C 是常数项.本题也考查了二元一次方程组的解法. mn 21218121161412()()()()122m n m n m n m n ⎧+--=⎪⎨⎪++-=⎩114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩1114=228mn ⨯=9．方程(x +1)2＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣1,x 2＝1D ．无实根[答案]B[解析][分析]根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.[详解](x +1)2＝0,解: x +1=0,所以x 1＝x 2＝﹣1,故选B .[点评]本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.10．若代数式的值是,则的值为( )A ．7或-1B ．1或-5C ．-1或-5D ．不能确定 [答案]A[解析][分析]首先把方程化为一般形式x 2-6x+5-12=0,即x 2-6x-7=0,用因式分解法求解．[详解]2x 6x 5-+12x 26512,x x -+=265120,x x -+-=2670,x x --=∴解得：故选:A .[点评]考查一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的解法是解题的关键.11．将一元二次方程用配方法化成的形式为( ) A ．B ．C ．D ．[答案]A[解析] [分析]先移项得,x 2-2x=3,然后在方程的左右两边同时加上1,即可化成(x+h)2=k 的形式．[详解]移项,得x 2-2x=3,配方,得x 2-2x+1=3+1,即(x-1)2=4．故选A ．[点评]本题考查了配方法的应用,将一元二次方程x 2-2x-3=0用配方法化成(x+h)2=k (k≥0)的形式,其关键步骤就是移项后,在方程的左右两边加上一次项系数一半的平方．12．如果关于x 的一元二次方程(m ﹣3)x 2+3x +m 2﹣9＝0有一个解是0,那么m 的值是( ) A ．﹣3B ．3C ．±3D ．0或﹣3[答案]A ()()710,x x -+=70,x -=10,x +=127, 1.x x ==-2230x x --=()2()0x h k k +=≥2 (1)4x -=2(1)1x -=2 (1)4x +=2 (1)1x +=[解析][分析]把X=0代入方程(m-3)x +3x+m -9=0中,解关于m 的一元二次方程,注意m 的取值不能使原方程对二次项系数为0[详解]把x=0代入方程(m-3)x +3X+m -9=0中得：m -9=0解得m=-3或3当m=3时,原方程二次项系数m-3=0,舍去,故选A[点评]此题主要考查一元二次方程的定义,难度不大二、填空题13．若方程是关于的一元二次方程,则的取值范围是_____.[答案][解析][分析]将原方程化为一般式,根据一元二次方程中,二次项系数不能为零求解即可.[详解]原方程可化为：, ∵方程是关于的一元二次方程,∴,即,故答案为：.[点评]本题考查了一元二次方程的定义,掌握二次项系数不能为零这一点是解题关键.222222234mx x x +-=x m 1m ≠()21340m x x -+-=2234mx x x +-=x 10m -≠1m ≠1m ≠14．在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为A *B ＝A 2﹣B 2,根据这个规则,方程(x +2)*5＝0的解为_____．[答案]3或-7[解析]据题意得,∵(x+2)*5=(x+2)2-52∴x 2+4x-21=0,∴(x-3)(x+7)=0,∴x=3或x=-7．15．若方程的两根,则的值为__________．[答案]5[解析][分析]根据根与系数的关系求出,代入即可求解．[详解]∵是方程的两根∴=-=4,==1 ∴===4+1=5,故答案为：5．[点评]此题主要考查根与系数的关系,解题的关键是熟知=-,=的运用． 16．已知是一元二次方程的一根,则该方程的另一个根为_________．[答案]-2[解析][分析]由于该方程的一次项系数是未知数,所以求方程的另一解根据根与系数的关系进行计算即可．[详解]2410x x -+=12,x x 122(1)x x x 12x x +12x x ⋅12,x x 2410x x -+=12x x +b a 12x x ⋅c a122(1)x x x 1122x x x x ++1212x x x x ++12x x +b a 12x x ⋅c a1x =220x mx +-=设方程的另一根为x 1,由根与系数的关系可得：1×x 1=－2, ∴x 1=－2.故答案为：－2.[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系,明确根与系数的关系是解题的关键.三、解答题17．已知：已知关于的方程(1)求证：不论为何值,方程总有两个不相等的实数根.(2)若该方程的一个根为1,求的值及方程的另一个根.[答案](1)见解析；(2),方程的另一个根是. [解析][分析](1)由方程的各系数 结合根的判别式可得出△>0,由此即可得出结论(2)将x=1代入原方程,得出关于m 的一元一次方程,解方程求出m 的值,将其代入原方程得出关于x 的一元二次方程,结合根与系数的关系得出方程的另一个解.[详解]解：(1)证明：∵在关于x 的方程中, ,所以不论为何值,方程总有两个不相等的实数根；(2)将x=1代入方程中得出：1+m+m-2=0解得：, x 220x mx m ++-=m m 12m =32-220x mx m ++-=()()22412240m m m =-⨯⨯-=-+>m 1m 2=∴原方程为： ∴ ∵∴ ∴,方程的另一个根是. [点评]本题考查的知识点是根的判别式以及根与系数的关系,熟记每个公式是解题的关键.18．据统计某市农村年人均纯收入是元,预计年人均纯收入可达到元． 试求该市农村这两年人均纯收入的平均增长率；按此增长速度年该市农村人均纯收入可达到多少元？[答案](1)；年该市农村人均纯收入可达到元．[解析][详解](1)设该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为x,根据题意得：10000(1+x)2=12100,解得：x=0.1或x=﹣2.1(舍去),故该市农村这两年人均纯收入的平均增长率为；(元),答：年该市农村人均纯收入可达到元．[点评]本题主要考查一元二次方程的应用,解此题的关键在于先设出未知数x,再根据题意列出方程求解即可. 213022x x +-=1212b x x a +=-=-11x =232x =-12m =32-201310000201512100()1() 220161?0%()220161331010%()()212100110%13310⨯+=20161331019．选择适当方法解下列方程：(1)(用配方法)；(2)；(3)； (4). [答案](1),；(2),；(3),；(4),．[解析][分析][详解]解：,移项得：,配方得：,即,∴,∴,；,移项,得 ,,或, 2510x x -+=()()2322x x x -=-2250x --=()()22231y y +=-152x +=252x =12x =23x=1x=22x =132y =214y =-()21510x x -+=251x x -=-225255144x x -+=-+2521()24x -=52x -=152x=252x =()()223(2)2x x x -=-()23(2)20x x x ---=()()2360x x x ---=20x -=260x -=,；; , ∵,,∴,∴, ∴,； ; ．,,或,,． [点评]掌握一元二次方程的求根方法是解题的关键.20．已知关于的方程． 为何值时,此方程是一元一次方程？为何值时,此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．[答案](1)时,此方程是一元一次方程；(2)．一元二次方程的二次项系数、一次项系数,常数项．;[解析]12x =23x =()23250x --=2a=b =-5c =-()842548=-⨯⨯-=x ==12x =22x =()224(2)(31)y y +=-()231y y +=±-231y y +=-()231y y +=--132y =214y =-x ()()22110m x m x m --++=()1m ()2m 1m =1m ≠±21m -()1m -+m试题分析：(1)根据一元一次方程的定义可得=0,且m+1≠0,解得m 的值；(2)根据一元二次方程的定义可得≠0,可得m 的取值范围,然后写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．试题解析：解：(1)=0,且m+1≠0,解得m=1,答：当m=1时,此方程是一元一次方程；(2)≠0,解得m≠±1,答：当m≠±1时,此方程是一元二次方程,其二次项系数为,一次项系数为-(m+1),常数项为m ． 考点：一元一次方程的定义；一元二次方程的定义．21．先阅读理解下面的例题,再按要求解答下列问题．求代数式y 2+4y+8的最小值．解：y 2+4y+8=y 2+4y+4+4=(y+2)2+4∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4∴y 2+4y+8的最小值是4．(1)求代数式m 2+m+1的最小值；(2)求代数式4﹣x 2+2x 的最大值．[答案](1)；(2)5． [解析][分析](1)根据题中的解法即可得到答案；(2)同理(1).[详解] 21m -21m -21m -21m -21m -34(1)m 2+m+1=m 2+m++=(m+)2+≥, 则m 2+m+1的最小值是； (2)4﹣x 2+2x=﹣x 2+2x ﹣1+5=﹣(x ﹣1)2+5≤5,则4﹣x 2+2x 的最大值是5．[点评]本题主要考查了配方法与偶次方的非负性,解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式,再利用非负数的性质即可得解.22．