2017届新人教B版 正弦定理、余弦定理 课时作业
人教版(B版)高中数学必修第一册 课时作业 17
课时作业 17一、选择题1．定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b>0，则必有( )A ．函数f(x)先增后减B ．f(x)是R 上的增函数C ．函数f(x)先减后增D ．函数f(x)是R 上的减函数解析：由f a －f ba －b>0知，当a>b 时，f(a)>f(b)；当a<b 时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( )A ．y ＝－3x ＋2B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f(x)在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f(－2)，0B ．0,2C ．f(－2)，2D ．f(2)，2解析：由图像知点(1,2)是最高点，故y main ＝f(－2)． 答案：C4．函数y ＝f()>f(－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)调递增区间是____________．解析：由图像知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]．0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]于是f(x 1)－f(x 2)<0， 即f(x 1)<f(x 2)，∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图像，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x≤1，x －22＋3，x>1的图像如图所示．由图像可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)． [尖子生题库]10．已知函数f(x)＝|x|(x ＋1)，试画出函数f(x)的图像，并根据图像解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x≤0，x 2＋x ，x>0的图像如图所示．⎛⎤1。
课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ， 因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1， 又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A <B ，则sin A <sin B ；②若sin A <sin B ，则A <B ；③若A >B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A <B ，则cos 2A >cos 2B ；⑤若A <B ，则tan A 2<tan B 2.其中正确命题的序号是__________．解析：在△ABC 中，A <B ⇔a <b ⇔sin A <sin B ⇔sin 2A <sin 2B ⇔cos 2A >cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°， 可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形， 故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°， 所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ， 得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ， 又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ， 即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围． 解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高二必修5
1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。
人教B版高中数学必修第四册滚动练习2-余弦定理[含答案]
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课时作业(二)余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则c ＝()A ．1B ．2C ．4D ．62．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果A ＝60°，b ＝3，△ABC的面积S ＝323，那么a 等于()A ．7B ．7C ．17D ．174．(多选)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有()A ．sin (B ＋C )＝sin AB ．cos (B ＋C )＝cos AC ．若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为直角三角形D ．若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为锐角三角形二、填空题5．在△ABC 中，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则∠B 的值为________．6．在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，c ＝2，则c sin C＝________．7．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ，则B ＝________.三、解答题8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a.(1)求角A ；(2)若a ＝6，△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长．9．已知△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．[尖子生题库]10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A＋b sin B－c sin Csin B sin C－233a＝0.(1)求角C；(2)若△ABC的中线CE的长为1，求△ABC的面积的最大值．参考答案1．解析：a2＝c2＋b2－2cb cos A⇒13＝c2＋9－2c×3×cos60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.答案：C2．解析：设中间角为θ，则θ为锐角，由余弦定理得cosθ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°，所以三角形最大角与最小角的和是120°.答案：B3．解析：因为S＝12bc sin A＝33c4＝332，所以c＝2；又因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以12＝9＋4－a212，所以a＝7，故选A.答案：A4．解析：依题意，△ABC 中，B ＋C ＝π－A ，sin (B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ，A 正确；cos (B ＋C )＝cos (π－A )＝－cos A ，B 不正确；因a 2＋b 2＝c 2，则由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝0，而0<C <π，即有C ＝π2，△ABC 为直角三角形，C 正确；因a 2＋b 2<c 2，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，而0<C <π，即有π2<C <π，△ABC 为钝角三角形，D 不正确．答案：AC5．解析：根据余弦定理，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝π6.答案：π66．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝3，所以b ＝3，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案：27．解析：由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.又因为B 为三角形的内角，所以B ＝45°.答案：45°8．解析：(1)因为sin A ＋sin B sin C ＝b －c b －a ，所以a ＋b c ＝b －c b －a，化简得c 2＋b 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为△ABC 的面积为3，所以12bc sin A ＝34bc ＝3，得bc ＝4.