沪科版 勾股定理 单元综合练习
沪科版八年级数学下册《第18章勾股定理》单元检测卷(附带答案)
沪科版八年级数学下册《第18章勾股定理》单元检测卷(附带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．如图，在四边形ABCD中∠ABC=90°，AB2BC7DC＝4，AD=5，则四边形ABCD的面积是（）A．614B．16142C．1214+D．122．若3、4、a为勾股数，则a的值为（）A7B．5C．5或7D．573．一云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底端在水平方向滑动BB'的长是（）A．10米B．8米C．6米D．4米4．已知，如图长方形ABCD中3AB=，9AD=将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE 的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．125．在3×3的正方形方格中∠1和∠2的位置和大小分别如图所示，则∠1+∠2＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．如图，在ABC 中3ABC A ∠=∠，CD 平分ACB ∠且BD CD ⊥，BC=10，DC=8，则AC =（ ）A ．18B ．20C ．22D ．257．在正方形网格中网格线的交点称为格点，如图是 3×3 的正方形网格，已知 A ，B 是两格点，C 是不同于点A 和B 的格点，下列说法正确的是（ ）.A ．ΔABC 是直角三角形，这样的点C 有4个B ．ΔABC 是等腰三角形，这样的点C 有4个C ．ΔABC 是等腰直角三角形，这样的点C 有6个D ．ΔABC 是等腰直角三角形，这样的点C 有2个8．如图，在ABC 中3,4,90AC BC C ==∠=︒，若P 是AB 上的一个动点，则AP BP CP ++的最小值是（ ）A ．5.5B ．6.4C ．7.4D ．89．如图，在ABC 中1012AB AC BC ===，，AD 是BC 边上的高，若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC PQ +的最小值是（ ）A ．4.8B ．6C ．9.6D ．1210．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边5AC cm =，12BC cm =现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）A ．3cmB ．103cmC ．5cmD ．8cm11．如图，如果半圆的直径恰为直角三角形的一条直角边，那么半圆的面积为( )2cm ．A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π12．∠ABC 中如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则∠ABC 的直角是（ ）A ．∠ CB ．∠AC ．∠BD ．不能确定二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．小聪准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为 m ．14．如图，数轴上点A 、B 对应的数分别是1，2，过点B 作PQ AB ⊥，以点B 为圆心，AB 长为半径作圆弧，交PQ 于点C ，以原点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交数轴于点M ，当点M 在点B 的右侧时，点M 对应的数是 ．15．如图，在ABC 中90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，AB=15，9AC =则点D 到AB 的距离是 ．16．如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积分别为225和144，则正方形A 的边长为 ．17．如图，在等边ABC 中6AB BD AC =⊥，于点D ，点E F 、分别是BC DC 、上的动点，沿EF 所在直线折叠CEF △，使点C 落在BD 上的点C '处，若BEC '△是直角三角形，则DC '的值为 ．18．过线段AB 的一个端点B 作BD AB ⊥，使得12BD AB =，连接DA ，在DA 上截取DE DB =，在AB 上截取AC AE =，AB=2，求AC BC 的值 ．19．已知：如图，在四边形ABCD 中∠DAB=90°，AD∠BC ，AD=1，AB=3，将∠ABD 沿直线BD 翻折，点A 恰好落在CD 边上点A '处，则BC 的长20．如图1，点P 从∠ABC 的顶点A 出发，沿A ﹣B ﹣C 匀速运动，到点C 停止运动．点P 运动时，线段AP 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2所示，其中D 为曲线部分的最低点，则∠ABC 的面积是 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，在ABC 中AD∠BC ，垂足为D ，∠B=60°，∠C=45°（1）求∠BAC 的度数；（2）若BD=2，求CD 的长.22．如图，在梯形ABCD 中,90,8AD BC ABC AB BC ∠=︒==∥，点E 在边AB 上DE CE ⊥，DE 的延长线与CB 的延长线相交于点F ．(1)求证：DF CE =；(2)当点E 为AB 中点时，求CD 的长；(3)设,CE x AD y ==，试用x 的代数式表示y ．23．如图，在∠ABC 中已知45B ∠=︒，和105C ∠=︒，20AC =求线段AB 的长．24．如图，∠ABC中∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，交BC于点D．动点Q从点B出发，按BC—CA的折线路径，以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒．(1)当点Q在AC边上运动时，线段AQ长为（用含t的代数式表示）(2)当点Q在AC边上运动时，线段BQ长度不可能是．（填序号即可）∠7.2∠5.3∠4.8∠4.5(3)求∠ADC的面积．(4)当∠ABQ为轴对称图形时，请直接写出t的值．25．定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．(1)若一个三角形的三边长分别是52，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；(2)若一个直角三角形是平方倍三角形，直角边长为a，b，斜边为c，求a：b：c的值；(3)如图，ABC中BC＝2，CD为ABC的中线，且CD＝1AB．若ACD是平方倍三角形，求ABC的面2积．参考答案：1．B2．B3．B4．C5．B6．C7．C8．C9．C10．B11．B12．B13．21421/1215．9216．917．633-31851+19．5．20．4821．（1）75°；（2）322．(1)11(2)10 (3)2216488y x x =--23．1031024．(1)18-t (2)∠(3)15(4)6或13或12或54525．(1)这个三角形是“平方倍三角形”；(2)::2a b c =25或2。
沪科版八年级数学下学期第18章勾股定理单元测试卷 (含答案)
沪科版八年级数学下册第18章勾股定理单元检测卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1443. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cm D.122cmcm C.62cm B.424．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，AB＝13，CD＝6，则(AC＋BC)2等于( )A.25B.325C.2197D.4055. 已知三角形的三边长为a b c 、、，由下列条件能构成直角三角形的是（ ）A.()()2222221,4,1a m b m c m =-==+B.()()222221,4,1a m b m c m =-==+C.()()222221,2,1a m b m c m =-==+D.()()2222221,2,1a m b m c m =-==+6. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（ ）A ．90 B ． 100 C ． 110 D ． 121B ． 二、填空题（本大题共12 题，每题4分，满分48分）7．如图，B ，C 是河岸边两点，A 是对岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝60米，则点A 到岸边BC 的距离是______米．8．在直角三角形中，一条直角边为11cm ，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．9.如图，圆柱形容器中，高为120cm ，底面周长为100cm ，在容器内壁离容器底部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm 与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__________cm ．（容器厚度忽略不计）10．如图，平面上A、B两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现C处有食物，已知点C在A的东南方向，在B的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从A、B两地出发爬向C处，速度都是30cm／min.结果甲蚂蚁用了2 min，乙蚂蚁2分40秒到达C处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距_______cm.11. 小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？______________（填“能”或“不能”）．12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．13．已知：△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，BC＝_______．14．如图，E是边长为4cm的正方形ABCD的边AB上一点，且AE=1cm，P为对角线BD上的任意一点，则AP+EP的最小值是____________cm．15．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和2cm，高为4cm，点P在边BC上，且BP=14 BC．如果用一根细线从点A开始经过3个侧面缠绕一圈到达点P，那么所用细线最短需要_________cm．16.小明把一根70cm长的木棒放到一个长宽高分别为30cm，40cm，50cm的木箱中，他能放进去吗？答：__________（选填“能”或“不能”）．17. 已知长方形OABC，点A、C的坐标分别为OA=10，OC=4，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，CP的长为________．18. 如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝________.三、解答题:（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）甲乙两船从位于东西走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．20．（本题满分10分）如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD 的长．21．（本题满分10分）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B'处，点A的对应点为A'，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．求BN的长.22. （本题满分10分）如图所示，已知D、E、F分别是△ABC中BC、AB、AC边上的点，且AE＝AF，BE＝BD，CF＝CD，AB＝4，AC＝3，32BDCD=，求：△ABC的面积．23．（本小题满分12分）如图等腰△ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一个动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究，当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直．