一玩具城以元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为元/个时,每天能售出个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高元时,每天就会少售出个玩具若玩具售价不超过元/个,每天售出玩具总成本不高于元,预计每个玩具售价的取值范围； 在实际销售中,玩具城以中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了,从而每天的销售量降低了,当每天的销售利润为元时,求的值．[答案]预计每个玩具售价的取值范围是； 或．[解析][分析]根据题意列不等式组即可得到结论；; 由知最低销售价为元/个,对应销售量为,根据题意列方程即可得到结论． [详解] 解：每个玩具售价元/个,根据题意得, 解得：, 1434123434344950500.53()160686()2()1%a 2%a 147a ()15660x ≤≤()225a =12.5a =()1()2()1565650503140.5--⨯=个()1x 6050495036860.5x x ≤⎧⎪-⎨⎛⎫-⨯≤ ⎪⎪⎝⎭⎩5660x ≤≤答：预计每个玩具售价的取值范围是；由知最低销售价为元/个,对应销售量为, 由题意得：,令,整理得：,解得：,, ∴或．[点评]考查一元二次方程的应用,解决问题的关键是读懂题意,根据题意列出方程和不等式进行求解即可. 23．某林场计划修一条长,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为,上口宽比渠深多,渠底比渠深多渠道的上口宽与渠底宽各是多少？如果计划每天挖土,需要多少天才能把这条渠道挖完？[答案]渠道的上口与渠底宽各是米和米; 需要天才能把这条渠道的土挖完．[解析][分析](1)设渠道深x 米,则上口的宽度是(x+2)米,渠底宽(x+0.4)米,根据断面面积为1.6平方米,列出方程,求解即可；(2)根据渠道的长为750米,求出渠道的体积,再根据每天挖土48立方米,即可求出需要的天数．[详解]设渠道深米,则上口的宽度是米,渠底宽米,根据题意得：, 5660x ≤≤()2()1565650503140.5--⨯=个()()561%491412%147a a ⎡⎤+-⨯⨯-=⎣⎦%t a =2321210t t -==114t =218t =25a =12.5a =750m 21.6m 2m 0.4m ()1()2348m ()1 2.8 1.2()225()1x ()2x +()0.4x +()()120.4 1.62x x x ⎡⎤+++=⎣⎦解得：(舍去),,则渠道的上口宽是：(米),渠底宽是(米)；答：渠道的上口与渠底宽各是米和米;∵渠道的长为米,∴渠道的体积为(立方米),∵每天挖土立方米,∴需要的天数是：(天),答：需要天才能把这条渠道的土挖完．[点评]考查了一元二次方程的应用,解题的关键是读懂题目,设出未知数,找出等量关系,列方程求解. 24．阅读第(1)题的解题过程,再解答第(2)题：(1)例：解方程x 2﹣|x |﹣2＝0．解：当x ≥0时,原方程可化为x 2﹣x ﹣2＝0．解得：x 1＝2,x 2＝﹣1(不合题意．舍去)当x ＜0时,原方程可化为x 2+x ﹣2＝0．解得：x 1＝﹣2,x 2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解是x 1＝2,x 1＝﹣2．(2)请参照上例例题的解法,解方程x 2﹣x |x ﹣1|﹣1＝0．[答案]x 1＝﹣0.5,x 2＝1[解析]12x =-20.8x =0.82 2.8+=0.80.4 1.2+= 2.8 1.2()2750750 1.61200⨯=4812004825÷=25[分析]解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．方程中|x﹣1|的值有两个,所以就要分情况讨论,然后去掉绝对值．一种是当x ﹣1≥0时,求解；另一种情况是当x﹣1＜0时,求解．[详解]解：当x﹣1≥0,即x≥1时,原方程可化为x2﹣x(x﹣1)﹣1＝0即x﹣1＝0,解得x＝1当x﹣1＜0,即x＜1时,原方程可化为x2﹣x(1﹣x)﹣1＝0即2x2﹣x﹣1＝0,解得x1＝﹣0.5,x2＝1(不合题意．舍去)∴原方程的解为x1＝﹣0.5,x2＝1[点评]本题考查了解一元二次方程的应用,易出错的地方是要分情况而解,所以学生容易出现漏解的现象．。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试(附答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（30分）1. 若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0 是关于x的一元二次方程，则m =（）A . 0B . 2C . －2D . ± 22. 方程x2=x 的根是（）A . x=0B . x=1C . x=0或x=-1D . x=0 或x=13. 若x1、x2是方程x2+x-1=0 的两根，则(x12+x1-2)×(x22+x2-2) 的值( )A . 2B . -2C . -1D . 14. 已知关于x的方程x2-px + q = 0 的两根是x1 = 1, x2 = -2, 则二次三项式x2-px + q可以分解为( )A . (x-1)(x +2)B . (x-1)(x-2)C . (x +1)(x-2)D . (x +1)(x +2)5. 对于任意实数x，多项式x2－5x+8的值是一个（）A . 非负数B . 正数C . 负数D . 无法确定6. 若A -B +C =0，A ≠0，则方程A x2+B x+C =0 必有一个根是（）A . 1B . 0C . –1D . 不能确定7. 如果关于x的方程A x 2+x–1= 0有实数根，则A 的取值范围是（）A . A ＞–B . A ≥–C . A ≥–且A ≠0D . A ＞–且A ≠08. 一元二次方程(m-2)x2-4mx+2m-6=0 有两个相等的实数根，则m等于（）A . -6B . 1C . 2D . -6或19. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）A . 50(1+x)2=182B . 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C . 50(1+x)+50(1+x)2=182D . 50+50(1+x)=18210. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A . 7mB . 8mC . 9mD . 10m二、填空题（共18分）11. 将方程化为一般形式:2x2-3x=3x-5是____________________12. 方程x(x-2)=0的解是___________________13. 若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为________．14. 方程x2-2x-1=0的判别式△=____________.15. 方程x2-4x+4=0的根的情况是__________________16. 关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是1，则另一根为________.三、解答题（共52分）17. 解方程：（1）(x-5)2=16 （直接开平方法）（2）x2+5x=0 （因式分解法）（3）x2-4x+1=0 （配方法）（4）x2+3x-4=0 （公式法）18. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：A △B =A 2﹣B 2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．19. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.求证：方程总有两个不相等的实数根.20. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年计划投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2017年建设了多少万平方米廉租房？21. 已知:如图,A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点,A B ＝16C m，A D ＝6C m，动点P、Q 分别从A 、C 同时出发,点P 以3C m/s的速度向点B 移动,一直到达点 B 为止,点 Q 以2C m/s的速度向点 D 移动．（1）P、Q 两点从出发点出发几秒时,四边形PB C Q 的面积是33C m2?（2）P、Q 两点从出发点出发几秒时,点P、Q 间的距离是10C m?参考答案一、选择题（30分）1. 若方程(m+2)x|m|+3mx+1=0 是关于x的一元二次方程，则m =（）A . 0B . 2C . －2D . ± 2[答案]B[解析]由一元二次方程的定义可得，解得：m=2.故答案为：2.2. 方程x2=x 的根是（）A . x=0B . x=1C . x=0或x=-1D . x=0 或x=1[答案]D[解析]解：移项得：x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，∴x=0或x﹣1=0，x1=0，x2=1．故选C ．3. 若x1、x2是方程x2+x-1=0 的两根，则(x12+x1-2)×(x22+x2-2) 的值( )A . 2B . -2C . -1D . 1[答案]D[解析]根据方根的根的定义得：故(x12+x1-2)×(x22+x2-2)= .故选D .4. 已知关于x的方程x2-px + q = 0 的两根是x1 = 1, x2 = -2, 则二次三项式x2-px + q可以分解为( )A . (x-1)(x +2)B . (x-1)(x-2)C . (x +1)(x-2)D . (x +1)(x +2)[答案]A[解析]根据方根的根的定义得：x2-px + q=(x -1)(x +2).