解题思维与解题方法的教学
数学思维解题技巧方案
数学思维解题技巧方案数学是一门需要运用逻辑思维的科学，也是许多学生头疼的学科之一。
但是，只要我们掌握了一些数学思维解题技巧，就能够轻松应对各种数学难题。
下面，将介绍一些实用的数学思维解题技巧方案。
一、理解问题在解决数学问题之前，首先要对问题进行准确的理解。
这需要我们读懂问题中的要求，找出问题的关键信息，并将其转化为数学表达式或方程式。
在理解问题的过程中，可以使用画图、列式、构造模型等方式帮助我们更好地把握问题的本质。
二、建立关系在解决数学问题时，我们常常需要建立不同数学概念之间的关系。
比如，利用几何中的相似三角形关系来解决比例问题；利用代数中的方程组关系来解决未知量的求解问题等。
建立关系能够帮助我们更好地理解问题和找到解题思路。
三、利用模式数学中存在着大量的模式和规律，善于察觉和利用这些模式和规律，可以大大提高解题效率。
比如，在求解数列问题时，可以观察数列的差值或比值是否满足某种规律，从而找到数列的通项公式。
在解决几何问题时，可以利用图形的对称性质或相似性质来推导出一些结论。
四、逆向思维逆向思维是解决数学问题的一种常用方法。
即从问题的结果出发，反向思考问题的解决过程或条件。
逆向思维可以帮助我们更好地理解问题和确定解题思路。
比如，在解决概率问题时，我们可以先思考反面情况，然后再通过互补事件的思想来求解。
五、归纳与演绎归纳是从特殊到一般的思维方式，而演绎则是从一般到特殊的思维方式。
在解决数学问题时，我们可以通过归纳和演绎的方法来推导出一些结论或定理，从而达到解题的目的。
归纳和演绎能够培养我们的逻辑思维和分析能力，是数学思维解题的重要手段。
六、创造性思维数学思维解题并不仅仅是机械地应用规则和公式，更需要我们发挥创造性思维。
在解决数学问题时，我们可以尝试不同的思路和方法，灵活运用数学知识解决问题，甚至多角度思考问题。
创造性思维可以帮助我们培养创新精神，提高解题能力。
总结起来，数学思维解题技巧方案包括理解问题、建立关系、利用模式、逆向思维、归纳与演绎、创造性思维等。
初中数学解题思路拓展(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学解题思路拓展第一篇范文在初中数学的教学过程中，我们不仅要让学生掌握基础的数学知识，更要让他们学会如何运用这些知识来解决实际问题。
这就需要我们在教学中注重解题思路的培养，让学生能够灵活运用各种方法来解决问题。
本文将从以下几个方面来探讨初中数学解题思路的拓展。
一、理解题目要求在解题之前，首先要认真理解题目的要求。
我们要让学生学会如何从题目中提取关键信息，分析问题的本质，找到问题的切入点。
这一步是解题的基础，也是解决问题的关键。
二、运用数学知识在理解了题目要求之后，就要运用所学的数学知识来解决问题。
这个过程需要学生熟练掌握各种数学公式、定理和性质，能够迅速找到解决问题的方法。
三、培养逻辑思维逻辑思维是解决数学问题的关键。
我们要让学生学会如何运用逻辑推理来解决问题，如何从已知条件出发，通过推理得出结论。
这个过程需要学生学会分析问题、归纳问题和总结问题。
四、注重计算能力在解决数学问题时，计算能力是必不可少的。
我们要让学生掌握各种计算方法，提高他们的计算速度和准确性。
这个过程需要学生多做练习，熟练掌握计算技巧。
五、灵活运用解题方法在解题过程中，我们要让学生学会如何灵活运用各种解题方法。
有时候，一个问题可以有多种解决方法，我们要让学生学会如何选择最适合的方法来解决问题。
六、培养反思习惯解题完成后，我们要让学生学会如何进行反思，总结解题过程中的经验教训，找出自己的不足之处，以便在以后的学习中加以改进。
七、培养创新意识在解题过程中，我们要鼓励学生发挥自己的创新能力，尝试用新的方法来解决问题。
这个过程可以让学生更好地理解数学知识，提高他们的解题能力。
总之，初中数学解题思路的拓展是一个系统的过程，需要我们在教学中注重培养学生的基本素养，提高他们的数学能力。