因为A ＝π3，a ＝6，所以b 2＋c 2－2bc cos π3＝6，整理得(b ＋c )2＝3bc ＋6＝18，解得b ＋c ＝32.故△ABC 的周长为6＋32.答案：(1)A ＝π3(2)6＋329．解析：方法一(利用边的关系判断)由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .∵2cos A sin B ＝sin C ，∴cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc＝c 2b ，∴c 2＝b 2＋c 2－a 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab .∵a ＝b ，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(利用角的关系判断)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sin C ＝sin (A ＋B ).∵2cos A sin B ＝sin C ，∴2cos A sin B ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，∴sin (A －B )＝0.∵0°<A <180°，0°<B <180°，∴－180°<A －B <180°，∴A －B ＝0°，即A ＝B .∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝12，∴C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．10．解析：(1)由a sin A ＋b sin B －c sin C sin B sin C －233a ＝0，得a ·a ＋b ·b －c ·c b ·sin C ＝233a ，即a 2＋b 2－c 22ab ＝33sin C ，由余弦定理得cos C ＝33sin C ，所以tan C ＝3，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由余弦定理b 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEA ①，a 2＝1＋c 24－2×1×c 2·cos ∠CEB ②，①＋②得，b 2＋a 2＝2＋c 22，即2(b 2＋a 2)＝4＋c 2，因为c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ，所以a 2＋b 2＝4－ab ≥2ab ，所以ab ≤43，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×43×32＝33，即△ABC 面积的最大值为33.。
一轮复习北师大版正弦定理和余弦定理作业
第四章 三角函数、解三角形第六节 正弦定理和余弦定理A 级·基础过关 |固根基|1.在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos Bsin B ，∴tan B ＝1.∵0°<B <180°，∴B ＝45°.故选B ．2．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6解析：选C 由余弦定理得，2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，∴cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.故选C ．3．(2021届宝鸡一模)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，则△ABC 的面积等于( ) A ．37 B ．372C ．9D ．92解析：选B ∵b ＝7，c ＝4，cos B ＝34，∴sin B ＝1－cos 2B ＝74，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得7＝a 2＋16－2×a ×4×34，整理可得a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×4×74＝372.故选B ． 4．(2021届湘东六校联考)若△ABC 的三个内角满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能解析：选C 由题意，利用正弦定理可得6a ＝4b ＝3c ，则可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k >0，则cos C＝4k 2＋9k 2－16k 22×2k ×3k<0，所以C 是钝角，所以△ABC 是钝角三角形，故选C ．5．(2021届昆明市高三诊断测试)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C 如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C ．6．(2021届湖北部分重点中学联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos A a ＋cos Bb ＝sin C c ，若b 2＋c 2－a 2＝85bc ，则tan B 的值为( ) A ．－13B ．13C ．－3D ．3解析：选C 因为cos A a ＋cos B b ＝sin C c ，所以由正弦定理得cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C sin C ＝1，即1tan A ＋1tan B ＝1.又b 2＋c 2－a 2＝85bc ，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得cos A ＝45，则sin A ＝1－cos 2A ＝35，则tan A ＝sin A cos A ＝34，解得tan B ＝－3，故选C ．7．(2021届四川五校联考)在△ABC 中，角A 的平分线交BC 于点D ，BD ＝2CD ＝2，则△ABC 面积的最大值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3D ．4解析：选C 如图，由BD ＝2CD ＝2，知BC ＝3，由角平分线定理，得AB AC ＝BDCD ＝2，设AC ＝x ，∠BAC ＝2α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则AB ＝2x ，由余弦定理，得32＝4x 2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2α，即x 2＝95－4cos 2α.S △ABC ＝12·2x ·x ·sin 2α＝x 2·sin 2α＝9sin 2α5－4cos 2α＝9×2sin αcos α5－4×（cos 2α－sin 2α）＝9·2tan α1＋tan 2α5－4·1－tan 2α1＋tan 2α＝18tan α1＋9tan 2α＝181tan α＋9tan α≤1821tan α·9tan α＝3，当且仅当1tan α＝9tan α，即tan α＝13时取等号，故△ABC 面积的最大值为3.8．(2021届合肥调研)在△ABC 中，A ＝2B ，AB ＝73，BC ＝4，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，则线段AD 的长为________．解析：解法一：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B，所以cos B ＝2AC 且AC >2，由余弦定理AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ，得AC 2＝42＋⎝⎛⎭⎫732－2×4×73×2AC ，即9AC 3－193AC ＋336＝0，得(AC －3)(3AC －7)(3AC ＋16)＝0，解得AC ＝73或AC ＝3.当AC ＝73时，△ABC为等腰三角形，且cos B ＝67，2B ＝2∠ACB ＝A ，由三角形内角和定理A ＋B ＋∠ACB ＝π，得B ＝π4，与cos B＝67矛盾，舍去；当AC ＝3时，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.综上可得，AD ＝1.解法二：因为A ＝2B ，BC ＝4，所以由正弦定理AC sin B ＝BC sin A ，得AC sin B ＝4sin 2B ＝42sin B cos B ，所以cosB ＝2AC ，则cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝8AC2－1.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，由正弦定理可得AC cos A ＋BC cos B ＝AB ，即AC ·⎝⎛⎭⎫8AC 2－1＋4·2AC ＝73，解得AC ＝－163(舍去)或AC ＝3，由三角形的角平分线定理，得AD BD ＝AC BC ，即AD 73－AD ＝34，解得AD ＝1.答案：19．