故选A .5. 对于任意实数x，多项式x2－5x+8的值是一个（）A . 非负数B . 正数C . 负数D . 无法确定[答案]B[解析]试题解析：x2-5x+8=x2-5x++=（x-）2+，任意实数的平方都是非负数，其最小值是0，所以（x-）2+的最小值是，故多项式x2-5x+8的值是一个正数，故选B ．考点：1.配方法的应用；2.非负数的性质：偶次方．6. 若A -B +C =0，A ≠0，则方程A x2+B x+C =0 必有一个根是（）A . 1B . 0C . –1D . 不能确定[答案]C[解析]由题意得:当A -B +C =0，即当x=-1时，A x2+B x+C =A -B +C =0，故选C .7. 如果关于x的方程A x 2+x–1= 0有实数根，则A 的取值范围是（）A . A ＞–B . A ≥–C . A ≥–且A ≠0D . A ＞–且A ≠0[答案]B[解析]由题意得： .故选C .8. 一元二次方程(m-2)x2-4mx+2m-6=0 有两个相等的实数根，则m等于（）A . -6B . 1C . 2D . -6或1[答案]C[解析]试题分析：根据一元二次方程A x2+B x+C =0（A ≠0）的根的判别式和定义得到m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0，解得m1=﹣6，m2=1，即可得到m的值．∵一元二次方程（m﹣2）x2﹣4mx+2m﹣6=0有两个相等的实数根，∴m﹣2≠0且△=0，即16m2﹣4×（m﹣2）×（2m﹣6）=0，m2+5m﹣6=0，解得m1=﹣6，m2=1．∴m的值为﹣6或1．考点：根的判别式．9. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）A . 50(1+x)2=182B . 50+50(1+x)+50(1+x)2=182C . 50(1+x)+50(1+x)2=182D . 50+50(1+x)=182[答案]B[解析]一个季度包括3个月，四月份产量+五月份产量+六月份产量=第二季度共生产零件182万个.易得：50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故选B .10. 如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（）A . 7mB . 8mC . 9mD . 10m[答案]A视频二、填空题（共18分）11. 将方程化为一般形式:2x2-3x=3x-5是____________________[答案]2x2-6x+5=0[解析]原方程移项，得2x2-6x+5=0.故答案为2x2-6x+5=0.点睛：一元二次方程的一般形式为：A x2＋B x+C =0（A ≠0）.12. 方程x(x-2)=0的解是___________________[答案]x1=0,x2=2[解析]利用因式分解法解一元二次方程，易得：x=0或x-2=0，即x1=0,x2=2.故答案：x1=0,x2=2.13. 若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为________．[答案]-3[解析]试题分析：根据一元二次方程的根，可知把x=1代入原方程可得1+2+m=0，解得m=-3．考点：一元二次方程的解14. 方程x2-2x-1=0的判别式△=____________.[答案]8[解析]由题意得：A =1,B =-2,C =-1,故 .故答案：8.15. 方程x2-4x+4=0的根的情况是__________________[答案]有两个不相等实数根[解析]Δ=B 2－4A C =（－4）2－4×1×4=0，所以方程有两个相等的实数根.点睛：一元二次方程解的情况：（1）B 2－4A C ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）B 2－4A C =0，方程有两个相等的实数根；（3）B 2－4A C ＜0，方程没有实数根.16. 关于x的一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是1，则另一根为________.[答案]－3[解析]设方程两根分别为x1，x2，其中x1=1，由韦达定理可得x1·x2=－3，∴x2=－3.故答案为－3.三、解答题（共52分）17. 解方程：（1）(x-5)2=16 （直接开平方法）（2）x2+5x=0 （因式分解法）（3）x2-4x+1=0 （配方法）（4）x2+3x-4=0 （公式法）[答案](1) x1=9, x2=1；（2）x1=0, x2=-5；（3）x1=2+, x2=2；（4）x1=-4 , x2=1[解析][试题分析]（1）用直接开平方法求解；（2）用因式分解法求解；（3）用配方法求解；（4）用公式法求解.[试题解析]（1）(x-5)2=16（2）x2+5x=0（3）x2-4x+1=0（4）x2+3x-4=0A =1,B =3,C =-4,则所以方程的根为：，即：x1=-4 , x2=1.[方法点睛]本题目是一道考查求一元二次方程的根的问题，四道题利用四种不同的方法求解，在于全面考查一元二次方程的解法，难度不大.18. 在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为：A △B =A 2﹣B 2，根据这个规则：（1）求4△3的值；（2）求（x+2）△5=0中x的值．[答案]（1）7；（2）x1=3, x2=-7[解析]试题分析：（1）将A =4，B =3代入公式计算出结果即可；（2）根据运算规则计算出方程左边的结果，再解方程即可.试题解析：（1）4△3＝42－32 ＝16－9＝7.（2）（x+2）△5=0，(x+2)2－52=0，(x+2)2=52，x+2=±5，x1=3，x2=－7 .点睛：遇到新运算规则，理解题目的意思，套用公式即可.19. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.求证：方程总有两个不相等的实数根.[答案]见解析[解析]试题分析：要证明方程总有两个不相等的实数根，即要证明Δ＞0恒成立，将Δ用含m的式子表示出来，然后配方即可证明.试题解析：△＝(2m＋1)2－4 m(m＋1) =4m2+4m+1－4m2－4m =1>0，所以方程有两个不相等实数根.点睛：（1）一元二次方程解的情况：①B 2－4A C ＞0，方程有两个不相等的实数根；②B 2－4A C =0，方程有两个相等的实数根；③B 2－4A C ＜0，方程没有实数根.(2要证明多项式恒大于0或者恒小于0可用配方法证明.20. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2015年市政府共投资3亿元人民币建设了廉租房12万平方米，2017年计划投资6.75亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变，问2017年建设了多少万平方米廉租房？[答案]（1）每年市政府投资的增长率为50% ；（2）2017年预计建设了18万平方米的廉租房.[解析]试题分析：（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015年的投资，列出方程，解方程即可；（2）2015年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．解：(1)设每年市政府投资的增长率为x，依题意得：3(1+x)2=6.75解得x1=0.5=50% x2=-2.5(舍去)答：每年市政府投资的增长率为50%（2）12(1+50%)2=27答：2017年预计建设了27万平方米的廉租房.点睛：本题考查了一元一次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为A (1+x)n =B ，其中n为共增长了几年，A 为第一年的原始数据，B 是增长后的数据，x是增长率．21. 已知:如图,A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点,A B ＝16C m，A D ＝6C m，动点P、Q 分别从A 、C 同时出发,点P 以3C m/s的速度向点B 移动,一直到达点 B 为止,点 Q 以2C m/s的速度向点 D 移动．（1）P、Q 两点从出发点出发几秒时,四边形PB C Q 的面积是33C m2?（2）P、Q 两点从出发点出发几秒时,点P、Q 间的距离是10C m?[答案]（1）P、Q 两点出发5秒时,四边形PB C Q 的面积为33C m2；(2) P、Q 两点从出发点出发秒或秒时,点P 与点Q 的距离是10C m．[解析]解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PB C Q的面积为33C m2，则PB =（16﹣3x）C m，QC =2xC m，根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5，（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10C m，作QE⊥A B ，垂足为E，则QE=A D =6，PQ=10，∵PA =3t，C Q=B E=2t，∴PE=A B ﹣A P﹣B E=|16﹣5t|，由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：（1）P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PB C Q的面积为33C m2；（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10C m．[点睛]（1）根据梯形的面积公式可列方程：求解；（2）作QE⊥A B ，垂足为E，在Rt PEQ中，用勾股定理列方程求解．视频。
九年级上学期数学《一元二次方程》单元测试题含答案
则方程为x2-10x+24=0,
(x-4)(x-6)=0,
所以x1=4,x2=6,
因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形A B C的两条边长,