24．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．25．（本题满分14分）如图1，四根长度一定的木条，其中AB＝6cm，CD＝15cm，将这四根木条用小钉绞合在一起，构成一个四边形ABCD（在A、B、C、D四点处是可以活动的）.现固定AB边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过程中有以下两个特殊位置.位置一：当点D在BA的延长线上时，点C在线段AD上（如图2）；位置二：当点C在AB的延长线上时，∠C＝90°．（1）在图2中，若设BC的长为x，请用x的代数式表示AD的长；（2）在图3中画出位置二的准确图形；（各木条长度需符合题目要求）（3）利用图2、图3求图1的四边形ABCD中，BC、AD边的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）12 3 4 5 6 C C C D C D二、填空题（本大题共12 题，每题4分，满分48分）7．【答案】30；8.【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132.9.【答案】130；10．【答案】100；【解析】依题知AC ＝60cm ，BC ＝80cm ，∴ AB2＝602+802＝1002，AB=100cm ． 11.【答案】能；【解析】可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x2=502+402+302=5000， 702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．12.【答案】81； 13.【答案】14或4；【解析】当△ABC 是锐角三角形时，BC ＝9＋5＝14；当△ABC 是钝角三角形时，BC ＝9－5＝4. 14．【答案】5【解析】作E 点关于直线BD 的对称点E ′，连接AE ′，则线段AE ′的长即为AP+EP 的最小值5.15．【答案】5【解析】∵长方体的底面边长分别为1cm 和2cm ，高为4cm ，点P 在边BC 上，且BP=14BC ，∴AC=4cm ，PC=34BC=3cm ，根据两点之间线段最短，AP=5. 16．【答案】能；【解析】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm ，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．17.【答案】3，2， 8；【解析】以O 为等腰三角形的顶点，作等腰三角形1OPD ，因为1OP ＝5，114PH OC ==，所以由勾股定理求得13OH =，所以13CP =，同理，以D 为等腰三角形的顶点，可求出232,8CP CP ==.如图所示.18．【答案】90°；【解析】延长AD 到M ，使DM ＝AD ，易得△ABD ≌△MCD ．∴ CM ＝AB ＝5 AM ＝2AD ＝12 在△ACM 中22251213+= 即222CM AM AC +=∴∠AMC ＝∠BAD=90°三、解答题:（本大题共7题，满分78分）19．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里， ∵602+802=1002，∴∠BAC=90°，∵C 岛在A 北偏东35°方向，∴B 岛在A 北偏西55°方向．∴乙船所走方向是北偏西55°方向．20．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中，根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++， 解得x ＝5．所以BD ＝5.21. 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=．设BN B N x '==，则9CN x =-．∵ 正方形ABCD ，∴ o 90C ∠=．∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3，∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴ 5BN =.22.【解析】 解：∵32BD CD =，设BD ＝3x ，则CD ＝2x ，由AE ＝AF ，BE ＝BD ，CF ＝CD ， 即AF ＝3－2x ，AE ＝4－3x ， ∴ 3－2x ＝4－3x ，解得x ＝1．∴ BC ＝3x ＋2x ＝5 又∵ 222345+=，即222AC AB BC +=∴ △ABC 是直角三角形，∠A ＝90°．∴ 1143622ABC S AB AC ==⨯⨯=g △ 23．【解析】解：如图，作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵BC=8cm ，∴BD=CD=21BC=4cm ， ∴AD=3，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA ⊥AC 时，∵AP2=PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+AD2=PC2﹣AC2，∴PD2+32=（PD+4）2﹣52∴PD=2.25，∴BP=4﹣2.25=1.75=0.25t ，∴t=7秒，当点P 运动t 秒后有PA ⊥AB 时，同理可证得PD=2.25，∴BP=4+2.25=6.25=0.25t ，∴t=25秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．24.【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥ON 于点D ，∵∠NOM=30°，AO=80m ，∴AD=40m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离为40米；（2）由图可知：以50m 为半径画圆，分别交ON 于B ，C 两点，AD ⊥BC ，BD=CD=21BC ，OA=80m ， ∵在Rt △AOD 中，∠AOB=30°，∴AD=21OA=21×80=40m ， 在Rt △ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：m AD AB BD 3040502222=-=-=，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BD 时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即3006018000=米/分钟， ∴重型运输卡车经过BD 时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．25.【解析】解：（1）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变，BC ＝x ， ∴ 在图2中，AC ＝BC －AB ＝x －6，AD ＝AC ＋CD ＝x ＋9．（2）位置二的图形见图3．（3）∵ 在四边形ABCD 转动的过程中，BC 、AD 边的长度始终保持不变， ∴ 在图3中，BC ＝x ，AC ＝AB ＋BC ＝6＋x ，AD ＝x ＋9．在△ACD 中，∠C ＝90°由勾股定理得222AC CD AD +=．∴ 222(6)15(9)x x ++=+．整理，得2212362251881x x x x +++=++．化简，得6x ＝180．解得 x ＝30．即 BC ＝30．∴ AD ＝39．。
沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理单元测试题
第18章勾股定理一、选择题(每题4分,共40分)1.下列几组数中,为勾股数的一组是()A.5,6,7B.3,-4,5C.0.5,1.2,1.3D.20,48,522.已知a,b,c是三角形的三边长,且满足(a-6)2++|c-10|=0,则该三角形是()A.等腰三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.直角三角形3.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草,则他们仅仅少走(假设2步为1 m)()A.2步B.4步C.5步D.10步第3题图第5题图第6题图4.小明从一根长为6 m的钢条上截取一段,截取的钢条恰好与两根长分别为3 m,5 m的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来的钢条长应为()A.4 mB. mC.4 m或 mD.6 m5.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A.48B.60C.76D.806.如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与点A重合,点C'落在AB边上,连接B'C.若∠ACB=∠A'C'B'=90°,AC=BC=3.则B'C的长为()A.3B.6C.3D.7.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米第7题图第8题图8.如图,分别以Rt△ABC的三边为边向外作等边三角形,若AB=4,则三个等边三角形的面积之和为()A.8B.6C.18D.129.如图,一张长方形纸片ABCD,AB=6,BC=9,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为()A. B.2 C.5 D.7第9题图第10题图10.图1是我国著名的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形所围成,将四个直角三角形的较短边(如AF)向外延长1倍分别得到点A',B',C',D',并顺次连接得到图2.若正方形EFGH与正方形A'B'C'D'的面积分别为1 cm2和85 cm2,则图2中阴影部分的面积是()A.15 cm2B.30 cm2C.36 cm2D.60 cm2二、填空题(每题5分,共20分)11.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是.12.如图,校园内有两棵树,相距8 m,一棵树高13 m,另一棵树高7 m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞m.第12题图第13题图第14题图13.如图是一个底面周长为24 m,高为5 m的圆柱体,一只蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为m.14.如图,已知1号、4号两个正方形的面积和为7,2号、3号两个正方形的面积和为4,则a,b,c三个正方形的面积和为.三、解答题(共90分)15.(8分)如图,在△ABC中,AB=10,BC=16,BC边上的中线AD=6.求证:AB=AC.16.(8分)某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为小花园,如图,∠ACB=90°,AC=40 m,BC=30 m.计划建一条水渠CD,且点D在边AB上,已知水渠的造价为3 000元/m,点D距点A多远时,此水渠的造价最低?最低造价是多少?请在图上标出点D.17.(8分)如图,在由边长为1的小正方形组成的网格图中,四边形ABCD的顶点都在格点上.(1)求四边形ABCD的周长;(2)判断AD与DC是否垂直?并说明理由.18.(8分)如图所示的是一个十字路口,O是两条公路的交点,A,B,C,D表示公路上的四辆车.某一时刻,OC=8 m,AC=17 m,AB=5 m,BD=10 m,求C,D两辆车之间的距离.19.(10分)如图,阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,已知S1+S2=5,且AC+BC=6,求AB的长.20.(10分)有一艘渔船在海上C处作业时发生故障,立即向搜救中心发出求救信号,此时搜救中心的两艘救助轮一号和二号分别位于海上A处和B处,B在A的正东方向,且距A 100海里.测得点C在A的南偏东60°方向上,在B的南偏东30°方向上,如图所示.若救助轮一号和二号的速度分别为40海里/时和30海里/时,问搜救中心应派哪艘救助轮才能尽快赶到C处救援?(≈1.7)21.(12分)如图,点A是5×5网格中的一个格点,图中每个小正方形的边长为1,请在网格中按下列要求操作(顶点都在格点上的多边形为格点多边形):(1)以点A为其中的一个顶点,在图1中画一个面积等于3的格点直角三角形;(2)以点A为其中的一个顶点,在图2中画一个面积等于的格点等腰直角三角形;(3)以点A为其中的一个顶点,在图3中画一个三边边长比为1∶∶,且最长边的长度为5的格点三角形.22.