(年天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14. (2)由(1)可得，sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78， 故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716. 10．(2021届石家庄摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos A ＋22a ＝c ，D 是BC 边上的点．(1)求角B ；(2)若AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，求AB 的长． 解：(1)由b cos A ＋22a ＝c 及正弦定理，得sin B cos A ＋22sin A ＝sin C ，即sin B cos A ＋22sin A ＝sin(A ＋B )，所以sin B cos A ＋22sin A ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即22sin A ＝sin A cos B ．∵sin A ≠0，∴cos B ＝22，∴B ＝π4.(2)在△ADC 中，AC ＝7，AD ＝5，DC ＝3，∴cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠ADC ＝2π3.在△ABD 中，AD ＝5，B ＝π4，∠ADB ＝π3，由AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝5×sin π3sin π4＝5×3222＝562. 11．(年江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b ，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值． 解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得23＝（3c ）2＋c 2－（2）22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B ，从而cos 2B ＝(2sin B )2，即cos 2B ＝4(1－cos 2B )，故cos 2B ＝45.因为sin B >0，所以cos B ＝2sin B >0， 从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ＝255. B 级·素养提升 |练能力|12.(2021届惠州调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且内角满足sin A －sin B ＋sin Csin C ＝sin Bsin A ＋sin B －sin C .(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值． 解：(1)由题意及正弦定理可得a －b ＋c c ＝ba ＋b －c，化简得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴cos A ＝bc 2bc ＝12.又0<A <π，∴A ＝π3. (2)记△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理得a sin A ＝2R ，即a ＝2R sin A ＝2sin π3＝3，由余弦定理得3＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ， 即bc ≤3(当且仅当b ＝c 时取等号)，故S ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334(当且仅当b ＝c 时取等号)，即△ABC 的面积S 的最大值为334.13．(年全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A . (1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 解：(1)由题设及正弦定理，得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A . 因为sin A ≠0，所以sin A ＋C 2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知，△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sin B ＝34a .由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知，A ＋C ＝120°， 所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.所以△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. 14．(2021届长春市第二次质量监测)如图，在△ABC 中，AB ＝3，∠ABC ＝30°，cos ∠ACB ＝74. (1)求AC 的长；(2)作CD ⊥BC ，连接AD ，若AD ∶CD ＝2∶3，求△ACD 的面积． 解：(1)因为cos ∠ACB ＝74，所以sin ∠ACB ＝34， 由正弦定理得AC ＝ABsin ∠ACB·sin ∠ABC ＝2.(2)因为CD ⊥BC ，所以∠ACD ＝90°－∠ACB ，所以cos ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝34.设AD ＝2m ，则CD ＝3m .由余弦定理得AD 2＝AC 2＋CD 2－2×AC ×CD cos ∠ACD ，即4m 2＝4＋9m 2－2×2×3m ×34，解得m ＝1或m ＝45.当m ＝1时，CD ＝3，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD ·sin ∠ACD ＝374； 当m ＝45时，CD ＝125，sin ∠ACD ＝74，S △ACD ＝12·AC ·CD sin ∠ACD ＝375.综上，△ACD 的面积为374或375.。
人教版数学必修五(文)学案：1.1正弦定理、余弦定理习题课
1.1正弦定理、余弦定理习题课【学习目标】1.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式【自主检测】1.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π4的值．2.在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A .(1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．【典型例题】例1.在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．例2.设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，cos(A －C )＋cos B ＝32，b 2＝ac ，求B .【目标检测】1.在△ABC 中，已知b ＝a sin B ，且cos B ＝cos C ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8 b ＝16 A ＝30°有两解B ．b ＝18 c ＝20 B ＝60°有一解C．a＝5 b＝2 A＝90°无解 D．a＝30 b＝25 A＝120°有一解3.已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.34或324*.在△ABC中，若tan A－tan Btan A＋tan B＝c－bc，求角A【总结提升】1.在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2.三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用。
新教材人教B版高中数学选择性必修第四册课时练习-得到不可达两点之间的距离