所以这个等腰三角形三边分别为4、4、6；4、6、6,
所以△A B C的周长为14或16．
故选D．
[点睛]本题考查了一元二次方程 解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3.已知x=A是方程x2﹣3x﹣5=0的根,则代数式4﹣2A2+6A的值为()
A.6B.9C.14D.﹣6
[答案]D
[解析]
[分析]
利用一元二次方程解的定义得到A2-3A=5,再把4-2A2+6A变形为4-2(A2-3A),然后利用整体代入的方法计算即可．
∴k+2≠0且△=(-3)2-4(k+2)•1≥0,
解得：k≤ 且k≠-2,
故选C．
[点睛]本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式,能得出关于k的不等式是解此题关键．
8.直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为()．
A. B. 5C. D. 7
[答案]B
[解析]
[分析]
设一条直角边为x,则另一条直角边为7-x,利用三角形面积公式可得： x (7-x)=6.
A.1B.3- C.1+ D.2+
[答案]A
[解析]
[分析]
把2﹣ 代入方程x2﹣4x+C=0就得到关于C的方程,就可以解得C的值．
[详解]把2﹣ 代入方程x2﹣4x+C=0,得(2﹣ )2﹣4(2﹣ )+C=0,解得：C=1．
初三数学第一学期第21章 一元二次方程 单元测试卷(含解析)
人教版2022年九年级上册第21章《一元二次方程》单元测试卷班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．y＝2x﹣1 B．x2＝6 C．5xy﹣1＝1 D．2（x+1）＝22．一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4 B．0，3，4 C．0，﹣3，4 D．1，﹣3，﹣43．用配方法解一元二次方程3x2+6x﹣1＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（）A ．B ．C．2 D ．4．方程（x﹣2）2＝4（x﹣2）的解为（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣6 D．6或25．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式是（）A ．B ．C ．D ．6．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，57．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m ＜B．m ＞C．m ＞且m≠1 D．m≠18．2022年2月6日，中国女足获得亚洲杯冠军！某传媒发布的参赛队员简介视频两天的点击量由原来的5万飙升至150万，若设每天点击量的平均增长率为x，则下列所列方程正确的是（）A．5（1+x）2＝150 B．5+5（1+x）+5（1+x）2＝150C．5x2＝150 D．5+5x+5x2＝1509．某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．810．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则其中正确的（）A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．一元二次方程x2＝7x的解是．12．关于x的方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是．13．若a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，则代数式2a﹣4a2+1的值是．14．方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为．15．已知a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则3a2+8a﹣b的值是．16．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝8，那么a2+b2＝．三．解答题（共7小题，满分46分）17．（6分）解下列方程：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2）；（2）2x2﹣3x＝1．18．（5分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利和减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件降价1元，则每天可多售2件．商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？19．（5分）为提高应急处置能力，某社区计划搭建一个临时物资储备仓库，用来放置应急物资．如图，仓库的两边靠墙（墙足够长），另外两边用总长为58米的铁皮围成，两面墙的夹角为90°，铁皮与墙面均垂直，其中CD边上留有宽2米的通道，且边CD的长不小于30米．若仓库的面积是800平方米，则BC的长应为多少米？20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的其中一边为4，另两边是这个方程的两根，求m的值．21．（7分）请根据图片内容，回答下列问题：（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？22．（8分）在理解例题的基础上，完成下列两个问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m和n的值；解：由题意得：（m2+2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0，∴（m+n）2+（n﹣2）2＝0∴，解得．请解决以下问题：（1）若x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，求y x的值；（2）若a，b，c是△ABC的边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52，c是△ABC的最长边，且c为偶数，则c可能是哪几个数？23．（9分）阅读理解：材料1：对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令ax2+bx+c＝y（a≠0），然后移项可得：ax2+bx+（c﹣y）＝0，再利用一元二次方程根的判别式来确定y的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求x2+2x+5的取值范围；解：令x2+2x+5＝y∴x2+2x+（5﹣y）＝0∴Δ＝4﹣4×（5﹣y）≥0∴y≥4∴x2+2x+5≥4．材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）有两个不相等的实数根x1、x2（x1＞x2）则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＞0）的解集为：x≥x1或x≤x2则关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≤0（a＞0）的解集为：x2≤x≤x1请根据上述材料，解答下列问题：（1）若关于x的二次三项式x2+ax+3（a为常数）的最小值为﹣6，则a＝；（2）求出代数式的取值范围；（3）若关于x的代数式（其中m、n为常数且m≠0）的最小值为﹣4，最大值为7，请求出满足条件的m、n 的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：A．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；B．x2＝6是一元一次方程，故本选项符合题意；C．含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意；D．是一元一次方程的定义，故本选项不合题意；故选：B．2．【解答】解：一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数为1，一次项系数为﹣3，常数项为﹣4．故选：D．3．【解答】解：∵3x2+6x﹣1＝0，∴3x2+6x＝1，x2+2x ＝，则x2+2x+1＝，即（x+1）2＝，∴a＝1，b ＝，∴a+b ＝．故选：B．4．【解答】解：（x﹣2）2＝4（x﹣2），移项，得（x﹣2）2﹣4（x﹣2）＝0，整理，得（x﹣2）（x﹣2﹣4）＝0．所以x﹣2＝0或x﹣6＝0．所以x1＝2，x2＝6．故选：D．5．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x ＝，故选：A．6．【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．7．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0没有实数根，∴Δ＝22﹣4（m﹣1）×（﹣2）＜0，且m﹣1≠0，解得m ＜，故选：A．8．【解答】解：由题意可得，5+5（1+x）+5（1+x）2＝150，故选：B．9．【解答】解：设八年级共有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝21，整理得：x2﹣x﹣42＝0，解得：x1＝﹣6（不合题意，舍去），x2＝7，∴八年级共有7个班．故选：C．10．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b ＝或2ax0+b ＝﹣∴故④正确．故选：B．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．