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α,点D关于直线AE的对称点为F.(1)如图1,若α=45°,求证:DE2=BD2+CE2;(2)如图2,若α=45°,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还成立吗?请说明理由.23.(14分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪灵感.他发现,当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明勾股定理.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程.如图1,△ACB≌△DEA,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.证明:连接DB,DC,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=EC=b-a.则S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图2证明勾股定理.如图2,△ACB≌△AED,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.图1 图2答案15. 因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD=BC=8,又因为AB=10,AD=6,所以AD2+BD2=AB2,所以△ADB是直角三角形,AD⊥BC.在Rt△ADC中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2=62+82=102,所以AC=10,所以AB=AC.16. 如图,过点C作CD⊥AB于点D,则点D为所求的点.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB===50(m).∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴CD===24(m).在Rt△ACD中,由勾股定理,得AD===32(m).∵水渠的造价为3 000元/m,∴水渠的最低造价为3 000×24=72 000(元).故当点D距点A 32 m时,此水渠的造价最低,最低造价是72 000元.17. (1)由题意可知AB==3,AD==,DC==2,BC==,∴四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+AD=3++3.(2)AD⊥DC,理由如下:连接AC.∵AD=,DC=2,AC=5,∴AD2+CD2=AC2,∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°,∴AD⊥DC.18. 在Rt△AOC中,由勾股定理得OA2+OC2=AC2,∴OA===15(m),∴OB=OA+AB=20 m.在Rt△BOD中,由勾股定理得BD2=OB2+OD2,∴OD===10(m),∴CD=OD-OC=10-8=2(m).19. 由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,∴由题图可知S1+S2=π×()2+π×()2+×AC×BC-π×()2=(AC2+BC2-AB2)+×AC×BC=×AC×BC,∵S1+S2=5,∴AC×BC=10,∴AB===4.20. 如图,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.由题意得∠EAC=60°,∠FBC=30°,∴∠1=30°,∠2=60°.∵∠1+∠BCA=∠2,∴∠BCA=30°,∴∠1=∠BCA,∴BC=AB=100海里.在Rt△BDC中,BD=BC=50海里,∴DC==50海里,AD=AB+BD=150海里.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC==100 海里,∴救助轮一号所用的时间t1==≈4.25(时),救助轮二号所用的时间t2==≈3.33(时),∵3.33<4.25,∴搜救中心应派救助轮二号才能尽快赶到C处救援.21. (1)如图1所示.(画法不唯一)(2)如图2所示.(画法不唯一)(3)∵三角形的三边边长比为1∶∶,且最长边的长度为5,∴三边长分别为,,5,满足题意的格点三角形如图3所示.(画法不唯一)22. (1)∵点D,F关于直线AE对称,∴AD=AF,DE=EF,∠FAE=∠DAE=α.∴∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAF=∠BAD,又∵AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,∠ACF=∠ABD.∵∠BAC=2α=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACF=45°,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°,∴EF2=EC2+CF2.∵BD=CF,DE=EF,∴DE2=BD2+CE2.(2)成立.理由如下:∵点D,F关于直线AE对称,∴AD=AF,DE=EF,∠FAE=∠DAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠CAF=∠BAD,又∵AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,∠ACF=∠ABD.∵∠BAC=2α=90°,AB=AC,∴∠ABD=∠ACB=45°,∴∠ACF=45°,∴∠ECF=180°-∠ACB-∠ACF=90°,∴EF2=CF2+CE2.∵EF=DE,CF=BD,∴DE2=BD2+CE2.23. 如图,连接BD,BE,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab. 又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.。
沪科版八年级数学下《第18单元勾股定理》单元测试题含解析
沪科版8年级数学（下）第18章单元精编试题(含解析)满分：150分一、单选题（共10题；共40分）1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A. 2，3，4B. 10，8，4C. 7，25，24D. 7，15，122.在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形3.如图所示，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（）米．A. 15B. 20C. 3D. 244.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是（）A. 2，3，4B. 5，3，4C. 4，6，9D. 5，11，135.如图，在平面直角坐标系中，有两点坐标分别为（2，0）和（0，3），则这两点之间的距离是（）A. B. C. 13 D. 56.以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）A. 1，1，B. 6，8，10C. 8，15，17D. 1，2，27.如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=12,CD是斜边AB边上的中线,则CD=A.2.5B.6C.13D.6.59.若三角形三边的长为下列各组数，则其中是直角三角形的是（）A. 6，6，6B. 5，12，13C. 4，5，6D. 5，5，810.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°二、填空题（共4题；共20分）11.现用火柴棒摆一个直角三角形，两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒，则斜边需用________根同样的火柴棒．12.如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：________三角形．13.如图是一段楼梯，高BC是3米，斜边AC是5米，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯________米．14.一木杆于离地面9m处断裂，木杆顶落于离木杆底部12m处，则木杆在断裂前高________ m．三、解答题（共7题；共60分）15.（8分）一块空地的如图如示，AB=9m、BC=12m、CD=8m、AD=17m、∠ABC=90°，求这块空地的面积．16.（8分）如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？17.（8分）如图，在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里速度全速前进，2小时后甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船沿那个方向航行吗？18.（8分）如图，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE是AB边上的高，且DE=7，△ABE的面积为35，求∠C 的度数．19.（8分）在右图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．请在图中画一个面积为10的正方形，并写出其边长．（要求：正方形的顶点都在格点上）20.（10分）在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD=5 ，CD=5，∠ABC=90°，求对角线BD的长．21.（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动．设运动的时间为t s.(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值．四、综合题（共2题；共30分）22.如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米．（1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）；（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC=0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？23.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】勾股数【解析】【解答】解：A、不能，因为：22+32≠42；B、不能，因为：82+42≠102；C、能，因为：72+242=252；D、不能，因为：72+122≠152；故选：C．【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．2.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，故选B．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．3.【答案】D【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC= =15米，于是折断前树的高度是15+9=24米．故选D ．【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．4.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、22+32≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；B、32+42=52，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；C、42+62≠92，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；D、52+112≠132，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误．故选B．【分析】勾股定理的逆定理是判定直角三角形的方法之一．5.【答案】A【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：∵A（2，0）和B（0，3），∴OA=2，OB=3，∴AB= = = ．