课时练习(三) 正弦定理与余弦定理的应用数学探究活动：得到不可达两点之间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为()A．2 6 n mile B．3 6 n mileC．5 6 n mile D．6 6 n mileC[在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，∴∠C＝45°.∵ABsin C＝BCsin A，∴BC＝AB·sin Asin C＝10×3222＝56(n mile)．]2．某人向正东方向走x km后向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值是()A. 3 B．23C．23或 3 D．3C[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠B＝30°.由余弦定理，得(3)2＝x2＋32－2×3×x×32，所以x2－33x＋6＝0，解得x＝3或x＝2 3.]3．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的航行速度是()A．52海里/时B．5海里/时C．102海里/时D．10海里/时D[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10海里，在直角三角形ABC中，可得AB＝5海里，于是这艘船的航行速度是10海里/时．]4．有一条与两岸平行的河流，水速为1 m/s，小船的速度为 2 m/s，为使所走路程最短，小船应朝什么方向行驶()A．与水速成45°B．与水速成135°C．垂直于对岸D．不能确定B[如图所示，AB是水速，AD为船速，AC是船的实际速度，且AC⊥AB，在Rt△ABC中，cos∠ABC＝ABBC＝ABAD＝22.∴∠ABC＝45°，∴∠DAB＝180°－45°＝135°.则小船的方向应与水速成135°行驶．]5．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600 m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200 3 m以后测得山峰的仰角为4θ，则该山峰的高度为()A．200 m B．300 mC．400 m D．100 3 mB[如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝2003 (m)．在△BCD中，由余弦定理可得cos 2θ＝6002＋(2003)2－(2003)22×600×2003＝32，∵0°＜2θ＜90°，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin 4θ＝2003×32＝300(m)，故选B.]二、填空题6．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为________．(30＋303)m[由正弦定理得60sin(45°－30°)＝PBsin 30°，∴PB＝30sin 15°，∴树的高度h＝PB sin 45°＝(30＋303)(m)．]7．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B 两点的距离为________m.502[由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得ACsin∠ABC＝ABsin∠ACB，∴AB＝AC·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)．]8．如图，某交警队为了了解山底一段水平公路上行驶车辆的车速情况，现派交警进行测量．交警小明在山顶A处观测到一辆汽车在这段水平公路上沿直线匀速行驶，交警小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.50107[分析知∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，∴在△ABD和△ACD中，AB＝200 m，AC＝100 2 m，∴在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC cos∠BAC＝100 000，即BC＝10010 m，∴这辆汽车的速度为BC14＝1001014＝50107(m/s)．]三、解答题9．如图，一人在C地看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km到达D处，看到A在他的北偏东45°方向，B在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．[解]由题意可知CD＝30，∠BDC＝180°－75°－75°＝30°，∠CBD＝180°－30°－30°＝120°，∠DAC＝45°.在△BDC中，由正弦定理可得，BC＝DC·sin∠BDCsin∠DBC＝30·sin 30°sin 120°＝10.在△ADC中，由正弦定理可得，AC＝DC·sin∠ADCsin∠DAC＝30·sin 60°sin 45°＝3 5.在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10×cos 45°＝25，∴AB＝5.故这两座建筑物之间的距离为5 km.10．如图所示，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？[解]设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2cos 120°＝6，∴BC＝6，且sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.∴∠ABC＝45°.∴BC与正北方向垂直．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．11．如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为3 km.则C，D间的距离是()A. 3 km B．3 kmC. 5 km D．5 kmC[在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°.由ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，得AD＝3sin 45°sin 60°＝2，因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB×BC cos∠ABC＝3.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos∠DAC＝5，即CD＝ 5.故C，D间的距离为 5 km.故选C.]12．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．8 km/h B．6 2 km/hC．234 km/h D．10 km/hB[设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝⎛⎭⎪⎫110v2＝⎝⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v＝6 2.]13．(一题两空)如图，一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了402海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，则此船航行的方向为北偏东______度，航行路程为________海里．8020(6＋2)[由题意，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40，BC＝40 2.根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝402＋(402)2－2×40×402×2－6 4＝3 200＋1 6003，∴AC＝20(6＋2)．根据正弦定理得BCsin∠CAB＝ACsin 105°，∴∠CAB＝45°，∴此船航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(6＋2)海里．]14.如图所示，有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B处看索道AC，此时视角∠ABC＝120°，从B处攀登200米到达D处，回头看索道AC，此时视角∠ADC＝150°，从D处再攀登300米到达C处．则石竹山这条索道AC长为________米．10039[在△ABD中，BD＝200米，∠ABD＝120°.因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得BDsin∠DAB＝ADsin∠ABD，所以200sin 30°＝ADsin 120°.所以AD＝200×sin 120°sin 30°＝2003(米)．在△ADC中，DC＝300米，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC＝10039(米)．故石竹山这条索道AC长为10039米．]15．如图所示，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以50海里/时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用4小时追上．(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．[解](1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝50×4＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC4＝70海里/时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。
高中数学第一章解三角形课时作业2余弦定理新人教B版必修5
因为BD＝ ，AB＝1，
所以AD＝ ＝ .