【解答】解：x2﹣7x＝0，x（x﹣7）＝0，x＝0或x﹣7＝0，所以x1＝0，x2＝7．故答案为：x1＝0，x2＝7．12．【解答】解：∵方程（a﹣1）x2﹣3x+3＝0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，∴a≠1，故答案为：a≠1．13．【解答】解：∵a是方程2x2﹣x﹣5＝0的一个根，∴2a2﹣a﹣5＝0，∴2a2﹣a＝5，∴4a2﹣2a＝10，∴2a﹣4a2+1＝﹣10+1＝﹣9，故答案为：﹣9．14．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣1，故答案为：﹣1．15．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，∴a2+3a＝8，a+b＝﹣3，∴3a2+8a﹣b＝3（a2+3a）﹣（a+b）＝3×8﹣（﹣3）＝27．故答案为：27．16．【解答】解：设a2+b2＝t（t≥0），则t（t﹣2）＝8，整理，得（t﹣4）（t+2）＝0，解得t＝4或t＝﹣2（舍去），则a2+b2＝4．故答案是：4．三．解答题（共7小题，满分46分）17．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝5（x﹣2），（x﹣2）2﹣5（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2﹣5）＝0，x﹣＝2＝0或x﹣2﹣5＝0，所以x1＝2，x2＝7；（2）2x2﹣3x＝1，2x2﹣3x﹣1＝0，Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17＞0，x ＝，所以x1＝，x2＝．18．【解答】解：设每件衬衫降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20．答：每件衬衫应降价10元或20元．19．【解答】解：设CD＝x米，则BC＝（58+2﹣x）米，依题意得：x（58+2﹣x）＝800，整理得：x2﹣60x+800＝0，解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝40，∴58+2﹣x＝58+2﹣40＝20．答：BC的长应为20米．20．【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴无论m取任何实数，方程总有实数根；（2）解：当腰为4时，把x＝4代入x2﹣（m+3）x+3m＝0，得，16﹣4m﹣12+3m＝0，解得m＝4；当底为4时，则程x2﹣（m+3）x+3m＝0有两相等的实数根，∴Δ＝0，∴（m﹣3）2＝0，∴m＝3，综上所述，m的值为4或3．21．【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据题意，可得（1+x）2＝121，解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去），答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；（2）根据题意，121×10＝1210（名），答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．22．【解答】解：（1）∵x2+4xy+5y2﹣4y+4＝0，∴x2+4xy+4y2+y2﹣4y+4＝0，∴（x+2y）2+（y﹣2）2＝0，∴x+2y＝0，y﹣2＝0，解得x＝﹣4，y＝2，∴y x＝2﹣4＝；（2）已知等式整理得：（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，解得：a＝6，b＝4，由△ABC中最长的边是c，∴6≤c＜10，∵c为偶数，∴c可能是6或8．23．【解答】解：（1）设y＝x2+ax+3，变形为x2+ax+3﹣y＝0，∵△≥0，∴a2﹣4（3﹣y）≥0可得y，而由已知y≥﹣6，故3﹣＝﹣6，∴a＝6或a＝﹣6．（2）设y ＝，变形为3x2+（6+3y）x﹣2﹣y＝0，∵△≥0，∴（6+3y）2﹣4×3×（﹣2﹣y）≥0，化简得3y2+16y+20≥0，先求出3y2+16y+20＝0的二根y1＝﹣2，y2＝﹣，∴根据材料二得y或y≥﹣2．（3）设y ＝，变形得yx2﹣（y+5m）x+2y+n＝0，∵△≥0，∴（y+5m）2﹣4y（2y+n）≥0，整理得7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2≤0，由已知可得﹣4≤y≤7，根据材料二知7y2﹣（10m﹣4n）y﹣25m2＝0的二根是y1＝﹣4，y2＝7，代入整理得，解得或．。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试题(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟分数：100分]一、选择题1.方程：① x2−13x =1,② 2x2−5xy+y2=0,③ 7x2+1=0,④ y22=0中,一元二次方程是（）．A . ①和②B . ②和③C . ③和④D . ①和③2.将一元二次方程x2−8x−5=0化成(x+a)2=b（A , B 为常数）的形式,则A , B 的值分别是（）A . -4,21B . -4,11C . 4,21D . -8,693.把一元二次方程（x+3）2＝x（3x﹣1）化成一般形式,正确的是（）A . 2x2﹣7x﹣9＝0B . 2x2﹣5x﹣9＝0C . 4x2+7x+9＝0D . 2x2﹣6x﹣10＝04.m、n是方程x2−2019x+2020=0的两根, (m2−2020m+2020)⋅(n2−2020n+2020)的值是（）A . 2017B . 2018C . 2019D . 20205.已知x=1是一元二次方程(m−2)x2+4x−m2=0的一个根,则m的值为（）A . -1或2B . -1C . 2D . 06.x=1是关于x的一元二次方程(a−2)x2−(a2+1)x+5=0的一个根,则A =（）A . -1B . 2C . -1或2D . 不存在7.若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1,则另一个根为（）A . ﹣3B . ﹣1C . 1D . 38.已知x1, x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根,则x1+x2﹣x1x2的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 49.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2, 且x1+3x2＝5,则m的值为（）A . 74 B . 75C . 76D . 010.受新冠肺炎疫情影响,某企业生产总值从元月份的300万元,连续两个月降至260万元,设平均降低率为x,则可列方程（）A . 300(1－x)2＝260B . 300(1－x2)＝260C . 300(1－2x)＝260D . 300(1＋x)2＝260二、填空题11.将方程x（x﹣2）＝x+3化成一般形式后,二次项系数为________.12.若m是方程2x2﹣x﹣1＝0的一个根,则代数式2m﹣4m2的值为________.13.当x=________时,代数式x2−x与x-1的值相等.14.将一元二次方程ax2+bx+c=0,化为(x−m)2= b2−4ac4a2,则m为________．15.抛物线y=2x2+2(k−1)x−k（k为常数）与x轴交点的个数是________．16.已知x1, x2是关于的一元二次方程x2﹣3x+A ＝0的两个实数根,x12﹣3x1x2+x22＝4,则A ＝________.17.若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是-1,则另一个根是________．18.已知实数m、n满足x2−7x+2=0,则nm +mn的值________.三、计算题19.解方程：（1）2(x-2)²=18.（2）2x(x+3)-x-3=0四、解答题20.已知关于x的一元二次方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3= 0有解,求k的取值范围.21.定理：若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根,则有x1+x2=−m,x1x2=n,请用这一定理解决问题：已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(k+1)x+k2+2=0的两实根,且(x1+1)(x2+1)=8,求k的值.22.如图,在宽为20m,长为27m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）,余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为450 ,求道路的宽．23.一个两位数,十位上的数字比个位上的数字的平方少9.•如果把十位上的数字与个位上的数字对调,得到的两位数比原来的两位数小27,求原来的两位数.24.根据扬州市某风景区的旅游信息, A 公司组织一批员工到该风景区旅游,支付给旅行社2800元. A 公司参加这次旅游的员工有多少人？扬州市某风景区旅游信息表答案与解析一、选择题1.解：① x2−13x=1不是一元二次方程；② 2x2−5xy+y2=0不是一元二次方程；③ 7x2+1=0是一元二次方程；④ y22=0是一元二次方程．综上：一元二次方程是③和④故答案为：C ．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数,并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,逐一判断即可．2.解：x2−8x−5=0移项得x2−8x=5,配方得x2−8x+42=5+16,即(x−4)2=21,∴A =-4,B =21．