故选A ．【分析】先根据A、B两点的坐标求出OA及OB的长，再根据勾股定理即可得出结论．6.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、12+12= 2，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；B、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；C、82+152=172，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；D、12+22=≠22，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意．故选D．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．7.【答案】C【考点】勾股定理【解析】【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．【解答】根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．∵（)2+（)2=（)2．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故选C．【点评】本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．8.【答案】D【考点】勾股定理9.【答案】B【考点】勾股定理的逆定理【解析】【分析】找出四个选项中三个数字中最大的数，求出最大数的平方，剩下两数求出平方和，结果相等可根据勾股定理的逆定理得到此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形，利用此方法即可得到的符合题意的选项．【解答】A、三边长都为6，此三角形为等边三角形，不合题意；B、∵52+122=25+144=169，132=169，∴52+122=132，则此三角形为直角三角形，符合题意；C、∵42+52=16+25=41，62=36，∴42+52≠62，则此三角形不是直角三角形，不合题意；D、∵52+52=25+25=50，82=64，∴52+52≠82，则此三角形不是直角三角形，不合题意，故选B．【点评】此题考查了勾股定理的逆定理的运用，勾股定理的逆定理为：三角形中，若一边的平方等于其余两边的平方和，则这条边所对的角为直角，此时三角形为直角三角形．10.【答案】C【考点】勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，故选C．【分析】求出OM2+ON2=MN2，根据勾股定理的逆定理得出∠MON=90°，根据平角定义求出即可．二、填空题11.【答案】25【考点】勾股定理【解析】【解答】解：∵两直角边分别用了7根、24根长度相同的火柴棒∴斜边需用=25．【分析】根据勾股定理即可求得斜边需要的火柴棒的数量．12.【答案】直角【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC 是直角三角形．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．13.【答案】7【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC=3m，AC=5m ∴AB= = =4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC=7米．故答案为：7．【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高=3m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．14.【答案】24【考点】勾股定理的应用【解析】【解答】解：如图，∵AB=9m，AC=12m，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，∴BC=15m，∴树折断之前有24m．故答案为：24．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理计算出BC的长，即可求得树折断之前的高度．三、解答题15.【答案】解：如图，连接AC．∵AB=9m、BC=12m，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2=152．又∵CD=8m、AD=17m，∴AD2=AC2+CD2=289，∴AC⊥CD，∴这块空地的面积=S△ACD+S△ABC = AB•BC+ AC•CD= ×9×12+ ×15×8=114（m2）．答：这块空地的面积是114m2．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD与△ABC均为直角三角形，进而可求解其面积．16.【答案】解：设AE=xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE=CE，即DE2=CE2，由勾股定理，得152+x2=102+（25﹣x）2，x=10．故：E点应建在距A站10千米处．【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】关键描述语：产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，在Rt△DAE和Rt△CBE 中，设出AE的长，可将DE和CE的长表示出来，列出等式进行求解即可．17.【答案】解：BM=8×2=16海里，BP=15×2=30海里，在△BMP中，BM2+BP2=256+900=1156，PM2=1156，BM2+BP2=PM2，∴∠MBP=90°，180°﹣90°﹣60°=30°，故乙船沿南偏东30°方向航行【考点】勾股定理的逆定理【解析】【分析】先根据路程=速度×时间，求出BM，BP的长，再根据勾股定理的逆定理得到∠MBP=90°，进一步即可求解．18.【答案】解：∵DE=7，S△ABE =DE•AB=35，∴AB=10∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2由勾股定理逆定理得∠C=90°．【考点】勾股定理【解析】【分析】由S△ABE=35，求得AB=10，根据勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，从而得到∠C的度数．19.【答案】解：∵面积为10的正方形的边长为，=，∴面积为5的正方形，如图所示．【考点】勾股定理【解析】【分析】由正方形的面积得出边长，由勾股定理即可得出结果．20.【答案】解：作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M=90°，∴∠DCM+∠CDM=90°，∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC2=AB2+BC2=25，∴AC=5，∵AD=5 ，CD=5，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCM=90°，∴∠ACB=∠CDM，∵∠ABC=∠M=90°，∴△ABC∽△CMD，∴= = =1，∴CM=AB=5，DM=BC=4，∴BM=BC+CM=9，∴BD= = = ．【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=AB=5，DM=BC=4，得出BM=BC+CM=9，再由勾股定理求出BD即可．21.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm.(2)由题意知BP＝t cm.①如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4；②如图②，当∠BAP为直角时，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2. 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 整理，得52＋[32＋(t －4)2]＝t 2， 解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t 的值为4或254.四、综合题22.【答案】（1）解：由题意得：AB=2.5米，BE=0.7米， ∵AE 2=AB 2﹣BE 2 ， ∴AE= =2.4米（2）解：由题意得：EC=2.4﹣0.4=2（米）， ∵DE 2=CD 2﹣CE 2 ， ∴DE= =1.5（米），∴BD=0.8米【考点】勾股定理的应用【解析】【分析】（1）在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AC 的长即可；（2）首先在Rt △CDE 中利用勾股定理求出DE 的长，然后再计算出DB 的长即可．23.【答案】（1）证明：四边形ABCD 是菱形， ∴OA=OC=AC ，AD=CD ，∵DE ∥AC 且DE=AC ，∴DE=OA=OC ，∴四边形OADE 、四边形OCED 都是平行四边形，∴OE=AD ，∴OE=CD ；（2）解：∵AC ⊥BD ， ∴四边形OCED 是矩形，∵在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2，∴在矩形OCED 中，CE=OD==．∴在Rt △ACE 中，AE==．【考点】勾股定理的应用，菱形的性质，矩形的性质 【解析】【分析】（1）由菱形ABCD 中，DE ∥AC 且DE=AC ，易证得四边形OCED 是平行四边形，继而可得OE=CD 即可；（2）由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED 是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB ，再根据勾股定理得出AE 的长度即可．。
沪科版八年级下勾股定理单元测试卷50
沪科版八年级下勾股定理单元测试卷50一、选择题（共12小题；共60分）1. 如图，小巷左右两侧是竖着的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米．则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米2. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，3. 如图，圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为4. 如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是A. B. C. D.5. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是A. B. C. D.6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，梯子顶端到地面的距离为米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为米，则小巷的宽为A. 米B. 米C. 米D. 米7. 下列各组数中，能组成直角三角形的有①，，；②，，；③，，；④，，．A. 组B. 组C. 组D. 组8. 如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为C. D.9. 如图，点，点，则的长度为A. B. C. D.10. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为A. 米B. 米C. 米D. 米11. 若三角形的三条边长分别为，，，则这个三角形是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法判断12. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）13. 如图，从电线杆离地面处向地面拉一条长的缆绳，要使电线杆与地面垂直，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部．14. 如图，在中，，，，如果按图中所示方法将沿折叠，使点落在边上的点处，那么的周长是．15. 若一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积为．16. 如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端距离地面的距离为，底端远离墙的距离为，当它的顶端下滑时，底端在地面上水平滑行的距离17. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．18. 如图，中，，，为线段上一动点，连接，过点作于点，连接，则的最小值为．三、解答题（共8小题；共104分）19. 一架方梯长米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙米，这个梯子的顶端距地面有多高?（2）在（）的条件下，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?20. 在中，．（1）若，，则；（2）若，，则．21. 如图，在长方形中，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，求的最小值.22. 如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且．求证．23. 已知，，三地的两两距离如图所示，地在地的正东方向，那么地在地的什么方向?24. 一根竹子高丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端尺处．求折断处离地面的高度是多少尺?（丈尺）25. （1）请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．（2）以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以，为底，以为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．26. 如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且量得．求：（1）的长．（2）的长．答案第一部分1. C2. A3. B4. A5. A【解析】连接，．四边形和四边形为正方形，，，，，，又为中线，．6. C7. C8. C 【解析】设 .由折叠的性质可得 .是的中点， .在中，，解得．9. B10. C【解析】在中，，米，米，．在中，，米，，，，，米，米．11. C12. B第二部分13.14.【解析】，，，，将沿折叠，使点落在边的点，，，，，设，则，在中，，即，解得，，，的周长．【解析】三角形的三边长分别是，，，，这个三角形为直角三角形，且和是直角边，这个三角形的面积是．16.【解析】，，，；梯子的顶端下滑，，．底端在地面上水平滑行的距离是．17.【解析】如图，取中点，连接，，，点是中点，，在中，，在中，，即当点在线段上时，最小值为．第三部分19. （1）在中，米，米，（米）答：梯子的顶端距地面米．（2）在中，米，（米），米．答：梯子的底端在水平方向滑动了米．20. （1）（2）21. 如图，当，点在上时，的值最小.根据折叠的性质，得，所以， .因为是边的中点，，所以 .因为，所以，所以 .22. 设，则，，，，，同理，，，，根据勾股定理的逆定理，为直角三角形．．23. 根据题意，，，．，，．．地在地的正东方向，地在地的正北方向．24. 如图，由题意知，，设尺，则，由勾股定理得，，即，解得，所以折断处离地面的高度是尺．25. （1）如果直角三角形的两直角边长分别为、，斜边长为，那么．（2），.又，.．，，整理，得．26. （1），．，，关于轴对称，．（2）由已知及对称性可得，，，．．设，则，由勾股定理得：，，解得．∴．。
沪科版八年级下册数学第18章勾股定理单元测试卷(含答案)
沪科版八年级数学第18章 勾股定理 单元测试卷一、选择题(每题3分,共30分)1、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．82、如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（ ）A. 53，54，1 B.3，4，5 C.6，8，10 D. 2，3，43、如图，在正方形网格中，每个正方形的边长为1，则在△ABC 中，边长为无理数的边数有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．34、如图，数轴上点A 对应的数是0，点B 对应的数是1，BC ⊥AB ，垂足为B ，且BC ＝3，以A 为圆心，AC 为半径画弧，交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．2.2B ．C ．√10D ．5、）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．36、有一个三角形的两边长分别是4和5,若这个三角形是直角三角形,则第三边长为( )A.3B.√41C.3或√41D.无法确定7、如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169，那么正方形A的边长为（）A.√5B.25C.5D.6.258、.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是( )A.365B.1225C.94D.3√349、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD5,则BC的长为（）A.3－1B.3+1C.5－1D.5 +110、在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”．设这个人的身高是5尺，秋千的绳索始终拉的很直，则绳索长为（）A．12.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺二、填空题（每小题3分，共24分）11、若CD是△ABC的高，AB＝2√3，AC＝2，BC＝2√2，则CD的长为．12、.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =40，CB =9，点M ，N 在AB 上，且AM =AC ，BN =BC ，则MN 的长为13、三角形一边长为10,另两边长是方程x 2-14x+48=0的两实根,则这是一个________三角形,面积为________.14、如图所示，有两棵树，一棵树高10 m ，另一棵树高4 m ，两树相距8 m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米 15、如图，长方形网格中每个小正方形的边长是1，△ABC 是格点三角形（顶点都在格点上），则点C 到AB 的距离为 ．16、如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4.设AB =x ，AD =y ，则x 2+(y −4)2的值为_________.17、如图,从点A(0,2)发出的一束光,经x 轴反射,过点B(4,3),则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为__________. M A BCN18、我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为三、解答题（共66分）19、一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.（8分）20、“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈＝10尺）（8分）21、已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，求BC的长（10分）22、如图,将竖直放置的长方形砖块ABCD推倒至长方形A'B'C'D'的位置,长方形ABCD的长和宽分别为a,b,AC的长为c.(1)你能用只含a,b的代数式表示S△ABC,S△C'A'D'和S直角梯形A'D'BA吗?能用只含c的代数式表示S△ACA'吗?(2)利用(1)的结论,你能验证勾股定理吗? （10分）23、如图，一个长为2.5m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离墙面0.7m；如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少米？（10分）24、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，求AD的长．（8分）25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD．（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．（2）设BC=a，AC=b．①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由．②若AD=EC，求的值．（12分）参考答案一、选择题ADDCD CCADC√612、8 13、直角24 14、10 15、1.2二、11、2316、16 17、√4118、24三、19、解:如图,过B点作BM⊥FD于点M.在△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=20,∴BC=√AB2-AC2=√202-102=10√3.∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°,∴BM=1BC=5√3,2∴CM=√BC2-BM2=√(10√3)2-(5√3)2=15.在△EFD中,∵∠F=90°,∠E=45°,∴∠EDF=45°,∴MD=BM=5√3,∴CD=CM-MD=15-5√3.20、解：如图，设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：x2+42＝（10﹣x）2，解得：x＝4.2，答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．21、解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②当△ABC 是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2； 综上所述，BC 的长为2或2． 故答案为：2或2． 22、解:(1)易知△ABC,△C'A'D'和△ACA'都是直角三角形,所以S △ABC =12ab,S △C'A'D'=12ab,S 直角梯形A'D'BA =12(a+b)(a+b)=12(a+b)2,S △ACA'=12c 2.(2)由题意可知S △ACA'=S 直角梯形A'D'BA -S △ABC -S △C'A'D'=12(a+b)2-12ab-12ab=12(a 2+b 2),而S △ACA'=12c 2.所以 a 2+b 2=c 2.23、解：如图AB =CD =2.5米，AO =0.7米，BD =0.4，求AC 的长． 在直角三角形AOB 中，AB =2.5，AO =0.7，由勾股定理，得BO =2.4， ∵BD =0.4，∴OD =2，∵CD =2.5，在直角三角形COD 中，由勾股定理，得OC =1.5，∵OA =0.7，∴AC =0.8．即梯子底端将滑动了0.8米． 24、解：连接AC ，∵∠B ＝90°∴AC 2＝AB 2+BC 2．∵AB ＝BC ＝2∴AC 2＝8．∵∠D ＝90°∴AD2＝AC2﹣CD2．∵CD＝1，∴AD2＝7．∴．25、解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B=62°，∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC=59°，∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°；（2）①由勾股定理得，AB==，∴AD=﹣a，解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根；②∵AD=AE，∴AE=EC=，由勾股定理得，a2+b2=（b+a）2，整理得，=．。
沪科版2019-2020学年八年级数学第二学期第18章《勾股定理》单元测试题(含答案)