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
解析：∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ ab，
∴cosC＝ ＝ ＝－ <0，
∴90°<C<180°，∴三角形为钝角三角形．
答案：A
6．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()
答案：3或6
8．在△ABC中，∠ABC＝ ，AB＝ ，BC＝3，则sin∠BAC＝________.
解析：由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos∠ABC＝5，∴AC＝ .
由正弦定理得 ＝ ，∴sin∠BAC＝ .
答案：
9．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝ ，c＝2 ，则b＝________.
解析：由余弦定理得cosC＝ ，
即 ＝ ，解得ab＝4.
答案：A
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosB的值为()
A. B.
C. D.
解析：cosB＝ ＝ ＝ .
答案：B
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是()
答案：A
2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b等于()
A．1 B.
C. D．3
解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2× ＝3，故b＝ .
答案：C
3．在△ABC中，c2－a2－b2＝ ab，则角C为()
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课时作业24 正弦定理、余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2D ．2∶3∶1解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2， 由A ∶B ＝1∶2，故A ＋B ＝3A ＝π2， 得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2. 答案：C2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 解析：由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．答案：C3．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C4．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( ) A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ， 即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1.此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.答案：B5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332D ．3 3解析：在△ABC 中，由已知条件及余弦定理可得c 2＝(a －b )2＋6＝a 2＋b 2－2ab cos π3，整理得ab ＝6，再由面积公式S ＝12ab sin C ，得S △ABC ＝12×6×sin π3＝32 3.故选C. 答案：C6．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .若△ABC 的面积为16sin C ，则角C 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2＋1，a ＋b ＝2c ，∴c ＝1，a ＋b ＝ 2.又12ab sin C ＝16sin C ，∴ab ＝13.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝（a ＋b ）2－2ab －c 22ab ＝12， ∴C ＝60°. 答案：B 二、填空题7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________．解析：由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145.答案：1458．(2015·福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．解析：因为S ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×5×8×sin A ＝103，所以sin A ＝32，因为三角形是锐角三角形，所以A ＝π3，所以BC 2＝25＋64－2×5×8×12＝49，BC ＝7.答案：79．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为cos A ＝－14，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，S △ABC＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315.所以，bc ＝24，则(b ＋c )2＝(b －c )2＋4bc ＝4＋4×24＝100，所以，b ＋c ＝10，又b －c ＝2，所以，b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64，所以a ＝8.答案：8 三、解答题10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B .(1)求a 值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解：(1)因为A ＝2B ， 所以sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B .由正弦定理、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac . 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 11．(2015·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．解：在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69. 因为sin C <sin B ，所以C <B ，可知C 为锐角， 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝csin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1.12．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ， 所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin60°7＝217.因为AB <BC ，所以C 为锐角． 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因为sin2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437.1．(2016·陕西省第一次质量检测)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C .(1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积． 解：(1)由sin A ＝sin B 可知A ＝B ，从而有C ＝π－2A . 又sin A ＝－cos C ＝cos2A ＝1－2sin 2A ，∴2sin 2A ＋sin A －1＝0， ∴sin A ＝－1(舍去)，或sin A ＝12. 故A ＝B ＝π6，C ＝2π3.(2)设BC ＝2x ，则AC ＝2x ，在△ACM 中，AM 2＝AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ，∴7＝4x 2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3，∴x ＝1，∴△ABC 的面积S ＝12·CA ·CB ·sin C ＝12·2x ·2x ·sin 2π3＝ 3. 2．已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b . (1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (B )＝3，BA ―→·BC ―→＝92，且a ＋c ＝3＋3，求边长b .解：(1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0，即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos2x ＋3sin2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π. (2)由f (B )＝3得2sin(2B ＋π6)＋1＝3，解得B ＝π6.又由BA ―→·BC ―→＝92知ac cos B ＝92， 所以ac ＝3 3.b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝(3＋3)2－2×33－2×33×32＝3，所以b ＝ 3.。