通过以上几个方面的努力，我们可以让学生更好地掌握数学知识，提高他们的解题能力。
第二篇范文：初中学生学习方法技巧在当今教育环境中，初中生面临着日益严峻的学习挑战。
探讨解题思路与解题方法
探讨解题思路与解题方法解题思路与解题方法是解决问题的关键。
在面对各种问题时，正确的思路和方法可以帮助我们更快地找到解决方案。
本文将探讨解题思路与解题方法的重要性，并介绍一些常用的解题方法。
一、解题思路的重要性解题思路是解决问题的指导方针，它决定了我们解决问题的方向和步骤。
一个好的解题思路可以帮助我们更加清晰地理解问题，找到问题的关键点，并提供解决问题的线索。
相反，如果我们没有正确的解题思路，可能会在问题中迷失方向，浪费时间和精力。
二、解题方法的选择选择合适的解题方法是解决问题的关键。
不同的问题需要不同的解决方法。
我们需要根据问题的特点和要求，选择适合的解题方法。
下面介绍几种常用的解题方法。
1. 数学方法数学方法是解决许多问题的基础。
对于一些涉及数学计算的问题，我们可以运用数学知识，进行公式推导、运算等。
数学方法在解决实际问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们分析和处理各种数据，从而得出结论。
2. 逻辑推理逻辑推理是一种重要的解题方法。
通过分析问题的条件和规则，运用逻辑推理的方法，我们可以推断出问题的答案。
逻辑推理需要我们运用头脑思维、辨别真伪、抽象概括等能力，它在解决各种思维问题、谜题等方面起到了关键作用。
3. 归纳与演绎归纳与演绎是解决问题的重要思维方式。
归纳是从具体到抽象的思维过程，通过总结和概括具体实例的共同点，得出一般性的结论。
演绎是从一般到特殊的思维过程，通过逻辑推理，从已知的前提出发，得出特定情况的结论。
归纳与演绎相辅相成，能够帮助我们分析问题、寻找问题的规律和解决方案。
4. 创新思维创新思维是解决问题的重要手段。
在面对复杂的问题时，创新思维可以帮助我们打破传统的思维模式，寻找新的解决方案。
创新思维强调思维的灵活性和开放性，在解决问题时提倡多角度思考和跳出固有思维框架，从而找到全新的解决办法。
三、解题思路与解题方法的培养解题思路和解题方法的培养需要长期的学习和实践。
以下是一些建议：1. 培养数学和逻辑思维能力。
解决数学题的思维定式灵活运用解题技巧
解决数学题的思维定式灵活运用解题技巧数学是一门需要逻辑思维和解题技巧的学科，对于学生来说，灵活运用解题技巧是解决数学题的关键。
然而，在解题过程中，学生往往会陷入固定的思维定式，导致解题效率低下。
本文将介绍几种常见的思维定式，并提供一些灵活运用解题技巧的方法。
1. 套公式思维的局限性在解决数学题中，学生常常会过分依赖公式，认为只要套用正确的公式就能解决问题。
然而，这种思维定式忽视了问题本身的特点，导致解题方法单一，难以灵活运用。
要突破套公式思维的局限性，可以尝试以下方法：（1）理解公式的本质：通过深入理解公式的推导过程和物理意义，掌握公式的内在联系，从而能够更好地灵活运用。
（2）变量代换：对于一些复杂的公式，可以通过代入合适的变量进行简化，使问题更易理解和解决。
（3）解题策略：在解题过程中，要时刻关注问题的特点，选择合适的解题策略。
例如，有时可以通过几何图形的分析来解决代数问题，或者利用数列的性质来解决函数问题。
2. 推公式思维的陷阱在解决数学题中，学生常常会过度追求推导过程，认为只有推导过程足够严密，才能得到正确的答案。
然而，这种思维定式容易陷入无谓的细节，耗费大量时间和精力。
要避免推公式思维的陷阱，可以尝试以下方法：（1）关注问题的本质：在解题过程中，要将注意力集中在问题的本质上。
要明确问题需要解决的是什么，通过简化或逻辑推理，找到解决问题的关键。
（2）反复验证结果：在推导过程中，要及时验证中间结果的正确性。
可以通过代入数值或借助图形来验证，确保推导过程没有错误。