密密 封 线 内 不 得 答 题沪科版8年级数学（下）第18章《勾股定理》单元 测试题满分：150分一、单选题（共10题；共40分）1.已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4 ， 则它的形状为 （ ）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰三角形或直角三角形 2.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足 =0，则三角形的形状是（ ） A. 底与边不相等的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 3.△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法中，错误的是（ ）A. 如果∠C ﹣∠B=∠A ，那么∠C=90°B. 如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2C. 如果（a+b ）（a ﹣b ）=c2，那么∠C=90°D. 如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC 4.如图所示的一块地，已知∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=25m ，BC=20m ，则这块地的面积为（ ）平方米．A. 96B. 204C. 196D. 304 5.三角形的三边长分别为6，8，10，它的最长边上的高为（ ）A. 6B. 4.8C. 2.4D. 86.如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，DE 、CE分别是∠ADC 、∠BCD 的平分线，若AD=5，DE=6，则平行四边形的面积为（ ）A. 96B. 48C. 60D. 307.如图，在△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,D 为BC 的中点，DE⊥AB 于E ，则DE 等于（ ）A. B. C. D.8.如图，在四边形ABCD 中，AB=1，BC=1，CD=2，DA=，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是（ ）A. 2B. +C. 1+D.9.如图，正方形ABCD 中，AE 垂直于BE ，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）A. 16B. 18C. 19D. 21 10.在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为A.B.C.D.二、填空题（共4题；共20分）11.若直角三角形的两条边长为a 、b ，且满足 ，则该直角三角形的斜边长为________ 12.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距3米，小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了________米. 13.如图，一旗杆被大风刮断，旗杆的顶部着地点到旗杆底部的距离为4m ， 折断点离旗杆底部的高度为3m ， 则旗杆的高度为________m .14.如图是一段楼梯，高BC 是3米，斜边AC 是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯________米．三、解答题（共7题；共60分）15. 如图，Rt △ABC 中，∠C = 90°，把Rt △ABC 绕着B 点逆时针旋转，得到Rt △DBE ，点E 在AB 上．（1）若∠BDA = 70°，求∠BAC的度数．（2）若BC = 8，AC = 6，求△ABD中AD边上的高．16.一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？17.如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？18.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，使点D落在点D′处，求重叠部分△AFC 的面积．19.如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．20.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF= CD，求证：∠AEF=90°．21.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=4，求BD的长．四、综合题（共2题；共30分）22.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G.（1）求GE的长；（2）求证：AE平分∠DAF；（3）求CF的长.23.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE= AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．（1）求证：OE=CD；（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．密密 封 线 内 不 得 答 题答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】因式分解-运用公式法，等腰三角形的判定，勾股定理 【解析】【解答】∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4 ， ∴（a 2c 2-b 2c 2)-（a 4-b 4)=0，∴c 2（a+b)（a-b)-（a+b)（a-b)（a 2+b 2)=0， ∴（a+b)（a-b)（c 2-a2-b 2)=0， ∵a+b≠0，∴a-b=0或c 2-a 2-b 2=0，所以a=b 或c 2=a 2+b 2即它是等腰三角形或直角三角形． 故选D ．【分析】把式子a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4变形化简后判定则可．如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形． 2.【答案】D【考点】平方根，算术平方根，勾股定理的逆定理，绝对值的非负性【解析】【解答】解：∵（a ﹣6）2≥0，≥0，|c ﹣10|≥0， ∴a ﹣6=0，b ﹣8=0，c ﹣10=0， 解得：a=6，b=8，c=10， ∵62+82=36+64=100=102 ， ∴是直角三角形． 故选D ．【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a ，b ，c 的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形． 3.【答案】C【考点】三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的逆定理【解析】【解答】A ∵∠C ﹣∠B=∠A ，∠C+∠B+∠A=180°∴2∠C=180°∴∠C=90°故此选项正确； B ∵∠C=90° ∴c 是斜边∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确； C ∵（a+b ）（a ﹣b ）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边 故此选项错误； D ∵∠A=30°∠B=60° ∴∠C=90°，AB 为斜边，BC 为30°角所对的边 ∴AB=2BC 故此选项正确； 故选C 【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解，此题主要考查：①含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． ②三角形内角和定理：三角形内角和是180°．③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 4.【答案】A【考点】三角形的面积，勾股定理，勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：连接AC，则在Rt△ADC 中，AC 2=CD 2+AD 2=122+92=225， ∴AC=15， 在△ABC 中，AB 2=1521，AC 2+BC 2=152+362=1521， ∴AB 2=AC2+BC 2 ， ∴∠ACB=90°， ∴S △ABC -S △ACD =AC•BC -AD•CD=×15×20-×12×9=150-54=96（平方米），故选A ．【分析】连接AC ，运用勾股定理逆定理可证△ACD ，△ABC 为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积差． 5.【答案】B【考点】三角形的面积，勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：已知三角形的三边长分别为6，8，10，根据勾股定理的逆定理可知这个三角形为直角三角形，设它的最长边上的高为x ，可得，解得x=4.8，故选B.6.【答案】B【考点】平行线的性质，三角形的面积，角平分线的性质，勾股定理 【解析】【解答】解：∵AB ∥CD , ∴∠CDE =∠AED .∵DE 平分∠ADC， ∴∠ADE =∠CDE , ∴∠ADE =∠AED , ∴AE =AD =5.同理可得：BE =BC =5， ∴AB =5+5=10， ∴CD =10.∵DE 平分∠ADC ， CE 平分∠BCD ， ∴∠CDE +∠DCE =90°, ∴∠CED =90°. 由勾股定理得.,.故选B.7.【答案】C【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理 【解析】【解答】如下图：连接AD ，∵△ABC 中，AB=AC=13，∴△ABC 是等腰三角形，又∵ BC=10，D 为BC 的中点，即AD 是等腰△ABC 的中线， ∴AD BC ，且BD=BC=5， 在Rt ABD 中，AD===12，∵DE ⊥AB 于点E ，∴S ABD=AB DE=BD AD ，即：13DE=512，解得：DE=.故答案为：C.【分析】首先根据已知在△ABC 中，AB=AC ，得到△ABC 是等腰三角形；再根据“三线合一”，D 为BC 的中点，即AD 是等腰△ABC 的中线，所以AD 也是等腰△ABC 底边BC 的高，即AD BC ；所以在Rt ABD 中，根据勾股定理得到AD 的长；最后在RtABD 中利用等积法得到等式，即SABD=AB DE=BD AD ，解出DE 的长即可.8.【答案】B【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理 【解析】【解答】解：∵AB=1，BC=1，∠ABC=90°， ∴AC= ， 又∵CD=2，DA=，∴AC 2+CD 2= DA 2 ， ∴∠ACD=90°， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD=×1×1+×2×=+.故选B.9.【答案】C【考点】勾股定理，正方形的性质 【解析】【解答】解：∵AE 垂直于BE ，且AE=3，BE=4， ∴在Rt △ABE 中，AB 2=AE 2+BE 2=25， ∴S 阴影部分=S 正方形ABCD ﹣S △ABE =AB 2﹣ ×AE×BE =25﹣×3×4=19．故选C ．【分析】由已知得△ABE 为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB ，用S 阴影部分=S 正方形ABCD ﹣S △ABE 求面积． 10.【答案】A【考点】三角形的面积，角平分线的性质，勾股定理 【解析】【分析】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴。
沪科版八年级数学上册《第18章 勾股定理》单元试题及解析
