数学思维简单数阵
数学思维五年级第4节 数阵
数阵知识点：解答数阵问题通常用两种方法：待定系数法、试验法。
待定系数法：先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。
试验法：根据题目所给条件选准突破口，确定填数的可能范围，把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况确定应填的数。
例1、把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，使横竖两行的五个数之和都是22、21或20。
练习1、把1-9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是例2、将5-14这十个自然数填入下图的○中，使每个大圆上六个数的和都是55。
练习2、把1-10十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。
例3、将1-6这六个数分别填入下图的○中，使每条直线上三个○内的数的和相练习3、将1-9九个数分别填入下图○内，使每条边上四个○内数的和都是17。
例4、将1-7七个数分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相练习4、将1-11这十一个数分别填入下图○内，使每条线上三个○内的数的和相随堂测试1、将1-7七个自然数分别填入下图中的○内，使每条直线上三个数的和相等。
2、将1-8八个数填入下图方格里，使上四格、下四格、左四格、右四格、小间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
3、将1-8八个数分别填入下图的○中，使每条边上三个数的和相等。
4、将1-8八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和、内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。
课后练习1、把1-10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2、把1-8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。
3、将1-6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。
4、将1-9九个数填入下图的○中，使横行、竖行五个数相加的和都等于25。
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方
小学四年级逻辑思维学习—数阵图与幻方”知识定位一、什么是数阵图?在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察上面两个图：右图（1）中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右图（2）就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从如何来填好数阵图开始。
如何填好数阵图?数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格）第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍.第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和.第四步：运用已经得到的信息进行尝试：数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键.【授课批注】数阵图问题千变万化，一般没有特定的解法，往往需要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题. 本讲出了要讲授填数阵图的主要技巧，还有以下注意点：1.引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断；2.教授巧妙利用容斥原理、余数的性质、整除性质的数学方法；3.锻炼学生利用已知信息枚举，尝试的能力；4.培养学生综合运用各种数学知识，分析问题，找问题关键，解决问题的能力.二、什么是幻方？同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：三、如何解决幻方问题？幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.知识梳理987653421987654321（一）封闭型数阵问题（二）辐射型数阵（三）其它类型的数阵图（四）幻方例题精讲【试题来源】【题目】将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围.k=9 k=10 k=11 k=12【题目】小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？【题目】图中的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填人圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．6543216543216543216543216【题目】小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？【题目】海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？【题目】在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立：【题目】请在图中的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，最下面的数是20．+=====----20【题目】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【题目】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【题目】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3【题目】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.【题目】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.【题目】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【题目】在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.习题演练【题目】将1～7这七个数分别填入图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
奥数知识点 简单数阵图
简单数阵图一、辐射型数阵图从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。