（3）总结规律：在解题过程中，要注意总结问题的规律和特点。
通过总结归纳，可以减少推导的复杂性，提高解题效率。
3. 机械运算思维的禁锢在解决数学题中，学生常常会过分追求机械运算，认为只要按部就班地计算，就能得到正确的答案。
然而，这种思维定式忽视了问题的整体性和思维的灵活性。
要突破机械运算思维的禁锢，可以尝试以下方法：（1）多方位思考：在解题过程中，要从多个角度思考问题，寻找不同的解决方法。
小学三年级上册数学全册教案设计：数学思维与解题技巧
小学三年级上册数学全册教案设计：数学思维与解题技巧数学思维与解题技巧在小学三年级的数学教学中，我们既要强化基础知识的传授，也要培养学生的数学思维和解题技巧。
为此，本教案计从数学思维和解题技巧两个方面入手，设计了一套全面的教学方案。
一、数学思维的培养1.每日思维训练在每节课的前五分钟，进行小学数学思维训练。
围绕数学知识点，设计一些思维性的题目，要求学生积极思考，探索解题方法。
例如：（1）“整数里面除以9余6的数有哪些？”（2）“请用三条直线将以下图形分成四个部分。
”（3）“在以下计数图中，数字0出现了几次？”通过思维训练，培养学生的数学敏感性和思维灵活性，为后面的教学打下基础。
2.视觉化教学数学是一门抽象的学科，有很多概念和符号。
为了让学生更好地理解和掌握知识，我们可以采用视觉化教学的方法，使用图形、图片、动画等辅助工具，让学生看得见、摸得着、感受到数学的美妙。
例如，在讲解足球场的周长和面积时，可以利用黑板上画一张足球场的平面图来展示。
学生可以将自己的座位位置看做足球场的四个角落，更容易理解周长和面积的概念。
3.开展数学竞赛数学竞赛不仅是对学生的知识储备和应变能力的考验，更是培养学生数学思维的重要途径。
可以组织班内、校内、区内等各种规模的比赛，激发学生对数学的兴趣和热情，提高他们的数学实力和思维能力。
二、解题技巧的提升1.解题流程的演练在每个知识点的教学过程中，要求学生跟随老师的指导，逐步理清解题步骤和方法。
例如，在学习除法时，可以先演练简单的分数除法，然后逐渐扩大范围，突破难点，掌握更多的解题技巧。
2.探究解题思路数学解题不是机械地套公式，而是要发挥思维特长，探索解题思路。
在解题过程中，老师可以引导学生思考问题的本质，任务的目标，然后由学生自己探究解决方法。
例如，在让学生解决如下问题时：一个数比8多，是12的一半，这个数是多少？老师可以引导学生探究解题思路：先设这个数为x，得到方程：x-8=12/2然后由学生自己将方程化简，解出x。
快速解题技巧迅速找到解题思路的方法
快速解题技巧迅速找到解题思路的方法学习过程中，遇到解题题目属于家常便饭。
然而，面对比较复杂的问题，有时我们很难找到解题的思路，无从下手。
为了帮助大家克服这个难题，本文将介绍几种快速解题技巧，助你迅速找到解题思路。
一、审题准确，充分理解问题解题的第一步是准确地审题和理解问题。
不论是数学题还是其他学科的题目，都需要仔细阅读题目，理解题目所要求的内容和解题的目标。
正确地理解题目，才能找到问题的关键点，从而展开思路。
在审题过程中，应注意以下几点：1. 仔细阅读题目，逐字逐句，确保理解每个字词的含义。
2. 注意题目中出现的关键词，例如“最大值”、“最小值”、“因果关系”等词语，这些关键词往往能指引我们找到解题的线索。
3. 弄清题目中给出的已知条件，并将其记录下来，以便后续的计算或推理。
4. 如果题目较长且复杂，可以适当地在纸上画图或画图解题的方式整理信息，有助于梳理思路。
二、寻找相关知识点，建立解题框架在审题准确之后，接下来的步骤是寻找与解题相关的知识点，并建立解题的框架。
通过查找教材、参考书或互联网上的资料，获得解题所需的背景知识和相关概念。
建立解题框架的过程中，可以参考以下步骤：1. 将问题的关键点整理出来，明确需要解决的主要问题是什么。
2. 在已知条件的基础上，寻找与问题相关的定理、公式或方法。
3. 根据问题的特点，确定解题的思路或步骤，并将其整理成逻辑清晰的流程图或思维导图。
