§1.2 概率论与数理统计教程

12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第21页 21页
常见模型(1) 常见模型(1) ---- 不返回抽样
• N 个产品，其中M个不合格品、N−M个合 格品. (口袋中有M 个白球， N−M 个黑球) • 从中不返回任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格 品的概率为： M N − M m n − m n ≤ N, m ≤ M, n−m≤N−M. N n • 此模型又称 超几何模型.
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第27页 27页
彩票问题----幸运35选 彩票问题----幸运35选7
• 购买：从01，……，35 中选7个号码。 其中有 7个基本号码，1个特殊号码。 • 开奖：根据所购得号码，开奖规则如下：
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
64 47 46 59 49 60 56 56 40 48
0.64 0.47 0.46 0.59 0.49 0.60 0.56 0.56 0.40 0.48
315 296 302 312 300 306 294 314 302 295
0.525 0.493 0.503 0.520 0.500 0.510 0.490 0.523 0.503 0.492
• 非负性公理： P(A)≥0; • 正则性公理： P( )=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
∞ ∞ 互不相容，则 P UA = ∑P( A ) i i i=1 i=1
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第3页
1.2.3 确定概率的频率方法
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
实验序号
第5页
n=10
n(A) fn(A)
n=100
n(A) fn(A)
n=600
n(A) fn(A)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 3 7 9 5 3 8 5 4
0.2 0.4 0.3 0.7 0.9 0.5 0.3 0.8 0.5 0.4
365! 1− n 365 (365 − n)!
• p20=0.4058, p30=0.6963, p50=0.9651, p60=0.9922
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第25页 25页
抽签与顺序无关
口袋中有a只黑球及b只白球，它们除颜色不 同外，其他方面没有差别，现在把球随机地一只 只摸出来，求第k次摸出的一只球是黑球的概率。
第一章 随机事件与概率
第19页 19页
例
n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.
解：1) 先考虑样本空间的样本点数： 甲先坐、乙后坐，则共有n(n−1) 种可能. 2) 甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能. 3) 甲在中间(n−2)个位置上，则乙左右都可坐， 所以共有2(n−2)种可能。由此得所求概率为：
r n
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第15页 15页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法。
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法。
此样本空间中的样本点不等可能。
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第12页 12页
例子
2、掷出两颗骰子，用A表示点数之和为 ， 7
# # 由 Ω=36, A = 6, 得P( A) =1/6.
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第13页 13页
基本的组合分析公式
第28页 28页
中奖规则
1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊 号码
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第22页 22页
常见模型(2) 常见模型(2) ---- 返回抽样
• N 个产品，其中M个不合格品、N−M个合格品. (口袋中有M 个白球， N−M 个黑球) • 从中有返回地任取n 个。 • 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：
n Mm(N − M)n−m n M m N − M n−m = m n m N N N
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第9页
1.2.4 确定概率的古典方法
古典方法 设 Ω 为样本空间，若
① Ω只含有限个样本点; ② 每个样本点出现的可能性相等， 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第11页 11页
注 意
• 抛一枚硬币三次 ⇔ 抛三枚硬币一次 •
1={(正正正),
(反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)} 此样本空间中的样本点等可能。 •
2={(三正),
(二正一反), (二反一正), (三反)}
第17页 17页
有放回重复组合的解释
n=4,r=3:
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第18页 18页
例
n 个人围一圆桌坐，求甲、乙两人相邻而 坐的概率.
解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐， 而“甲乙相邻”只有两种情况，所以 P(A) = 2/(
第29页 29页
中奖概率
• Ω 中所含样本点个数：
7 C35
• 将35个号分成三类： 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用 号码 • 记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得：
7 0 C7C0C27 1 p1 = , 7 C35 6 0 C7C1C27 1 p2 = 7 C35
12 November 2010
全部组合分析公式的推导基于下列两条原理： 加法原理、乘法原理。
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第14页 14页
古典概型的计算中常用的计数方法
• • • • 重复排列（有放回）：nr。 全排列：Pn= n! 0! = 1. 选排列（无放回）：
n! P = = n(n −1)......(n − r +1) (n − r)!
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第16页 16页
组 合
n n! Pr r 组合： Cn = = = n r r!(n − r)! r!
重复组合：
C
r n+r−1
n + r −1 = r
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
• 条件： m ≤ n , 即 m = 0, 1, 2, ……, n.
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第23页 23页
常见模型(3) 常见模型(3) ---- 盒子模型
• n 个不同球放入 N 个不同的盒子中。 • 每个盒子中所放球数不限。 • 求恰有n 个盒子中各有一球的概率 (n≤N)
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第6页
﹡由表1-2:当试验次数n越来越大时,不仅频率的波动 越来越小,而且总在一个定值 定值0.5附近波动,这种性质 定值 称为频率的稳定性.故可用频率的稳定值0.5作为事 频率的稳定性. 频率的稳定性 件A的概率,P(A)=0.5 ﹡用频率估计概率的前提条件是试验次数要充分的多!
第一章 随机事件与概率
第30页 30页
• 中奖概率如下：
6724520 567 p4 = , 6724520 204750 p7 = , 6724520 p1 = 1 , 6724520 7371 p5 = , 6724520 p2 = 7 , p3 = p6 = 189 6724520 12285 6724520
第10页 10页
概率的古典定义
设 验 的 本 间 是 限 合 A ⊂Ω, 试 S 样 空 Ω 有 集 ， 如 Ω的 个 本 发 的 能 相 ， 称 果 每 样 点 生 可 性 同 则 A A 的 本 数 中 样 点 目 P( A) = # = Ω 样 点 数 本 总
#
称为试验S下A发生的概率，简称为事件A的概率。
a×(a + b −1)! a 解法一：P = = . k (a + b)! a +b
a + b −1 a −1 a 解 法二： k = P = . a +b a + b a
12 November 2010
第一章 随机事件与概率
第26页 26页
摸彩模型
• n 张彩票中有 k 张中奖，从中不返回 地摸 取，记 Ai 为“第 i 次摸到奖券” ，则 P(Ai) = k/n , i=1, 2, ……, n • 结论：不论先后，中彩机会是一样的。