沪科版八年级数学上册《第18章勾股定理》单元试题及解析一、选择题（本大题共10小题，共50分）1. 适合下列条件的△ABC 中，直角三角形的个数为( )①a =13，b =14，c =15②a =6，∠A =45°；③∠A =32°，∠B =58°；④a =7，b =24，c =25 ⑤a =2，b =2，c =4． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形( )A. 可能是锐角三角形B. 不可能是直角三角形C. 仍然是直角三角形D. 可能是钝角三角形3. △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，AB =8，BC =15，CA =17，则下列结论不正确的是( )A. △ABC 是直角三角形，且AC 为斜边B. △ABC 是直角三角形，且∠ABC =90°C. △ABC 的面积是60D. △ABC 是直角三角形，且∠A =60°4. 一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距( ) A. 36海里 B. 48海里 C. 60海里 D. 84海里5. 一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长( )A. 18cmB. 20cmC. 24cmD. 25cm 6. 在△ABC 中，AB =12cm ，BC =16cm ，AC =20cm ，则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 27. 如图，一个圆锥的高AO =24cm ，底面半径OB =7cm ，则AB 长为( )A. 25cmB. 24cmC. 20cmD. 18cm8. 如图：有一圆柱，它的高等于8cm ，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程大约( )A. 10cmB. 12cmC. 19cmD. 20cm 9. △ABC 中，AB =13cm ，AC =15cm ，高AD =12，则BC 的长为( )A. 14B. 4C. 14或4D. 以上都不对 10. 如图，正方形网格中，每小格正方形边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数有( )A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条 二、填空题（本大题共4小题，共20分）11. 如图，等腰△ABC 的底边BC 为16，底边上的高AD 为6，则腰长AB 的长为______．12. 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长都为1，则△ABC 是：______ 三角形．13. 如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C 偏离欲到达点B 200m ，结果他在水中实际游了520m ，求该河流的宽度为______m ． 14. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm.A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为______dm ．三、计算题（本大题共1小题，共10分）15. 如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米(先画出示意图，然后再求解)．四、解答题（本大题共6小题，共70分）16. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC =20，BC =15，DB =9．(1)求DC 的长． (2)求AB 的长．17. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 对折，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．18.如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？19.两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间(线段BD上)选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE.若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？20.如图所示，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再转向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏．问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？21.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10√7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．(1)A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？答案和解析1.【答案】A【解析】解：①(13)2+(14)2≠(15)2，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a =6，∠A =45不是成为直角三角形的必要条件，故不是； ③∠A =32°，∠B =58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是； ⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是． 故选：A ．计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 2.【答案】C【解析】解：根据题意，新三角形与原三角形对应边成比例， 所以两个三角形相似，所以得到的三角形仍然是直角三角形． 故选C ．根据“直角三角形的三边都扩大相同的倍数”得到新三角形与原三角形相似，所以是直角三角形． 此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 3.【答案】D【解析】解：∵AB =8，BC =15，CA =17， ∴AB 2=64，BC 2=225，CA 2=289， ∴AB 2+BC 2=CA 2，∴△ABC 是直角三角形，因为∠B 的对边为17最大，所以AC 为斜边，∠ABC =90°， ∴△ABC 的面积是12×8×15=60，故错误的选项是D ， 故选D ．根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 4.【答案】C【解析】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC =90°，两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里， 根据勾股定理得：√482+362=60(海里)． 故选C ．根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了48，36.再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．5.【答案】D【解析】解：设另一条直角边是a ，斜边是c.根据题意，得{a +c =49c 2−a 2=49，联立解方程组，得{a =24c =25.故选D ．设另一条直角边是a ，斜边是c.根据另一条直角边与斜边长的和是49cm ，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c −a =1，再联立解方程组． 6.【答案】A【解析】解：∵AB 2+BC 2=AC 2 ∴△ABC 是直角三角形 ∴∠B =90°∴△ABC 的面积=12AB ⋅BC =12×12×16=96cm 2．故选A ．由已知可得到△ABC 为直角三角形，从而两直角边的乘积的一半即为其面积． 根据三角形的三边的长度判定这个三角形是直角三角形，是解决本题的关键． 7.【答案】A【解析】解：∵圆锥的高AO =24cm ，底面半径OB =7cm ， ∴AB =√OA 2+OB 2=√242+72=25cm ． 故选A ．根据母线、底面半径和高构成直角三角形利用勾股定理求解即可．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 8.【答案】A【解析】解：展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．根据勾股定理得：蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10． 故选A ．根据两点之间，线段最短．首先把A 和B 展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面． 9.【答案】C【解析】解：(1)如图，锐角△ABC 中，AB =13，AC =15，BC 边上高AD =12， 在Rt △ABD 中AB =13，AD =12，由勾股定理得 BD 2=AB 2−AD 2=132−122=25， 则BD =5，在Rt △ABD 中AC =15，AD =12，由勾股定理得 CD 2=AC 2−AD 2=152−122=81， 则CD =9，故BC =BD +DC =9+5=14；(2)钝角△ABC 中，AB =13，AC =15，BC 边上高AD =12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2−AD2=132−122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2−AD2=152−122=81，则CD=9，故BC的长为DC−BD=9−5=4．故选：C．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD−BD．本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．10.【答案】C【解析】解：观察图形，应用勾股定理，得AB=√42+12=√17，BC=√32+12=√10，AC=√42+32=5，∴AB和BC两个边长都是无理数．故选：C．根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案．此题考查了勾股定理的应用．注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．11.【答案】10【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．【解答】解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB=√AD2+BD2=√62+82=10．故答案为：10．12.【答案】直角【解析】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断．13.【答案】480【解析】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB=√5202−2002=√720×320=480米．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．14.【答案】25【解析】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[(2+3)×3]2=252，解得x=25．故答案为25．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．15.【答案】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB−BE=AB−CD=13−8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13(负值舍去)答：小鸟飞行的最短路程为13m．【解析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16.【答案】解：(1)∵CD⊥AB于D，且BC=15，BD=9，AC=20∴∠CDA=∠CDB=90°在Rt△CDB中，CD2+BD2=CB2，∴CD2+92=152∴CD=12；(2)在Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2∴122+AD2=202∴AD=16，∴AB=AD+BD=16+9=25．【解析】(1)由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长；(2)有(1)的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长．本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．17.【答案】解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，∴BE=10−6=4，设DE=CD=x，BD=8−x，在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3．即CD的长为3cm．【解析】先由勾股定理求AB=10.再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．此题不但考查了勾股定理，还考查了学生折叠的知识，折叠中学生一定要弄清其中的等量关系．18.【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC=CA．设AC为x，则OC=9−x，由勾股定理得：OB2+OC2=BC2，又∵OA=9，OB=3，∴32+(9−x)2=x2，解方程得出x=5.答：机器人行走的路程BC是5cm．