建立解题框架的过程可以帮助我们系统地整理和理解所学知识，同时也为后续的解题操作提供了指导。
三、灵活应用解题策略与技巧除了掌握相关的知识点，还需要灵活运用各种解题策略和技巧。
这些策略和技巧能帮助我们更快地找到解题的思路，并提高解题的效率。
以下是几种常见的解题策略和技巧：1. 分析类比法：将问题与已知的类似问题进行比较，找出相似之处，从而找到解题的思路。
2. 逆向思维法：从问题的结果出发，反推问题的起因和解决方法。
3. 模型转化法：将问题转化成已知解法可以解决的形式，简化问题的复杂性。
数学教育：培养学生数学思维和解题技巧的方法
数学教育：培养学生数学思维和解题技巧的方法引言数学是一门智力和逻辑训练的学科，也是培养学生思维能力和解决问题的重要工具之一。
然而，许多学生在学习数学时遇到困难，可能是因为缺乏正确的学习方法和解题技巧。
为了帮助学生更好地掌握数学，并培养他们的数学思维和解题技巧，教师和教育机构需要采用有效的教学方法。
本文将探讨一些可用于提高学生数学思维和解题技巧的方法。
培养数学思维的方法1. 提供实际应用的数学问题将抽象的数学概念与实际生活中的问题联系起来，可以帮助学生理解和应用数学的思维方式。
例如，教师可以提供一些关于日常生活、工程设计或经济管理等领域的实际问题，要求学生运用数学知识进行解决。
通过这种实践中的学习，学生能够将数学知识转化为实际问题的解决能力，并培养出创新思维和解决问题的能力。
2. 鼓励学生提出问题和探索在数学教学中，鼓励学生提出问题和进行探索是培养数学思维的重要方法之一。
教师可以引导学生在学习过程中主动思考和发问，促使他们思考问题的本质、方法和解决途径。
通过这样的训练，学生将培养出质疑精神和发散思维，从而更好地理解数学知识和解题技巧。
3. 创设合适的学习环境创建合适的学习环境对于培养学生的数学思维至关重要。
教室布置、教学资源的准备、学习氛围的营造等方面都可以影响学生的思维活动和学习效果。
例如，为学生提供足够的数学工具和参考资料，设置具有挑战性的数学问题，组织数学竞赛等活动，都有助于激发学生的兴趣和积极性，并促进他们的数学思维发展。
培养解题技巧的方法1. 教授解题策略和方法解题策略和方法是学生成功解决数学问题的关键。
教师需要向学生介绍和演示一些常用的解题策略和方法，例如分析问题、推理和归纳、模拟和验证等。
通过示范和实践，学生可以学会运用这些策略和方法解决各种类型的数学问题，并提高解题效率和准确性。
2. 提供足够的练习机会熟能生巧，解题也需要大量的实践。
提供足够的练习机会可以帮助学生熟悉各种解题方法，并培养他们的解题技巧。
高中数学解题思路方法与技巧分析
高中数学解题思路方法与技巧分析高中数学是学生们学习过程中的一门重要学科，数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的方法。
掌握高中数学解题的思路、方法和技巧对学生们来说至关重要。
本文将从解题的一般思路入手，分析高中数学解题的方法与技巧，希望能为学生们提供一些解题的帮助。
一、数学解题的一般思路1. 理清题意。
在解题之前，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的情境或问题，找出题目中涉及的数学概念和知识点。
只有理清题意，才能正确地解答问题。
2. 探索问题，分析问题。
在理清题意的基础上，要对问题进行分析，弄清问题所涉及的数学原理和解决方法。
这个阶段通常需要考虑问题的各种可能性，进一步理解问题。
要灵活地运用各种数学思维方法，进行深入探讨，挖掘问题的本质。
3. 创立解决问题的数学模型。
在理解和分析问题后，要根据题目中的信息，建立问题的数学模型，将问题转化为数学形式，从而更好地解决问题。
4. 运用数学工具解决问题。
在建立了数学模型之后，就可以运用相应的数学原理、定理和方法，来解决问题。