故答案为：A根据配方法步骤解题即可．3.解：由原方程,得x2+6x+9＝3x2﹣x,即2x2﹣7x﹣9＝0,故答案为：A .方程左边利用完全平方公式将原方程的左边展开,右边按照整式乘法展开,然后通过合并同类项将原方程化为一般形式.4.解：∵m,n是方程x2−2019x+2020=0的两根,代入得：∴m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0∴m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得：∴(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= (m2−2019m−m+2020)(n2−2019n−n+2020)将m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020代入得：(m2−2020m+2020)(n2−2020n+2020)= mn根据韦达定理：mn=ca =20201=2020故答案为：D将m,n代入方程得到m2−2019m+2020=0,n2−2019n+2020=0从而得出m2−2019m=−2020,n2−2019n=−2020,再代入即可求解.5.解：把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0得：m－2+4－m2=0,－m2+m+2=0,解得：m1=2,m2=﹣1∵(m−2)x2+4x−m2=0是一元二次方程,∴m－2≠0,∴m≠2,∴m=−1,故答案为：B .首先把x=1代入(m−2)x2+4x−m2=0,解方程可得m1=2,m2=-1,再结合一元二次方程定义可得m的值6.解：把x=1代入方程得：−a2+a+2=0解得a=−1或a=2又由于原方程二次项系数不为0即A -2≠0,所以A ≠2所以A =-1故答案为：A把x=1代入方程,解关于A 的一元二次方程, a=−1或a=2,因为原方程A -2≠0,所以a=−1．7.解：设方程另一个根为x1,∴x1+（﹣1）＝2,解得x1＝3．故答案为：D ．设方程另一个根为x1, 根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（-1）=2,解此方程即可．8.解：∵x1, x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根,∴x1+x2＝﹣1,x1x2＝﹣3,则原式＝﹣1﹣（﹣3）＝﹣1+3＝2.故答案为：B .根据韦一元二次方程根与系数的关系,由x1+x2＝−ba =﹣1,x1x2＝ca=﹣3,代入计算可得.9. ∵ x 1 +x 2＝4,则x 1 +3x 2＝5, 得x 1 +x 2+2 x 2＝5,2 x 2=5-4=1, x 2= 12,代入原方程得：(12)2−4×12+m=0,m=74故答案为A根据二次方程根与系数的关系求出两根之和,再代入求x2,把x2代入原方程即可求出m.10.由题意可得,元月份为300万元,2月份为300（1-x）,3月份为300（1-x）2=260故答案为：A根据平均降低率与月份的关系可列出方程。
数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试卷附答案
九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间：90分钟 满分：120分]一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③0322=++x x ；④﹣x 2+5x ＝0；⑤3132++xx ；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）A ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣23．下列语句中正确的是（ ）A ．方程x 2＝x 只有一个解x ＝1B ．方程x 2+1＝0没有解C ．对于任何实数m ,（m ﹣2）x 2+m x +2＝0是一元二次方程D ．x 2+4＝0不是一元二次方程4．若代数式x 2﹣2x ﹣3的值等于0,则x 的值是（ ）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．35．用配方法解一元二次方程m 2﹣6m +8＝0,结果是下列配方正确的是（ ）A ．（m ﹣3）2＝1B ．（m +3）2＝1C ．（m ﹣3）2＝﹣8D ．（m +3）2＝96．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k ＝0的一个根是1,则另一个根是（ ）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣77．若关于一元二次方程x 2+2x +k +2＝0的两个根相等,则k 的取值范围是（ ）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．28．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（ ）A ．（x +1）（x ﹣3）＝2B ．2（x ﹣2）2＝x 2﹣4C ．x 2+3x ﹣1＝0D ．5（2﹣x ）2＝39．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2﹣2x +3＝0C ．2x 2﹣2x ﹣3＝0D ．3x 2﹣6x +1＝010．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x B ．()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x C ．()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x D ．()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x 12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）A ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定二．填空题（共4小题）13．方程()05112=+---mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 ．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ ．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ．第15题16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 ．三．解答题（共8小题）17．用合适的方法解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝0（3）x 2﹣5x +6＝0 （4）2x 2﹣7x +3＝0．18．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由．21．用配方法求：（1）3x2﹣4x+8的最小值；（2）﹣2x2+4x﹣1的最大值．22．设x1,x2是一元二次方程3x2﹣x﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x1+5）（x2+5）；（2）x12x2+x1x22．23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m的篱笆和长15m的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E的长为x m；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF围成,当花园面积为150m2时,求x的值；（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F构成,另三边由篱笆A D EF围成,当花园面积是150m2时,求B F的长．答案与解析一．选择题（共12小题）1．下列方程：①5x 2＝2y ；②2x （x +3）＝x 2﹣5；③；④﹣x 2+5x ＝0；⑤；⑥mx 2+n x ＝0．其中是一元二次方程的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[分析]本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案．[解答]解：①5x 2＝2y ,方程含有两个未知数,故错误；②2x （x +3）＝x 2﹣5,符合一元二次方程的定义,正确；③,符合一元二次方程的定义,正确；④﹣x 2+5x ＝0,符合一元二次方程的定义,正确； ⑤,不是整式方程,故错误； ⑥mx 2+nx ＝0,方程二次项系数可能为0,故错误．故选：C ．2．一元二次方程2（x 2﹣1）﹣3x ＝0的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ）0322=++x x 3132++xx 0322=++x x 3132++xxA ．1,﹣1,﹣3B ．1,﹣3,﹣1C ．2,﹣3,﹣1D ．2,﹣3,﹣2[分析]首先将一元二次方程化为一般形式,然后确定二次项系数、一次项系数、常数项即可．[解答]解：2（x2﹣1）﹣3x＝0化为一般形式得2x2﹣3x﹣2＝0,二次项系数、一次项系数、常数项依次是2,﹣3,﹣2,故选：D ．3．下列语句中正确的是（）A ．方程x2＝x只有一个解x＝1B ．方程x2+1＝0没有解C ．对于任何实数m,（m﹣2）x2+m x+2＝0是一元二次方程D ．x2+4＝0不是一元二次方程[分析]对于方程x2＝x和x2+1＝0分别解方程即可判断A 与B 是否正确；一元二次方程中二次项系数不能为0,所以m﹣2≠0,即m≠2；判定一个方程是否为一元二次方程,只要二次项系数不为0即可．