【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用．根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等得出BC=CA.设AC为x，则OC=9−x，根据勾股定理即可得出结论．19.【答案】解：设BE=x米，在Rt△ABE中，AE2=52+x2在Rt△CDE中，CE2=32+(8−x)2，∵AE=CE，∴52+x2=32+(8−x)2，解得x=3，答：点E应该选在距B点3米处．【解析】设BE=x米，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=52+x2，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2=32+(8−x)2，根据AE=CE∴52+x2=32+(8−x)2求得BE的长即可．本题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．20.【答案】解：过点B作BC⊥AD于C，则AC=4−2+0.5=2.5km，BC=6km，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=√AC2+BC2=√2.52+62=6.5(km)．所以登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是6.5km．【解析】本题需要把实际问题转化为数学模型，过点B作过点A的直线的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理完成．本题的关键是把实际问题转化为数学模型，运用勾股定理进行求解．21.【答案】解：(1)过A作AC⊥BF于C，则AC=12AB=150<200，∴A市会受到台风影响；(2)过A作AD=AE=200km，交BF于点D，E，∴DC=√AD2−AC2=√2002−1502=50√7千米，∵DC=CE，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以10√7千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，∴该市受台风影响的时间为：50√7×210√7=10小时．【解析】本题考查勾股定理的应用，属于中档题．(1)此类是否受影响的题目，必须计算出最短距离进行分析，注意垂线段最短的性质；(2)根据受影响的距离是200千米以内，设出距离正好是200千米的点，结合第一问计算的数据，根据勾股定理计算出受影响的路程，再进一步计算受影响的时间．。
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图1
A B
O
勾股定理综合练习 A 组
1、 如图1,图中有一个正方形，此正方形的面积是（ ）
A.16
B.8
C.4
D.2
2、小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米, 则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)
3、 一架4.1m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.9m ． 那么梯子的顶端与地面的距离是（ ）
A.3.2m
B.4.0m
C.4.1m
D.5.0m 4、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
5、 下列各组数中以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt△的是 （ ）
A.a=3,b=4,c=5
B.a=7,b=24,c=25
C.a=6,b=8,c=10
D.a=2，b=3,c=4
6、如图，一根大树被台风刮断，若树离地面3米处折断，
树顶端落在离树底部4米处，则树折断之前有 （ ）
A ．5米
B ．7米
C ．8米
D ．10米
7、已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/
时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里
8、一直角三角形的一条直角边长是7cm ，另一条直角边与斜边长的和是49cm ，则斜边的长
( )
A.18cm
B.20cm
C.24cm
D.25cm
9、如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，折痕为已知AB=6㎝，BC=18㎝，则Rt△CDF 的面积是 （ ）
A.27㎝2
B.24㎝2
C.22㎝2
D.20㎝2 10、 直角三角形一直角边长为12A.30 B.28 C.56 D.不能确定 11、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，
实际上岸地点C 偏离欲到达
点B200m ，结果他在水中实际游了520m ，
求该河流的宽度为________ m 12、 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为
13、若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为 。
14、将一根长为15㎝的筷子置于底面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在
杯子外面的长为h ㎝，则h 的取值范围是_______________
15、一个长方形院子要在三面建砖墙，院子的对角线长比一面砖墙长2m ，
另外的两面砖墙都是长10m ，则三面砖墙共长________米.
16、直角三角形两直角边长分别为3和4， 则它斜边上的高为__________
17、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a=s 2-t 2,c=s 2+t 2(s>t>0), 则b=
18、如图，5米长的滑梯AB 开始在B 点距墙面水平距离3米，
当向后移动1米，A 点也随着向下滑一段距离， 则下滑的距离为 C B
A 200m 520m
B A
19、如图,一直角三角形三边长分别为3.4.5,且是三个半圆的直径,求阴影部分面积
20、在长为12cm,宽为10cm 的长方形零件上钻两个半径为1cm 的孔,
孔心离零件边沿都是2cm,求两孔心的距离.
21、一个抽屉内壁的长、宽、高分别是24cm 、32cm 、7cm ，要把一个长42cm 的画轴放入抽
屉，能不能放进去（画轴半径忽略不计），为什么？
22、如图，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为8cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的
直角顶点P 落在AD 边上（不与A 、D 重合），在AD 上适当移动三角板顶点P ：能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.
23、如图，某沿海城市A 接到台风警报，在该市正南方向150km 的B 处有一台风中心正以
20km/h 的速度向BC 方向移动，已知城市A 到BC 的距离AD=90km
(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？
(2)如果在距台风中心30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D 点的游人脱离危险，
最好选择什么方向？
C
勾股定理综合练习 B 组
1、下列说法不能推出△ABC 是直角三角形的是( )
A ．222a c b -=
B ．()()20a b a b c -++=
C ．∠A=∠B=∠C
D ．∠A=2∠B=2∠C
2、如图1，小方格都是边长为1的正方形,
则四边形ABCD 的面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 图1
3、知△ABC 中，AB=17cm,BC=30cm,BC 上的中线AD=8cm ，则△ABC 为（ ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
4、直角三角形斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,这个三角形有一个锐角是( )
A ．15°
B ．30 °
C ．45 °
D ．75°
5、小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )
A. 2m;
B. 2.5m;
C. 2.25m;
D. 3m.
6、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现想把它们摆成两个直角三角形， 图中正确的是( )．
7、三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（ ）
A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D ．不能确定
8、三角形三条边的比是3∶4∶5，则这三条边上的高的比是 （ ）
A ．15∶12∶8 B.15∶20∶12 C.12∶15∶20 D ．20∶15∶12
9、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么0.5a 、0.5b 、0.5c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3、4，那么另一边必是5；③如果一个三角形的三边是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a ＞b=c ），
那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。
其中正确的是 （ ）.
A 、①④
B 、①③
C 、④
D 、②④
10、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )
A. ab=h 2
B. a 2+b 2=2h 2
C. a 1+b 1=h 1
D. 21a +21b =2
1h 11、若一个三角形的三边长的平方分别为：222,4,3x 若此三角形为直角三角形，则
2x =_______.
12、小亮想知道学校旗杆的高度．他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2 m ，当他把绳子的下
端拉开8m 后，下端刚好接触地面．你能帮他把学校旗杆的高求出来吗？答_________ m.
13、数组3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……都是勾股数，若n 为直角三
角形的一较长直角边，用含n 的代数式表示斜边为________，另一条直角边为__________
D C B A
l 321S 4S 3S 2S 1图2
14、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图2所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别
是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝_______.
15、如图3有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为______.
16、在一棵树上的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处，
另一只猴子爬到树顶D 后直接跃到A 离相等，则这棵树高 米。
17、如图，∠C=90°,AC=12，BC=9，AD=8，BD=17，求△ABD
18、如图,在矩形ABCD 中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD 沿CE 折叠后, 使点D 恰好落在对角线AC 上的点F 处.
⑴求EF 的长; ⑵求梯形ABCE 的面积.
19、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B
是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
20、如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=6千米，BD=14千米，
且CD=15千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总
费用是多少？
A
B C D E 图
3 A
B C D L。