突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。
先求重叠数。
数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数重叠部分=线总和-数总和/线总和=公共的和×线数数和：指所有要填的数字加起来的和中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1公共的和：指每条直线上几个数的和线数：指算公共和的线条数例1、把1-5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。
例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以：总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例3、把1~5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。
分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。
但由例1、例2的分析知道，(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2，每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。
二年级思维第19讲 简单操作讲义
第19讲：巧填数阵姓名：知识要点动手操作就是通过移、换、拼等一系列活动来完成一些有趣的数学问题。
解决此类问题时，切不可盲目操作，一定要在认真思考的基础上理清思路，才能又快又好地完成任务。
例1、如图，左边是3只空杯子，右边是3只装有水的杯子，摆成一横排。
请你改变其中两个杯子的位置，使空杯子和有水的杯子间隔排列，试试看。
练习1、学校开庆祝会，大门的一边插了8面彩旗，左边4面是红色的，右边4面是黄色的。
最少要把几面旗子交换位置，才能使红旗和黄旗间隔排列？例2、小芳把6枚棋子在桌上摆成一个尖角朝下的三角形（如下图）。
请你移动2枚棋子，使三角形颠倒过来，让它尖角朝上，试试看。
练习2、李勤用6枚组扣摆了一个尖角朝左的三角形（如图），最少移动几枚纽扣，就可使三角形的尖角朝右？例3、移动一根火柴棒，使等式成立。
练习3、移动一根火柴，使等式成立。
例4、你能用12根火柴棒拼成4个大小完全相同的正方形吗？练习4、你能用13根火柴棒拼出4个完全相同的正方形吗？例5、将下列图形分割成形状完全相同的四个图形，使每个图中含有半个圆，请你试着剪剪看。
练习5、把下面的正方形分割成完全一样的4个图形，使每个图形中都含有一个“兔子”的字样，你能做到吗？总结归纳1、在操作之前，我们可根据题目要求先想出移动后图形的形状，然后再比较图形变化前后的不同，通过最简单的操作来完成任务。
2、有关火柴棒算式问题，一般可从原来的算式出发，先比较等号两边的大小，偏大的设法变小，偏小的设法变大，有时还可两边同时变化。
奥赛题桌上有5只倒着放（口朝下）的杯子，如果一次只翻动3只，只允许翻3次，使5只杯子全部口朝上，应该怎么翻？自我检测得分：。
1、下面的6只杯子中3只有水，3只是空杯。
要使有水的杯子和空杯间隔放，只要把号（）和（）号交换位置即可。
2、3枚纽扣摆成一个箭头朝左的三角形，最少需要移动（）枚纽扣，就可使它成为一个箭头朝右的三角形。
3、小方把9枚棋子摆成了如下的平行四边形，最少移动（）枚棋子，就能使它变成一个方向相反的平行四边形。
数学思维之数阵中的规律
“将3~10八个数分别填入下面的○内，使每个大圆上的五个数的和为31。
mathematics
例题
这时我们就知道A+B+C=21，D+E+F=21。如果是中间2圆是3和7的情况，那么4、5、6、8、9、10这6个数其中三个之和要是21，那么就是5、6、10和4、8、9，这时这个题的结果是
【解题思路】
mathematics
例题
将3~10这8个数分别用A~H替代，并将他们放入下面的圆圈内，就会得到如下结果：
【解题思路】
题中要求每个大圆上五个数字之和为31，那么就有如下结果：A+B+C+H+G=31，D+E+F+H+G=31，将上面2个式子相加可以得出：A+B+C+D+E+F+G+H+G+H=31+31=62，又因为前8个数相加和为52，所以G+H=10，而在3~10这8个数中，只用3和7、4和6的和是10。这个时候这个图形就变为右侧的2个图形：
mathematics
情境导入
要点诠释
要点诠释
要点诠释
要点诠释
mathematics
要点诠释
mathematics
新知探究
解答数阵问题常用的方法
第二课
学如逆水行舟，不进则退。学而时习之，不亦说乎？业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。
把2、3、4、5、6这五个数分别填入下面的五个圆圈里，使横竖两行的三个数之和都为11、12或13。
如果是中间2圆是4和6的情况，那么3、5、7、8、9、10这6个数其中三个之和要是21，那么就是5、7、9和3、8、10，这时这个题的结果
思维导引-幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案教学目标：1. 了解幻方与数阵的基本概念及其关系；2. 学会制作简单的幻方与数阵；3. 培养学生的逻辑思维能力和观察能力；4. 提高学生对数学美的欣赏能力。
教学重点：1. 幻方与数阵的基本概念；2. 制作幻方与数阵的方法。
教学难点：1. 理解幻方的性质；2. 制作具有一定规律的数阵。
教学准备：1. PPT课件；2. 练习题；3. 彩笔、白纸等。
教学过程：一、导入（5分钟）1 2 34 5 67 8 92. 学生发现这是一个3x3的幻方，接着教师讲解幻方的定义及性质。
二、幻方的概念与性质（10分钟）1. 介绍幻方的定义：幻方是指一个n×n的方阵，其每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等。
2. 讲解幻方的性质：如奇数阶幻方的中心数是幻方中所有数的平均数，且幻方的数字呈对称分布等。
3. 举例说明并引导学生验证幻方的性质。
三、制作幻方（10分钟）1. 引导学生了解制作幻方的方法：如利用中心数法、奇偶数填充法等。
2. 分组讨论，让学生尝试制作一个7x7的幻方。
3. 学生展示制作结果，教师点评并讲解制作过程中的注意事项。
四、数阵的概念与制作（10分钟）1. 介绍数阵的概念：数阵是指在二维空间内，按照一定规律排列的一组数字。
2. 讲解数阵的分类：如线性数阵、网格数阵、螺旋数阵等。
3. 引导学生观察不同的数阵类型，分析其规律。
五、欣赏与创作（5分钟）1. 展示一些具有美感的数阵图片，让学生欣赏并感受数学美。
2. 学生自由创作一个数阵，要求体现个人特色和规律。
3. 展示学生作品，大家共同欣赏、评价。
教学反思：六、数阵的规律与应用（10分钟）1. 介绍数阵在实际生活中的应用，如在计算机科学、信息编码、数据分析等领域。
8 3 1 6 4 2 9 7 54 9 2 75 3 1 8 62 7 53 1 8 64 93. 学生分组讨论，尝试找出数阵中的规律，并探讨如何在实际问题中应用这些规律。
思维导引幻方与数阵教案
思维导引-幻方与数阵教案一、教学目标1. 让学生了解幻方与数阵的基本概念，理解其内部的规律。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高逻辑思维能力。