[解答]解：A 、方程x2＝x的解还可以是0；B 、x2＝﹣1,∵任何数的平方一定大于或等于0,∴方程x2+1＝0没有解；C 、当m＝2时,（m﹣2）x2+m x+2＝0中m﹣2＝0,原方程不是一元二次方程；D 、x2+4＝0是一元二次方程；故选：B ．4．若代数式x2﹣2x﹣3的值等于0,则x的值是（）A ．3或﹣1B ．1或﹣3C ．﹣1D ．3[分析]根据题意得到x2﹣2x﹣3＝0,利用因式分解法解方程即可．[解答]解：依题意得：x2﹣2x﹣3＝0,整理,得（x﹣3）（x+1）＝0,解得x1＝3,x2＝﹣1．故选：A ．5．用配方法解一元二次方程m2﹣6m+8＝0,结果是下列配方正确的是（）A ．（m﹣3）2＝1B ．（m+3）2＝1C ．（m﹣3）2＝﹣8D ．（m+3）2＝9[分析]移项,配方,即可得出选项．[解答]解：m2﹣6m+8＝0,m2﹣6m＝﹣8,m2﹣6m+9＝﹣8+9,（m﹣3）2＝1,故选：A ．6．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1,则另一个根是（）A ．5B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣7[分析]设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,由根与系数的关系可得出α+β＝6,结合α＝1即可求出β值．[解答]解：设方程x2﹣6x+k＝0的两根为α、β,则有：α+β＝6,∵α＝1,∴β＝6﹣1＝5．故选：A ．7．若关于一元二次方程x2+2x+k+2＝0的两个根相等,则k的取值范围是（）A ．1B ．1或﹣1C ．﹣1D ．2[分析]根据判别式的意义得到△＝22﹣4（k+2）＝0,然后解一次方程即可．[解答]解：根据题意得△＝22﹣4（k+2）＝0,解得k＝﹣1．故选：C ．8．下列一元二次方程最适合用分解因式法来解的是（）A ．（x+1）（x﹣3）＝2B ．2（x﹣2）2＝x2﹣4C ．x2+3x﹣1＝0D ．5（2﹣x）2＝3[分析]先观察每个方程的特点,根据方程的特点逐个判断即可．[解答]解：A 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；B 、最适合用分解因式解方程,故本选项正确；C 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；D 、不适合用分解因式解方程,故本选项错误；故选：B ．9．下列方程中,两实数根之和等于2的方程是（）A ．x2+2x﹣3＝0B ．x2﹣2x+3＝0C ．2x2﹣2x﹣3＝0D ．3x2﹣6x+1＝0[分析]根据根与系数的关系对A 、C 、D 进行判断；根据判别式的意义对B 进行判断．[解答]解：A 、两实数根之和等于﹣2,所以A 选项错误；B 、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0,方程没有实数根,所以B 选项错误；C 、两实数根之和等于1,所以C 选项错误；D 、两实数根之和等于﹣2,所以D 选项正确．故选：D ．10．某种药品经过两次降价由原来的每盒12.5元降到每盒8元,如果2次降价的百分率相同,设每次降价的百分率为x ,可列出的方程为（ ）A ．12.5（1+x ）2＝8B ．12.5（1﹣x ）2＝8C ．12.5（1﹣2x ）＝8D ．8（1+x ）2＝12.5 [分析]设该药品平均每次降价的百分率为x ,根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率）,则第一次降价后的价格是12.5（1﹣x ）,第二次后的价格是12.5（1﹣x ）2,据此即可列方程求解．[解答]解：根据题意得：12.5（1﹣x ）2＝8．故选：B ．11．商场销售某种商品,四月份销售了若干件,共获利6万元,五月份把这种商品的单价降低了1元,但销售量比四月份增长了2万件,从而获得的利润比四月份多了2万元,求调价前每件商品的利润是多少元？设调价前每件商品的利润是x 元,则可列方程是（ ）A ．B ．C ．D ． [分析]如果设调价前每件商品的利润是x 元,那么四月份的销量为,五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,根据题意可列出方程． [解答]解：根据题意,四月份的销量为, 五月份的单件的利润为（x ﹣1）元,可得出方程为． 故选：A ．12．当x 为何值时,此代数式x 2+14+6x 有最小值（ ）()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()6261=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x ()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x ()6261=⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x 6x6()26261+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x xA ．0B ．﹣3C ．3D ．不确定[分析]运用配方法变形x 2+14+6x ＝（x +3）2+5；得出（x +3）2+5最小时,即（x +3）2＝0,然后得出答案．[解答]解：∵x 2+14+6x ＝x 2+6x +9+5＝（x +3）2+5,∴当x +3＝0时,（x +3）2+5最小,∴x ＝﹣3时,代数式x 2+14+6x 有最小值．故选：B ．二．填空题（共4小题）13．方程是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 m ＝± ．[分析]根据一元二次方程的定义可得m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,再解即可．[解答]解：由题意得：m 2﹣1＝2,且m ﹣1≠0,解得：,故答案为：．14．若（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0,则A 2+B 2＝ 6 ．[分析]把A 2+B 2视为一个整体,设A 2+B 2＝y ,则（A 2+B 2）（A 2+B 2﹣2）﹣24＝0可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解出y 的值即可,[解答]解：设A 2+B 2＝y ,则原方程可化为：y 2﹣2y ﹣24＝0,解之得：y 1＝6,y 2＝﹣4,∴A 2+B 2＝6,故答案为6．15．如图,在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路,使剩余面积是原矩形面积的一半,具体尺寸如图所示．求小路的宽是多少？设小路的宽是x m ,根据题意可列方程为 ． ()05112=+---mx x m m 3±=m 3±=m[分析]把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的种植花草部分是一个长方形,根据长方形的面积公式列方程求解即可．[解答]解：设道路的宽应为x 米,由题意有（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 故答案为：（30﹣x ）（20﹣x ）＝×30×20． 16．一个菱形的边长是方程x 2﹣7x +10＝0的一个根,其中一条对角线长为6,则该菱形的面积为 24 ．[分析]利用因式分解法解方程得到x 1＝2,x 2＝5,再根据菱形的性质得到菱形的边长为5,利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线长,然后根据菱形的面积公式计算．[解答]解：x 2﹣7x +10＝0,（x ﹣2）（x ﹣5）＝0,x ﹣2＝0或x ﹣5＝0,∴x 1＝2,x 2＝5,∵菱形一条对角线长为6,∴菱形的边长为5,∵菱形的另一条对角线长＝,∴菱形的面积＝×6×8＝24． 三．解答题（共8小题）17．解方程（1）（x +2）2﹣25＝0 （2）x 2+4x ﹣5＝02121835222=-21（3）x2﹣5x+6＝0 （4）2x2﹣7x+3＝0．[分析]（1）先变形得到（x+2）2＝25,然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法解方程；（4）利用因式分解法解方程．[解答]解：（1）（x+2）2＝25, x+2＝±5,所以x1＝﹣7,x2＝3；（2）解：（x+5）（x﹣1）＝0, x+5＝0或x﹣1＝0,所以x1＝﹣5,x2＝1；（3）解：（x﹣2）（x﹣3）＝0, x﹣2＝0或x﹣3＝0,所以x1＝2,x2＝3；（4）解：（2x﹣1）（x﹣3）＝0, 2x﹣1＝0或x﹣3＝0,所以x1＝,x2＝3．2118．当m 为何值时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根？有实数根？[分析]先计算出△,△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21．当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式得到m 的范围；当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式得到m 的范围．[解答]解：△＝（2m ﹣3）2﹣4（m 2﹣3）＝﹣12m +21,当△＜0,即﹣12m +21＜0,原方程没有实数根,解不等式﹣12m +21＜0得,m ＞； 当△≥0,即﹣12m +21≥0,原方程有实数根,解不等式﹣12m +21≥0得,m ≤． 所以当m ＞时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0没有实数根； 当m ≤时,一元二次方程x 2+（2m ﹣3）x +（m 2﹣3）＝0有实数根． 19．