这一步可能涉及到代数运算、几何推理、函数分析等等，需要根据具体情况进行灵活运用。
5. 检验与分析解答结果。
在解答问题之后，要对解答结果进行检验和分析，确认解答是否符合题目的要求，是否存在逻辑和数学上的错误，并且可以从解答结果中得出一些结论或启示。
二、高中数学解题的方法与技巧1. 掌握基本概念和定理。
在解题过程中，必须熟练掌握基本的数学概念和定理，比如三角函数、数列、导数积分等等，只有掌握了这些基本知识，才能更好地解决问题。
2. 善于画图。
在解决几何题目时，可以通过画图的方式，更好地理解题目并得出解答，画图是解决几何问题的有效方法，可以帮助我们看清问题的本质。
3. 灵活运用公式和定理。
在解题过程中，灵活运用各种数学公式和定理，可以帮助我们更快地解决问题，但也要注意不要机械应用，要结合具体情况适当变形或组合使用。
4. 善于进行逻辑推理。
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解题思维与解题方法的教学韶关市教育局教研室 谢春荣摘要 数学教学的最终目标是问题的解决。
数学问题千变万化，但都隐含着一定的解题规律，教师在解题教学中要引领学生去把握住这些规律性的东西，就要在教学设计中融入自己的教学观点，针对学生普遍存在的问题，侧重思维切入点和排除思维障碍两个方面，并精心设计教学过程，让学生理解各种解题策略，养成良好的解题思维习惯。
关键词 切入 联系 判断 评价 设计数学问题的解决既讲究思维切入点，又离不开数学思想方法。
很多学生解题时漫无目的，东碰一下，西碰一下，对自己的解题思路和解题方案没有信心。
在教学中，这个问题我们应该在学生对解题规律的把握以及对解题策略的理解上找原因。
先看一个例子： 【例1】已知函数1)(2++=bx ax x f )0,(>∈a R b a 、，设方程x x f =)(的两根为1x 和.2x 如果4221<<<x x ，函数)(x f 的图象的对称轴是0x x =，求证 .10->x题目的背景是二次函数，学生容易想到从它的图象切入，解题方向就定下来了。
对于方程0)(=-x x f 即01)1(2=+-+x b ax 的根1x 、2x 满足42021<<<<x x ，我们从中可得到什么？必须要做的是画出满足条件的草图。
我们便可从图中分析出一些关系：0)2(<f ；.0)4(>f至此，我们便可从这些关系找出对称轴abx 20-=的范围： 由⎩⎨⎧>+-+<+-+01)1(41601)1(24b a b a 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><8141a b 从而 2<a b∴ 120->-=abx . 当手上有较多的条件，一时之间又理不清各条件的联系时，不要忘了从反面去分析： 如果 120-≤-=abx ，有 a b 2≥ (多一个假设条件用) 由 01)1(24<+-+b a 得 a b 412-<∴ 81414<⇒-<a a a 又由 01)1(416>+-+b a 得 b a 4316->∴ 41243>⇒<-b b ① 又由 01)1(24<+-+b a 得 b a 214-< 由 01)1(416>+-+b a 得 4434ba ->∴4121443<⇒-<-b b b 与①矛盾。
数学问题虽然千变万化，但都隐含着一定的解题规律，教师在解题教学中就是要注重引领学生去把握住这些规律性的东西，理解各种解题策略，养成良好的解题思维习惯。
首先，在教学设计中我们要注重以下四点：1．培养学生注重审题的习惯 2．注意条件与知识的联系 3．注重对知识方法的再认识 4．重视对解题过程的反思审题能力的强弱决定了学生对问题的认识深度和思维的敏锐性。
对于审题，大部分学生都知道它的重要性，但在教学中会发现，学生的解题习惯往往使他们容易忽略这一重要环节，缺少审题这一环节，就难以找到条件与知识的联系，这是解题速度慢的主要原因。
因此，提高学生的审题能力要从习惯的养成、意识的培养开始。