3. 培养学生合作学习、讨论交流的意识，增强团队协作能力。
二、教学内容1. 幻方与数阵的定义与基本性质。
2. 幻方的构造方法与技巧。
3. 数阵的分类、特点及应用。
4. 利用幻方与数阵解决实际问题。
三、教学重点与难点1. 重点：幻方与数阵的基本概念、构造方法及应用。
2. 难点：发现并总结幻方与数阵的内在规律，利用其解决实际问题。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究幻方与数阵的规律。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体实例理解幻方与数阵的应用。
3. 采用合作学习法，鼓励学生分组讨论，共同解决问题。
五、教学过程1. 导入：通过引入数学趣题，激发学生对幻方与数阵的兴趣。
2. 新课导入：介绍幻方与数阵的定义，引导学生了解其基本性质。
3. 案例分析：分析经典幻方与数阵案例，让学生体会其在实际问题中的应用。
4. 规律探究：引导学生发现幻方与数阵的内在规律，总结构造方法。
5. 练习与讨论：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，并进行分组讨论。
6. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出拓展思考题，激发学生课后学习兴趣。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识，提高实践能力。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问的方式，了解学生对幻方与数阵基本概念的理解程度。
2. 练习批改：对学生的练习作业进行批改，评估学生对知识的掌握情况。
3. 分组讨论观察：观察学生在分组讨论中的参与程度，评估其合作学习的能力。
七、教学反思1. 教师总结：总结课堂教学中的优点和不足，反思教学方法的有效性。
2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解教学内容是否满足学生的需求。
3. 教学调整：根据教学反思的结果，对教学内容和方法进行相应的调整。
八、教学资源1. 幻方与数阵相关书籍：推荐学生阅读相关书籍，加深对幻方与数阵的理解。
小学数学思维训练——数阵
小学数学思维训练----数阵一、知识讲解把给定的一些数，按照一定的要求或规律填在某一特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图，有时简称数阵。
传说在四千年前，洛河洪水泛滥，大禹去治水。
有一天，从河里浮出一只大乌龟，龟驮着一本书，称为“洛书”，书上有一幅奇特的图案（见下左图）。
这幅图用现在的数字表示，即为1到9这九个数字，填在九个格子里，每一纵列、每一横行以及两条对角线上的三个数字之和都是15（见上右图）。
多么巧妙、奇特的数字图！我国古代数学家称它为“纵横图”或“九宫图”，国外称它为“魔方”或“幻方”。
我们这一讲学习的数阵问题就是由幻方演变而来的填数问题。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字的和相等。
492357816它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解决数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
二、例题解析：例1将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。
20－例2将自然数1至9，分别填在下图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。
解：中间一格所填的数，在计算时共算了4次，所以可先填中间一格的数。
（l+2+3+……+9）÷3=15，则符合要求的每三数之和为15。
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1
5、把1，2，3，4，5填入下面数阵图的圈里。
3
2
2
2 151 35 1 54
4
4
3
6、在下列图中填数，使每条线上的三个数相加都得15。
6
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9
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3
18
7、把数字1-7用三种不同的方式填入下图，要求每条线上的和相等。
5
4
1
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6
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5
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21
6
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5
2
7
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4
6
8、在圈里涂色，使每条线上都有一个蓝色的、红
1
4
【试一试】
小动物们去乐园玩“摩天轮”，要使每条线上的三个数相加等于10，那么问号 处是几号呢？
2 3
中间数是3，10-3=7， 两端配成7， 2配5 3配4， 4配3， 5配2。
4 5
【思维小妙方】
数阵图歌
数阵图，真有趣，每条线，和相等， 找准突破点，先下手为强， 已知数越多，就是关键点， 先找中间数，尝试变容易。
【百变魔方题】
1、观察数阵图，在方框中设计一个数阵图。
9
2、在下面的数阵图中按要求填上合适的数。
3
4
54
3
4
5
3、把2，3，4，5四个数字填入下面四个空格里，使横行竖 行三个数相加的得数都是8。
5
3
4
2
4、把2，4，6，8四个数填入右面四个圈里，使横行竖行三 个数相加的得数都是11。
2
4
6
8
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●
9、把2-8七个数字填入圆中，使四边形顶点上的四个数相加和相等。（填两种）
2 6
8
4
3
3
55
7
6
2
7
4
8
（第四届全国数学能力竞赛题选）
将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入下图的圆圈里， 使每条线上的三个数相加的和都是12。
2
1
3
4
5
7
6
（1）每行每列三个数的和都是（ 13 ）； （2）每行每列三个数的和都是（ 10 ）。
【填一填】
填上数，使横行、竖行的三个数相加都得12。
2+3=5，12-5=7
7
或
12-2-3=7
9 6
1+2=3，12-3=9 或
12-2-4=6
【玩一玩】
使每条线上三个数相加等于图中间的数。
（1）
（2）至少填三种答案。
简单数阵
【本讲要点】
1、渗透一种数学思想：方程与转换。 2、学习一类思维方法：根据已知求未知。 3、掌握一项基本技能：先定中心再配对。 4、体验两种数学情感：数阵的规则美与一题多解的巧妙性。
文字内
文字内容
【认一认】
认识简单“数阵图”。
一些数有规则地排成一 定的图案，如十字形、三角 形、人字形等，这样的数字 阵叫做数阵图。