A ,B ,C 是△A B C 的三边长,且关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,求证：这个三角形是直角三角形．[分析]先将原方程化为一元二次方程的一般形式,然后根据根的判别式△＝B 2﹣4A C ＝0证明．[解答]证明：由原方程,得（B +C ）x 2﹣2A x ﹣B +C ＝0,∵关于x 的方程B （x 2﹣1）﹣2A x +C （x 2+1）＝0有两个相等的实根,∴△＝4A 2﹣4（B +C ）（﹣B +C ）＝0,即A 2﹣C 2+B 2＝0,∴A 2+B 2＝C 2,∴这个三角形是直角三角形．20．已知x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根．47474747（1）求k 的取值范围．（2）是否存在实数k ,使得等式成立？如果存在,请求出k 的值；如果不存在,请说明理由． [分析]（1）根据方程的系数结合△≥0,即可得出关于k 的一元一次不等式,解之即可得出k 的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2,结合,即可得出关于k 的方程,解之即可得出k 值,再结合（1）即可得出结论． [解答]解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根,∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0,解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1,x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根,∴x 1+x 2＝2,x 1x 2＝k +2．∵, ∴, ∴k 2﹣6＝0,解得：k 1＝﹣,k 2＝．又∵k ≤﹣1, ∴k ＝﹣．∴存在这样的k 值,使得等式成立,k 值为﹣． 21121-=+k x x 21121-=+k x x 21121-=+k x x 2221212-=+=+k k x x x x 66621121-=+k x x 621．用配方法求：（1）3x 2﹣4x +8的最小值；（2）﹣2x 2+4x ﹣1的最大值．[分析]（1）先提取二次项系数,再配方,根据任何数的完全平方一定是非负数即可求解；（2）把原式根据配方法化成：﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1即可得出最大值．[解答]解：（1）3x 2﹣4x +8所以3x 2﹣4x +8的最小值是． （2）﹣2x 2+4x ﹣1＝﹣2（x 2﹣2x +1）+2﹣1＝﹣2（x ﹣1）2+1所以﹣2x 2+4x ﹣1的最大值是1．22．设x 1,x 2是一元二次方程3x 2﹣x ﹣4＝0的两个根,不解方程,求下列代数式的值．（1）（x 1+5）（x 2+5）；（2）x 12x 2+x 1x 22．[分析]根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）利用多项式乘法得到原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25,然后利用整体代入的方法计算；（2）利用因式分解得到原式＝x 1x 2（x 1+x 2）,然后利用整体代入的方法计算．3203233439434322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x 3203134[解答]解：根据题意得x 1+x 2＝,x 1x 2＝﹣, （1）原式＝x 1x 2+5（x 1+x 2）+25＝﹣+5×+25＝； （2）原式＝x 1x 2（x 1+x 2）＝﹣×＝﹣． 23．大名童装平均每天可售出20件,每件盈利40元．因新冠肺炎影响,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元,那么平均每天就可多售出8件．如果要盈利1200元,那每件降价多少元？[分析]设每件降价x 元,则平均每天可售出件,根据总利润＝每件童装获得的利润×销售数量,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论．[解答]解：设每件降价x 元,则平均每天可售出件, 依题意,得：（40﹣x ）＝1200, 整理,得：x 2﹣30x +200＝0,解得：x 1＝10,x 2＝20．又∵要尽量减少库存,∴x ＝20．答：每件降价20元．24．合肥长江180艺术街区进行绿化改造,用一段长40m 的篱笆和长15m 的墙A B ,围城一个矩形的花园,设平行于墙的一边D E 的长为xm ；（1）如图1,如果矩形花园的一边靠墙A B ,另三边由篱笆C D EF 围成,当花园面积为150m 2时,求x 的值；31343431376343194⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4820x（2）如图2,如果矩形花园的一边由墙A B 和一节篱笆B F 构成,另三边由篱笆A D EF 围成,当花园面积是150m 2时,求B F 的长．[分析]（1）设平行于墙的一边D E 的长为xm ,则C D 的长为m ,利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程,解之取小于15的值即可得出结论；（2）设B F 的长为y ,利用矩形的面积公式即可得出关于y 的一元二次方程,解之即可求出结论． [解答]解：（1）由题意得：（40﹣x ）x ＝150； 解得：x 1＝10,x 2＝30,∵30＞15∴x ＝30舍去,∴x ＝10m ；答：x 的值为10m ；（2）设B F ＝y ；则（25﹣y ）（y +15）＝150； 解得y 1＝15,y 2＝﹣5（舍去）,答：B F 的长为15m ．240x -2121。
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九年级数学《一元二次方程》单元测试卷
一、选择题：（3分×7＝21分）
1、关于x的方程（m+1）x2+2mx－3=0是一元二次方程，则m的取值是（）
A、任意实数
B、m≠1
C、m≠－1
D、m>－1
2、若关于x的一元二次方程3x2+k=0有实数根，则（）
A．k>0 B．k<0 C．k≥0 D．k≤0
3、方程（x+3）（x－3）=4的根的情况是（）
A、无实数根
B、有两个不相等的实数根
C、两根互为倒数
D、两根互为相反数
4、一元二次方程x2－3x－1=0与x2+4x+3=0的所有实数根的和等于（）。
A、－1
B、－4
C、4
D、3
5、某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为（）
A、100(1+x)2=800
B、100+100×2x=800
C、100+100×3x=800
D、100[1+(1+x)+(1+x)2]=800
6、已知一元二次方程2x2-3x+3=0，则（）
A、两根之和为－1.5
B、两根之差为－1.5
C、两根之积为－1.5
D、无实数根
7、已知a2+a2－1=0，b2+b2－1=0且a≠b，则ab+a+b=（）
A、2
B、－2
C、－1
D、0
二、填充题：（2分×17＝34分）
1、方程(x–1)(2x+1)=2化成一般形式是,它的二次项系数是.
2、关于x的方程是(m2–1)x2+(m–1)x–2=0,那么当m时,方程为一元二次
方程；当m时,方程为一元一次方程。
3、关于x的一元二次方程x2+m x+3=0的一个根是1，则m的值为。
4、已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m= 。
5、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0,当m= 时,两根互为倒数；当m= 时,两根互为相反数.
6、关于x的方程mx2－2x+1=0只有一个实数根，则m= 。
7、请写出一个根为1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程是。
8、若方程kx2–6x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.
9、关于x的方程x2－（2m2+m－6）x－m=0两根互为相反数，则m= 。
10、设x1、x2是方程3x2+4x–5=0的两根,则x12+x22= .
11、方程x2+2x+a–1=0有两个负根,则a的取值范围是.
12、某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式：。
13、如果把一元二次方程x2–3x–1=0的两根各加上1作为一个新一元二次方程的两根,那么这个新一元二次方程是.
三、解下列方程：（4分×5＝20分）
21、（x－2）2－3＝0 22、2x2－5x＋１＝0（配方法）
23、x(8＋x)＝1624、3x2–4x–1=0（用公式法）
25、（2x－3）２－2（2x－3）－3＝0
四、解答题。
25分
26、某商店4月份销售额为50万元,第二季度的总销售额为182万元,若5、6两个月的月增长率相同,求月增长率.（5分）
27、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根。
求此三角形的周长。
（6分）
28、某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元，在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯每盏加价４元全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏，求每盏灯的进价。
（6分）
29、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边C＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两根。
（1）求m的值
（2）求△ABC的面积（8分）。