解题能力的提高在于对自我的认识，在于对本身解题过程应用所学知识、方法的得失评价。
只有善于总结、善于反思，才能做到对知识、方法在认识上的不断提高，最终形成能力。
下面就本人对解题教学的一些思考谈谈这几个方面的问题。
一、 关于解题过程中的知识联系 1．从审题到知识联系审题是为了：① 熟悉问题，搞清题意；② 从题目中获取有用的信息，根据获取的信息选择思维切入点；③ 沟通条件与条件、条件与结论之间的联系，这种联系实质上是知识的联系，将储存的知识合理地提取并运用它有效地使用题设条件。
【例2】 已知)(x f 是减函数，且x ax f =+)3( )0(≠a ，)(x f 的反函数)(1x f-的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,2，求)(x f 的定义域。
审题：（1）x ax f =+)3( –––––增函数 （2）)(x f 是减函数 ––––– 0<a（3）区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,2 ––––– 0<a（4）)(1x f-的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,2 –––)(x f 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡a a 1,2. 思维切入点：求)(x f 的表达式审题中的（2）、（3）虽然结论一样，但寻求结论的途径不同，两者都要留意。
如：将区间改为[]1,2--，就只能从（1）、（2）去寻求结论。
此例涉及的知识：区间概念，反函数概念，复合函数单调性，函数定义域、值域、对应关系，不等式性质。
此例涉及的方法：换元法，不等式解法。
通过审题，清楚要用的知识，联系这些知识确认解题方案和使用的方法。
【例3】 ,,,,21n P P P 是函数x y =)0(≥x 的图象上的点列， ,,,,21n Q Q Q 是x 轴正半轴上的点列，,,,,122111n n n P Q Q P Q Q P OQ -∆∆∆都是正三角形，它们的边长分别为 ,,,,21n a a a . n S 是数列{}n a 的前n 项和。
（Ⅰ）求.,,321S S S 推测n S 的表达式，并证明你的结论；（Ⅱ）设 ,,,,122111n n n P Q Q P Q Q P OQ -∆∆∆的面积分别为 ,,,,21n T T T求.limnnn S T ∞→审题：（1）正三角形–––––––要联系正三角形有关性质（2）正三角形有一个顶点在函数x y =的图象上–––––––––––––––––––– 建立关于i a )3,2,1(=i 的方程此题综合性教强，但只要在审题中抓住“正三角形”这一重要条件，就能找到思维切入点，从而产生有效的知识联系。
2．从目标确立到建立联系解题能力强的学生在解题时有两个特点：一是有目标导向；二是能建立有效的知识联系。
具备这两个特点，就会有清晰的解题思路，有合理的判断及严密的推理过程。
【例3】集合{}1>=t t A ，A 到坐标平面XOY 上的点集B 的映射为).14,(:-→t tt t f 设集合 {}.),(222r y x y x C ≥+=，求满足C B ⊆的正实数r 的最大值。
分析：由C B ⊆，有214r t tt ≥-+. 即当1>t 时，14-+t t t 的任何值都不小于2r .故目标为：当1>t 时，求14-+t tt 的最小值。
知识联系：（1）由1>t 知01>-t ，结合14-+t tt 的形式联想到不等式性质；（2）通过分拆14-t t使14-+t t t 变为5141+-+-t t .在认真审题，理解题意，初步分析的基础上确定解题目标，有助于建立有效的知识联系，同时也使问题转化成熟悉的和更为简单的问题。
解题目标可以是求解目标，也可以是阶段目标，目标的确立能使思维有序以及分析指向得以明确，使解题过程合理和更有效率。
【例5】数xxy cos 3sin 1+-=的值域.所给函数不是常见类型，必须对函数解析式实施转化才能求得它的值域。
因此要考虑一个目标：将函数解析式作怎样的变形转化才有效？这个目标就是一个阶段目标。
目标的确立是建立在观察、联想、分析、合理判断的基础上的，问题转化的方式方法随着问题的变异而有所不同。
此题在学生熟知的题型：求xd c xb a y sin sin +-=的值域的基础上，向求xd c xb a y cos sin +-=的值域的做法进行迁移：11)31(0131)4sin(cos 3sin 1222≤+-≤⇒+-=+⇒+-=y y y y x x x y π 若能注意到x x y cos 3sin 1+-=与xd c xb a y sin sin +-=的区别，我们就会发现题目所呈现的实际上是一个二元（x sin 和x cos ）问题，因此目标是：把它变成一个一元问题。
有了这个目标，知识的联系就会更加丰富：联系一：三角变形即246164210004)1(242)1(cos 22)cos (sin 2222222222222++=++=≠==++=+-=+-=u u tt y t y t t t tg tg y xxx x x ，时当时，当通过等价变形，把原来的问题变为学生熟悉的求二次函数值域的问题。
在这个转化过程中，也许一开始不清楚转化的具体目标是什么，但方向（二元问题化为一元问题）是十分明确的。
联系二：从函数的解析式联想到直线斜率公式，把问题转化为：求点)1,3(与点)sin ,cos (x x -的连线的斜率的取值范围。
联系三：从函数的解析式联系到复数)sin 1()cos 3(x i x z -++=的辐角的正切值，把问题转化为：求复数)sin 1()cos 3(x i x z -++=的辐角的正切值的取值范围。
为方便求解，将复数)sin 1()cos 3(x i x z -++=变形为)sin cos ()3(x i x i z +--+=，再利用复数减法运算的几何意义将问题转化为求点)1,3(与点)sin ,cos (x x -的连线的斜率的取值范围。
二、 关于解题过程中的障碍排除解题的每一步，都要分析当前结论，判断下一步该怎样走。
就象一个个十字路口在前面，每到一个十字路口，我们都要作出准确的判断和合理的分析，“分析——判断，判断——分析”贯穿解题始终。
当解题遇到障碍时，学生通常表现为思维停顿、不会整理思路、不能对自己的思维过程作出评价和判断。
因此，在教学中要突出在遇到思维障碍时重整思路，重新审题、分析和判断的必要性和重要性，看看条件的使用情况，有什么是没有注意到的，看看还有没有新的发现；如果还不能排除或者排除起来比较繁琐时，就要想办法绕开它。
绕开它是换一个角度看（分析）问题，改变解题方向，选择另一解题途径。
如在前面的例3中，要用数学归纳法证明3)1(+=n n S n ，从假设k n =时等式成立到证明1+=k n 时等式也成立的过程：假设 k n = 时等式成立，即 3)1(+=k k S k 那么 1113)1(+++++=+=k k k k a k k a S S 在这一步，遇到 ?1=+k a 的障碍，在前面的推导中已知道32na n =，但这是推测而未经证明的结果，不能直接使用，另外再证也没必要，怎么办？我们回到开始的分析，从图中第1+k 个正三角形看，存在着1+k k a S 与的关系：22311+++=k k k a S a23)1(2431121+++++=+=k k k k a k k a S a )1(469121+=-++k k a a k k 221)12()13(+=-+k a k01>+k a∴ 3)1(21+=+k a k 从而 3)2)(1(3)1(23)1(1++=+++=+k k k k k S k ∴ 当1+=k n 时，等式也成立。